Мера Бесова

Эта статья включает в себя список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Ноябрь 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике - в частности, в области теории вероятностей и обратных задач - меры Бесова и связанные с ними случайные величины, распределенные по Бесову, являются обобщением понятий гауссовских мер и случайных величин , распределений Лапласа и других классических распределений. Они особенно полезны при изучении обратных задач на функциональных пространствах, для которых гауссовский байесовский априор не подходит. Построение меры Бесова аналогично построению пространства Бесова., отсюда и номенклатура.

Определения [ править ]

Позвольте быть сепарабельным гильбертовым пространством функций, определенных в области , и позвольте быть полным ортонормированным базисом для . Пусть и . Для определения${\ displaystyle H}$ ${\ Displaystyle D \ substeq \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ displaystyle \ {e_ {n} \ mid n \ in \ mathbb {N} \}}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle s \ in \ mathbb {R}}$${\displaystyle 1\leq p<\infty }$${\displaystyle u=\sum _{n\in \mathbb {N} }u_{n}e_{n}\in H}$

${\displaystyle \|u\|_{X^{s,p}}=\left\|\sum _{n\in \mathbb {N} }u_{n}e_{n}\right\|_{X^{s,p}}:=\left(\sum _{n=1}^{\infty }n^{({\frac {ps}{d}}+{\frac {p}{2}}-1)}|u_{n}|^{p}\right)^{1/p}.}$

Это определяет норму на подпространстве, для которой она конечна, и мы обозначаем пополнение этого подпространства относительно этой новой нормы. Мотивация для этих определений проистекает из того факта, что это эквивалентно норме в пространстве Бесова .${\displaystyle H}$${\displaystyle X^{s,p}}$${\displaystyle \|u\|_{X^{s,p}}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle B_{pp}^{s}(D)}$

Позвольте быть параметром масштаба, подобным точности (обратной дисперсии ) гауссовой меры. Теперь мы определим -значную случайную величину как${\displaystyle \kappa >0}$${\displaystyle X^{s,p}}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle u:=\sum _{n\in \mathbb {N} }n^{-({\frac {s}{d}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{p}})}\kappa ^{-{\frac {1}{p}}}\xi _{n}e_{n},}$

где выбираются независимо и одинаково из обобщенной гауссовской меры на с функцией плотности вероятности Лебега, пропорциональной . Неформально можно сказать, что функция плотности вероятности пропорциональна бесконечномерной мере Лебега ( что не имеет строгого смысла ), и поэтому является естественным кандидатом в «типичный» элемент (хотя это не совсем верно - Смотри ниже).${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\dots }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \exp(-{\tfrac {1}{2}}|\xi _{n}|^{p})}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \exp(-{\tfrac {\kappa }{2}}\|u\|_{X^{s,p}}^{p})}$${\displaystyle X^{s,p}}$

Свойства [ править ]

Легко показать , что при т  ≤  s , то X ^{т , р} конечна норма , когда в X ^{сек , р} норма. Следовательно, пространства X ^{s , p} и X ^{t , p} вложены:

${\displaystyle X^{s,p}\subseteq X^{t,p}{\mbox{ when }}t\leq s.}$

Это согласуется с обычным вложением классов гладкости функций f :  D  →  R : например, пространство Соболева H ² ( D ) является подпространством в H ¹ ( D ), а в свою очередь пространства Лебега L ² ( D ) = H ⁰ ( D ); Гельдеровские пространство С ¹ ( D ) непрерывно дифференцируемых функций является подпространством пространства C ⁰ ( D ) непрерывных функций.

Можно показать, что ряд, определяющий u, сходится в X ^{t , p} почти наверное для любого t  <  s  -  d  /  p и, следовательно, дает хорошо определенную случайную величину ^с X ^{t , p} . Заметим , что Х ^{т , р} представляет собой большее пространство , чем Х ^{с , р} , а на самом деле тя случайной величины U является почти наверняка не в меньшем пространстве X ^{сек , р} . Пространство X^{s , p} - это, скорее, пространство Камерона-Мартина этой вероятностной меры в гауссовском случае p  = 2. Случайная величина u называется распределенной по Бесову с параметрами ( κ , s , p ), а индуцированная вероятностная мера называется Бесовская мера .

Ссылки [ править ]

• Дашти, Масуме; Харрис, Стивен; Стюарт, Эндрю М. (2012). «Априоры Бесова для байесовских обратных задач». Обратные задачи и изображения . 6 (2): 183–200. arXiv : 1105.0889 . DOI : 10.3934 / ipi.2012.6.183 . ISSN  1930-8337 . Руководство по ремонту  2942737 . S2CID  88518742 .
• Лассас, Матти; Саксман, Ээро; Силтанен, Самули (2009). «Дискретно-инвариантное байесовское обращение и априорные значения пространства Бесова». Обратные задачи и изображения . 3 (1): 87–122. arXiv : 0901.4220 . DOI : 10.3934 / ipi.2009.3.87 . ISSN  1930-8337 . Руководство по ремонту  2558305 . S2CID  14122432 .