Биномиальный (полином)

В алгебре , бином является полиномом , который является суммой двух слагаемых, каждое из которых представляет собой одночлен . ^[1] Это простейший вид многочленов после одночленов.

Определение [ править ]

Бином - это многочлен, который представляет собой сумму двух одночленов . Бином от одного неопределенного (также известный как одномерный бином) может быть записан в форме

${\ displaystyle ax ^ {m} -bx ^ {n} \ ,,}$

где a и b - числа , m и n - различные неотрицательные целые числа, а x - символ, который называется неопределенным или, по историческим причинам, переменной . В контексте многочленов Лорана , А Лоран биномиальное , часто просто называют биномиальное , аналогично определяется, но показатели степени т и п могут быть отрицательными.

В более общем виде бином может быть записан ^[2] как:

${\displaystyle ax_{1}^{n_{1}}\dotsb x_{i}^{n_{i}}-bx_{1}^{m_{1}}\dotsb x_{i}^{m_{i}}}$

Вот некоторые примеры биномов:

${\displaystyle 3x-2x^{2}}$

${\displaystyle xy+yx^{2}}$

${\displaystyle 0.9x^{3}+\pi y^{2}}$

Операции с простыми двучленами [ править ]

• Бином x ² - y ² можно разложить на множители как произведение двух других биномов:

${\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).}$

Это частный случай более общей формулы:

${\displaystyle x^{n+1}-y^{n+1}=(x-y)\sum _{k=0}^{n}x^{k}\,y^{n-k}.}$

При работе с комплексными числами это также можно расширить на:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=x^{2}-(iy)^{2}=(x-iy)(x+iy).}$

• Произведение пары линейных двучленов ( ax + b ) и ( cx + d ) является трехчленом :

${\displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd.}$

• Биномиальное , возведенное в п ^{- й} мощности , представлена в виде ( х + у ) ^п может быть расширена с помощью биномиальной теоремы или, что то же самое, используя треугольник Паскаля . Например, квадрат ( x + y ) ² бинома ( x + y ) равен сумме квадратов двух слагаемых и удвоенному произведению слагаемых, то есть:

${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.}$

Числа (1, 2, 1), используемые в качестве множителей для членов этого разложения, являются биномиальными коэффициентами на две строки ниже вершины треугольника Паскаля. В раскрытии n- ^й степени используются числа на n строк вниз от вершины треугольника.

• Применение приведенной выше формулы для вычисления квадрата бинома - это " ( m, n ) -формула" для генерации троек Пифагора :

Для m <n , пусть a = n ² - m ² , b = 2 mn и c = n ² + m ² ; тогда a ² + b ² = c ² .

• Биномы, которые представляют собой суммы или разности кубов, могут быть разложены на полиномы более низкого порядка следующим образом:

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})}$

${\displaystyle x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})}$

См. Также [ править ]

• Завершение квадрата
• Биномиальное распределение
• Список факториальных и биномиальных тем (который содержит большое количество связанных ссылок)

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Bostock, L .; Чандлер, С. (1978). Чистая математика 1 . Издательство Оксфордского университета . п. 36. ISBN 0-85950-092-6.