Квантовый потенциал или квантовая потенция является центральным понятием композиции де Бройль-Бома в квантовой механике , введенной Дэвид Бом в 1952 году.
Первоначально представленный под названием квантово-механический потенциал , впоследствии квантовый потенциал , он был позже развит Бомом и Бэзилом Хили в его интерпретации как информационный потенциал, который действует на квантовую частицу. Его также называют квантовой потенциальной энергией , потенциалом Бома , квантовым потенциалом Бома или квантовым потенциалом Бома .
Квантовый потенциал |
В рамках теории де Бройля – Бома квантовый потенциал - это термин в уравнении Шредингера, который направляет движение квантовых частиц. Подход квантового потенциала, введенный Бомом [1] [2], дает формально более полное изложение идеи, представленной Луи де Бройлем : де Бройль постулировал в 1926 году, что волновая функция представляет собой пилотную волну, которая направляет квантовую частицу, но имела впоследствии отказался от своего подхода из-за возражений, высказанных Вольфгангом Паули . В основополагающих статьях Бома 1952 года был представлен квантовый потенциал и даны ответы на возражения, выдвинутые против теории пилотных волн.
Квантовый потенциал Бома тесно связан с результатами других подходов, в частности, касающихся работы Эрвина Маделунга 1927 года и работы Карла Фридриха фон Вайцзеккера 1935 года .
Основываясь на интерпретации квантовой теории, представленной Бомом в 1952 году, Дэвид Бом и Бэзил Хили в 1975 году представили, как концепция квантового потенциала приводит к понятию «непрерывной целостности всей Вселенной», предполагая, что фундаментальное новое качество квантовая физика привносит нелокальность . [3]
Квантовый потенциал как часть уравнения Шредингера
Уравнение Шредингера
переписывается с использованием полярной формы для волновой функции с действительными функциями а также , где - амплитуда ( модуль ) волновой функции, а также его фаза. Это дает два уравнения: из мнимой и действительной части уравнения Шредингера следуют уравнение неразрывности и квантовое уравнение Гамильтона – Якоби соответственно. [1] [4]
Уравнение неразрывности
Мнимая часть уравнения Шредингера в полярной форме дает
который при условии , можно интерпретировать как уравнение неразрывности для плотности вероятности и поле скоростей
Квантовое уравнение Гамильтона – Якоби.
Действительная часть уравнения Шредингера в полярной форме дает модифицированное уравнение Гамильтона – Якоби
также называется квантовым уравнением Гамильтона – Якоби . [5] Оно отличается от классического уравнения Гамильтона – Якоби только членом
Этот термин , называемый квантовым потенциалом , таким образом, зависит от кривизны амплитуды волновой функции. [6] [7]
В пределе , функция является решением (классического) уравнения Гамильтона – Якоби; [1] поэтому функциятакже называется функцией Гамильтона – Якоби или действием , распространенным на квантовую физику.
Характеристики
Хили подчеркнул несколько аспектов [8] , касающихся квантового потенциала квантовой частицы:
- он математически выводится из действительной части уравнения Шредингера при полярном разложении волновой функции, [9] не выводится из гамильтониана [10] или другого внешнего источника, и можно сказать, что он участвует в самоорганизующемся процессе с участием основного базового поля;
- это не изменится, если умножается на константу, так как этот член также присутствует в знаменателе, так что не зависит от величины и, следовательно, напряженность поля; следовательно, квантовый потенциал выполняет предварительное условие нелокальности: он не должен падать с увеличением расстояния;
- он несет информацию обо всей экспериментальной установке, в которой находится частица.
В 1979 году Хили и его коллеги Филиппидис и Дьюдни представили полный расчет объяснения эксперимента с двумя щелями в терминах бомовских траекторий, возникающих для каждой частицы, движущейся под действием квантового потенциала, в результате чего был получен хорошо известный интерференционные картины . [11]
Также сдвиг интерференционной картины, который происходит в присутствии магнитного поля в эффекте Ааронова-Бома, можно объяснить как результат квантового потенциала. [12]
Отношение к процессу измерения
Коллапс волновой функции в копенгагенской интерпретации квантовой теории объясняются в квантовом потенциальном подходе демонстрации того, что, после измерения, «всех пакеты многомерной волновой функции , которая не соответствует фактическому результату измерения не действуют на частицу »с этого момента. [13] Бом и Хили указали, что
- «квантовый потенциал может образовывать нестабильные точки бифуркации, которые разделяют классы траекторий частиц согласно« каналам », в которые они в конечном итоге входят и в которых остаются. Это объясняет, как измерение возможно без "коллапса" волновой функции, и как все виды квантовых процессов, такие как переходы между состояниями, слияние двух состояний в одно и деление одной системы на две, могут происходить без потребность в наблюдателе-человеке ». [14]
Затем измерение «включает совместное преобразование, в котором наблюдаемая система и наблюдающий аппарат подвергаются взаимному участию, так что траектории ведут себя коррелированным образом, становятся коррелированными и разделенными на разные, неперекрывающиеся множества (которые мы называем« каналами »). ) ". [15]
Квантовый потенциал системы n частиц
Волновая функция Шредингера квантовой системы многих частиц не может быть представлена в обычном трехмерном пространстве . Скорее, он представлен в конфигурационном пространстве с тремя измерениями на частицу. Таким образом, одна точка в конфигурационном пространстве представляет собой конфигурацию всей системы из n частиц в целом.
Двухчастичная волновая функция из одинаковых частиц массыимеет квантовый потенциал [16]
где а также относятся к частице 1 и частице 2 соответственно. Это выражение прямо обобщается на частицы:
В случае, если волновая функция двух или более частиц разделима, тогда полный квантовый потенциал системы становится суммой квантовых потенциалов двух частиц. Точная разделимость крайне нефизична, учитывая, что взаимодействия между системой и ее окружением разрушают факторизацию; Однако, волновая функция , которая является суперпозицией нескольких волновых функций приблизительно дизъюнктной поддержки будет факторизовать примерно. [17]
Разделимость волновой функции означает, что разлагается на множители в форме . Тогда следует, что такжефакторизуется, и полный квантовый потенциал системы становится суммой квантовых потенциалов двух частиц. [18]
В случае, если волновая функция разделима, т. Е. Если разлагается на множители в форме , две одночастичные системы ведут себя независимо. В более общем плане квантовый потенциал-частичная система с разделимой волновой функцией представляет собой сумму квантовые потенциалы, разделяющие систему на независимые одночастичные системы. [19]
Формулировка в терминах плотности вероятности
Квантовый потенциал в терминах функции плотности вероятности
Бом, а также другие физики после него, стремились предоставить доказательства того, что правило Борна, связывающеек функции плотности вероятности
в формулировке пилотной волны можно понимать не как основную закономерность, а как теорему (называемую гипотезой квантового равновесия ), которая применяется, когда квантовое равновесие достигается в ходе развития во времени согласно уравнению Шредингера. С правилом Борна и прямым применением правил цепочки и продуктов
квантовый потенциал, выраженный через функцию плотности вероятности, принимает следующий вид: [20]
Квантовая сила
Квантовая сила , выраженная через распределение вероятностей, составляет: [21]
Формулировка в конфигурационном и импульсном пространствах в результате проекций
М. Р. Браун и Б. Хили показали, что в качестве альтернативы формулировке терминов конфигурационного пространства (-пространство), квантовый потенциал также можно сформулировать в терминах импульсного пространства (-космос). [22] [23]
В соответствии с подходом Дэвида Бома, Бэзил Хили и математик Морис де Госсон показали, что квантовый потенциал можно рассматривать как следствие проекции базовой структуры, точнее некоммутативной алгебраической структуры, на подпространство, такое как обычное пространство. (-космос). В алгебраических терминах квантовый потенциал можно рассматривать как возникающий из отношения между имплицитным и явным порядками : если некоммутативная алгебра используется для описания некоммутативной структуры квантового формализма, оказывается, что невозможно определить лежащее в основе пространство, но это скорее « теневые пространства » (гомоморфные пространства), и что при этом появляется квантовый потенциал. [23] [24] [25] [26] [27] Подход квантового потенциала можно рассматривать как способ построения теневых пространств. [25] Таким образом, квантовый потенциал возникает как искажение из-за проекции нижележащего пространства в-пространство, подобно проекции Меркатора, неизбежно приводит к искажению географической карты. [28] [29] Существует полная симметрия между-представление, а квантовый потенциал, как он появляется в конфигурационном пространстве, можно рассматривать как возникающий из дисперсии импульса -представление. [30]
Подход был применен к расширенному фазовому пространству , [30] [31] Кроме того, в терминах алгебры Даффина-Кеммер-Петии подхода. [32] [33]
Связь с другими величинами и теориями
Отношение к информации Фишера
Можно показать [34], что среднее значение квантового потенциалапропорциональна информации Фишера плотности вероятности о наблюдаемом
Используя это определение информации Фишера, мы можем написать: [35]
Связь с тензором давления Маделунга
В уравнениях Маделунга, представленных Эрвином Маделунгом в 1927 году, нелокальный квантовый тензор давления имеет ту же математическую форму, что и квантовый потенциал. Основная теория отличается тем, что подход Бома описывает траектории частиц, тогда как уравнения квантовой гидродинамики Маделунга являются уравнениями Эйлера жидкости, которые описывают ее усредненные статистические характеристики. [36]
Связь с поправкой фон Вайцзеккера
В 1935 году [37] Карл Фридрих фон Вайцзеккер предложил добавить член неоднородности (иногда называемый поправкой фон Вейцзеккера ) к кинетической энергии теории атомов Томаса – Ферми (ТФ) . [38]
Поправочный член фон Вайцзеккера равен [39]
Поправочный член также был получен как поправка первого порядка к кинетической энергии ТФ в полуклассической поправке к теории Хартри – Фока . [40]
Было указано [39], что поправочный член фон Вейцзеккера при низкой плотности принимает ту же форму, что и квантовый потенциал.
Квантовый потенциал как энергия внутреннего движения, связанного со спином
Джованни Салези, Эразмо Реками и его сотрудники показали в 1998 году, что в соответствии с теоремой Кенига квантовый потенциал можно отождествить с кинетической энергией внутреннего движения (" zitterbewegung "), связанного со спином частицы со спином 1/2. наблюдается в кадре центра масс. В частности, они показали, что внутренняя скорость дрожания для вращающейся нерелятивистской частицы постоянного спина без прецессии и в отсутствие внешнего поля имеет значение в квадрате: [41]
из которых второй член оказывается незначительным по размеру; затем с следует, что
Салези дал более подробную информацию об этой работе в 2009 году. [42]
В 1999 году Сальваторе Эспозито обобщил их результат для частиц со спином 1/2 на частицы с произвольным спином, подтвердив интерпретацию квантового потенциала как кинетической энергии внутреннего движения. Эспозито показал, что (используя обозначения= 1) квантовый потенциал можно записать в виде: [43]
и что причинную интерпретацию квантовой механики можно переформулировать в терминах скорости частицы
где "скорость дрейфа" равна
а «относительная скорость» равна , с участием
а также представляющий направление вращения частицы. В этой формулировке, согласно Эспозито, квантовая механика обязательно должна интерпретироваться в вероятностных терминах по той причине, что начальное условие движения системы не может быть точно определено. [43] Эспозито объяснил, что «квантовые эффекты, присутствующие в уравнении Шредингера, обусловлены присутствием особого пространственного направления, связанного с частицей, которое, исходя из изотропии пространства, можно отождествить со спином самой частицы». [44] Эспозито обобщил его от частиц материи до калибровочных частиц , в частности фотонов , для которых он показал, что если моделировать как, с функцией вероятности , их можно понять в рамках подхода квантового потенциала. [45]
Джеймс Р. Боган в 2002 году опубликовал вывод обратного преобразования уравнения Гамильтона-Якоби классической механики к нестационарному уравнению Шредингера квантовой механики, которое возникает из калибровочного преобразования, представляющего спин, при простом требовании сохранения вероятность . Это спин-зависимое преобразование является функцией квантового потенциала. [46]
Квантовая механика EP с квантовым потенциалом как производной Шварца
В другом подходе, квантовая механика EP формулирует на основе принципа эквивалентности (EP), квантовый потенциал записывается как: [47] [48]
где - производная Шварца , т. е.. Однако даже в тех случаях, когда это может равняться
Э. Фараджи и М. Матоне подчеркивают, что это не соответствует обычному квантовому потенциалу, как в их подходе. является решением уравнения Шредингера, но не соответствует волновой функции. [47] Это было дополнительно исследовано Э. Р. Флойдом для классического предела→ 0, [49], а также Робертом Кэрроллом. [50]
Переинтерпретация в терминах алгебр Клиффорда
Б. Хили и Р. Э. Каллаган переосмысливают роль модели Бома и ее понятие квантового потенциала в рамках алгебры Клиффорда , принимая во внимание недавние достижения, в том числе работу Дэвида Хестенеса по алгебре пространства-времени . Они показывают, как внутри вложенной иерархии алгебр Клиффорда, для каждой алгебры Клиффорда элемент минимального левого идеала и элемент правого идеала, представляющий его сопряжение Клиффорда может быть построен, и из него элемент плотности Клиффорда (CDE), элемент алгебры Клиффорда, который изоморфен стандартной матрице плотности, но не зависит от какого-либо конкретного представления. [51] На этой основе могут быть сформированы билинейные инварианты, которые представляют свойства системы. Хили и Каллаган различают билинейные инварианты первого типа, каждый из которых обозначает математическое ожидание элемента. алгебры, которая может быть сформирована как , и билинейные инварианты второго рода, которые построены с производными и представляют импульс и энергию. Используя эти термины, они восстанавливают результаты квантовой механики, не зависящие от конкретного представления в терминах волновой функции и не требующие ссылки на внешнее гильбертово пространство. В соответствии с более ранними результатами показано , что квантовый потенциал нерелятивистской частицы со спином ( частица Паули ) имеет дополнительный член, зависящий от спина, и показано, что импульс релятивистской частицы со спином ( частица Дирака ) состоит из линейное движение и вращательная часть. [52] Два динамических уравнения, управляющих эволюцией во времени, интерпретируются как уравнения сохранения. Один из них означает сохранение энергии ; другой означает сохранение вероятности и спина . [53] Квантовый потенциал играет роль внутренней энергии [54], которая обеспечивает сохранение полной энергии. [53]
Релятивистские и теоретико-полевые расширения
Квантовый потенциал и относительность
Бом и Хили продемонстрировали, что нелокальность квантовой теории может быть понята как предельный случай чисто локальной теории при условии, что передача активной информации может быть больше скорости света, и что этот предельный случай дает приближения к обоим квантовая теория и теория относительности. [55]
Подход квантового потенциала был расширен Хили и его сотрудниками на квантовую теорию поля в пространстве-времени Минковского [56] [57] [58] [59] и искривленное пространство-время. [60]
Карло Кастро и Хорхе Махеча вывели уравнение Шредингера из уравнения Гамильтона-Якоби в сочетании с уравнением неразрывности и показали, что свойства релятивистского квантового потенциала Бома в терминах плотности ансамбля могут быть описаны свойствами Вейля пространства. В римановом плоском пространстве потенциал Бома равен кривизне Вейля . Согласно Кастро и Махеча, в релятивистском случае квантовый потенциал (с использованием оператора Даламбера а в обозначениях ) принимает вид
показано, что квантовая сила, создаваемая релятивистским квантовым потенциалом, зависит от калибровочного потенциала Вейля и его производных. Кроме того, взаимосвязь между потенциалом Бома и кривизной Вейля в плоском пространстве-времени соответствует аналогичной взаимосвязи между информацией Фишера и геометрией Вейля после введения комплексного импульса. [61]
Диего Л. Рапопорт, с другой стороны, связывает релятивистский квантовый потенциал с метрической скалярной кривизной (кривизной Римана). [62]
Относительно уравнения Клейна – Гордона для частицы с массой и зарядом Питер Р. Холланд в своей книге 1993 года говорил о «квантовом потенциальном члене», который является пропорциональным . Однако он подчеркнул, что дать теории Клейна – Гордона одночастичную интерпретацию в терминах траекторий, как это может быть сделано для нерелятивистской квантовой механики Шредингера, привело бы к неприемлемым противоречиям. Например, волновые функциикоторые являются решениями уравнения Клейна – Гордона или Дирака, не могут быть интерпретированы как амплитуда вероятности нахождения частицы в заданном объеме вовремя в соответствии с обычными аксиомами квантовой механики и аналогичным образом в причинной интерпретации это не может быть интерпретировано как вероятность того, что частица будет находиться в этом объеме в это время. Холланд указал, что, хотя были предприняты усилия для определения эрмитова оператора положения, который позволил бы интерпретировать квантовую теорию поля конфигурационного пространства, в частности, с использованием подхода локализации Ньютона-Вигнера , но что никакой связи с возможностями эмпирического определения положения с точки зрения релятивистской теории измерения или для интерпретации траектории. Однако, по мнению Холланда, это не означает, что концепция траектории должна быть исключена из соображений релятивистской квантовой механики. [63]
Хрвое Николич производное как выражение для квантового потенциала, и он предложил лоренц-ковариантную формулировку бомовской интерпретации многочастичных волновых функций. [64] Он также разработал обобщенную релятивистско-инвариантную вероятностную интерпретацию квантовой теории [65] [66] [67], в которойбольше не является плотностью вероятности в пространстве, а плотностью вероятности в пространстве-времени. [68] [69]
Квантовый потенциал в квантовой теории поля
Исходя из пространственного представления координаты поля, была построена причинная интерпретация картины Шредингера релятивистской квантовой теории. Картина Шредингера для нейтрального безмассового поля со спином 0, с участием действительных функционалов , можно показать [70], что они приводят к
Это было названо Бомом и его сотрудниками суперквантовым потенциалом . [71]
Василий Hiley показал , что энергия-импульс-отношения в модели Бома можно получить непосредственно от тензора энергии-импульса в квантовой теории поля и квантовый потенциал является термин энергия , которая необходима для сохранения локальной энергии-импульса. [72] Он также намекнул, что для частицы с энергией, равной или превышающей порог создания пары , модель Бома представляет собой теорию многих частиц, которая описывает также процессы создания и уничтожения пар. [73]
Интерпретация и обозначение квантового потенциала
В своей статье 1952 года, предлагающей альтернативную интерпретацию квантовой механики , Бом уже говорил о «квантово-механическом» потенциале. [74]
Бом и Бэзил Хили также назвали квантовый потенциал информационным потенциалом , учитывая, что он влияет на форму процессов и сам формируется окружающей средой. [10] Бом указал: «Корабль или самолет (с его автопилотом) является самоактивной системой, т. Е. Имеет свою собственную энергию. Но форма его деятельности определяется информационным содержанием, касающимся окружающей среды, которое переносится радиолокационные волны. Это не зависит от интенсивности волн. Точно так же мы можем рассматривать квантовый потенциал как содержащий активную информацию . Он потенциально активен везде, но фактически активен только там и тогда, когда есть частица ». (курсив в оригинале). [75]
Хайли называет квантовый потенциал внутренней энергией [25] и «новым качеством энергии, играющим роль только в квантовых процессах». [76] Он объясняет, что квантовый потенциал - это еще один энергетический термин, помимо хорошо известной кинетической энергии и (классической) потенциальной энергии, и что это нелокальный энергетический член, который обязательно возникает ввиду требования сохранения энергии; он добавил, что сопротивление сообщества физиков концепции квантового потенциала могло быть вызвано ожиданиями ученых о том, что энергия должна быть локальной. [77]
Хили подчеркивал, что квантовый потенциал для Бома был «ключевым элементом в понимании того, что может лежать в основе квантового формализма. Более глубокий анализ этого аспекта подхода убедил Бома в том, что теория не может быть механической. это органично в смысле Уайтхеда . А именно, что это было целое, которое определяло свойства отдельных частиц и их взаимосвязь, а не наоборот ». [78] [79]
Питер Р. Холланд в своем всеобъемлющем учебнике также называет это квантовой потенциальной энергией . [80] Квантовый потенциал также упоминается в ассоциации с именем Бома как потенциал Бома , квантовый потенциал Бома или квантовый потенциал Бома .
Приложения
Подход квантового потенциала можно использовать для моделирования квантовых эффектов, не требуя явного решения уравнения Шредингера, и его можно интегрировать в моделирование, такое как моделирование методом Монте-Карло с использованием уравнений гидродинамики и дрейфовой диффузии . [81] Это делается в форме «гидродинамического» расчета траекторий: начиная с плотности на каждом «элементе жидкости», ускорение каждого «элемента жидкости» вычисляется из градиента а также , а результирующая дивергенция поля скорости определяет изменение плотности. [82]
Подход с использованием бомовских траекторий и квантового потенциала используется для расчета свойств квантовых систем, которые не могут быть решены точно, которые часто аппроксимируются с использованием полуклассических подходов. В то время как в среднем поле приближается к потенциалу классического движения, полученному в результате усреднения по волновым функциям, этот подход не требует вычисления интеграла по волновым функциям. [83]
Выражение для квантовой силы использовалось вместе с байесовским статистическим анализом и методами максимизации ожидания для вычисления ансамблей траекторий , возникающих под действием классических и квантовых сил. [21]
дальнейшее чтение
- Основные статьи
- Бом, Дэвид (1952). "Предлагаемая интерпретация квантовой теории в терминах" скрытых переменных "I". Физический обзор . 85 (2): 166–179. Полномочный код : 1952PhRv ... 85..166B . DOI : 10.1103 / PhysRev.85.166 .( полный текст )
- Бом, Дэвид (1952). «Предлагаемая интерпретация квантовой теории в терминах« скрытых переменных », II». Физический обзор . 85 (2): 180–193. Полномочный код : 1952PhRv ... 85..180B . DOI : 10.1103 / PhysRev.85.180 .( полный текст )
- Д. Бом, Б. Дж. Хили, П. Н. Калойеру: Онтологическая основа квантовой теории , Physics Reports (Review section of Physics Letters), том 144, номер 6, стр. 321–375, 1987 ( полный текст ), в нем: D. Бом, Б. Дж. Хили: I. Нерелятивистские системы частиц , стр. 321–348, и Д. Бом, Б. Дж. Хили, П. Н. Калойеру: II. Причинная интерпретация квантовых полей , стр. 349–375.
- Недавние статьи
- Самопроизвольное создание Вселенной из ничего , arXiv: 1404.1207v1 , 4 апреля 2014 г.
- Морис де Госсон, Бэзил Хили: Кратковременный квантовый пропагатор и бомовские траектории , arXiv: 1304.4771v1 (представлено 17 апреля 2013 г.)
- Роберт Кэрролл: Колебания, гравитация и квантовый потенциал , 13 января 2005 г., asXiv: gr-qc / 0501045v1
- Обзор
- Давиде Фискалетти: О различных подходах к квантовому потенциалу Бома в нерелятивистской квантовой механике , Квантовая материя, Том 3, номер 3, июнь 2014 г., стр. 177–199 (23), doi : 10.1166 / qm.2014.1113 .
- Игнацио Ликата , Давиде Фискалетти (предисловие Б.Дж. Хили ): Квантовый потенциал: физика, геометрия и алгебра , AMC, Springer, 2013, ISBN 978-3-319-00332-0 (печатный) / ISBN 978-3-319-00333-7 (онлайн)
- Питер Р. Холланд : Квантовая теория движения: отчет о причинной интерпретации де Бройля-Бома квантовой механики , Cambridge University Press, Кембридж (впервые опубликовано 25 июня 1993 г.), ISBN 0-521-35404-8 в твердом переплете, ISBN 0-521-48543-6 в мягкой обложке, переведена на цифровую печать 2004 г.
- Дэвид Бом , Бэзил Хили : Неделимая Вселенная: онтологическая интерпретация квантовой теории , Routledge, 1993, ISBN 0-415-06588-7
- Дэвид Бом, Ф. Дэвид Пит : Наука, порядок и творчество , 1987, Рутледж, 2-е изд. 2000 (переведена на цифровую печать 2008, Routledge), ISBN 0-415-17182-2
Рекомендации
- ^ а б в Бом, Дэвид (1952). "Предлагаемая интерпретация квантовой теории в терминах" скрытых переменных "I". Физический обзор . 85 (2): 166–179. Полномочный код : 1952PhRv ... 85..166B . DOI : 10.1103 / PhysRev.85.166 .( полный текст Архивировано 18 октября 2012 г. на Wayback Machine )
- ^ Бом, Дэвид (1952). «Предлагаемая интерпретация квантовой теории в терминах« скрытых переменных », II». Физический обзор . 85 (2): 180–193. Полномочный код : 1952PhRv ... 85..180B . DOI : 10.1103 / PhysRev.85.180 .( полный текст Архивировано 18 октября 2012 г. на Wayback Machine )
- ^ Д. Бом, BJ Hiley: На интуитивном понимании нелокальности , как следует из квантовой теории , Основы физики, Том 5, № 1, С. 93-109, 1975,. Дои : 10.1007 / BF01100319 ( аннотация )
- ↑ Дэвид Бом, Бэзил Хили: Неделимая Вселенная: онтологическая интерпретация квантовой теории , Routledge, 1993, ISBN 0-415-06588-7 , в нем Глава 3.1. Основные положения причинно-следственной интерпретации , с. 22- 23 .
- ↑ Дэвид Бом, Бэзил Хили: Неделимая Вселенная: онтологическая интерпретация квантовой теории , Routledge, 1993, ISBN 0-415-06588-7 , также цитируется в: BJ Hiley and RE Callaghan: Clifford Algebras and the Dirac-Bohm Quantum Hamilton-Jacobi Equation , Foundations of Physics, January 2012, Volume 42, Issue 1, pp 192-208 (опубликовано в Интернете 20 мая 2011 г.), DOI : 10.1007 / s10701-011-9558-z ( аннотация , препринт Б. Хили 2010 г. )
- ^ См. Например. Роберт Э. Вятт , Эрик Р. Биттнер : Квантовая динамика волновых пакетов с траекториями: реализация с адаптивными лагранжевыми сетками амплитуды волновой функции , Journal of Chemical Physics, vol. 113, нет. 20, 22 ноября 2000 г., стр. 8898 Архивировано 2 октября 2011 года в Wayback Machine.
- ^ См. Также: Pilot wave # Математическая формулировка отдельной частицы.
- ^ BJ Hiley: Активная информация и телепортация , стр. 7 ; появилась в: Эпистемологические и экспериментальные перспективы квантовой физики, D. Greenberger et al. (ред.), страницы 113-126, Kluwer, Нидерланды, 1999
- ^ BJ Hiley: От Гейзенберга к Бома: новый взгляд на активной информации и ее связь с Шенноном информации , стр 2 и 5. Опубликовано в:. (Ред) А. Хренников: Proc. Конф. Квантовая теория: переосмысление основ , стр. 141–162, Vaxjö University Press, Швеция, 2002.
- ^ а б Б. Дж. Хайли: Информация, квантовая теория и мозг . В: Гордон Г. Глобус (редактор), Карл Х. Прибрам (редактор), Джузеппе Витьелло (редактор): Мозг и бытие: на границе между наукой, философией, языком и искусством, Достижения в исследовании сознания, Джон Бенджаминс Б.В., 2004 г., ISBN 90-272-5194-0 , стр. 197-214, стр. 207
- ↑ C. Philippidis, C. Dewdney, BJ Hiley: Квантовая интерференция и квантовый потенциал , Il nuovo cimento B, vol. 52, нет. 1, 1979, pp.15-28, DOI : 10.1007 / BF02743566
- ↑ C. Philippidis, D. Bohm, RD Kaye: Эффект Ааронова-Бома и квантовый потенциал , Il nuovo cimento B, vol. 71, нет. . 1, стр 75-88, 1982, DOI : 10.1007 / BF02721695
- ^ Бэзил Дж. Хайли: роль квантового потенциала . В: G. Tarozzi, Alwyn Van der Merwe: Открытые вопросы квантовой физики: специальные статьи по основам микрофизики , Springer, 1985, стр. 237 и далее, там стр. 239
- ^ D. Bohm, BJ Hiley, PN Kaloyerou: онтологическая основа квантовой теории , Physics Reports (обзорный раздел Physics Letters), том 144, номер 6, стр. 323–348, 1987 ( аннотация)
- ^ BJ Hiley: концептуальная структура интерпретации Сет квантовую механику , В: К. В. Лаурикайнен , С. Montonen, К. Sunnarborg (ред.): Симпозиум по основам современной физики 1994 - 70 лет Волны материи, Editions Frontières, стр. 99–118, ISBN 2-86332-169-2 , стр. 106
- ^ BJ Hiley: Активная информация и телепортация , стр. 10 ; появилась в: Эпистемологические и экспериментальные перспективы квантовой физики, D. Greenberger et al. (ред.), страницы 113-126, Kluwer, Нидерланды, 1999
- ^ См., Например, Детлеф Дюрр и др.: Квантовое равновесие и происхождение абсолютной неопределенности , arXiv: Quant-ph / 0308039v1 6 августа 2003 г., стр. 23 сл.
- ↑ Дэвид Бом, Бэзил Хили: Неделимая Вселенная: онтологическая интерпретация квантовой теории , Routledge, 1993, ISBN 0-415-06588-7 , переведено на цифровую печать 2005 г., в нем Глава 4.1. Онтологическая интерпретация системы многих тел , с. 59
- ^ D. Bohm, BJ Hiley, PN Kaloyerou: Онтологическая основа квантовой теории , Physics Reports (обзорный раздел Physics Letters), том 144, номер 6, стр. 323–348, 1987 ( стр. 351, уравнение ( 12) <- page = 31 с. 351 не (!) Опечатка ->
- ^ См., Например,раздел « Введение »: Фернандо Огиба: Феноменологический вывод уравнения Шредингера. Архивировано 11 октября 2011 г. в Wayback Machine , Progress in Physics (указанная дата: октябрь 2011 г., но ранее получено в Интернете: 31 июля 2011 г.)
- ^ a b Джереми Б. Мэддокс, Эрик Р. Биттнер: Оценка квантовой силы Бома с использованием байесовской статистики Архивировано 20 ноября 2011 г. в Wayback Machine , Журнал химической физики, октябрь 2003 г., т. 119, нет. 13, стр. 6465–6474, там с. 6472, уравнение (38)
- ^ MR Brown: Квантовый потенциал: нарушение классической симплектической симметрии и энергии локализации и дисперсии , arXiv.org (представлено 6 марта 1997 г., версия от 5 февраля 2002 г., получено 24 июля 2011 г.) ( аннотация )
- ^ a b М. Р. Браун, Б. Дж. Хили: Возвращение к Шредингеру: алгебраический подход , arXiv.org (представлено 4 мая 2000 г., версия от 19 июля 2004 г., получено 3 июня 2011 г.) ( аннотация )
- ^ Морис А. де Госсон: «Принципы ньютоновской и квантовой механики - необходимость постоянной Планка, h» , Imperial College Press, World Scientific Publishing, 2001, ISBN 1-86094-274-1
- ^ a b c Б. Дж. Хайли: Некоммутативная квантовая геометрия: переоценка подхода Бома к квантовой теории , в: A. Elitzur et al. (ред.): Quo vadis квантовая механика , Springer, 2005, ISBN 3-540-22188-3 , стр. 299–324
- ^ BJ Hiley: Некоммутативная квантовая геометрия: переоценка подхода Бома к квантовой теории . В: Авшалом К. Элицур, Шахар Долев, Нэнси Коленда (ред.): Quo Vadis Quantum Mechanics? Frontiers Collection , 2005, стр 299-324. , DOI : 10.1007 / 3-540-26669-0_16 ( аннотация , препринт )
- ^ BJ Hiley: Фаза Описание пространства квантовой механики и некоммутативная геометрия: Вигнер-Moyal и Бома в более широком контексте , В: Тео М. Ньюенхайзендр (ред.): За квант , World Scientific Publishing, 2007, ISBN 978-981-277-117-9 , стр. 203–211, там же стр. 204
- ^ Бэзил Дж. Хили: К динамике моментов: роль алгебраической деформации и неэквивалентных вакуумных состояний , опубликовано в: Correlations ed. KG Bowden, Proc. ANPA 23, 104-134, 2001 ( PDF )
- ^ BJ Hiley, RE Каллахан: алгебра Клиффорда подход к квантовой механике: шрёдингеровский и Pauli Частицы , arXiv.org (представленный 17 ноября 2010 - аннотация )
- ^ a b B. Hiley: Описание квантовой механики и некоммутативной геометрии в фазовом пространстве: Вигнер-Мойал и Бом в более широком контексте , в: Th. M. Nieuwenhuizen et al. (ред.): За пределами кванта , World Scientific, 2007, ISBN 978-981-277-117-9 , стр. 203–211, там: с. 207 сл.
- ^ С. Насири : Квантовый потенциал и симметрии в расширенном фазовом пространстве , SIGMA 2 (2006), 062, Quant-ph / 0511125
- ^ Марко Сезар Б. Фернандес, Дж. Дэвид М. Вианна: Об обобщенном подходе фазового пространства к частицам Даффина – Кеммера – Петио , Brazilian Journal of Physics, vol. 28, вып. 4. Декабрь 1998, DOI : 10,1590 / S0103-97331998000400024
- ^ MCB Фернандес, JDM Вианна: Об алгебре Даффина-Кеммера-Петио и обобщенном фазовом пространстве , Основы физики, т. 29, нет. 2, 1999 ( аннотация )
- ^ М. Регинатто, Phys. Rev. A 58, 1775 (1998), процитировано по: Roumen Tsekov: К нелинейным квантовым уравнениям Фоккера-Планка , Int. J. Theor. Phys. 48 (2009) 1431–1435 (arXiv 0808.0326, стр. 4 ).
- ↑ Роберт Кэрролл: О новой теме физики , World Scientific, 2010, ISBN 981-4291-79-X , Глава 1 Некоторые квантовые предпосылки , стр. 1 .
- ^ Цеков, Р. (2012) Бомовская механика против квантовой гидродинамики Маделунга doi : 10.13140 / RG.2.1.3663.8245
- ^ С. Ф. фон Вайцзеккер: Zur Теорье дер Kernmassen ., Zeitschrift für Physik, том 96, стр 431-458 (1935).
- ^ См. Также раздел «Введение»: Рафаэль Бенгурия, Хаим Брезис, Эллиотт Х. Либ: Теория атомов и молекул Томаса – Ферми – фон Вейцзеккера , Commun. Математика. Phys, том 79, стр 167-180 (1981),.. DOI : 10.1007 / BF01942059 .
- ^ a b См. также Румен Цеков: Диссипативная теория функционала плотности, зависящая от времени , Int. J. Theor. Phys., Vol. 48, стр. 2660–2664 (2009), arXiv : 0903.3644 .
- ↑ Компанеец, А.С., Павловский, Э.С .: Сов. Phys. ЖЭТФ, том 4. С. 328–336 (1957). Цитируется в разделе «Введение»: Рафаэль Бенгурия, Хаим Брезис, Эллиотт Х. Либ: Теория атомов и молекул Томаса – Ферми – фон Вейцзеккера , Commun. Математика. Phys, том 79, стр 167-180 (1981),.. DOI : 10.1007 / BF01942059 .
- ^ Г. Салези, Э. Реками, HE Эрнандес Ф., Луис К. Кретли: Гидродинамика вращающихся частиц , представленный 15 февраля 1998 г., arXiv.org, arXiv: hep-th / 9802106v1
- ^ G. Салези: жидкость Spin and Madelung , представленная 23 июня 2009 г., arXiv: Quant-ph / 0906.4147v1
- ^ a b Сальваторе Эспозито: О роли спина в квантовой механике , представленный 5 февраля 1999 г., arXiv: Quant-ph / 9902019v1
- ^ стр. 7
- ^ С. Эспозито: Фотонная волновая механика: подход де Бройля – Бома , с. 8 сл.
- ^ Джеймс Р. Боган: Вращение: классическая квантовая связь , arXiv.org, отправлено 19 декабря 2002 г., arXiv: Quant-ph / 0212110
- ^ a b Алон Э. Фараджи, М. Матоне: Постулат эквивалентности квантовой механики , Международный журнал современной физики A, vol. 15, нет. 13. С. 1869–2017. arXiv hep-th / 9809127 от 6 августа 1999 г.
- ^ Роберт Кэрролл: Аспекты квантовых групп и интегрируемых систем , Труды Института математики НАН Украины, vo. 50, часть 1, 2004 г., стр. 356–367, с. 357
- ^ Эдвард Р. Флойд: Классический предел представления траектории квантовой механики, потеря информации и остаточная неопределенность , arXiv: Quant-ph / 9907092v3
- ^ Р. Кэрролл: Некоторые замечания о времени, неопределенности и спине , arXiv: Quant-ph / 9903081v1
- ^ Б. Hiley, Р. Каллахан: Алгебра Клиффорд подход к квантовой механике: Шредингер и Паули частица , 14 марта 2010, стр. 6
- ^ Б. Hiley, Р. Каллахан: Алгебра Клиффорд подход к квантовой механике: Шредингер и Паули частица , 14 марта 2010, стр. 1-29
- ^ a b Б. Хили: Алгебры Клиффорда и уравнение Дирака – Бома Гамильтона – Якоби , 2 марта 2010 г., с. 22
- ^ BJ Hiley: Некоммутативная геометрия, интерпретация Бома и взаимосвязь между разумом и материей , с. 14
- ^ D. Bohm, BJ Hiley: нелокальность и локальность в стохастической интерпретации квантовой механики , Physics Reports, Volume 172, Issue 3, January 1989, Pages 93-122, doi : 10.1016 / 0370-1573 (89) 90160- 9 ( аннотация )
- ^ PN Kaloyerou, Исследование квантового потенциала в релятивистской области , PhD. Диссертация, Биркбек-колледж, Лондон (1985)
- ^ PN Kaloyerou, Phys. Реп. 244, 288 (1994).
- ^ PN Kaloyerou, в "Бомовской механике и квантовой теории: оценка", ред. Дж. Т. Кушинг, А. Файн и С. Гольдштейн, Kluwer, Dordrecht, 155 (1996).
- ^ D. Bohm, BJ Hiley, PN Kaloyerou: Онтологическая основа квантовой теории , Physics Reports (обзорный раздел Physics Letters), том 144, номер 6, стр. 323–348, 1987 ( PDF)
- ^ BJ Hiley, AH Азиз Муфт: Онтологическая интерпретация квантовой теории поля, применяемая в космологическом контексте . В: Мигель Ферреро, Алвин Ван дер Мерве (ред.): Фундаментальные проблемы квантовой физики , Фундаментальные теории физики, Kluwer Academic Publishers, 1995, ISBN 0-7923-3670-4 , страницы 141-156
- ↑ Карло Кастро, Хорхе Махеча: О нелинейной квантовой механике, броуновском движении, геометрии Вейля и информации Фишера , представленный в феврале 2005 г., В: Ф. Смарандаче и В. Кристианто (ред.): Квантование в астрофизике, броуновском движении и суперсимметрии , стр. .73–87, MathTiger, 2007, Ченнаи, Тамил Наду, ISBN 81-902190-9-X , стр. 82, уравнение (37) и далее.
- ^ Рапопорт, Диего Л. (2007). «Торсионные поля, пространство-время Картана-Вейля и квантовая геометрия пространства состояний, броуновское движение и их топологическая размерность». In Smarandache, F .; Кристианто, В. (ред.). Квантование в астрофизике, броуновском движении и суперсимметрии . Ченнаи, Тамил Наду: MathTiger. стр. 276 -328. CiteSeerX 10.1.1.75.6580 . ISBN 978-81-902190-9-9.
- ^ Питер Р. Холланд: Квантовая теория движения , Cambridge University Press, 1993 (перепечатано в 2000 году, переведено в цифровую печать в 2004 году), ISBN 0-521-48543-6 , стр. 498 сл.
- ^ Хрвое Николич: релятивистская квантовая механика и бомовская интерпретация , Основы физики Letters, vol. 18, нет. 6, ноябрь 2005, стр 549-561,. Дои : 10.1007 / s10702-005-1128-1
- ^ Hrvoje Nikolić: Время в релятивистской и нерелятивистской квантовой механике , arXiv : 0811 / 0811.1905 (представлено 12 ноября 2008 г. (v1), пересмотрено 12 января 2009 г.)
- ^ Николич, Х. 2010 "КТП как экспериментально-волновая теория создания и разрушения частиц" , Int. J. Mod. Phys. А 25, 1477 (2010)
- ↑ Hrvoje Nikolić: Обеспечение совместимости нелокальной реальности с теорией относительности , arXiv : 1002.3226v2 [ Quant -ph] (представлено 17 февраля 2010 г., версия от 31 мая 2010 г.)
- ^ Хрвое Николич: Бомовская механика в релятивистской квантовой механике, квантовой теории поля и теории струн , 2007 J. Phys .: Conf. Сер. 67 012035
- ^ См. Также: Теория Де Бройля – Бома # Теория относительности
- ^ Питер Р. Холланд: Квантовая теория движения , Cambridge University Press, 1993 (перепечатано в 2000 году, переведено в цифровую печать в 2004 году), ISBN 0-521-48543-6 , стр. 520 сл.
- ^ Бэзил Хили: концептуальная структура интерпретации Бома квантовой механики , Калерво Вихтори Лаурикайнен и др. (Ред.): Симпозиум по основам современной физики 1994: 70 лет волн материи , Editions Frontières, ISBN 2-86332-169-2 , стр. 99–117, с. 144
- ^ BJ Hiley: Бом подход переоценивается ( 2010 препринт ), стр. 6
- ^ BJ Hiley (25 марта 2013 г.). "Бомовская некоммутативная динамика: история и новые разработки" .Допечатный Arxiv: 1303.6057 (представленная 25 марта 2013)
- ^ Бом, Дэвид (1952). "Предлагаемая интерпретация квантовой теории в терминах" скрытых переменных "I". Физический обзор . 85 (2): 166–179. Полномочный код : 1952PhRv ... 85..166B . DOI : 10.1103 / PhysRev.85.166 . п. 170 Архивировано 18 октября 2012 г. в Wayback Machine.
- ↑ Дэвид Бом: Значение и информация, заархивированная 9 октября 2011 г. в archive.today , В: П. Пилкканен (ред.): Поиск смысла: новый дух в науке и философии , Crucible, Aquarian Press, 1989, ISBN 978-1-85274-061-0
- ^ BJ Hiley: Некоммутативная квантовая геометрия: переоценка подхода Бома к квантовой теории . В: Авшалом К. Элицур, Шахар Долев, Нэнси Коленда (es.): Quo vadis квантовая механика? Springer, 2005 г., ISBN 3-540-22188-3 , стр. 299 и далее, там же стр. 310
- ^ Василий Hiley & Taher Гозел, эпизод 5 , YouTube (скачано 8 сентября 2013)
- ^ BJ Hiley: Некоторые замечания об эволюции предложений Бома для альтернативы квантовой механики , 30 января 2010
- ^ См. Также: Basil Hiley # Квантовый потенциал и активная информация
- ^ Питер Р. Холланд : Квантовая теория движения , Cambridge University Press, 1993 (перепечатано в 2000 году, переведено в цифровую печать в 2004 году), ISBN 0-521-48543-6 , стр. 72
- ^ Г. Яннакконе, Г. Куратола, Г. Фиори: Эффективный квантовый потенциал Бома для имитаторов устройств на основе дрейфовой диффузии и переноса энергии , Моделирование полупроводниковых процессов и устройств, 2004, т. 2004, с. 275–278.
- ^ Эрик Р. Биттнер: Квантовая туннельная динамика с использованием гидродинамических траекторий , arXiv: Quant-ph / 0001119v2, 18 февраля 2000 г., стр. 3 .
- ^ Е. Gindensberger, С. Мейер, JA Бесвик: Смешение квантовый и классическая динамика с использованием бомовского траектория в архиве 2012-03-28 в Wayback Machine , Журнал химической физики, вып. 113, нет. 21, 1 декабря 2000 г., стр. 9369–9372.