Модель Бозе – Хаббарда

Модель Бозе – Хаббарда описывает физику взаимодействующих бесспиновых бозонов на решетке . Она тесно связана с моделью Хаббарда, которая зародилась в физике твердого тела как приблизительное описание сверхпроводящих систем и движения электронов между атомами кристаллического твердого тела. Модель была впервые представлена Гершем и Кноллманом ^[1] в 1963 году в контексте гранулированных сверхпроводников. (Термин « Бозе » в его названии означает, что частицы в системе являются бозонными..) Модель приобрела известность в 1980-х годах после того, как было обнаружено, что она отражает суть перехода сверхтекучий изолятор гораздо более математически поддающимся обработке, чем модели фермионный металл-изолятор. ^[2]^[3]^[4]

Модель Бозе-Хаббарда может быть использована для описания физических систем , таких как бозонные атомы в оптической решетке , ^[5] , а также некоторые магнитные изоляторы. ^[6]^[7] Кроме того, его также можно обобщить и применить к смесям Бозе – Ферми, и в этом случае соответствующий гамильтониан называется гамильтонианом Бозе – Ферми – Хаббарда.

Гамильтониан [ править ]

Физика этой модели задается гамильтонианом Бозе – Хаббарда:

$H=-t\sum _{\left\langle i,j\right\rangle }{\hat {b}}_{i}^{\dagger }{\hat {b}}_{j}+{\frac {U}{2}}\sum _{i}{\hat {n}}_{i}\left({\hat {n}}_{i}-1\right)-\mu \sum _{i}{\hat {n}}_{i}$ .

Здесь, означает суммирование по всем соседним узлам решетки, а , а и - операторы бозонного рождения и уничтожения , которые дают количество частиц на узле . Модель параметризуется амплитудой прыжков, описывающей подвижность бозонов в решетке, взаимодействием на узле, которое может быть притягивающим ( ) или отталкивающим ( ), и химическим потенциалом , который по существу устанавливает общее количество частиц. Если не указано иное, обычно фраза «модель Бозе – Хаббарда» относится к случаю, когда взаимодействие на месте является отталкивающим. $\left\langle i,j\right\rangle$ $i$ $j$ ${\hat {b}}_{i}^{\dagger }$ ${\hat {b}}_{i}^{}$ ${\hat {n}}_{i}={\hat {b}}_{i}^{\dagger }{\hat {b}}_{i}$ $i$ $t$ $U$ $U<0$ $U>0$ $\mu$

Этот гамильтониан имеет глобальную симметрию, что означает, что он инвариантен (т. Е. Его физические свойства не изменяются) при преобразовании . В сверхтекучей фазе эта симметрия самопроизвольно нарушается . $U(1)$ ${\hat {b}}_{i}\rightarrow e^{i\theta }{\hat {b}}_{i}$

Гильбертово пространство [ править ]

Размерность гильбертова пространства модели Бозе – Хаббарда определяется выражением , где - полное число частиц, а обозначает общее число узлов решетки. При фиксированном или размерность гильбертова пространства растет полиномиально, но при фиксированной плотности бозонов на узел она растет экспоненциально как . Аналогичные гамильтонианы могут быть сформулированы для описания бесспиновых фермионов (модель Ферми-Хаббарда) или смесей различных видов атомов (например, смесей Бозе-Ферми). В случае смеси гильбертово пространство - это просто тензорное произведение гильбертовых пространств отдельных видов. Обычно для моделирования взаимодействия между видами необходимо включать дополнительные термины. $D_{b}=(N_{b}+L-1)!/N_{b}!(L-1)!$ $N_{b}$ $L$ $N_{b}$ $L$ $D_{b}$ $n_{b}$ ${\textstyle D_{b}\sim \left[(1+n_{b})\left(1+{\frac {1}{n_{b}}}\right)^{n_{b}}\right]^{L}}$

Фазовая диаграмма [ править ]

При нулевой температуре модель Бозе – Хаббарда (в отсутствие беспорядка) находится либо в изолирующем состоянии Мотта при малых , либо в сверхтекучем состоянии в целом . ^[8] Изолирующие фазы Мотта характеризуются целочисленной плотностью бозонов, наличием энергетической щели для возбуждений между частицами и дырками и нулевой сжимаемостью . Сверхтекучая жидкость характеризуется дальнодействующей фазовой когерентностью, спонтанным нарушением непрерывной симметрии гамильтониана, ненулевой сжимаемостью и сверхтекучей восприимчивостью. При ненулевой температуре в определенных режимах параметров также будет регулярная жидкая фаза, которая не нарушает $t/U$ $t/U$ $U(1)$ $U(1)$ симметрия и не показывает фазовой когерентности. Обе эти фазы экспериментально наблюдались в ультрахолодных атомарных газах. ^[9]

При наличии беспорядка существует третья фаза « бозе-стекло ». ^[4] Стекло Бозе является фазой Гриффитса и может рассматриваться как изолятор Мотта, содержащий редкие «лужи» сверхтекучей жидкости. Эти сверхтекучие бассейны не соединены друг с другом, поэтому система остается изолирующей, но их присутствие существенно меняет термодинамику модели. Фаза бозе-стекла характеризуется конечной сжимаемостью, отсутствием щели и бесконечной сверхтекучей восприимчивостью . ^[4] Несмотря на отсутствие зазора, он является изолирующим, так как низкое туннелирование предотвращает генерацию возбуждений, которые, хотя и близки по энергии, пространственно разделены. Было показано, что стекло Бозе имеет ненулевойЭдвардса-Андерсона параметр порядка ^[10]^[11] , и было предложено , чтобы отобразить реплики нарушения симметрии , ^[12] , однако это не было доказано.

Теория среднего поля [ править ]

Фазы чистой модели Бозе – Хаббарда можно описать с помощью гамильтониана среднего поля : ^[13]

{\begin{aligned}H_{\textrm {MF}}&=\sum _{i}\left[-\mu {\hat {n}}_{i}+{\frac {U}{2}}{\hat {n}}_{i}({\hat {n}}_{i}-1)-zt(\psi ^{*}{\hat {b}}_{i}+\psi {\hat {b}}_{i}^{\dagger })+zt\psi ^{*}\psi \right]\end{aligned}}

где - координационное число решетки . Это может быть получено из полного гамильтониана Бозе-Хаббарда, установив где , пренебрегая квадратичными по (которые мы считаем бесконечно малыми) и перемаркировкой . Поскольку это разделение нарушает симметрию исходного гамильтониана для всех ненулевых значений , этот параметр действует как сверхтекучий параметр порядка . Для простоты предполагается, что это разделение будет одинаковым на всех участках - это исключает экзотические фазы, такие как сверхтвердые или другие неоднородные фазы. (Конечно, возможны другие разъединения, если нужно учесть такие фазы.)

z

{\hat {b}}_{i}\rightarrow \psi +\delta {\hat {b}}

\psi =\langle {\hat {b}}_{i}\rangle

\delta {\hat {b}}_{i}

\delta {\hat {b}}_{i}\rightarrow {\hat {b}}_{i}

U(1)

\psi

\psi

Мы можем получить фазовую диаграмму, вычислив энергию этого гамильтониана среднего поля с помощью теории возмущений второго порядка и найдя условие для которого . Для этого сначала запишем гамильтониан как локальный участок плюс возмущение: $\psi \neq 0$

H_{\textrm {MF}}=\sum _{i}\left[h_{i}^{(0)}-zt(\psi ^{*}{\hat {b}}_{i}+\psi {\hat {b}}_{i}^{\dagger })\right]\quad {\textrm {with}}\quad h_{i}^{(0)}=-\mu {\hat {n}}_{i}+{\frac {U}{2}}{\hat {n}}_{i}({\hat {n}}_{i}-1)+zt\psi ^{*}\psi

где билинейные члены и сопряженные к ним рассматриваются как возмущение, поскольку мы предполагаем, что параметр порядка мал вблизи фазового перехода. Локальный член диагонален в базисе Фока , что дает вклад энергии нулевого порядка:

\psi ^{*}{\hat {b}}_{i}

\psi

E_{m}^{(0)}=-\mu m+{\frac {U}{2}}m(m-1)+zt|\psi |^{2}

где - целое число, обозначающее заполнение состояния Фока. Возмущение можно рассматривать с помощью теории возмущений второго порядка, которая приводит к:

m

E_{n}^{(2)}=zt|\psi |^{2}\sum _{n\neq m}{\frac {|\langle m|({\hat {b}}_{i}^{\dagger }+{\hat {b}}_{i})|n\rangle |^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}}}=-(zt)^{2}|\psi |^{2}\left({\frac {m}{U(m-1)-\mu }}+{\frac {m+1}{\mu -Um}}\right).

Затем мы можем выразить энергию в виде разложения в ряд по четным степеням параметра порядка (также известный как формализм Ландау ):

E=const.+R|\psi |^{2}+W|\psi |^{4}+...

После этого условие для среднего поля фазового перехода второго рода между изолятором Мотта и сверхтекучей фазой будет иметь вид:

r={\frac {R}{zt}}=1+zt\left({\frac {m}{U(m-1)-\mu }}+{\frac {m+1}{\mu -Um}}\right)=0

где целое число описывает заполнение изолирующего лепестка Мотта. Построение линии для различных целочисленных значений сгенерирует границу различных долей Мотта, как показано на фазовой диаграмме. ^[4]

m

m^{th}

r=0

m

Реализация в оптических решетках [ править ]

Ультрахолодные атомы в оптических решетках считаются стандартной реализацией модели Бозе – Хаббарда. Возможность настройки параметров модели с использованием простых экспериментальных методов и отсутствие динамики решетки, которая присутствует в твердотельных электронных системах, означают, что ультрахолодные атомы предлагают очень чистую и управляемую реализацию модели Бозе – Хаббарда. ^[14]^[5] Самым большим недостатком технологии оптических решеток является время жизни ловушки, когда атомы обычно задерживаются только на несколько десятков секунд.

Чтобы понять, почему ультрахолодные атомы предлагают такую удобную реализацию физики Бозе-Хаббарда, мы можем вывести гамильтониан Бозе-Хаббарда, исходя из вторично квантованного гамильтониана, который описывает газ ультрахолодных атомов в оптическом потенциале решетки. Этот гамильтониан задается выражением:

$H=\int {\rm {d}}^{3}r\!\left[{\hat {\psi }}^{\dagger }({\vec {r}})\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{\rm {latt.}}({\vec {r}})\right){\hat {\psi }}({\vec {r}})+{\frac {g}{2}}{\hat {\psi }}^{\dagger }({\vec {r}}){\hat {\psi }}^{\dagger }({\vec {r}}){\hat {\psi }}({\vec {r}}){\hat {\psi }}({\vec {r}})-\mu {\hat {\psi }}^{\dagger }({\vec {r}}){\hat {\psi }}({\vec {r}})\right]$ ,

где - потенциал оптической решетки, - амплитуда (контактного) взаимодействия, - химический потенциал. В приближении сильной связи приводит к замещению , которое приводит к Бозе-Хаббарда Гамильтон , если один ограничивает физику до самого низкого диапазона ( ) и взаимодействия являются локальными на уровне дискретной моды. Математически это можно сформулировать как требование, за исключением случая . Здесь - функция Ванье для частицы в оптическом потенциале решетки, локализованном вокруг узла решетки, и для й зоны Блоха . ^[15] $V_{latt}$ $g$ $\mu$ ${\textstyle {\hat {\psi }}({\vec {r}})=\sum \limits _{i}w_{i}^{\alpha }({\vec {r}})b_{i}^{\alpha }}$ $\alpha =0$ ${\textstyle \int w_{i}^{\alpha }({\vec {r}})w_{j}^{\beta }({\vec {r}})w_{k}^{\gamma }(r)w_{l}^{\delta }({\vec {r}})\,{\rm {d}}^{3}r=0}$ $i=j=k=l\wedge \alpha =\beta =\gamma =\delta =0$ $w_{i}^{\alpha }({\vec {r}})$ $i$ $\alpha$

Тонкости и приближения [ править ]

Приближение сильной связи значительно упрощает вторичный квантованный гамильтониан, хотя одновременно вводит несколько ограничений:

Для одноузельных состояний с несколькими частицами в одном состоянии взаимодействия могут взаимодействовать с более высокими полосами Блоха, что противоречит базовым предположениям. Тем не менее, однополосная модель способна решить физику низких энергий такой настройки, но параметры U и J фактически становятся зависимыми от плотности. Вместо одного параметра U энергию взаимодействия n частиц можно описать близким, но не равным U. ^[15] $U_{n}$
При рассмотрении (быстрой) динамики решетки к гамильтониану Бозе-Хаббарда следует добавить дополнительные члены, чтобы зависящее от времени уравнение Шредингера соблюдалось в (зависящем от времени) базисе функций Ванье. Они происходят из временной зависимости функций Ванье. ^[16]^[17] В противном случае динамика решетки может быть включена, сделав ключевые параметры модели зависимыми от времени, изменяясь с мгновенным значением оптического потенциала.

Результаты экспериментов [ править ]

Квантовые фазовые переходы в модели Бозе – Хаббарда экспериментально наблюдались Грейнером и др. ^[9], а параметры взаимодействия, зависящие от плотности, наблюдались группой И. Блоха . ^[18] Получение изображений модели Бозе – Хаббарда с одноатомным разрешением стало возможным с 2009 года с использованием микроскопов квантового газа. ^[19]^[20]^[21] $U_{n}$

Дальнейшие применения модели [ править ]

Модель Бозе – Хаббарда также представляет интерес для тех, кто работает в области квантовых вычислений и квантовой информации. С помощью этой модели можно изучить запутывание ультрахолодных атомов. ^[22]

Численное моделирование [ править ]

При вычислении состояний с низкой энергией член, пропорциональный, означает, что большое заполнение одного узла маловероятно, что позволяет усечь локальное гильбертово пространство до состояний, содержащих не больше частиц. Тогда размерность локального гильбертова пространства равна . Размерность всего гильбертова пространства растет экспоненциально с увеличением числа узлов в решетке, поэтому точное компьютерное моделирование всего гильбертова пространства ограничивается исследованием систем из 15-20 частиц в 15-20 узлы решетки ^[^ссылка^] . Экспериментальные системы содержат несколько миллионов узлов решетки со средним заполнением выше единицы ^[^{необходима цитата}^] . $n^{2}U$ $d<\infty$ $d+1.$

Одномерные решетки могут быть изучены с использованием ренормализационной группы матрицы плотности (DMRG) и связанных методов, таких как прореживание блоков с временной эволюцией (TEBD). Это включает в себя вычисление основного состояния гамильтониана для систем из тысяч частиц на тысячах узлов решетки и моделирование его динамики, управляемой зависимым от времени уравнением Шредингера . В последнее время двумерные решетки также изучались с использованием спроектированных запутанных парных состояний, которые являются обобщением состояний матричных продуктов в более высоких измерениях, как для основного состояния ^[23], так и для конечной температуры. ^[24]

Более высокие размеры значительно труднее из-за быстрого роста запутанности . ^[25]

Все измерения можно рассматривать с помощью алгоритмов квантового Монте-Карло , которые позволяют изучать свойства тепловых состояний гамильтониана, а также, в частности, основного состояния.

Обобщения [ править ]

Гамильтонианы типа Бозе-Хаббарда могут быть получены для различных физических систем, содержащих ультрахолодный атомный газ в периодическом потенциале. Они включают, но не ограничиваются:

системы с более дальнодействующими взаимодействиями плотность-плотность формы , которые могут стабилизировать сверхтвердую фазу для определенных значений параметров $Vn_{i}n_{j}$
димеризованные магниты, где электроны со спином 1/2 связаны вместе в пары, называемые димерами, которые имеют статистику бозонного возбуждения и описываются жесткой моделью Бозе – Хаббарда.
дальнодействующее дипольное взаимодействие ^[26]
системы с туннельными членами, индуцированными взаимодействием ^[27] $a_{i}^{\dagger }(n_{i}+n_{j})a_{j}$
внутренняя спиновая структура атомов, например, из-за захвата всего вырожденного многообразия сверхтонких спиновых состояний (при F = 1 i приводит к модели Бозе – Хаббарда со спином 1) ^[28]
ситуация, когда в газе ощущается наличие дополнительного потенциала, например для неупорядоченных систем. ^[29] Беспорядок может быть реализован с помощью спекл-структуры или с помощью второй несоразмерной, более слабой оптической решетки. В последнем случае включение нарушения равносильно включению дополнительного срока в форме: $H_{I}=V_{d}\sum \limits _{i}\cos(ki+\varphi ){\hat {n}}_{i}$

См. Также [ править ]

Модель Хаббарда
Модель Джейнса-Каммингса-Хаббарда

Ссылки [ править ]

^ Gersch, H .; Кноллман, Г. (1963). «Квантовая модель ячеек для бозонов». Физический обзор . 129 (2): 959. Bibcode : 1963PhRv..129..959G . DOI : 10.1103 / PhysRev.129.959 .
^ Ma, M .; Гальперин, Б.И.; Ли, Пенсильвания (1986-09-01). «Сильно неупорядоченные сверхтекучие жидкости: квантовые флуктуации и критическое поведение». Physical Review B . 34 (5): 3136–3143. Bibcode : 1986PhRvB..34.3136M . DOI : 10.1103 / PhysRevB.34.3136 . PMID 9940047 .
^ Giamarchi, T .; Шульц, HJ (1988-01-01). «Локализация Андерсона и взаимодействия в одномерных металлах». Physical Review B . 37 (1): 325–340. Bibcode : 1988PhRvB..37..325G . DOI : 10.1103 / PhysRevB.37.325 .
^ a b c d Фишер, Мэтью PA; Гринштейн, Г .; Фишер, Дэниел С. (1989). «Локализация бозонов и переход сверхтекучий изолятор» (PDF) . Physical Review B . 40 (1): 546–70. Bibcode : 1989PhRvB..40..546F . DOI : 10.1103 / PhysRevB.40.546 . PMID 9990946 . ,
^ a b Jaksch, D .; Золлер, П. (2005). «Набор инструментов Хаббарда холодного атома». Летопись физики . 315 (1): 52. arXiv : cond-mat / 0410614 . Bibcode : 2005AnPhy.315 ... 52J . CiteSeerX 10.1.1.305.9031 . DOI : 10.1016 / j.aop.2004.09.010 .
^ Джамарчи, Тьерри; Рюэгг, Кристиан; Чернышёв Олег (2008). «Конденсация Бозе – Эйнштейна в магнитных изоляторах». Физика природы . 4 (3): 198–204. arXiv : 0712.2250 . Bibcode : 2008NatPh ... 4..198G . DOI : 10.1038 / nphys893 .
^ Цапф, Вивьен; Хайме, Марсело; Батиста, CD (2014-05-15). «Конденсация Бозе-Эйнштейна в квантовых магнитах» . Обзоры современной физики . 86 (2): 563–614. Bibcode : 2014RvMP ... 86..563Z . DOI : 10.1103 / RevModPhys.86.563 .
^ Кюнер, Т .; Моньен, Х. (1998). «Фазы одномерной модели Бозе-Хаббарда». Physical Review B . 58 (22): R14741. arXiv : cond-mat / 9712307 . Bibcode : 1998PhRvB..5814741K . DOI : 10.1103 / PhysRevB.58.R14741 .
^ a b Грейнер, Маркус; Мандель, Олаф; Эсслингер, Тилман; Hänsch, Theodor W .; Блох, Иммануил (2002). «Квантовый фазовый переход от сверхтекучего диэлектрика к моттовскому диэлектрику в газе ультрахолодных атомов». Природа . 415 (6867): 39–44. Bibcode : 2002Natur.415 ... 39G . DOI : 10.1038 / 415039a . PMID 11780110 .
^ Моррисон, S .; Кантиан, А .; Дейли, AJ; Katzgraber, HG; Lewenstein, M .; Бюхлер, HP; Золлер, П. (2008). «Физические копии и стекло Бозе в холодных атомарных газах» . Новый журнал физики . 10 (7): 073032. arXiv : 0805.0488 . Bibcode : 2008NJPh ... 10g3032M . DOI : 10.1088 / 1367-2630 / 10/7/073032 . ISSN 1367-2630 .
^ Томсон, SJ; Уокер, LS; Harte, TL; Брюс, Дж. Д. (03.11.2016). "Измерение параметра порядка Эдвардса-Андерсона бозе-стекла: подход квантового газового микроскопа". Physical Review . 94 (5): 051601. arXiv : 1607.05254 . Bibcode : 2016PhRvA..94e1601T . DOI : 10.1103 / PhysRevA.94.051601 .
^ Томсон, SJ; Крюгер, Ф. (2014). «Реплика, нарушающая симметрию в стекле Бозе». EPL . 108 (3): 30002. arXiv : 1312.0515 . Bibcode : 2014EL .... 10830002T . DOI : 10.1209 / 0295-5075 / 108/30002 .
^ Sachdev, Subir (2011). Квантовые фазовые переходы . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521514682. OCLC 693207153 .
^ Jaksch, D .; Bruder, C .; Cirac, J .; Gardiner, C .; Золлер, П. (1998). «Холодные бозонные атомы в оптических решетках». Письма с физическим обзором . 81 (15): 3108. arXiv : cond-mat / 9805329 . Bibcode : 1998PhRvL..81.3108J . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.81.3108 .
^ a b Lühmann, DSR; Jürgensen, O .; Сенгсток, К. (2012). «Многоорбитальное и индуцированное плотностью туннелирование бозонов в оптических решетках». Новый журнал физики . 14 (3): 033021. arXiv : 1108.3013 . Bibcode : 2012NJPh ... 14c3021L . DOI : 10.1088 / 1367-2630 / 14/3/033021 .
^ Сакманн, К .; Стрельцов А.И.; Алон, О.Е .; Седербаум, LS (2011). «Оптимальные нестационарные решеточные модели для неравновесной динамики». Новый журнал физики . 13 (4): 043003. arXiv : 1006.3530 . Bibcode : 2011NJPh ... 13d3003S . DOI : 10.1088 / 1367-2630 / 13/4/043003 .
^ Cki, M .; Закжевский, Дж. (2013). «Быстрая динамика атомов в оптических решетках». Письма с физическим обзором . 110 (6): 065301. arXiv : 1210.7957 . Bibcode : 2013PhRvL.110f5301L . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.110.065301 . PMID 23432268 .
^ Will, S .; Бест, Т .; Schneider, U .; Hackermüller, L .; Люманн, DSR; Блох, И. (2010). «Разрешенное во времени наблюдение когерентных взаимодействий нескольких тел в квантовых фазах возрождения». Природа . 465 (7295): 197–201. Bibcode : 2010Natur.465..197W . DOI : 10,1038 / природа09036 . PMID 20463733 .
^ Бакр, Васим S .; Гиллен, Джонатон I .; Пэн, Эми; Фёллинг, Саймон; Грейнер, Маркус (2009). «Квантовый газовый микроскоп для обнаружения одиночных атомов в оптической решетке режима Хаббарда». Природа . 462 (7269): 74–77. arXiv : 0908.0174 . Bibcode : 2009Natur.462 ... 74В . DOI : 10,1038 / природа08482 . PMID 19890326 .
^ Бакр, WS; Peng, A .; Tai, ME; Ma, R .; Саймон, Дж .; Gillen, JI; Fölling, S .; Pollet, L .; Грейнер, М. (30.07.2010). «Исследование перехода сверхтекучего диэлектрика в изолятор Мотта на одноатомном уровне». Наука . 329 (5991): 547–550. arXiv : 1006.0754 . Bibcode : 2010Sci ... 329..547B . DOI : 10.1126 / science.1192368 . ISSN 0036-8075 . PMID 20558666 .
^ Weitenberg, Christof; Эндрес, Мануэль; Шерсон, Джейкоб Ф .; Шено, Марк; Шаус, Питер; Фукухара, Такеши; Блох, Иммануил; Кухр, Стефан (2011). «Односпиновая адресация в атомном изоляторе Мотта». Природа . 471 (7338): 319–324. arXiv : 1101.2076 . Bibcode : 2011Natur.471..319W . DOI : 10,1038 / природа09827 . PMID 21412333 .
^ Ромеро-Изарт, О; Eckert, K; Родо, К; Санпера, А (2007). «Перенос и генерация запутанности в модели Бозе – Хаббарда». Журнал физики A: математический и теоретический . 40 (28): 8019–31. arXiv : квант-ph / 0703177 . Bibcode : 2007JPhA ... 40.8019R . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 40/28 / S11 .
^ Иордания, J; Orus, R; Видаль, Г. (2009). «Численное исследование жесткой модели Бозе-Хаббарда на бесконечной квадратной решетке». Phys. Rev. B . 79 (17): 174515. arXiv : 0901.0420 . Bibcode : 2009PhRvB..79q4515J . DOI : 10.1103 / PhysRevB.79.174515 .
^ Kshetrimayum, A .; Рицци, М .; Eisert, J .; Орус, Р. (2019). "Алгоритм отжига тензорной сети для двумерных тепловых состояний". Phys. Rev. Lett . 122 (7): 070502. arXiv : 1809.08258 . Bibcode : 2019PhRvL.122g0502K . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.122.070502 .
^ Eisert, J .; Cramer, M .; Пленио, МБ (2010). «Коллоквиум: законы площади для энтропии запутанности». Обзоры современной физики . 82 (1): 277. arXiv : 0808.3773 . Bibcode : 2010RvMP ... 82..277E . DOI : 10.1103 / RevModPhys.82.277 .
^ Góral, K .; Santos, L .; Левенштейн, М. (2002). «Квантовые фазы диполярных бозонов в оптических решетках». Письма с физическим обзором . 88 (17): 170406. arXiv : cond-mat / 0112363 . Bibcode : 2002PhRvL..88q0406G . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.88.170406 . PMID 12005738 .
^ Sowiński, T .; Dutta, O .; Hauke, P .; Tagliacozzo, L .; Левенштейн, М. (2012). «Диполярные молекулы в оптических решетках». Письма с физическим обзором . 108 (11): 115301. arXiv : 1109.4782 . Bibcode : 2012PhRvL.108k5301S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.108.115301 . PMID 22540482 .
^ Tsuchiya, S .; Kurihara, S .; Кимура, Т. (2004). «Сверхтекучий изоляторный переход бозонов со спином 1 в оптической решетке». Physical Review . 70 (4): 043628. arXiv : cond-mat / 0209676 . Bibcode : 2004PhRvA..70d3628T . DOI : 10.1103 / PhysRevA.70.043628 .
^ Gurarie, V .; Pollet, L .; Прокофьев Н.В.; Свистунов Б.В.; Тройер, М. (2009). «Фазовая диаграмма неупорядоченной модели Бозе-Хаббарда» . Physical Review B . 80 (21): 214519. arXiv : 0909.4593 . Bibcode : 2009PhRvB..80u4519G . DOI : 10.1103 / PhysRevB.80.214519 .

[1] Gersch, H .; Кноллман, Г. (1963). «Квантовая модель ячеек для бозонов». Физический обзор . 129 (2): 959. Bibcode : 1963PhRv..129..959G . DOI : 10.1103 / PhysRev.129.959 .

[2] Ma, M .; Гальперин, Б.И.; Ли, Пенсильвания (1986-09-01). «Сильно неупорядоченные сверхтекучие жидкости: квантовые флуктуации и критическое поведение». Physical Review B . 34 (5): 3136–3143. Bibcode : 1986PhRvB..34.3136M . DOI : 10.1103 / PhysRevB.34.3136 . PMID 9940047 .

[3] Giamarchi, T .; Шульц, HJ (1988-01-01). «Локализация Андерсона и взаимодействия в одномерных металлах». Physical Review B . 37 (1): 325–340. Bibcode : 1988PhRvB..37..325G . DOI : 10.1103 / PhysRevB.37.325 .

[:0-4] Фишер, Мэтью PA; Гринштейн, Г .; Фишер, Дэниел С. (1989). «Локализация бозонов и переход сверхтекучий изолятор» (PDF) . Physical Review B . 40 (1): 546–70. Bibcode : 1989PhRvB..40..546F . DOI : 10.1103 / PhysRevB.40.546 . PMID 9990946 . ,

[:1-5] Jaksch, D .; Золлер, П. (2005). «Набор инструментов Хаббарда холодного атома». Летопись физики . 315 (1): 52. arXiv : cond-mat / 0410614 . Bibcode : 2005AnPhy.315 ... 52J . CiteSeerX 10.1.1.305.9031 . DOI : 10.1016 / j.aop.2004.09.010 .

[6] Джамарчи, Тьерри; Рюэгг, Кристиан; Чернышёв Олег (2008). «Конденсация Бозе – Эйнштейна в магнитных изоляторах». Физика природы . 4 (3): 198–204. arXiv : 0712.2250 . Bibcode : 2008NatPh ... 4..198G . DOI : 10.1038 / nphys893 .

[7] Цапф, Вивьен; Хайме, Марсело; Батиста, CD (2014-05-15). «Конденсация Бозе-Эйнштейна в квантовых магнитах» . Обзоры современной физики . 86 (2): 563–614. Bibcode : 2014RvMP ... 86..563Z . DOI : 10.1103 / RevModPhys.86.563 .

[8] Кюнер, Т .; Моньен, Х. (1998). «Фазы одномерной модели Бозе-Хаббарда». Physical Review B . 58 (22): R14741. arXiv : cond-mat / 9712307 . Bibcode : 1998PhRvB..5814741K . DOI : 10.1103 / PhysRevB.58.R14741 .

[:2-9] Грейнер, Маркус; Мандель, Олаф; Эсслингер, Тилман; Hänsch, Theodor W .; Блох, Иммануил (2002). «Квантовый фазовый переход от сверхтекучего диэлектрика к моттовскому диэлектрику в газе ультрахолодных атомов». Природа . 415 (6867): 39–44. Bibcode : 2002Natur.415 ... 39G . DOI : 10.1038 / 415039a . PMID 11780110 .

[10] Моррисон, S .; Кантиан, А .; Дейли, AJ; Katzgraber, HG; Lewenstein, M .; Бюхлер, HP; Золлер, П. (2008). «Физические копии и стекло Бозе в холодных атомарных газах» . Новый журнал физики . 10 (7): 073032. arXiv : 0805.0488 . Bibcode : 2008NJPh ... 10g3032M . DOI : 10.1088 / 1367-2630 / 10/7/073032 . ISSN 1367-2630 .

[11] Томсон, SJ; Уокер, LS; Harte, TL; Брюс, Дж. Д. (03.11.2016). "Измерение параметра порядка Эдвардса-Андерсона бозе-стекла: подход квантового газового микроскопа". Physical Review . 94 (5): 051601. arXiv : 1607.05254 . Bibcode : 2016PhRvA..94e1601T . DOI : 10.1103 / PhysRevA.94.051601 .

[12] Томсон, SJ; Крюгер, Ф. (2014). «Реплика, нарушающая симметрию в стекле Бозе». EPL . 108 (3): 30002. arXiv : 1312.0515 . Bibcode : 2014EL .... 10830002T . DOI : 10.1209 / 0295-5075 / 108/30002 .

[13] Sachdev, Subir (2011). Квантовые фазовые переходы . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521514682. OCLC 693207153 .

[14] Jaksch, D .; Bruder, C .; Cirac, J .; Gardiner, C .; Золлер, П. (1998). «Холодные бозонные атомы в оптических решетках». Письма с физическим обзором . 81 (15): 3108. arXiv : cond-mat / 9805329 . Bibcode : 1998PhRvL..81.3108J . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.81.3108 .

[Luhmann-15] Lühmann, DSR; Jürgensen, O .; Сенгсток, К. (2012). «Многоорбитальное и индуцированное плотностью туннелирование бозонов в оптических решетках». Новый журнал физики . 14 (3): 033021. arXiv : 1108.3013 . Bibcode : 2012NJPh ... 14c3021L . DOI : 10.1088 / 1367-2630 / 14/3/033021 .

[Sakmann2011-16] Сакманн, К .; Стрельцов А.И.; Алон, О.Е .; Седербаум, LS (2011). «Оптимальные нестационарные решеточные модели для неравновесной динамики». Новый журнал физики . 13 (4): 043003. arXiv : 1006.3530 . Bibcode : 2011NJPh ... 13d3003S . DOI : 10.1088 / 1367-2630 / 13/4/043003 .

[17] Cki, M .; Закжевский, Дж. (2013). «Быстрая динамика атомов в оптических решетках». Письма с физическим обзором . 110 (6): 065301. arXiv : 1210.7957 . Bibcode : 2013PhRvL.110f5301L . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.110.065301 . PMID 23432268 .

[18] Will, S .; Бест, Т .; Schneider, U .; Hackermüller, L .; Люманн, DSR; Блох, И. (2010). «Разрешенное во времени наблюдение когерентных взаимодействий нескольких тел в квантовых фазах возрождения». Природа . 465 (7295): 197–201. Bibcode : 2010Natur.465..197W . DOI : 10,1038 / природа09036 . PMID 20463733 .

[19] Бакр, Васим S .; Гиллен, Джонатон I .; Пэн, Эми; Фёллинг, Саймон; Грейнер, Маркус (2009). «Квантовый газовый микроскоп для обнаружения одиночных атомов в оптической решетке режима Хаббарда». Природа . 462 (7269): 74–77. arXiv : 0908.0174 . Bibcode : 2009Natur.462 ... 74В . DOI : 10,1038 / природа08482 . PMID 19890326 .

[20] Бакр, WS; Peng, A .; Tai, ME; Ma, R .; Саймон, Дж .; Gillen, JI; Fölling, S .; Pollet, L .; Грейнер, М. (30.07.2010). «Исследование перехода сверхтекучего диэлектрика в изолятор Мотта на одноатомном уровне». Наука . 329 (5991): 547–550. arXiv : 1006.0754 . Bibcode : 2010Sci ... 329..547B . DOI : 10.1126 / science.1192368 . ISSN 0036-8075 . PMID 20558666 .

[21] Weitenberg, Christof; Эндрес, Мануэль; Шерсон, Джейкоб Ф .; Шено, Марк; Шаус, Питер; Фукухара, Такеши; Блох, Иммануил; Кухр, Стефан (2011). «Односпиновая адресация в атомном изоляторе Мотта». Природа . 471 (7338): 319–324. arXiv : 1101.2076 . Bibcode : 2011Natur.471..319W . DOI : 10,1038 / природа09827 . PMID 21412333 .

[22] Ромеро-Изарт, О; Eckert, K; Родо, К; Санпера, А (2007). «Перенос и генерация запутанности в модели Бозе – Хаббарда». Журнал физики A: математический и теоретический . 40 (28): 8019–31. arXiv : квант-ph / 0703177 . Bibcode : 2007JPhA ... 40.8019R . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 40/28 / S11 .

[23] Иордания, J; Orus, R; Видаль, Г. (2009). «Численное исследование жесткой модели Бозе-Хаббарда на бесконечной квадратной решетке». Phys. Rev. B . 79 (17): 174515. arXiv : 0901.0420 . Bibcode : 2009PhRvB..79q4515J . DOI : 10.1103 / PhysRevB.79.174515 .

[24] Kshetrimayum, A .; Рицци, М .; Eisert, J .; Орус, Р. (2019). "Алгоритм отжига тензорной сети для двумерных тепловых состояний". Phys. Rev. Lett . 122 (7): 070502. arXiv : 1809.08258 . Bibcode : 2019PhRvL.122g0502K . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.122.070502 .

[25] Eisert, J .; Cramer, M .; Пленио, МБ (2010). «Коллоквиум: законы площади для энтропии запутанности». Обзоры современной физики . 82 (1): 277. arXiv : 0808.3773 . Bibcode : 2010RvMP ... 82..277E . DOI : 10.1103 / RevModPhys.82.277 .

[26] Góral, K .; Santos, L .; Левенштейн, М. (2002). «Квантовые фазы диполярных бозонов в оптических решетках». Письма с физическим обзором . 88 (17): 170406. arXiv : cond-mat / 0112363 . Bibcode : 2002PhRvL..88q0406G . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.88.170406 . PMID 12005738 .

[27] Sowiński, T .; Dutta, O .; Hauke, P .; Tagliacozzo, L .; Левенштейн, М. (2012). «Диполярные молекулы в оптических решетках». Письма с физическим обзором . 108 (11): 115301. arXiv : 1109.4782 . Bibcode : 2012PhRvL.108k5301S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.108.115301 . PMID 22540482 .

[28] Tsuchiya, S .; Kurihara, S .; Кимура, Т. (2004). «Сверхтекучий изоляторный переход бозонов со спином 1 в оптической решетке». Physical Review . 70 (4): 043628. arXiv : cond-mat / 0209676 . Bibcode : 2004PhRvA..70d3628T . DOI : 10.1103 / PhysRevA.70.043628 .

[29] Gurarie, V .; Pollet, L .; Прокофьев Н.В.; Свистунов Б.В.; Тройер, М. (2009). «Фазовая диаграмма неупорядоченной модели Бозе-Хаббарда» . Physical Review B . 80 (21): 214519. arXiv : 0909.4593 . Bibcode : 2009PhRvB..80u4519G . DOI : 10.1103 / PhysRevB.80.214519 .

[1]