В гидродинамике , то приближение Буссинеска для водных волн является приближение справедливо для слабо нелинейных и довольно длинных волн . Приближение имя Джозеф Буссинеска , который первый полученный им в ответ на замечание со стороны Джона Скоттом Рассел на волне перевода (также известную как уединенная волна или солитон ). В статье Буссинеска 1872 года вводятся уравнения, теперь известные как уравнения Буссинеска . [1]
Приближение Буссинеска для волн на воде учитывает вертикальную структуру горизонтальной и вертикальной скорости потока . Это приводит к нелинейным уравнениям в частных производных , называемым уравнениями типа Буссинеска , которые включают частотную дисперсию (в отличие от уравнений мелкой воды , которые не являются частотно-дисперсионными). В прибрежной инженерии , уравнение Буссинески типа часто используются в компьютерных моделях для моделирования из воды волн в мелководных морях и гаванях .
В то время как приближение Буссинеска применимо к довольно длинным волнам, то есть когда длина волны велика по сравнению с глубиной воды, разложение Стокса больше подходит для коротких волн (когда длина волны того же порядка, что и глубина воды, или меньше ).
Приближение Буссинеска [ править ]
Существенная идея в приближении Буссинеска - исключение вертикальной координаты из уравнений потока при сохранении некоторых влияний вертикальной структуры потока под волнами на воде . Это полезно, потому что волны распространяются в горизонтальной плоскости и имеют другое (не волнообразное) поведение в вертикальном направлении. Часто, как и в случае с Буссинеском, интерес в первую очередь вызывает распространение волн.
Это исключение вертикальной координаты было впервые сделано Джозефом Буссинеском в 1871 году, чтобы построить приближенное решение для уединенной волны (или волны перемещения ). Впоследствии, в 1872 году, Буссинеск вывел уравнения, известные сегодня как уравнения Буссинеска.
Шаги в приближении Буссинеска:
- разложение в ряд Тейлора выполнен из горизонтальной и вертикальной скорости потока (или потенциала скорости ) вокруг определенной высоты ,
- это разложение Тейлора усекается до конечного числа членов,
- сохранение массы (см. уравнение неразрывности ) для несжимаемого потока и условие нулевой завихренности для безвихревого потока используются для замены вертикальных частных производных величин в разложении Тейлора горизонтальными частными производными .
После этого приближение Буссинеска применяется к остальным уравнениям потока, чтобы исключить зависимость от вертикальной координаты. В результате получаемые уравнения в частных производных выражаются функциями горизонтальных координат (и времени ).
В качестве примера рассмотрим потенциальный поток через горизонтальный слой в плоскости ( x, z ), где x - горизонтальная координата, а z - вертикальная координата . Дно расположено в точке z = - h , где h - средняя глубина воды. Расширение Тейлора сделано для потенциала скорости φ (x, z, t) вокруг уровня слоя z = - h : [2]
где φ b (x, t) - потенциал скорости на дне. Использование уравнения Лапласа для φ , справедливого для несжимаемого потока , дает:
так как вертикальная скорость ∂ φ / ∂ z равна нулю в - непроницаемом - горизонтальном слое z = - h . Впоследствии этот ряд может быть сокращен до конечного числа членов.
Исходные уравнения Буссинеска [ править ]
Вывод [ править ]
Для волн на воде в несжимаемой жидкости и безвихревого течения в плоскости ( x , z ) граничные условия на возвышении свободной поверхности z = η ( x , t ) следующие: [3]
где:
- u - горизонтальная составляющая скорости потока : u = ∂ φ / ∂ x ,
- w - вертикальная составляющая скорости потока : w = ∂ φ / ∂ z ,
- г является ускорение с помощью силы тяжести .
Теперь приближение Буссинеска для потенциала скорости φ , как указано выше, применяется к этим граничным условиям . Кроме того, в полученных уравнениях сохраняются только линейные и квадратичные члены по η и u b (при u b = ∂ φ b / ∂ x горизонтальная скорость на дне z = - h ). Предполагается , что члены кубического и более высокого порядка пренебрежимо малы. Тогда получаются следующие уравнения в частных производных :
- набор A - Буссинеска (1872 г.), уравнение (25)
Эта система уравнений была получена для плоского горизонтального пласта, т.е. средняя глубина h является константой, не зависящей от положения x . Когда правые части приведенных выше уравнений равны нулю, они сводятся к уравнениям мелкой воды .
При некоторых дополнительных приближениях, но с тем же порядком точности, приведенное выше множество A может быть сведено к одному уравнению в частных производных для возвышения свободной поверхности η :
- набор B - Буссинеск (1872 г.), уравнение (26)
В терминах в скобках важность нелинейности уравнения может быть выражена через число Урселла . В безразмерных величинах , используя глубину воды h и ускорение свободного падения g для обезразмеривания, это уравнение после нормализации имеет следующий вид : [4]
с участием:
: безразмерная отметка поверхности, | |
: безразмерное время, и | |
: безразмерное горизонтальное положение. |
Линейная частотная дисперсия [ править ]
Водные волны разной длины распространяются с разной фазовой скоростью - явление, известное как частотная дисперсия . В случае бесконечно малой амплитуды волны терминология - линейная частотная дисперсия . Частотно-дисперсионные характеристики уравнения типа Буссинеска можно использовать для определения диапазона длин волн, для которого оно является допустимым приближением .
Характеристики линейной частотной дисперсии для приведенной выше системы A уравнений следующие: [5]
с участием:
- с с фазовой скоростью ,
- K на волновое числе ( к = 2π / λ , с Й длиной волны ).
Относительная погрешность в скорости фазы с для множества А , по сравнению с линейной теорией для водных волн , составляет менее 4% при относительном волновом числе кча <½ л . Таким образом, в инженерных приложениях набор A действителен для длин волн λ, превышающих глубину воды h более чем в 4 раза .
Характеристики линейной частотной дисперсии уравнения B следующие: [5]
Относительная ошибка фазовой скорости для уравнения B составляет менее 4% для kh <2π / 7 , что эквивалентно длинам волн λ, превышающих глубину воды h более чем в 7 раз , называемых довольно длинными волнами . [6]
Для коротких волн с k 2 h 2 > 3 уравнение B становится физически бессмысленным, потому что больше не существует действительных решений для фазовой скорости . Первоначальный набор двух дифференциальных уравнений в частных производных (Буссинеск, 1872, уравнение 25, см. Набор А выше) не имеет этого недостатка.
Уравнения мелкой воды имеют относительную ошибку в фазовой скорости менее 4% для длин волн λ, превышающих 13-кратную глубину воды h .
Уравнения и расширения типа Буссинеска [ править ]
Существует огромное количество математических моделей, которые называются уравнениями Буссинеска. Это может легко привести к путанице, поскольку часто на них вольно ссылаются как на уравнения Буссинеска, хотя на самом деле рассматривается их вариант. Поэтому правильнее называть их уравнениями типа Буссинеска . Строго говоря, в уравнении Буссинески является вышеупомянутым набором B , так как он используется в анализе в оставшейся части его 1872 г. бумаги.
Некоторые направления, на которые были распространены уравнения Буссинеска:
- различная батиметрия ,
- улучшенная частотная дисперсия ,
- улучшенное нелинейное поведение,
- делая разложение в ряд Тейлора вокруг различных вертикальных отметок ,
- разделение жидкой области на слои и применение приближения Буссинеска в каждом слое отдельно,
- включение обрушения волн ,
- включение поверхностного натяжения ,
- распространение на внутренние волны на границе раздела жидких областей с различной плотностью массы ,
- вывод из вариационного принципа .
Дальнейшие приближения для одностороннего распространения волны [ править ]
Хотя уравнения Буссинеска допускают одновременное распространение волн в противоположных направлениях, часто бывает полезно рассматривать волны, распространяющиеся только в одном направлении. При небольших дополнительных предположениях уравнения Буссинеска сводятся к:
- К уравнение для распространения волн в одном горизонтальном измерении ,
- уравнение Кадомцева-Петвиашвили для (около однонаправленных) распространения волн в двух горизонтальных размерах ,
- нелинейное уравнение Шредингера (уравнение NLS) для комплекснозначной амплитуды от узкополосных волн (медленно модулированные волны).
Помимо решений в виде уединенных волн, уравнение Кортевега – де Фриза также имеет периодические и точные решения, называемые кноидальными волнами . Это приближенные решения уравнения Буссинеска.
Численные модели [ править ]
Для моделирования волнового движения у берегов и гаваней существуют численные модели - как коммерческие, так и академические - с использованием уравнений типа Буссинеска. Некоторыми коммерческими примерами являются волновые модули типа Буссинеска в MIKE 21 и SMS . Некоторые из бесплатных моделей Буссинеска - это Celeris, [7] COULWAVE, [8] и FUNWAVE. [9] Большинство численных моделей используют методы конечных разностей , конечных объемов или конечных элементов для дискретизации уравнений модели. Научные обзоры и взаимные сравнения нескольких уравнений типа Буссинеска, их численное приближение и производительность, например, Кирби (2003), Dingemans (1997 , часть 2, глава 5) и Hamm, Madsen & Peregrine (1993) .
Заметки [ править ]
- ↑ Эта статья (Буссинеск, 1872) начинается со слов : «Все инженеры согласны с прекрасными экспериментами Дж. Скотта Рассела и М. Басина по производству и распространению пасьянсов» ( «Все инженеры знают прекрасные эксперименты Дж. Скотта. Рассел и М. Басин о генерации и распространении уединенных волн » ).
- ^ Дингеманс (1997), стр. 477.
- ^ Дингеманс (1997), стр. 475.
- ^ Джонсон (1997), стр. 219
- ^ а б Дингеманс (1997), стр. 521.
- ^ Дингеманс (1997), стр. 473 и 516.
- ^ "Celeria.org - Волновая модель Селерис Буссинеск" . Celeria.org - Волновая модель Селерис Буссинеск .
- ^ «ISEC - Модели» . isec.nacse.org .
- ^ "Джеймс Т. Кирби, программа Funwave" . www1.udel.edu .
Ссылки [ править ]
- Буссинеск Дж. (1871). "Théorie de l'intumescence liquide, applelee onde solitaire или перевод, se propageant dans un canal rectangulaire" . Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . 72 : 755–759.
- Буссинеск Дж. (1872 г.). "Теория живых существ и остатков, которые продвигаются вдоль горизонтального прямоугольного канала, сообщают о жидкостном содержании канала жизнедеятельности, направленном на параллельную поверхность на поверхности" . Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . Deuxième Série. 17 : 55–108.
- Дингеманс, MW (1997). Распространение волны по неровному дну . Продвинутая серия по океанской инженерии 13 . World Scientific, Сингапур. ISBN 978-981-02-0427-3. Архивировано из оригинала на 2012-02-08 . Проверено 21 января 2008 . См. Часть 2, главу 5 .
- Hamm, L .; Мэдсен, Пенсильвания; Перегрин, Д.Х. (1993). «Трансформация волн в прибрежной зоне: обзор». Береговая инженерия . 21 (1–3): 5–39. DOI : 10.1016 / 0378-3839 (93) 90044-9 .
- Джонсон, RS (1997). Современное введение в математическую теорию волн на воде . Кембриджские тексты по прикладной математике. 19 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-59832-X.
- Кирби, JT (2003). «Модели Буссинеска и приложения к распространению прибрежных волн, процессам в зоне прибоя и течениям, индуцированным волнами». В Лахане, ВК (ред.). Достижения в прибрежном моделировании . Серия Elsevier Oceanography. 67 . Эльзевир. С. 1–41. ISBN 0-444-51149-0.
- Перегрин, DH (1967). «Длинные волны на пляже». Журнал гидромеханики . 27 (4): 815–827. Bibcode : 1967JFM .... 27..815P . DOI : 10.1017 / S0022112067002605 .
- Перегрин, Д.Х. (1972). «Уравнения волн на воде и стоящие за ними приближения». В Meyer, RE (ред.). Волны на пляжах и перенос наносов . Академическая пресса. С. 95–122. ISBN 0-12-493250-9.