Ветвящийся процесс
В теории вероятностей ветвящийся процесс представляет собой тип математического объекта, известного как стохастический процесс , который состоит из наборов случайных величин . Случайные величины случайного процесса индексируются натуральными числами. Первоначальная цель ветвящихся процессов состояла в том, чтобы служить математической моделью популяции, в которой каждая особь в поколении производит некоторое случайное число особей в поколении , согласно, в простейшем случае, фиксированному распределению вероятностей , которое не меняется от особи к особи . физическое лицо. [1]Ветвящиеся процессы используются для моделирования воспроизводства; например, особи могут соответствовать бактериям, каждая из которых производит 0, 1 или 2 потомства с некоторой вероятностью в одну единицу времени. Ветвящиеся процессы также можно использовать для моделирования других систем с похожей динамикой, например, распространения фамилий в генеалогии или распространения нейтронов в ядерном реакторе .
Центральным вопросом теории ветвящихся процессов является вероятность окончательного вымирания , когда после некоторого конечного числа поколений не существует особей. Используя уравнение Вальда , можно показать, что, начиная с одного человека в нулевом поколении, ожидаемый размер поколения n равен μ n , где μ — ожидаемое количество детей каждого человека. Если μ < 1, то ожидаемое количество особей быстро стремится к нулю, что подразумевает окончательное вымирание с вероятностью 1 по неравенству Маркова . В качестве альтернативы, если μ> 1, то вероятность окончательного вымирания меньше 1 (но не обязательно равна нулю; рассмотрим процесс, в котором у каждого человека либо 0, либо 100 детей с равной вероятностью. В этом случае μ = 50, но вероятность окончательного вымирания больше чем 0,5, так как это вероятность того, что у первого человека 0 детей). Если μ = 1, то окончательное вымирание происходит с вероятностью 1, если только у каждого человека всегда не будет ровно одного ребенка.
В теоретической экологии параметр μ ветвящегося процесса называется основной скоростью размножения .
Наиболее распространенной формулировкой ветвящегося процесса является процесс Гальтона-Ватсона . Пусть Z n обозначает состояние в период n (часто интерпретируется как размер поколения n ), а X n,i — случайная величина, обозначающая число прямых преемников члена i в период n , где X n , i независимы . и одинаково распределенные случайные величины по всем n ∈ {0, 1, 2, ...} и i ∈ {1, ..., Zn }. Тогда рекуррентное уравнение
В качестве альтернативы процесс ветвления можно сформулировать как случайное блуждание . Пусть S i обозначает состояние в период i , и пусть X i будет случайной величиной, которая является iid для всех i . Тогда рекуррентное уравнение
с S 0 = 1. Чтобы получить некоторую интуицию для этой формулировки, представьте себе прогулку, цель которой состоит в том, чтобы посетить каждый узел, но каждый раз, когда посещается ранее не посещенный узел, обнаруживаются дополнительные узлы, которые также необходимо посетить. Пусть S i представляет количество обнаруженных, но не посещенных узлов в периоде i , и пусть X i представляет количество новых узлов, которые обнаруживаются при посещении узла i . Затем в каждом периоде количество обнаруженных, но не посещенных узлов равно количеству таких узлов в предыдущем периоде плюс новые узлы, обнаруженные при посещении узла, минус посещенный узел. Процесс завершается после посещения всех выявленных узлов.
