количественное числительное

Биективная функция f : X → Y от множества X к множеству Y демонстрирует, что множества имеют одинаковую мощность, в данном случае равную количественному числу 4.

Алеф ноль , наименьший бесконечный кардинал

В математике , числах или кардиналах для краткости, являются обобщением натуральных чисел , используемых для измерения мощности (размера) множеств . Мощность конечного набора - это натуральное число: количество элементов в наборе. В трансфинитном кардинальных числах, часто обозначаемые с помощью символа иврита ( алеф ) с последующими нижним индексом, ^[1] описывают размеры бесконечных множеств .${\ displaystyle \ aleph}$

Мощность определяется в терминах биективных функций . Два набора имеют одинаковую мощность тогда и только тогда, когда существует взаимно однозначное соответствие (биекция) между элементами двух наборов. В случае конечных множеств это согласуется с интуитивным понятием размера. В случае бесконечных множеств поведение более сложное. Фундаментальная теорема Георга Кантора показывает, что бесконечные множества могут иметь разную мощность, и в частности мощность множества действительных чисел больше, чем мощность множества натуральных чисел . Также возможно для правильного подмножества бесконечного множества, чтобы иметь ту же мощность, что и исходное множество - чего не может случиться с собственными подмножествами конечных множеств.

Существует трансфинитная последовательность кардинальных чисел:

${\displaystyle 0,1,2,3,\ldots ,n,\ldots ;\aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\ldots ,\aleph _{\alpha },\ldots .\ }$

Эта последовательность начинается с натуральных чисел, включая ноль (конечные кардиналы), за которыми следуют числа алеф (бесконечные кардиналы хорошо упорядоченных множеств ). Номера алеф пронумерованы порядковыми номерами . В предположении выбранной аксиомы эта трансфинитная последовательность включает все кардинальные числа. Если отвергнуть эту аксиому, ситуация усложняется с дополнительными бесконечными кардиналами, которые не являются алефами.

Мощность изучается сама по себе как часть теории множеств . Это также инструмент, используемый в различных областях математики, включая теорию моделей , комбинаторику , абстрактную алгебру и математический анализ . В теории категорий , кардинальные числа образуют скелет из категории множеств .

История [ править ]

Понятие мощности, как теперь понимается, было сформулировано Георгом Кантором , создателем теории множеств , в 1874–1884 годах. Мощность может использоваться для сравнения аспекта конечных множеств. Например, наборы {1,2,3} и {4,5,6} не равны , но имеют одинаковую мощность , а именно три. Это устанавливается существованием взаимно однозначного соответствия (т. Е. Взаимно однозначного соответствия) между двумя наборами, например соответствия {1 → 4, 2 → 5, 3 → 6}.

Кантор применил свою концепцию биекции к бесконечным множествам ^[2] (например, множеству натуральных чисел N = {0, 1, 2, 3, ...}). Таким образом, он назвал все множества, имеющие биекцию с N счетными (счетно бесконечными) множествами , которые все имеют одно и то же кардинальное число. Это кардинальное число называется , алеф-нуль . Он назвал кардинальные числа этих бесконечных множеств трансфинитными кардинальными числами .${\displaystyle \aleph _{0}}$

Кантор доказал , что любое неограниченное множество из N имеет ту же мощность , как N , хотя это может показаться, противоречит интуиции. Он также доказал, что множество всех упорядоченных пар натуральных чисел счетно; это означает, что множество всех рациональных чисел также счетно, поскольку каждое рациональное число может быть представлено парой целых чисел. Позже он доказал, что множество всех действительных алгебраических чисел также счетно. Каждое действительное алгебраическое число z может быть закодировано как конечная последовательность целых чисел, которые являются коэффициентами в полиномиальном уравнении, решением которого оно является, то есть упорядоченный набор из n ( a ₀ ,a ₁ , ..., a _n ), a _i ∈ Z вместе с парой рациональных чисел ( b ₀ , b ₁ ) такой, что z является единственным корнем многочлена с коэффициентами ( a ₀ , a ₁ , ... , a _n ), лежащий в интервале ( b ₀ , b ₁ ).

В 1874 году статье « Об одном свойстве коллекции всех вещественных алгебраических чисел », Кантор доказал , что существуют кардинальные числа высших порядков, показывая , что множество действительных чисел имеет мощность выше , чем у N . В его доказательстве использовался аргумент с вложенными интервалами , но в статье 1891 года он доказал тот же результат, используя свой остроумный, но более простой диагональный аргумент . Новое кардинальное число набора действительных чисел называется мощностью континуума, и Кантор использовал для этого символ .${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

Кантор также разработал большую часть общей теории кардинальных чисел; он доказал, что существует наименьшее трансфинитное кардинальное число ( , aleph-null), и что для каждого кардинального числа существует следующий по величине кардинал${\displaystyle \aleph _{0}}$

${\displaystyle (\aleph _{1},\aleph _{2},\aleph _{3},\ldots ).}$

Его гипотеза континуума - это то же самое, что и . Эта гипотеза оказалась независимой от стандартных аксиом математической теории множеств; его нельзя ни доказать, ни опровергнуть, исходя из стандартных предположений.${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$

Мотивация [ править ]

В неформальном использовании кардинальное число - это то, что обычно называют счетным числом , при условии, что включен 0: 0, 1, 2, .... Они могут быть идентифицированы натуральными числами, начинающимися с 0. Счетные числа - это именно то, что формально можно определить как конечные кардинальные числа. Бесконечные кардиналы встречаются только в математике и логике более высокого уровня .

Более формально ненулевое число может использоваться для двух целей: для описания размера набора или для описания положения элемента в последовательности. Для конечных множеств и последовательностей легко видеть, что эти два понятия совпадают, поскольку для каждого числа, описывающего позицию в последовательности, мы можем построить набор, который имеет точно правильный размер. Например, 3 описывает позицию 'c' в последовательности <'a', 'b', 'c', 'd', ...>, и мы можем построить набор {a, b, c}, который имеет 3 элемента.

Однако, имея дело с бесконечными множествами , важно различать эти два понятия, поскольку эти два понятия фактически различны для бесконечных множеств. Рассмотрение аспекта положения приводит к порядковым числам , в то время как аспект размера обобщается описанными здесь количественными числами.

Интуиция, лежащая в основе формального определения кардинала, заключается в построении понятия относительного размера или «размера» множества, безотносительно к типу членов, которые у него есть. Для конечных множеств это легко; просто подсчитывается количество элементов в наборе. Чтобы сравнить размеры более крупных наборов, необходимо обратиться к более утонченным представлениям.

Множество Y , по меньшей мере столь же большой как множества X , если существует инъективное отображение из элементов X к элементам Y . Инъективного идентифицирует отображение каждого элемента множества X с уникальным элементом множества Y . Это легче всего понять на примере; предположим, что у нас есть множества X = {1,2,3} и Y = {a, b, c, d}, тогда, используя это понятие размера, мы заметим, что существует отображение:

1 → а

2 → б

3 → в

который является инъективны, и , следовательно , сделать вывод , что Y имеет мощность больше , чем или равно X . Элемент d не имеет сопоставления элементов с ним, но это разрешено, поскольку нам требуется только инъективное сопоставление, а не обязательно инъективное и на сопоставление. Преимущество этого понятия в том, что его можно распространить на бесконечные множества.

Затем мы можем расширить это до отношения в стиле равенства. Два множества X и Y называются имеют одинаковую мощность , если существует взаимно однозначное соответствие между X и Y . По теореме Шредера-Бернштейна , это равносильно тому , чтобы там быть и инъективное отображение из X в Y , и инъективное отображение из Y в X . Затем мы пишем | X | = | Y |, Кардинальное число самого X часто определяется как наименьший порядковый номер aс | а | = | X |, ^[3] Это называется кардинальным назначением фон Неймана ; чтобы это определение имело смысл, необходимо доказать, что каждое множество имеет ту же мощность, что и некоторый ординал; это утверждение является принципом хорошего порядка . Однако можно обсуждать относительную мощность множеств без явного присвоения имен объектам.

Классический пример - парадокс бесконечного отеля, также называемый парадоксом Гильберта Гранд-отеля . Предположим, что в отеле есть трактирщик с бесконечным количеством комнат. Отель полон, а потом приезжает новый гость. Можно разместить дополнительного гостя, попросив гостя, который был в комнате 1, перейти в комнату 2, гостя из комнаты 2 - в комнату 3 и так далее, оставив комнату 1 свободной. Мы можем явно записать сегмент этого отображения:

1 → 2

2 → 3

3 → 4

...

п → п + 1

...

С помощью этого присваивания мы видим, что множество {1,2,3, ...} имеет ту же мощность, что и множество {2,3,4, ...}, поскольку взаимно однозначное соответствие между первым и вторым имеет был показан. Это мотивирует определение бесконечного множества как любого множества, которое имеет собственное подмножество той же мощности (т. Е. Бесконечное по Дедекинду множество ); в этом случае {2,3,4, ...} является собственным подмножеством {1,2,3, ...}.

При рассмотрении этих больших объектов можно также захотеть увидеть, совпадает ли понятие порядка подсчета с понятием кардинала, определенным выше для этих бесконечных множеств. Бывает, что нет; рассмотрев приведенный выше пример, мы можем увидеть, что если существует некий объект, «один больше бесконечности», то он должен иметь ту же мощность, что и бесконечное множество, с которого мы начали. Можно использовать другое формальное понятие числа, называемое ординалами , основанное на идеях подсчета и рассмотрения каждого числа по очереди, и мы обнаруживаем, что понятия мощности и ординальности расходятся, когда мы выходим из конечных чисел.

Можно доказать, что мощность действительных чисел больше, чем мощность только что описанных натуральных чисел. Это можно визуализировать с помощью диагонального аргумента Кантора ; классические вопросы мощности (например, гипотеза континуума ) связаны с обнаружением, есть ли какой-то кардинал между некоторой парой других бесконечных кардиналов. В последнее время математики описывают свойства все больших и больших кардиналов.

Поскольку количество элементов является очень распространенным понятием в математике, используется множество имен. Одинаковость мощности иногда называют равносильностью , равноправием или равнодоступностью . Это, таким образом , что два множество с одной и той же мощностью, соответственно, равносильные , равнозначна или equinumerous .

Формальное определение [ править ]

Формально, исходя из выбранной аксиомы , мощность множества X - это наименьшее порядковое число α такое, что существует взаимно однозначное соответствие между X и α. Это определение известно как кардинальное присвоение фон Неймана . Если аксиома выбора не предполагается, то необходим другой подход. Старейшее определение мощности множества X (неявного в Cantor и в явном Фреге и Principia Mathematica ) является как класс [ X ] всех множеств, которые equinumerous с X . Это не работает в ZFC или других родственных системах аксиоматической теории множеств, потому что еслиX не пуст, эта коллекция слишком велика для набора. Фактически, для X ≠ ∅ существует инъекция из вселенной в [ X ] путем отображения множества m в { m } × X , и поэтому по аксиоме ограничения размера [ X ] является собственным классом. Однако это определение работает в теории типов, в New Foundations и связанных с ними системах. Однако, если мы ограничимся этим классом до тех равных с X, которые имеют наименьший ранг , то это сработает (это трюк, сделанный Даной Скотт : ^[4] это работает, потому что набор объектов с любым заданным рангом является набором).

Формально порядок чисел определяется следующим образом: | X | ≤ | Y | означает , что существует инъективные функции из X в Y . Теорема Кантора – Бернштейна – Шредера утверждает, что если | X | ≤ | Y | и | Y | ≤ | X | тогда | X | = | Y |, Аксиома выбора эквивалентно утверждению , что даны два множества X и Y , либо | X | ≤ | Y | или | Y | ≤ | X |,^{[5] [6]}

Множество X является дедекиндово-бесконечным, если существует собственное подмножество Y множества X с | X | = | Y |, и дедекиндово-конечное, если такого подмножества не существует. В конечных кардиналах только натуральные числа , в том смысле , что множество X конечно , если и только если | X | = | п | = n для некоторого натурального числа n . Любой другой набор бесконечен .

Принимая аксиому выбора, можно доказать, что понятия Дедекинда соответствуют стандартным. Также можно доказать, что кардинал ( алеф нуль или алеф-0, где алеф - первая буква в еврейском алфавите , представленный ) набора натуральных чисел является наименьшим бесконечным кардиналом (т. Е. Любое бесконечное множество имеет подмножество мощность ). Следующий по величине кардинал обозначается и т. Д. ^[1] Для каждого ординала α существует кардинальное число, и этот список исчерпывает все бесконечные кардинальные числа.${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph }$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{\alpha },}$

Кардинальная арифметика [ править ]

Мы можем определить арифметические операции с кардинальными числами, которые обобщают обычные операции с натуральными числами. Можно показать, что для конечных кардиналов эти операции совпадают с обычными операциями для натуральных чисел. Кроме того, эти операции имеют много общих свойств с обычной арифметикой.

Кардинал-преемник [ править ]

Если аксиома выбора верна, то у каждого кардинала κ есть последователь, обозначаемый κ ⁺ , ^[1] где κ ⁺ > κ и нет кардиналов между κ и его последователем. (Без аксиомы выбора, используя теорему Хартогса , можно показать, что для любого кардинального числа κ существует минимальный кардинал κ ⁺ такой, что ) Для конечных кардиналов преемником является просто κ + 1. Для бесконечных кардиналов Кардинал преемника отличается от порядкового номера преемника .${\displaystyle \kappa ^{+}\nleq \kappa .}$

Кардинальное сложение [ править ]

Если Х и Y являются непересекающимися , сложение задается союза по X и Y . Если два набора еще не являются непересекающимися, то их можно заменить непересекающимися наборами той же мощности (например, заменить X на X × {0} и Y на Y × {1}).

${\displaystyle |X|+|Y|=|X\cup Y|.}$

Ноль - это аддитивное тождество κ + 0 = 0 + κ = κ .

Сложение ассоциативно ( κ + μ ) + ν = κ + ( μ + ν ).

Сложение коммутативно κ + μ = μ + κ .

В обоих аргументах сложение не убывает:

${\displaystyle (\kappa \leq \mu )\rightarrow ((\kappa +\nu \leq \mu +\nu ){\mbox{ and }}(\nu +\kappa \leq \nu +\mu )).}$

Если исходить из выбранной аксиомы, сложение бесконечных количественных чисел несложно. Если либо κ, либо μ бесконечно, то

${\displaystyle \kappa +\mu =\max\{\kappa ,\mu \}\,.}$

Вычитание [ править ]

Принимая аксиому выбора и учитывая бесконечный кардинал σ и кардинал μ, существует такой кардинал κ, что μ + κ = σ тогда и только тогда, когда μ ≤ σ. Он будет единственным (и равным σ) тогда и только тогда, когда μ <σ.

Кардинальное умножение [ править ]

Произведение кардиналов происходит от декартова произведения .

${\displaystyle |X|\cdot |Y|=|X\times Y|}$

κ · 0 = 0 · κ = 0.

κ · μ = 0 → ( κ = 0 или μ = 0).

Одно из них - мультипликативное тождество κ · 1 = 1 · κ = κ .

Умножение ассоциативно ( κ · μ ) · ν = κ · ( μ · ν ).

Умножение коммутативно κ · μ = μ · κ .

Умножение не убывает по обоим аргументам: κ ≤ μ → ( κ · ν ≤ μ · ν и ν · κ ≤ ν · μ ).

Умножение распределяется по сложению: κ · ( μ + ν ) = κ · μ + κ · ν и ( μ + ν ) · κ = μ · κ + ν · κ .

Если принять аксиому выбора, умножение бесконечных кардинальных чисел также легко. Если либо κ, либо μ бесконечно и оба отличны от нуля, то

${\displaystyle \kappa \cdot \mu =\max\{\kappa ,\mu \}.}$

Подразделение [ править ]

Принимая аксиому выбора и учитывая бесконечный кардинал π и ненулевой кардинал μ, существует такой кардинал κ, что μ · κ = π тогда и только тогда, когда μ ≤ π . Он будет единственным (и равным π ) тогда и только тогда, когда μ < π .

Кардинальное возведение в степень [ править ]

Возведение в степень дается

${\displaystyle |X|^{|Y|}=\left|X^{Y}\right|,}$

где X ^Y называется множество всех функций из Y в X . ^[1]

κ ⁰ = 1 (в частности, 0 ⁰ = 1), см. пустую функцию .

Если 1 ≤ μ, то 0 ^μ = 0.

1 ^μ = 1.

κ ¹ = κ.

κ ^{μ + ν} = κ ^μ · κ ^ν .

κ ^{μ · ν} = ( κ ^μ ) ^ν .

( κ · μ ) ^ν = κ ^ν · μ ^ν .

Возведение в степень не убывает в обоих аргументах:

(1 ≤ ν и κ ≤ μ ) → ( ν ^κ ≤ ν ^μ ) и

( κ ≤ μ ) → ( κ ^ν ≤ μ ^ν ).

2 ^{| X |} - мощность множества степеней множества X, и диагональный аргумент Кантора показывает, что 2 ^{| X |} > | X | для любого множества X . Это доказывает, что не существует наибольшего кардинала (потому что для любого кардинала κ мы всегда можем найти больший кардинал 2 ^κ ). Фактически, класс кардиналов - это настоящий класс . (Это доказательство терпит неудачу в некоторых теориях множеств, особенно в Новых фондах .)

Все остальные предложения в этом разделе предполагают аксиому выбора:

Если κ и μ конечны и больше 1, а ν бесконечно, то κ ^ν = μ ^ν .

Если κ бесконечно, а μ конечно и отлично от нуля, то κ ^μ = κ .

Если 2 ≤ κ и 1 ≤ μ и хотя бы одно из них бесконечно, то:

Макс (κ, 2 ^μ ) ≤ κ ^μ ≤ Макс (2 ^κ , 2 ^μ ).

Используя теорему Кенига , можно доказать κ <κ ^{cf (κ)} и κ <cf (2 ^κ ) для любого бесконечного кардинала κ, где cf (κ) - кофинальность κ.

Корни [ править ]

Принимая аксиому выбора и, учитывая бесконечный кардинал κ и конечный кардинал μ больше 0, удовлетворяющим кардиналу ν будет .${\displaystyle \nu ^{\mu }=\kappa }$${\displaystyle \kappa }$

Логарифмы [ править ]

Принимая аксиому выбора и учитывая бесконечный кардинал κ и конечный кардинал μ больше 1, может быть или не быть кардинала λ, удовлетворяющего . Однако, если такой кардинал существует, он бесконечен и меньше κ, и любая конечная мощность ν больше 1 также будет удовлетворять .${\displaystyle \mu ^{\lambda }=\kappa }$${\displaystyle \nu ^{\lambda }=\kappa }$

Логарифм бесконечного кардинального числа κ определяется как наименьшее кардинальное число μ такое, что κ ≤ 2 ^μ . Логарифмы бесконечных кардиналов полезны в некоторых областях математики, например , в исследовании кардинальных инвариантов в топологических пространствах , хотя они не имеют некоторые свойства , которые обладают логарифмами положительных действительных чисел. ^{[7] [8] [9]}

Гипотеза континуума [ править ]

Гипотеза континуума (CH) утверждает, что нет кардиналов строго между и . Последнее кардинальное число также часто обозначается как ; это мощность континуума (множества действительных чисел ). В этом случае ^[1] обобщенная гипотеза континуума (ОСИ) утверждает , что для любого бесконечного множества X , неты кардиналов строго между | X  | и 2 ^{| X  |} . Гипотеза континуума не зависит от обычных аксиом теории множеств, аксиом Цермело-Френкеля вместе с аксиомой выбора ( ZFC ).${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}.}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}.}$

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Ноты

Список используемой литературы

• Добен, Джозеф Уоррен (1990), Георг Кантор: его математика и философия бесконечности , Принстон: Princeton University Press, ISBN 0691-02447-2
• Хан, Ганс , Бесконечность , часть IX, глава 2, том 3 журнала «Мир математики» . Нью-Йорк: Саймон и Шустер, 1956.
• Халмос, Пол , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Company, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag). 

Внешние ссылки [ править ]

• "Кардинальное число" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]