В математической области дифференциальной геометрии , А связность Картанна является гибким обобщением понятия аффинной связности . Его также можно рассматривать как специализацию общей концепции главного соединения , в которой геометрия основного пучка связана с геометрией базового коллектора с использованием формы припоя . Связности Картана описывают геометрию многообразий, моделируемых на однородных пространствах .
Теория связей Картана была разработана Эли Картаном как часть (и способ формулирования) его метода движущихся систем отсчета ( repère mobile ). [1] Основная идея состоит в том, чтобы разработать подходящее понятие форм соединения и кривизны с использованием движущихся рамок, адаптированных к конкретной геометрической задаче. В теории относительности или римановой геометрии ортонормированные системы отсчета используются для получения описания связи Леви-Чивиты как связности Картана. Для групп Ли шкалы Маурера – Картана используются для рассмотрения формы Маурера – Картана группы как связности Картана.
Картан переформулировал дифференциальную геометрию ( псевдо ) римановой геометрии , а также дифференциальную геометрию многообразий с некоторой неметрической структурой, включая группы Ли и однородные пространства . Термин «связь Картана» чаще всего относится к формулировке Картана (псевдо) римановой, аффинной , проективной или конформной связности . Хотя это наиболее часто используемые соединения Картана, они являются частными случаями более общей концепции.
Подход Картана сначала кажется координатно-зависимым из-за выбора фреймов, которые он включает. Однако это не так, и это понятие можно точно описать на языке основных связок. Связности Картана индуцируют ковариантные производные и другие дифференциальные операторы на некоторых ассоциированных связках, отсюда и понятие параллельного переноса. Они имеют много приложений в геометрии и физике: см метод движущихся кадров , Картана формализма и теории Эйнштейна-Картана для некоторых примеров.
Вступление
По сути, геометрия состоит из понятия соответствия между различными объектами в пространстве. В конце 19 века понятия конгруэнтности обычно обеспечивались действием группы Ли на пространстве. Группы Ли обычно действуют довольно жестко, и поэтому геометрия Картана является обобщением этого понятия конгруэнтности, допускающим наличие кривизны . В плоском картановских геометриях-те с нулевой кривизной, локально эквивалентны однородными пространствами, следовательно , геометрии в смысле Klein.
Клейна состоит из группы Ли G вместе с Ли подгруппы H из G . Вместе G и H определяют однородное пространство G / H , на котором группа G действует левым сдвигом. Цель Клейна была затем исследование объектов , живущие на однородном пространстве , которые были конгруэнтное действием G . Геометрия Картана расширяет понятие геометрии Клейна, прикрепляя к каждой точке многообразия копию геометрии Клейна и рассматривая эту копию как касательную к многообразию. Таким образом, геометрия многообразия бесконечно идентична геометрии Клейна, но глобально может быть совершенно иной. В частности, Картана геометрии больше не имеют четко определенные действия G на них. Однако связь Картана обеспечивает способ соединения бесконечно малых модельных пространств внутри многообразия посредством параллельного переноса .
Мотивация
Рассмотрим гладкую поверхность S в 3-мерном евклидовом пространстве R 3 . Вблизи любой точки S можно аппроксимировать касательной плоскостью в этой точке, которая является аффинным подпространством евклидова пространства. Аффинные подпространства модели поверхности, они являются наиболее простыми поверхностями в R 3 , и являются однородными по евклидовой группе плоскости, следовательно , они являются Клейн геометрией в смысле Феликс Клейн «ы программы Erlangen . Каждая гладкая поверхность S имеет единственную касательную к ней аффинную плоскость в каждой точке. Семейство всех таких плоскостей в R 3 , по одной прикрепленной к каждой точке S , называется конгруэнцией касательных плоскостей. Касательная плоскость может быть «прокатка» вдоль S , и , как он делает это в точку контакта следов из кривых на S . И наоборот, если задана кривая на S , касательная плоскость может катиться по этой кривой. Это позволяет идентифицировать касательные плоскости в разных точках кривой с помощью аффинных (фактически евклидовых) преобразований и является примером связности Картана, называемой аффинной связью .
Другой пример получается заменой плоскостей как модельных поверхностей сферами, которые однородны относительно группы конформных преобразований Мёбиуса. Больше не существует единственной сферы, касающейся гладкой поверхности S в каждой точке, поскольку радиус сферы не определен. Это можно исправить, предположив, что сфера имеет ту же среднюю кривизну, что и S в точке контакта. Такие сферы снова можно катать по кривым на S , и это дает S другой тип связности Картана, называемый конформной связностью .
Дифференциальные геометры в конце 19-го и начале 20-го веков очень интересовались использованием семейств моделей, таких как плоскости или сферы, для описания геометрии поверхностей. Семейство модельных пространств, прикрепленных к каждой точке поверхности S , называется конгруэнцией : в предыдущих примерах есть канонический выбор такой конгруэнции. Картанова соединение обеспечивает идентификацию между моделью пространств в конгруэнции вдоль любой кривой в S . Важной особенностью этих отождествлений является то, что точка контакта пространства модели с S всегда перемещается вместе с кривой. Это общее условие характерно для картановских связностей.
В современной трактовке аффинных связей точка контакта рассматривается как начало координат в касательной плоскости (которая затем является векторным пространством), а перемещение начала координат корректируется смещением, поэтому связи Картана не нужны. Однако в целом нет канонического способа сделать это: в частности, для конформного соединения конгруэнтности сфер, невозможно естественным образом отделить движение точки контакта от остального движения.
В обоих этих примерах модель пространство представляет собой однородное пространство G / Н .
- В первом случае G / H - аффинная плоскость, G = Aff ( R 2 ) - аффинная группа плоскости, а H = GL (2) - соответствующая общая линейная группа.
- Во втором случае G / H - конформная (или небесная ) сфера, где G = O + (3,1) - (ортохронная) группа Лоренца , а H - стабилизатор нулевой прямой в R 3,1 .
Картана геометрии S состоит из копии пространства модели G / H в каждой точке S (с отмеченной точкой контакта) вместе с понятием «параллельного переноса» вдоль кривых , который идентифицирует эти копии , используя элементы G . Это понятие параллельного переноса является общим в интуитивном смысле, поскольку точка контакта всегда перемещается по кривой.
В общем, пусть G группа с подгруппой H и М многообразие той же размерности, что и G / H . Затем, грубо говоря, соединение Картана на М является G -связность , который является общим по отношению к редукции к H .
Аффинные связи
Аффинная связность на многообразии М представляет собой соединение на кадр расслоение (главное расслоении) из М (или эквивалентно, соединение на касательном расслоении (векторное расслоение) из М ). Ключевым аспектом точки зрения Картана является разработка этого понятия в контексте основных связок (которые можно было бы назвать «общей или абстрактной теорией фреймов»).
Пусть H - группа Ли ,его алгебра Ли . Тогда главным Н -расслоение является расслоение Р над М с гладким действием в Н на Р , которая свободно и транзитивно на волокнах. Таким образом , P является гладким многообразием с гладким отображением П : P → M , который выглядит локально как тривиальное расслоение M × H → M . Расслоение реперов M является главным GL ( n ) -расслоением, а если M - риманово многообразие , то ортонормированное расслоение реперов является главным O ( n ) -расслоением.
Пусть R ч обозначим через (правый) действие ч ∈ H на P . Производная этого действия определяет вертикальное векторное поле на P для каждого элемента ξ из: если h ( t ) - однопараметрическая подгруппа с h (0) = e (единичный элемент) и h '( 0 ) = ξ , то соответствующее вертикальное векторное поле
Основной Н -связность на Р является 1-форма на P со значениями в алгебре Ли группы H , такой что
- для любой , ω ( X ξ ) = ξ (тождественно на P ).
Интуитивная идея состоит в том, что ω ( X ) представляет собой вертикальную составляющую из X , используя изоморфизм слоев П с Н для идентификации вертикальных векторов с элементами.
Связки кадров имеют дополнительную структуру, называемую формой припоя , которую можно использовать для расширения основной связи на P до тривиализации касательной связки P, называемой абсолютным параллелизмом .
В общем, предположим, что M имеет размерность n и H действует на R n (это может быть любое n -мерное вещественное векторное пространство). Форма припоя на главной H -расслоения P над M представляет собой R п -значной 1-форма & thetas : T P → R н , который является горизонтальным и эквивариантным так , что она индуцирует расслоение гомоморфизма из Т М до ассоциированного расслоения P × H R n . Кроме того, требуется, чтобы это был изоморфизм расслоения. Связки фреймов имеют (каноническую или тавтологическую) форму пайки, которая переводит касательный вектор X ∈ T p P в координаты d π p ( X ) ∈ T π ( p ) M относительно фрейма p .
Пара ( ω , θ ) (основная связь и форма припоя) определяет 1-форму η на P со значениями в алгебре Лииз Полупрямого продукта G из H с R н , который обеспечивает изоморфизм каждого касательного пространства Т р Р с. Это индуцирует главное соединение & alpha ; на соответствующей основной G -расслоения P × H G . Это связь Картана.
Связности Картана обобщают аффинные связи двумя способами.
- Действие H на R n не обязательно должно быть эффективным. Это позволяет, например, включать в теорию спиновые связи, в которых H является спиновой группой Spin ( n ), а не ортогональной группой O ( n ).
- Группа G не обязательно должна быть полупрямым произведением H на R n .
Геометрии Клейна как модельные пространства
Программа Кляйна в Эрлангене предполагала, что геометрию можно рассматривать как исследование однородных пространств : в частности, это изучение многих геометрий, представляющих интерес для геометров XIX века (и ранее). Клейн геометрия состояла из пространства, наряду с законом для движения в пространстве (аналог евклидовых преобразований классической евклидовой геометрии ) , выраженные в виде группы Ли из преобразований . Эти обобщенные пространства оказываются однородными гладкими многообразиями, диффеоморфными фактор-пространству группы Ли по подгруппе Ли . Дополнительная дифференциальная структура, которой обладают эти однородные пространства, позволяет изучать и обобщать их геометрию с помощью исчисления.
Общий подход Картана состоит в том, чтобы начать с такой гладкой геометрии Клейна , заданной группой Ли G и подгруппой Ли H , с ассоциированными алгебрами Ли а также , соответственно. Пусть P является основным главным однородным пространством из G . Клейна геометрия является однородным пространством , заданное фактор P / H из P правого действия H . На слоях канонической проекции существует правое H- действие
- π : P → P / H
задается формулой R h g = gh . Кроме того, каждое волокно из П является копией Н . Р имеет структуру основного H -расслоения над P / H . [2]
Векторное поле X на Р является вертикальным , если д π ( х ) = 0. Любой £ , ∈порождает каноническое вертикальное векторное поле X ξ , взяв производную правого действия однопараметрической подгруппы H, связанной с ξ. Форма Маурера-Картана η из P является-значная однозначная форма на P, отождествляющая каждое касательное пространство с алгеброй Ли. Обладает следующими свойствами:
- Ad ( h ) R h * η = η для всех h в H
- η ( X ξ ) = ξ для всех ξ в
- для всех g ∈ P , η ограничивает линейный изоморфизм T g P с(η - абсолютный параллелизм на P ).
Помимо этих свойств, η удовлетворяет структурному (или структурному ) уравнению
Наоборот, можно показать, что для многообразия M и главного H- расслоения P над M и 1-формы η с этими свойствами P локально изоморфно как H -расслоение главному однородному расслоению G → G / H . Структурное уравнение является условием интегрируемости для существования такого локального изоморфизма.
Геометрия Картана является обобщением гладкой геометрии Клейна, в которой структурное уравнение не предполагается, а вместо этого используется для определения понятия кривизны . Таким образом, геометрии Клейна называются плоскими моделями для геометрий Картана. [3]
Псевдогруппы
Картановские связности тесно связаны с псевдогрупповыми структурами на многообразии. Каждый из них считается смоделированным на основе геометрии Клейна G / H , подобно тому, как риманова геометрия моделируется на евклидовом пространстве . На многообразии М , можно представить себе присоединение к каждой точке М копии модели пространства G / H . Симметрия пространства модели затем встроена в геометрии или псевдогруппе структуру Картанна полагание , что модельные пространства соседних точек связаны преобразованием в G . Фундаментальное различие между геометрией Картана и геометрией псевдогруппы состоит в том, что симметрия для геометрии Картана связывает бесконечно близкие точки посредством бесконечно малого преобразования в G (т. Е. Элемента алгебры Ли группы G ) и аналогичного понятия симметрии для структуры псевдогруппы применяется для точек, которые физически разделены внутри коллектора.
Процесс привязки пространств к точкам и сопутствующие симметрии могут быть конкретно реализованы с помощью специальных систем координат . [4] Для каждой точки р Е М , А окрестность U р из р дается вместе с отображением ф р : U р → G / H . Таким образом, модель пространство прикреплено к каждой точке M , реализуя M локально в каждой точке , как открытое подмножество G / H . Мы считаем , что это как семейство систем координат на М , параметризованных точками М . Две такие параметризованные системы координат φ и φ ′ являются H- связанными, если существует элемент h p ∈ H , параметризованный параметром p , такой, что
- φ ′ p = h p φ p . [5]
Эта свобода примерно соответствует представлению физиков о калибровке .
Ближайшие точки связаны между собой кривой. Предположим, что p и p ′ - две точки в M, соединенные кривой p t . Тогда p t дает понятие переноса модельного пространства вдоль кривой. [6] Пусть τ t : G / H → G / H (локально определенное) составное отображение
- τ t = φ p t o φ p 0 −1 .
Интуитивно τ t - это транспортная карта. Структура псевдогруппа требует , чтобы τ т быть симметрия модели пространства для каждого т : τ т ∈ G . Картанова соединение требует только , что производная от τ т быть симметрия модели пространства: τ ' 0 ∈ г , алгебра Ли G .
Типичным для Картана, одной из мотиваций для введения понятия связи Картана было изучение свойств псевдогрупп с бесконечно малой точки зрения. Связь Картана определяет псевдогруппу именно тогда, когда производная транспортной карты τ 'может быть интегрирована , таким образом восстанавливая истинную ( G -значную) транспортную карту между системами координат. Таким образом, действует условие интегрируемости , и метод Картана для реализации условий интегрируемости заключался в введении дифференциальной формы .
В этом случае τ ′ 0 определяет дифференциальную форму в точке p следующим образом. Для кривой γ ( t ) = p t в M, начинающейся в p , мы можем связать касательный вектор X , а также транспортное отображение τ t γ . Взяв производную, мы получаем линейное отображение
Таким образом , θ определяет г - значной дифференциальная 1-форма на М .
Однако эта форма зависит от выбора параметризованной системы координат. Если h : U → H является H- соотношением между двумя параметризованными системами координат φ и φ ′, то соответствующие значения θ также связаны соотношением
где ω Н является Маурера-Картана форма Н .
Формальное определение
Геометрия Картана, смоделированная на однородном пространстве G / H, может рассматриваться как деформация этой геометрии, которая допускает наличие кривизны . Например:
- риманова многообразия можно рассматривать как деформацию евклидова пространства ;
- лоренцево многообразие можно рассматривать как деформацию пространства Минковского ;
- конформное многообразие можно рассматривать как деформацию конформной сферы ;
- многообразие, снабженное аффинной связностью, можно рассматривать как деформацию аффинного пространства .
Есть два основных подхода к определению. В обоих подходах M - гладкое многообразие размерности n , H - группа Ли размерности m , с алгеброй Ли, а G группа Ли размерности n + m с алгеброй Ли, содержащую H как подгруппу.
Определение через калибровочные переходы
Связность Картана состоит [7] [8] о наличии координат атласе открытых множеств U в М , вместе с-значная 1-форма θ U, определенная на каждой карте такая, что
- θ U : T U →.
- θ U мод : T u U →линейный изоморфизм для любого U ∈ U .
- Для любой пары карт U и V в атласе существует гладкое отображение h : U ∩ V → H такое, что
- где ω Н является форма Маурера-Картана из H .
По аналогии со случаем, когда θ U пришло из систем координат, условие 3 означает, что φ U связано с φ V соотношением h .
Кривизна связи Картана состоит из системы 2-форм, определенных на диаграммах, заданных формулой
Ω U удовлетворяют условию совместимости:
- Если формы θ U и θ V связаны функцией h : U ∩ V → H , как указано выше, то Ω V = Ad ( h −1 ) Ω U
Определение можно сделать независимым от систем координат, образуя фактор-пространство
дизъюнктного объединения по всем U в атласе. Отношение эквивалентности ~ определено на парах ( x , h 1 ) ∈ U 1 × H и ( x , h 2 ) ∈ U 2 × H формулой
- ( x , h 1 ) ~ ( x , h 2 ) тогда и только тогда, когда x ∈ U 1 ∩ U 2 , θ U 1 связано с θ U 2 соотношением h , а h 2 = h ( x ) −1 h 1 .
Тогда P является главным H -расслоением на M , и из условия совместности форм связности θ U следует, что они поднимаются до-значная 1-форма η, определенная на P (см. ниже).
Определение через абсолютный параллелизм
Пусть P является главным H расслоение над M . Тогда связность Картана [9] является-значная 1-форма η на P такая, что
- для всех h в H Ad ( h ) R h * η = η
- для всех ξ в, η ( X ξ ) = ξ
- для всех p в P ограничение η определяет линейный изоморфизм касательного пространства T p P в.
Последнее условие иногда называют условие Картанно : это означает , что η определяет абсолютный параллелизм на P . Из второго условия следует, что η уже инъективна на вертикальных векторах и что 1-форма η mod, со значениями в , горизонтально. Векторное пространствоявляется представлением из H , используя присоединенное представление Н на, а из первого условия следует, что η modэквивариантно. Следовательно, он определяет гомоморфизм расслоения из T M в ассоциированное расслоение. Условие Картана эквивалентно тому, что этот гомоморфизм расслоения является изоморфизмом, так что η modэто форма припоя .
Кривизны связности Картана является-значная 2-форма Ω, определяемая
Обратите внимание, что это определение соединения Картана очень похоже на определение основного соединения . Однако есть несколько важных отличий. Во-первых, 1-форма η принимает значения в, Но только эквивариантных под действием H . В самом деле, он не может быть эквивариантным относительно полной группы G, потому что нет G- расслоения и G- действия. Во-вторых, 1-форма - это абсолютный параллелизм, который интуитивно означает, что η дает информацию о поведении дополнительных направлений в главном пучке (а не просто является оператором проекции на вертикальное пространство). Конкретно, наличие припоя связывает (или припаивает) соединение Картана к основной дифференциальной топологии коллектора.
Интуитивная интерпретация связи Картана в этой форме состоит в том, что она определяет разрыв тавтологического главного расслоения, связанного с геометрией Клейна. Таким образом, геометрии Картана являются деформированными аналогами геометрии Клейна. Эта деформация - это примерно рецепт для прикрепления копии модельного пространства G / H к каждой точке M и мышления этого модельного пространства как касательного (и бесконечно идентичного ) многообразию в точке контакта. Волокна тавтологического расслоения G → G / H геометрии Клейн в точке контакта затем идентифицируется с волокном расслоения P . Каждый такой слой (в G ) несет форму Маурера-Картана для G , и связность Картана является способом сборки этих форм Маурера-Картана, собранных из точек контакта, в когерентную 1-форму η, определенную на всем расслоении. Тот факт, что только элементы H вносят вклад в уравнение Маурера-Картана Ad ( h ) R h * η = η, имеет интуитивную интерпретацию, что любые другие элементы G будут перемещать модельное пространство от точки контакта, и поэтому больше не касаться многообразия.
Из связности Картана, определенной в этих условиях, можно восстановить соединение картановскую как системы 1-форм на многообразии (как в определении калибра), принимая коллекцию местных тривиализаций из P , приведенных как секции ев U : U → P, и положив θ U = s * η - откаты картановской связи вдоль сечений.
Как основные связи
Другой способ определения связи Картана - это как главное соединение в некотором главном G- расслоении. С этой точки зрения соединение Картана состоит из
- главное G -расслоение Q над M
- главная G -связность α на Q (связность Картана)
- главное H -подрасслоение P в Q (т.е. редукция структурной группы)
такой, что обратный вызов η элемента α на P удовлетворяет условию Картана.
Принципиальная схема соединений α на Q может быть извлечен из формы п , принимая Q быть связано расслоение P × H G . С другой стороны , форма η может быть извлечен из & alpha ; , потянув назад вдоль включения P ⊂ Q .
Так как α является главным соединением, оно индуцирует соединение по любому ассоциированного расслоения к Q . В частности, расслоение Q × G G / H однородных пространств над M , слои которого являются копиями модельного пространства G / H , обладает связностью. Сокращение структуры группы H эквивалентным образом задается сечением s из E = Q × G G / H . Волокнонад x в M можно рассматривать как касательное пространство в s ( x ) к слою Q × G G / H над x . Следовательно, условие Картана имеет интуитивную интерпретацию, согласно которой модельные пространства касаются M вдоль сечения s . Так как это отождествление касательных пространств индуцировано связностью, отмеченные точки, заданные s, всегда перемещаются при параллельном переносе.
Определение связностью Эресмана
Еще один способ определить связность Картана - это связность Эресмана на расслоении E = Q × G G / H из предыдущего раздела. [10] Тогда соединение Картана состоит из
- Расслоение π: E → M со слоем G / H и вертикальной V пространства E ⊂ T E .
- Раздел с : М → Е .
- G-соединение θ: T E → V , Е такие , что
- s * θ х : Т х М → V , с ( х ) Е представляет собой линейный изоморфизм векторных пространств для всех х ∈ M .
Это определение усложняет интуитивные идеи, представленные во введении. Во-первых, предпочтительный участок s можно рассматривать как идентифицирующий точку контакта между коллектором и касательным пространством. Последнее условие, в частности, означает, что касательное пространство к M в точке x изоморфно касательному пространству модельного пространства в точке контакта. Таким образом, модельные пространства касаются многообразия.
Это определение также делает акцент на идее развития . Если x t - кривая в M , то связность Эресмана на E обеспечивает связанную параллельную транспортную карту τ t : E x t → E x 0 от волокна через конечную точку кривой до волокна над начальной точкой. В частности, поскольку E снабжен предпочтительной секцией s , точки s ( x t ) переносятся обратно в волокно через x 0 и образуют кривую в E x 0 . Затем эта кривая называется развитием кривой x t .
Для того, чтобы показать , что это определение эквивалентно выше других, необходимо ввести соответствующее понятие двигающейся системы для расслоения E . В общем, это возможно для любого G -связности на расслоение со структурной группой G . См. Ehresmann connection # Связанные пакеты для более подробной информации.
Специальные соединения Картана
Редукционные соединения Картана
Пусть P - главное H -расслоение на M , снабженное связностью Картана η: T P →. Еслиявляется редуктивным модулем для H , а это означает, чтодопускает Ad ( H ) -инвариантное расщепление векторных пространств, то -компонента η обобщает форму припоя для аффинного соединения . [11] Подробно, η распадается на а также составные части:
- η = η + η .
Отметим, что 1-форма ηявляется главным H -связностью на оригинальной Картанны расслоении P . Более того, 1-форма η удовлетворяет:
- η ( Х ) = 0 для любого вертикального вектора X ∈ T , P . (η является горизонтальным .)
- R h * η = Ad ( h −1 ) η для каждой ч ∈ H . (η является эквивариантны под правым H -действия.)
Другими словами, η является припой форма для расслоения P .
Следовательно, P, наделенный формой ηопределяет (первый порядок) H -структуру на M . Форма ηопределяет связь в H-структуре .
Параболические соединения Картана
Если является полупростой алгеброй Ли с параболической подалгеброй (т.е. содержит максимальную разрешимую подалгебру в), а G и P - ассоциированные группы Ли, то связность Картана, смоделированная на ( G , P ,,) называется параболической геометрией Картана или просто параболической геометрией . Отличительной чертой параболических геометрий является структура алгебры Ли на ее кокасательных пространствах : она возникает из-за того, что перпендикулярное подпространство⊥ из в по отношению к киллингова форме из является подалгеброй , а форма Киллинга индуцирует естественную двойственность между ⊥ и. Таким образом, связка, связанная с⊥ изоморфен кокасательное расслоение .
Параболические геометрии включают в себя многие из тех, которые представляют интерес для исследования и применения связей Картана, например, следующие примеры:
- Конформные связи : здесь G = SO ( p +1, q +1), а P - стабилизатор нулевого луча в R n + 2 .
- Проективные связности : здесь G = PGL (n + 1) и P - стабилизатор точки в RP n .
- CR-структуры и связности Картана-Черна-Танаки: G = PSU ( p +1, q +1), P = стабилизатор точки на проективной нулевой гиперквадрике .
- Контактные проективные связности: [12] Здесь G = SP (2n + 2), а P - стабилизатор луча, порожденного первым стандартным базисным вектором в R n + 2 .
- Родовой ранг 2 распределения на 5-многообразиях: Здесь G = Aut ( O s ) является группой автоморфизмов алгебры О с из расщепленных октонионов , А замкнутая подгруппа из SO (3,4), а Р есть пересечение G с стабилизатор изотропной линии, натянутой на первый стандартный базисный вектор в R 7, рассматриваемый как чисто мнимые расщепленные октонионы (ортогональное дополнение к единичному элементу в O s ). [13]
Ассоциированные дифференциальные операторы
Ковариантная дифференциация
Предположим, что M - геометрия Картана, смоделированная на G / H , и пусть ( Q , α ) - главное G- расслоение со связностью, а ( P , η ) - соответствующая редукция к H с η, равным подъему α . Пусть V есть представление о G , и образуют векторное расслоение V = Q × G V над M . Тогда главная G -связь α на Q индуцирует ковариантную производную на V , которая является линейным дифференциальным оператором первого порядка
где обозначает пространство k -форм на M со значениями в V, так чтопространство сечений V и- пространство сечений Hom (T M , V ). Для любого сечения v поля V стягивание ковариантной производной ∇ v с векторным полем X на M обозначается ∇ X v и удовлетворяет следующему правилу Лейбница:
для любой гладкой функции F на M .
Ковариантная производная также может быть изготовлена из картановских соединений п на P . На самом деле, конструируя его таким образом немного более общее в том , что V не нужно быть полноценным представлением G . [14] Предположим вместо этого, что V является (, H ) -модуль: представление группы H с совместимым представлением алгебры Ли. Напомним , что раздел V индуцированного векторного расслоения V над M можно рассматривать как H -эквивариантное карте P → V . Мы примем эту точку зрения. Пусть X векторное поле на M . Выберите любой правоинвариантный лифтв касательном расслоении P . Определять
- .
Чтобы показать, что ∇ v правильно определено, он должен:
- не зависеть от выбранного подъемника
- быть эквивариантными, так что она опускается до сечения расслоения V .
Для (1) неоднозначность выбора правоинвариантного лифта X является преобразованием вида где - правоинвариантное вертикальное векторное поле, индуцированное . Итак, вычисляя ковариантную производную в терминах новой подъемной силы, надо
поскольку взяв дифференциал свойства эквивариантности при h, равном единице.
Для (2) заметим, что поскольку v эквивариантно и правоинвариантно, эквивариантно. С другой стороны, поскольку η также эквивариантно, отсюда следует, что также эквивариантно.
Фундаментальная или универсальная производная
Предположим , что V является лишь представление подгруппы H и не обязательно большая группа G . Позволятьпространство V значной дифференциальная к -формам на P . При наличии картановской связности существует канонический изоморфизм
дано где а также .
Для каждого k внешняя производная является операторным дифференциальным оператором первого порядка
а значит, при k = 0 он определяет дифференциальный оператор
Поскольку η эквивариантно, если v эквивариантно, то Dv : = φ (d v ) также. Отсюда следует, что эта композиция спускается к дифференциальному оператору первого порядка D с сечений V = P × H V на сечения расслоения. Это называется фундаментальной или универсальной производной или фундаментальным D-оператором.
Заметки
- ^ Хотя Картан начал формализовать эту теорию только в отдельных случаях в 1920-х годах ( Cartan 1926 ), он широко использовал общую идею гораздо раньше. Кульминацией его замечательной работы 1910 года о системах Пфаффа с пятью переменными является построение связности Картана, смоделированной на 5-мерном однородном пространстве для исключительной группы Ли G 2 , которую он и Энгельс независимо друг от друга открыли в 1894 году.
- Перейти ↑ Chevalley 1946 , p. 110.
- ^ См. Р. Германн (1983), Приложение 1-3 к Картану (1951) .
- ^ Похоже, это способ Картана рассматривать соединение. Ср. Картан 1923 , стр. 362; Картан 1924 , стр. 208 особенно ..un repère définissant un système deordinnees projectives ... ; Картан 1951 , стр. 34. Современные читатели могут прийти к различным интерпретациям этих утверждений, ср. Заметки Германа 1983 г. в Картане 1951 г. , стр. 384–385, 477.
- ^ Более точно, ч р требуетсячтобы быть в стационарной группе из ф р ( р ), который представляет собой группу в G изоморфна H .
- ^ В общем, это не скользящая карта, описанная в мотивации, хотя она связана.
- ^ Шарп 1997 .
- ^ Лумисте 2001a .
- ^ Это стандартное определение. Ср. Германн (1983), Приложение 2 к Картану 1951 ; Кобаяши 1970 , стр. 127; Sharpe 1997 ; Slovák 1997 .
- ^ Эресман 1950 , Kobayashi 1957 , Лумист 2001b .
- ^ Для рассмотрения аффинных связей с этой точки зрения см. Kobayashi & Nomizu (1996 , Volume 1).
- ^ См., Например, Fox (2005) .
- ^ Sagerschnig 2006 ; Cap & Sagerschnig 2007 г. .
- ^ См., Например, Чап и Говер (2002 , определение 2.4).
Рекомендации
- Чап, Андреас; Говер, А. Род (2002), «Тракторные вычисления для параболической геометрии]» (PDF) , Труды Американского математического общества , 354 (4): 1511–1548, DOI : 10.1090 / S0002-9947-01-02909-9 , архивировано из оригинального (PDF) 11.08.2017.
- Čap, A .; Сагершниг, К. (2009), «О конформной структуре Нуровски, связанной с общим распределением ранга два в пятом измерении», Journal of Geometry and Physics , 59 (7): 901–912, arXiv : 0710.2208 , Bibcode : 2007arXiv0710.2208C , DOI : 10.1016 / j.geomphys.2009.04.001 , S2CID 12850650.
- Картана, Эли (1910), "Les Systèmes де Pfaff à Cinq переменных и др ле УРАВНЕНИЙ Окс dérivées partielles дю второй Ordre", Annales Scientifiques де l'Эколь Нормаль , 27 : 109-192, DOI : 10,24033 / asens.618.
- Картан, Эли (1923), "Sur les varétés à affine affine et la théorie de la relativité généralisée (première partie)", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 40 : 325–412, doi : 10.24051 / asens.7.
- Картан, Эли (1924), "Sur les varétés à connected projective", Bulletin de la Société Mathématique de France , 52 : 205–241, doi : 10.24033 / bsmf.1053.
- Картана, Эли (1926), "Les Groupes d'holonomie де ESPACES обобщающий", Acta Mathematica , 48 (1-2): 1-42, DOI : 10.1007 / BF02629755.
- Картан, Эли (1951), с приложениями Роберта Германа (ред.), Геометрия римановых пространств (перевод Джеймса Глейзбрука из Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann , 2-е изд.), Math Sci Press, Массачусетс (опубликовано в 1983 г.) , ISBN 978-0-915692-34-7.
- Шевалле, К. (1946), Теория групп Ли , Princeton University Press, ISBN 0-691-08052-6.
- Эресманн, К. (1950), «Бесконечные связи в непространственных волокнах», Colloque de Topologie, Брюссель : 29–55, MR 0042768.
- Фокс, DJF (2005), «Контактные проективные структуры», Математический журнал Университета Индианы , 54 (6): 1547–1598, arXiv : math / 0402332 , doi : 10.1512 / iumj.2005.54.2603 , S2CID 17061926.
- Гриффитс, Phillip (1974), «О методе Картана групп Ли и перемещения кадров применительно к единственности и существования вопросов в дифференциальной геометрии», Герцога математический журнал , 41 (4): 775-814, DOI : 10.1215 / S0012-7094- 74-04180-5 , S2CID 12966544.
- Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, т. 1 и 2 (новая редакция), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3.
- Кобаяси, Шошичи (1970), Группы преобразований в дифференциальной геометрии (1-е изд.), Springer, ISBN 3-540-05848-6.
- Kobayashi, Shoshichi (1957), "Теория Connections", Annali ди Matematica Pura эд Applicata , серия 4, 43 : 119-194, DOI : 10.1007 / BF02411907 , S2CID 120972987.
- Lumiste, Ü. (2001a) [1994], «Конформная связь» , в Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics , Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4.
- Lumiste, Ü. (2001b) [1994], «Связности на многообразии» , в Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics , Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4.
- Сагершниг, К. (2006), «Разделенные октонионы и общие распределения ранга два в размерности пять» , Archivum Mathematicum , 42 (Suppl): 329–339.
- Шарп, Р.В. (1997), Дифференциальная геометрия: Обобщение Картаном программы Эрлангена Кляйна , Springer-Verlag, Нью-Йорк, ISBN 0-387-94732-9.
- Словак, Ян (1997), Параболические геометрии (PDF) , Примечания к лекциям, часть докторской диссертации, Университет Масарика[ постоянная мертвая ссылка ] .
Книги
- Кобаяси, Шошичи (1972), Группы преобразований в дифференциальной геометрии (Classics in Mathematics, 1995 ed.), Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3-540-58659-3.
- Раздел 3. Связи Картана [страницы 127–130] рассматривает конформные и проективные связи единообразно.
Внешние ссылки
- Ü. Lumiste (2001) [1994], "Аффинная связь" , Энциклопедия математики , EMS Press