Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Иллюстрация декартовой координатной плоскости. Четыре точки отмечены и помечены своими координатами: (2, 3) зеленым, (−3, 1) красным, (−1,5, −2,5) синим и начало координат (0, 0) фиолетовым.

Декартова система координат ( СК : / к ɑː т я ZJ ə н / , США : / к ɑːr т я ʒ ə п / ) в плоскости представляет собой систему координат , которая определяет каждый пункт однозначно парой числовых координат , которые являются подписанные расстояния до точки от двух фиксированных перпендикулярно ориентированных линий, измеренные в одной и той же единицы длины. Каждая опорная линия называется координатной осью или просто осью (множественные оси ) системы, а точка, где они встречаются, является ее началом в упорядоченной паре (0, 0) . Координаты также могут быть определены как положения перпендикулярных проекций точки на две оси, выраженные как расстояния со знаком от начала координат.

Можно использовать тот же принцип, чтобы указать положение любой точки в трехмерном пространстве с помощью трех декартовых координат, ее знаковых расстояний до трех взаимно перпендикулярных плоскостей (или, что то же самое, ее перпендикулярной проекции на три взаимно перпендикулярные линии). В общем, n декартовых координат (элемент реального n -пространства ) задают точку в n- мерном евклидовом пространстве для любого измерения n . Эти координаты равны с точностью до знака расстояниям от точки до n взаимно перпендикулярных гиперплоскостей .

Декартова система координат с окружностью радиуса 2 с центром в начале координат, отмеченной красным. Уравнение круга: ( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = r 2, где a и b - координаты центра ( a , b ), а r - радиус.

Изобретение декартовых координат в 17 веке Рене Декартом ( латинизированное имя: Cartesius ) произвело революцию в математике, обеспечив первую систематическую связь между евклидовой геометрией и алгеброй . Используя декартову систему координат, геометрические фигуры (например, кривые ) можно описывать декартовыми уравнениями : алгебраическими уравнениями, включающими координаты точек, лежащих на фигуре. Например, круг радиуса 2 с центром в начале плоскости может быть описан как набор всех точек, координаты x и y которых удовлетворяют уравнению x2 + у 2 = 4 .

Декартовы координаты являются основой аналитической геометрии и обеспечивают поучительную геометрическую интерпретацию для многих других разделов математики, таких как линейная алгебра , комплексный анализ , дифференциальная геометрия , многомерное исчисление , теория групп и многое другое. Знакомый пример - это концепция графика функции . Декартовы координаты также являются важными инструментами для большинства прикладных дисциплин, связанных с геометрией, включая астрономию , физику , инженерию и многие другие. Это наиболее распространенная система координат, используемая в компьютерной графике ,компьютерное геометрическое проектирование и обработка других данных, связанных с геометрией .

История [ править ]

Прилагательное картезианское относится к французскому математику и философу Рене Декарту , который опубликовал эту идею в 1637 году. Она была независимо обнаружена Пьером де Ферма , который также работал в трех измерениях, хотя Ферма не опубликовал открытие. [1] Французский священнослужитель Николь Орем использовал конструкции, подобные декартовым координатам, задолго до времен Декарта и Ферма. [2]

И Декарт, и Ферма использовали одну ось в своих трактах и ​​имеют переменную длину, измеренную относительно этой оси. Концепция использования пары топоров была введена позже, после того, как в 1649 году Франсом ван Скутеном и его учениками была переведена на латынь « Геометрия» Декарта . Эти комментаторы представили несколько концепций, пытаясь прояснить идеи, содержащиеся в работе Декарта. [3]

Развитие системы декартовых координат будет играть основную роль в развитии исчисления по Исаака Ньютона и Лейбниц . [4] Двухкоординатное описание плоскости было позже обобщено до концепции векторных пространств . [5]

Многие другие системы координат были разработаны со времен Декарта, такие как полярные координаты для плоскости, а также сферические и цилиндрические координаты для трехмерного пространства.

Описание [ править ]

Одно измерение [ редактировать ]

Выбор декартовой системы координат для одномерного пространства, то есть прямой линии, включает выбор точки O линии (начало координат), единицы длины и ориентации линии. Ориентация выбирает, какая из двух полупрямых, определяемых O, является положительной, а какая отрицательной; тогда мы говорим, что линия «ориентирована» (или «указывает») от отрицательной половины к положительной половине. Тогда каждая точка Р линии может быть задана расстоянием от O , взятого с + или - в зависимости от которых половина строки содержит P .

Линия с выбранной декартовой системой называется числовой . Каждое действительное число имеет уникальное расположение на линии. И наоборот, каждую точку на линии можно интерпретировать как число в упорядоченном континууме, например действительные числа.

Два измерения [ редактировать ]

Декартовой системы координат в двух измерениях (также называется прямоугольная система координат или ортогональной системы координат [6] ) определяется с помощью упорядоченной пары из перпендикулярных линий (осей), одна единица длины для обеих осей, и ориентации для каждого ось. Точка пересечения осей берется за начало координат для обоих, превращая каждую ось в числовую линию. Для любой точки P , линия проходит через Р перпендикулярна к каждой оси, а положение , где она встречает ось интерпретируется как число. Два числа, в этом выбранном порядке, являются декартовы координаты на Р. Обратная конструкция позволяет определить точку P по ее координатам.

Первые и вторые координаты называются абсциссой и ординатой из Р , соответственно; а точка, где встречаются оси, называется началом системы координат. Координаты обычно записываются в виде двух чисел в скобках в указанном порядке, разделенных запятой, как в (3, −10,5) . Таким образом, начало координат имеет координаты (0, 0) , а точки на положительных полуосях, на расстоянии одной единицы от начала координат, имеют координаты (1, 0) и (0, 1) .

В математике, физике и технике первая ось обычно определяется или изображается как горизонтальная и ориентирована вправо, а вторая ось - вертикальная и ориентирована вверх. (Однако в некоторых контекстах компьютерной графики ось ординат может быть ориентирована вниз.) Начало координат часто обозначается буквой O , а две координаты часто обозначаются буквами X и Y или x и y . Тогда оси могут называться осью X и осью Y-ось. Выбор букв происходит из первоначального соглашения, согласно которому последняя часть алфавита используется для обозначения неизвестных значений. Первая часть алфавита использовалась для обозначения известных значений.

Евклидова плоскость с избранной декартовой системе координат называется декартовой плоскости . В декартовой плоскости можно определить канонических представителей определенных геометрических фигур, таких как единичный круг (с радиусом, равным единице длины и центром в начале координат), единичный квадрат (диагональ которого имеет концы в (0, 0) и (1, 1) ), единичная гипербола и т. Д.

Две оси делят плоскость на четыре прямых угла , называемых квадрантами . Квадранты могут быть названы или пронумерованы по-разному, но квадрант, в котором все координаты положительны, обычно называется первым квадрантом .

Если координаты точки равны ( x , y ) , то расстояние до нее от оси X и от оси Y равно | y | и | x | соответственно; где | ... | обозначает абсолютное значение числа.

Три измерения [ редактировать ]

Трехмерная декартова система координат с началом O и осевыми линиями X , Y и Z , ориентированными, как показано стрелками. Отметки на осях находятся на расстоянии одной единицы длины. Черная точка показывает точку с координатами x = 2 , y = 3 и z = 4 или (2, 3, 4) .

Декартова система координат для трехмерного пространства состоит из упорядоченной тройки линий ( осей ), которые проходят через общую точку (начало координат ) и попарно перпендикулярны; ориентация для каждой оси; и единицу длины для всех трех осей. Как и в двухмерном случае, каждая ось становится числовой линией. Для любой точки P пространства, рассматривать гиперплоскость через P , перпендикулярную к каждой оси координат, и интерпретируют точки , где , что гиперплоскость пересекает ось как число. Декартовы координаты P - это эти три числа в выбранном порядке. Обратная конструкция определяет точку P по ее трем координатам.

В качестве альтернативы, каждая координата точки P может быть принята как расстояние от P до гиперплоскости, определяемой двумя другими осями, со знаком, определяемым ориентацией соответствующей оси.

Каждая пара осей определяет координатную гиперплоскость . Эти гиперплоскости делят пространство на восемь триэдров , называемых октантами .

Октанты: | (+ x, + y, + z) | (-x, + y, + z) | (+ x, + y, -z) | (-x, + y, -z) | (+ x, -y, + z) | (-x, -y, + z) | (+ x, -y, -z) | (-x, -y, -z) |

Координаты обычно записываются в виде трех чисел (или алгебраических формул), заключенных в круглые скобки и разделенных запятыми, как в (3, −2,5, 1) или ( t , u + v , π / 2) . Таким образом, начало координат имеет координаты (0, 0, 0) , а единичные точки на трех осях - это (1, 0, 0) , (0, 1, 0) и (0, 0, 1) .

Стандартных имен для координат по трем осям не существует (однако иногда используются термины абсцисса , ордината и аппликата ). Координаты часто обозначаются буквами X , Y и Z или x , y и z . В этом случае оси могут называться X- осью, Y- осью и Z- осью соответственно. Тогда координатные гиперплоскости можно называть плоскостью XY, плоскостью YZ и плоскостью XZ .

В математике, физике и инженерии первые две оси часто определяются или изображаются как горизонтальные, а третья ось направлена ​​вверх. В этом случае третью координату можно назвать высотой или высотой . Ориентация обычно выбирается так, чтобы угол 90 градусов от первой оси ко второй оси смотрел против часовой стрелки, если смотреть из точки (0, 0, 1) ; конвенция , которая обычно называется правилу правой руки .

Координатные поверхности из декартовых координат ( х , у , г ) . Г ось является вертикальной и х -Axis выделена зеленым цветом. Таким образом, красная гиперплоскость показывает точки с x = 1 , синяя гиперплоскость показывает точки с z = 1 , а желтая гиперплоскость показывает точки с y = −1 . Три поверхности пересекаются в точке P (показана черной сферой) с декартовыми координатами (1, −1, 1 ).

Высшие измерения [ править ]

Поскольку декартовы координаты уникальны и неоднозначны, точки декартовой плоскости могут быть идентифицированы парами действительных чисел ; то есть с декартовым произведением , где - множество всех действительных чисел. Таким же образом точки в любом евклидовом пространстве размерности n отождествляются с наборами (списками) n действительных чисел, то есть с декартовым произведением .

Обобщения [ править ]

Концепция декартовых координат обобщается, чтобы позволить оси, которые не перпендикулярны друг другу, и / или разные единицы вдоль каждой оси. В этом случае каждая координата получается путем проецирования точки на одну ось в направлении, параллельном другой оси (или, в общем, гиперплоскости, определяемой всеми другими осями). В такой наклонной системе координат вычисления расстояний и углов должны быть изменены по сравнению со стандартными декартовыми системами, и многие стандартные формулы (такие как формула Пифагора для расстояния) не выполняются (см. Аффинную плоскость ).

Обозначения и соглашения [ править ]

Декартовы координаты точки обычно записываются в круглых скобках и разделяются запятыми, как в (10, 5) или (3, 5, 7) . Происхождение часто называют с заглавной буквой O . В аналитической геометрии неизвестные или общие координаты часто обозначаются буквами ( x , y ) на плоскости и ( x , y , z ) в трехмерном пространстве. Этот обычай исходит из соглашения об алгебре, которое использует буквы в конце алфавита для неизвестных значений (таких как координаты точек во многих геометрических задачах) и буквы в начале для заданных величин.

Эти общепринятые имена часто используются в других областях, таких как физика и техника, хотя могут использоваться и другие буквы. Например, на графике, показывающем, как давление изменяется со временем , координаты графика могут быть обозначены p и t . Каждая ось обычно называется в честь координаты, которая измеряется вдоль нее; так что один говорит ось х , то ось у , то т-оси и т.д.

Другое распространенное соглашение для именования координат - использовать индексы, как ( x 1 , x 2 , ..., x n ) для n координат в n -мерном пространстве, особенно когда n больше 3 или не указано. Некоторые авторы предпочитают нумерацию ( x 0 , x 1 , ..., x n −1 ). Эти обозначения особенно полезны в компьютерном программировании : при сохранении координат точки в виде массива , а не записи , нижний индекс может служить для индексации координат.

В математических иллюстрациях двумерных декартовых систем первая координата (традиционно называемая абсциссой ) измеряется по горизонтальной оси, ориентированной слева направо. Вторая координата ( ордината ) затем измеряется по вертикальной оси, обычно ориентированной снизу вверх. Маленькие дети, изучающие декартову систему, обычно изучают порядок чтения значений перед закреплением концепций осей x -, y - и z , начиная с двумерной мнемоники (например, «Пройдите по коридору, затем вверх по лестнице», сродни прямой поперек оси x, затем вверх вертикально вдоль оси y ). [7]

Однако компьютерная графика и обработка изображений часто используют систему координат с осью Y, ориентированной вниз на экране компьютера. Это соглашение было разработано в 1960-х (или ранее) из того способа, которым изображения изначально хранились в буферах дисплея .

Для трехмерных систем принято изображать плоскость xy горизонтально с добавлением оси z для обозначения высоты (положительное значение вверх). Кроме того, существует соглашение об ориентации оси x по направлению к наблюдателю, смещенной вправо или влево. Если диаграмма ( трехмерная проекция или двухмерный перспективный чертеж ) показывает оси x и y по горизонтали и вертикали, соответственно, тогда ось z должна быть показана направленной «за пределы страницы» в сторону зрителя или камеры. На такой двумерной диаграмме трехмерной системы координат z-axis будет выглядеть как линия или луч, указывающий вниз и влево или вниз и вправо, в зависимости от предполагаемого зрителя или перспективы камеры . На любой диаграмме или отображении ориентация трех осей в целом произвольна. Однако ориентация осей относительно друг друга всегда должна соответствовать правилу правой руки , если специально не указано иное. Все законы физики и математики предполагают эту праворукость , что обеспечивает последовательность.

Для трехмерных диаграмм имена «абсцисса» и «ордината» редко используются для x и y соответственно. Когда они есть, координату z иногда называют аппликатой . Слова абсцисса , ордината и аппликата иногда используются для обозначения осей координат, а не значений координат. [6]

Квадранты и октанты [ править ]

Четыре квадранта декартовой системы координат

Оси двумерной декартовой системе координат делят плоскость на четыре бесконечных областей, называемых квадранта , [6] каждая ограничена двумя полуосей. Они часто нумеруются с 1-го по 4-й и обозначаются римскими цифрами : I (где знаки двух координат - I (+, +), II (-, +), III (-, -) и IV (+, -). Когда оси строятся по математическому обычаю, нумерация идет против часовой стрелки, начиная с верхнего правого («северо-восточного») квадранта.

Аналогично, трехмерная декартова система определяет деление пространства на восемь регионов или октанты , [6] в соответствии со знаками координат точек. Условие, используемое для наименования конкретного октанта, состоит в перечислении его знаков, например (+ + +) или (- + -) . Обобщение квадранта и октанта до произвольного числа измерений - это ортант , и применяется аналогичная система именования.

Декартовы формулы для плоскости [ править ]

Расстояние между двумя точками [ править ]

Евклидово расстояние между двумя точками на плоскости с декартовыми координатами и является

Это декартова версия теоремы Пифагора . В трехмерном пространстве расстояние между точками и равно

которое может быть получено двумя последовательными применениями теоремы Пифагора. [8]

Евклидовы преобразования [ править ]

В евклидовых преобразования или евклидовы движения являются ( биективным ) отображением точек евклидовой плоскости на себя, сохраняющие расстояния между точками. Есть четыре типа этих отображений (также называемых изометриями): смещения , вращения , отражения и отражения скольжения . [9]

Перевод [ править ]

Перемещение набора точек плоскости с сохранением расстояний и направлений между ними эквивалентно добавлению фиксированной пары чисел ( a , b ) к декартовым координатам каждой точки в наборе. То есть, если исходные координаты точки ( x , y ) , после перевода они будут

Вращение [ править ]

Для того, чтобы повернуть фигуру против часовой стрелки вокруг начала координат на некоторый угол эквивалентно замене каждой точки с координатами ( х , у ) по точке с координатами ( х « у» ), где

Таким образом:

Отражение [ править ]

Если ( x , y ) - декартовы координаты точки, то (- x , y ) - координаты ее отражения через вторую координатную ось (ось y), как если бы эта линия была зеркалом. Точно так же ( x , - y ) - координаты его отражения относительно первой координатной оси (оси x). В более общем смысле, отражение через линию через начало координат, образующую угол с осью x, эквивалентно замене каждой точки с координатами ( x , y ) точкой с координатами (x ′, y ′) , где

Таким образом:

Скользящее отражение [ править ]

Скользящее отражение - это композиция отражения, пересекающего линию, с последующим перемещением в направлении этой линии. Видно, что порядок этих операций не имеет значения (сначала может идти перевод, а затем отражение).

Общая матричная форма преобразований [ править ]

Эти евклидовы преобразования плоскости могут быть описаны единообразно с помощью матриц. Результат применения евклидова преобразования к точке дается формулой

где A - ортогональная матрица 2 × 2, а b = ( b 1 , b 2 ) - произвольная упорядоченная пара чисел; [10] то есть

куда

[Векторы-строки используются для координат точки, а матрица написана справа.]

Чтобы быть ортогональной , матрица A должна иметь ортогональные строки с одинаковой евклидовой длиной, равной единице, то есть

и

Это эквивалентно тому, что A раз его транспонирование должно быть единичной матрицей . Если эти условия не выполняются, то формула описывает более общее аффинное преобразование плоскости при условии , что определитель из A не равен нулю.

Формула определяет перевод тогда и только тогда, когда A - единичная матрица . Преобразование - это вращение вокруг некоторой точки тогда и только тогда, когда A является матрицей вращения , что означает, что

Отражение или скользящее отражение получается, когда,

Предполагая, что перевод не используется, преобразования можно комбинировать, просто перемножая соответствующие матрицы преобразования.

Аффинное преобразование [ править ]

Другой способ представления преобразований координат в декартовых координатах - это аффинные преобразования . При аффинных преобразованиях добавляется дополнительное измерение, и всем точкам присваивается значение 1 для этого дополнительного измерения. Преимущество этого в том , что точка переводы могут быть указаны в последнем столбце матрицы A . Таким образом, все евклидовы преобразования становятся доступными для операций матричного умножения на точки. Аффинное преобразование задается следующим образом:

[Обратите внимание, что матрица A сверху была транспонирована. Матрица находится слева, и используются векторы-столбцы для координат точек.]

Используя аффинные преобразования, можно объединить несколько различных евклидовых преобразований, включая перевод, простым умножением соответствующих матриц.

Масштабирование [ править ]

Пример аффинного преобразования, которое не является евклидовым движением, дается масштабированием. Увеличение или уменьшение фигуры эквивалентно умножению декартовых координат каждой точки на одно и то же положительное число m . Если ( x , y ) - координаты точки на исходной фигуре, соответствующая точка на масштабированной фигуре имеет координаты

Если m больше 1, цифра становится больше; если m находится между 0 и 1, оно становится меньше.

Стрижка [ править ]

Стрижка трансформация будет толкать верх квадрата боком , чтобы сформировать параллелограмм. Горизонтальный сдвиг определяется:

Стрижка может применяться и вертикально:

Ориентация и руки [ править ]

В двух измерениях [ править ]

Правило правой руки

Фиксация или выбор оси x определяет направление оси y вверх. А именно, у оси х будет обязательно перпендикулярно к й -Axis через точку отмеченной 0 на й Оу. Но есть выбор, какую из двух половинных линий на перпендикуляре обозначить как положительную, а какую как отрицательную. Каждый из этих двух вариантов определяет различную ориентацию (также называемую хиральностью ) декартовой плоскости.

Обычный способ ориентирования плоскости с положительной осью x, направленной вправо, и положительной осью y, направленной вверх (при этом ось x является «первой», а ось y - «второй» осью), считается положительная или стандартная ориентация, также называемая правосторонней ориентацией.

Обычно используемая мнемоника для определения положительной ориентации - это правило правой руки . Поместите несколько замкнутую правую руку на плоскость с большим пальцем вверх, указав пальцы от оси x к оси y в положительно ориентированной системе координат.

Другой способ ориентировать самолет - следовать правилу левой руки , положив левую руку на плоскость большим пальцем вверх.

Когда большой палец направлен от начала координат вдоль оси к положительному положению, кривизна пальцев указывает на положительное вращение вдоль этой оси.

Независимо от правила, используемого для ориентирования плоскости, поворот системы координат сохранит ориентацию. Переключение любых двух осей изменит ориентацию на обратную, но переключение обеих оставит ориентацию неизменной.

В трех измерениях [ править ]

Рис. 7 - Левая ориентация показана слева, а правая - справа.
Рис. 8 - Правая декартова система координат с указанием координатных плоскостей.

Как только оси x и y указаны, они определяют линию, вдоль которой должна лежать ось z , но для этой линии есть два возможных направления. Возникающие в результате две возможные системы координат называются «правая» и «левая». Стандартная ориентация, при которой плоскость xy горизонтальна, а ось z направлена вверх (а оси x и y образуют положительно ориентированную двумерную систему координат в плоскости xy, если смотреть сверху на плоскость xy ) называется правосторонним или положительным .

Трехмерная декартова координатная стрелка

Название происходит от правила правой руки . Если указательный палец правой руки направлен вперед, средний палец согнут внутрь под прямым углом к ​​нему, а большой палец расположен под прямым углом к ​​обоим, три пальца указывают относительную ориентацию x -, y -, и z- оси в правой системе. Большой палец указывает ось x , указательный палец - ось y, а средний палец - ось z . И наоборот, если то же самое проделать левой рукой, получится система для левой руки.

На рисунке 7 изображены левая и правая системы координат. Поскольку трехмерный объект отображается на двухмерном экране, возникают искажения и неоднозначность. Ось, направленная вниз (и вправо), также предназначена для направления на наблюдателя, тогда как «средняя» ось предназначена для направления в сторону от наблюдателя. Красный круг параллелен горизонтальной плоскости xy и указывает вращение от оси x к оси y (в обоих случаях). Следовательно, красная стрелка проходит перед г Оу.

Рисунок 8 - еще одна попытка изобразить правую систему координат. Опять же, возникает неоднозначность, вызванная проецированием трехмерной системы координат на плоскость. Многие наблюдатели видят рисунок 8 как «переворот» между выпуклым кубом и вогнутым «углом». Это соответствует двум возможным ориентациям пространства. Если смотреть на фигуру как выпуклую, это дает левую систему координат. Таким образом, «правильный» способ просмотра Рисунок 8 представляет себе представить х оси х , как указывает в сторону наблюдателя , и , таким образом , видя вогнутый угол.

Представление вектора в стандартном базисе [ править ]

Точка в пространстве в декартовой системе координат также может быть представлена вектором положения , который можно рассматривать как стрелку, указывающую от начала системы координат к точке. [11] Если координаты представляют собой пространственные положения (смещения), обычно вектор от начала координат до интересующей точки представляется как . В двух измерениях вектор от начала координат до точки с декартовыми координатами (x, y) может быть записан как:

где и - единичные векторы в направлении оси x и оси y, соответственно, обычно называемые стандартной базой (в некоторых областях применения они также могут называться версорами ). Точно так же в трех измерениях вектор от начала координат до точки с декартовыми координатами можно записать как: [12]

где и

Не существует естественной интерпретации умножения векторов для получения другого вектора, который работает во всех измерениях, однако есть способ использовать комплексные числа для обеспечения такого умножения. В двумерной декартовой плоскости отождествите точку с координатами ( x , y ) с комплексным числом z = x + iy . Здесь i - мнимая единица, отождествляемая с точкой с координатами (0, 1) , поэтому это не единичный вектор в направлении x-ось. Поскольку комплексные числа можно умножать, получая другое комплексное число, эта идентификация обеспечивает средство «умножения» векторов. В трехмерном декартовом пространстве аналогичная идентификация может быть сделана с подмножеством кватернионов .

Приложения [ править ]

Декартовы координаты - это абстракция, имеющая множество возможных применений в реальном мире. Тем не менее, для наложения координат на проблемное приложение используются три конструктивных шага. 1) Необходимо выбрать единицы измерения расстояния, определяющие пространственный размер, представленный числами, используемыми в качестве координат. 2) Начало координат должно быть присвоено определенному пространственному положению или ориентиру, и 3) ориентация осей должна быть определена с использованием доступных ориентиров для всех осей, кроме одной.

Рассмотрим в качестве примера наложение трехмерных декартовых координат на все точки на Земле (то есть геопространственное трехмерное изображение). Какие единицы имеют смысл? Километры - хороший выбор, поскольку первоначальное определение километра было геопространственным - 10 000 км равнялись расстоянию от экватора до Северного полюса на поверхности. Где разместить происхождение? Основываясь на симметрии, гравитационный центр Земли предполагает естественный ориентир (который можно обнаружить с помощью спутниковых орбит). Наконец, как сориентировать оси X, Y и Z? Ось вращения Земли обеспечивает естественную ориентацию, тесно связанную с принципом «вверх-вниз», поэтому положительное значение Z может принимать направление от геоцентра к Северному полюсу. Местоположение на экваторе необходимо для определения оси X и нулевого меридиана.выделяется как справочная ориентация, поэтому ось X принимает ориентацию от геоцентра до 0 градусов долготы, 0 градусов широты. Обратите внимание, что при трех измерениях и двух ориентациях перпендикулярных осей, закрепленных для X и Z, ось Y определяется первыми двумя вариантами. Чтобы подчиняться правилу правой руки, ось Y должна указывать из геоцентра на 90 градусов долготы и 0 градусов широты. Так каковы геоцентрические координаты Эмпайр-стейт-билдинг в Нью-Йорке? С долготы -73,985656 градусов, широты 40,748433 градуса и радиуса Земли 40 000 / 2π км и преобразования из сферических координат в декартовы, вы можете оценить геоцентрические координаты Эмпайр-стейт-билдинг ( x , y , z) = (1330,53 км, –4635,75 км, 4155,46 км). GPS-навигация основана на таких геоцентрических координатах.

В инженерных проектах решающее значение имеет согласование определения координат. Нельзя предполагать, что координаты заранее определены для нового приложения, поэтому знание того, как построить систему координат там, где ее нет, необходимо для применения мышления Рене Декарта.

В то время как пространственные приложения используют одинаковые единицы измерения по всем осям, в деловых и научных приложениях каждая ось может иметь разные единицы измерения, связанные с ней (например, килограммы, секунды, фунты и т. Д.). Хотя четырехмерные и многомерные пространства трудно визуализировать, алгебру декартовых координат можно относительно легко расширить до четырех или более переменных, так что могут быть выполнены определенные вычисления с участием многих переменных. (Такого рода алгебраическое расширение используется для определения геометрии пространств более высокой размерности.) И наоборот, часто бывает полезно использовать геометрию декартовых координат в двух или трех измерениях для визуализации алгебраических отношений между двумя или тремя из многих не -пространственные переменные.

График функции или отношения есть множество всех точек , удовлетворяющих эту функцию или отношение. Для функции одной переменной f - это набор всех точек ( x , y ) , где y = f ( x ) - график функции f . Для функции g двух переменных множество всех точек ( x , y , z ) , где z = g ( x , y ) - график функцииг . Набросок графика такой функции или отношения будет состоять из всех основных частей функции или отношения, которые будут включать ее относительные экстремумы, ее вогнутость и точки перегиба, любые точки разрыва и ее конечное поведение. Все эти термины более полно определены в исчислении. Такие графики полезны в исчислении, чтобы понять природу и поведение функции или отношения.

См. Также [ править ]

  • Горизонтально и вертикально
  • Диаграмма Джонса , которая отображает четыре переменных, а не две
  • Ортогональные координаты
  • Полярная система координат
  • Обычная сетка
  • Сферическая система координат

Ссылки [ править ]

  1. ^ Бикс, Роберт А .; Д'Суза, Гарри Дж. «Аналитическая геометрия» . Encyclopdia Britannica . Дата обращения 6 августа 2017 .
  2. ^ Кент, Александр J .; Вуякович, Питер (4 октября 2017 г.). Справочник Рутледжа по картированию и картографии . Рутледж. ISBN 9781317568216.
  3. Перейти ↑ Burton 2011 , p. 374
  4. ^ Экскурсия по исчислению, Дэвид Берлински
  5. ^ Axler, Шелдон (2015). Линейная алгебра сделано правильно - Спрингер . Тексты для бакалавриата по математике. п. 1. DOI : 10.1007 / 978-3-319-11080-6 . ISBN 978-3-319-11079-0.
  6. ^ a b c d "Декартова ортогональная система координат" . Энциклопедия математики . Дата обращения 6 августа 2017 .
  7. ^ «Диаграммы и графики: выбор правильного формата» . www.mindtools.com . Проверено 29 августа 2017 года .
  8. ^ Хьюз-Халлетт, Дебора; Маккаллум, Уильям Дж .; Глисон, Эндрю М. (2013). Исчисление: одно и многомерное (6 изд.). Джон Вили. ISBN 978-0470-88861-2.
  9. Smart 1998 , гл. 2
  10. ^ Бреннан, Esplen & Gray 1998 , стр. 49
  11. ^ Браннан, Эсплен и Грей 1998 , Приложение 2, стр. 377–382
  12. ^ Дэвид Дж. Гриффитс (1999). Введение в электродинамику . Прентис Холл. ISBN 978-0-13-805326-0.

Источники [ править ]

  • Браннан, Дэвид А .; Эсплен, Мэтью Ф .; Грей, Джереми Дж. (1998), Геометрия , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-59787-6
  • Бертон, Дэвид М. (2011), История математики / Введение (7-е изд.), Нью-Йорк: Макгроу-Хилл, ISBN 978-0-07-338315-6
  • Смарт, Джеймс Р. (1998), Современная геометрия (5-е изд.), Pacific Grove: Brooks / Cole, ISBN 978-0-534-35188-5

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Декарт, Рене (2001). Дискурс о методе, оптике, геометрии и метеорологии . Перевод Пола Дж. Оскэмпа (отредактированная ред.). Индианаполис, штат Индиана: Hackett Publishing. ISBN 978-0-87220-567-3. OCLC  488633510 .
  • Корн Г.А., Корн Т.М. (1961). Математический справочник для ученых и инженеров (1-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С.  55–79 . LCCN  59-14456 . OCLC  19959906 .
  • Маргенау H , Мерфи GM (1956). Математика физики и химии . Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. LCCN  55-10911 .
  • Мун П., Спенсер Д.Е. (1988). «Прямоугольные координаты (x, y, z)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е, 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 9–11 (Таблица 1.01). ISBN 978-0-387-18430-2.
  • Морзе PM , Фешбах H (1953). Методы теоретической физики, часть I . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-043316-8. LCCN  52-11515 .
  • Зауэр Р., Сабо I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Нью-Йорк: Springer Verlag. LCCN  67-25285 .

Внешние ссылки [ править ]

  • Декартова система координат
  • MathWorld описание декартовых координат
  • Конвертер координат - конвертирует полярные, декартовы и сферические координаты
  • Координаты точки Интерактивный инструмент для исследования координат точки
  • класс JavaScript с открытым исходным кодом для манипулирования декартовой системой координат 2D / 3D