В математике метрика Кэли – Клейна - это метрика в дополнении фиксированной квадрики в проективном пространстве, которая определяется с помощью перекрестного отношения . Конструкция возникла из эссе Артура Кэли «К теории расстояния» [1], где он называет квадрику абсолютом . Более подробно конструкция была разработана Феликсом Кляйном в статьях 1871 и 1873 годов, а также в последующих книгах и статьях. [2] Метрики Кэли – Клейна являются объединяющей идеей в геометрии, поскольку этот метод используется для обеспечения метрик в гиперболической геометрии , эллиптической геометрии., и евклидова геометрия . Область неевклидовой геометрии в значительной степени опирается на метрику Кэли – Клейна.
Фонды
Алгебра бросает на Карла фон Staudt (1847) представляет собой подход к геометрии , которая не зависит от метрики . Идея заключалась в том, чтобы использовать отношение проективных гармонических сопряжений и перекрестных отношений как фундаментальное для измерения на прямой. [3] Еще одно важного понимания было формула лагерра по Лагерру (1853), который показал , что евклидово угла между двумя линиями может быть выражен в виде логарифмов в поперечном соотношении. [4] В конце концов, Кэли (1859) сформулировал соотношения для выражения расстояния в терминах проективной метрики и связал их с общими квадриками или кониками, служащими абсолютом геометрии. [5] [6] Кляйн (1871, 1873) удалил последние остатки метрических концепций из работы фон Штаудта и объединил их с теорией Кэли, чтобы основать новую метрику Кэли на логарифме и перекрестном отношении как числе, порожденном геометрическое расположение четырех точек. [7] Эта процедура необходима, чтобы избежать кругового определения расстояния, если поперечное отношение - это просто двойное отношение ранее определенных расстояний. [8] В частности, он показал, что неевклидовы геометрии могут быть основаны на метрике Кэли – Клейна. [9]
Геометрия Кэли – Клейна - это исследование группы движений, которые оставляют метрический инвариант Кэли – Клейна . Это зависит от выбора квадрики или коники, которая становится абсолютом пространства. Эта группа получается как коллинеации, для которых абсолют устойчив . Действительно, перекрестное отношение инвариантно при любой коллинеации, а стабильный абсолют позволяет проводить сравнение показателей, которое будет равенством. Например, единичная окружность - это абсолют модели диска Пуанкаре и модели Бельтрами – Клейна в гиперболической геометрии . Точно так же действительная прямая является абсолютом модели полуплоскости Пуанкаре .
Степень применения геометрии Кэли-Клейна была резюмирована Хорстом и Рольфом Струве в 2004 г .: [10]
- Есть три абсолюта в реальной проективной линии, семь в реальной проективной плоскости и 18 в реальном проективном пространстве. Таким образом можно определить все классические неевклидовы проективные пространства как гиперболические, эллиптические, галилеевы и минковские и их двойственные.
Диаграммы Кэли-Клейна Вороного - это аффинные диаграммы с линейными биссектрисами гиперплоскости . [11]
Поперечное соотношение и расстояние
Предположим, что Q - фиксированная квадрика в проективном пространстве, которая становится абсолютом этой геометрии. Если a и b - 2 точки, то прямая, проходящая через a и b, пересекает квадрику Q еще в двух точках p и q . Расстояние Кэли – Клейна d ( a , b ) от a до b пропорционально логарифму перекрестного отношения : [12]
- для некоторых фиксированных постоянная C .
Когда C реально, оно представляет собой гиперболическое расстояние гиперболической геометрии , когда мнимое - это эллиптическая геометрия . Абсолют также может быть выражен в терминах произвольных квадрик или коник, имеющих форму в однородных координатах :
(где α , β = 1,2,3 относится к плоскости, а α , β = 1,2,3,4 - к пространству), таким образом: [13]
Соответствующее гиперболическое расстояние (с C = 1/2 для упрощения): [14]
или в эллиптической геометрии (с C = i / 2 для упрощения) [15]
Нормальные формы абсолюта
Любая квадрика (или поверхность второго порядка) с действительными коэффициентами видамогут быть преобразованы в нормальные или канонические формы в терминах сумм квадратов, в то время как разница в количестве положительных и отрицательных знаков не меняется при реальном однородном преобразовании определителя by 0 по закону инерции Сильвестра со следующей классификацией ( «нулевая часть» означает действительное уравнение квадрики, но без вещественных точек): [16]
- Правильные поверхности второго порядка .
- . Поверхность с нулевыми частями.
- . Овальная поверхность.
- Эллипсоид
- Эллиптический параболоид
- Двухлистный гиперболоид
- . Поверхность кольца.
- Однолистовой гиперболоид
- Гиперболический параболоид
- Конические поверхности второго порядка .
- . Конус с нулевой детализацией.
- Конус с нулевой детализацией
- Цилиндр с нулевым содержанием деталей
- . Обычный конус.
- Конус
- Эллиптический цилиндр
- Параболический цилиндр
- Гиперболический цилиндр
- . Конус с нулевой детализацией.
- Плоские пары .
- . Сопряженные пары воображаемых плоскостей.
- Взаимно пересекающиеся воображаемые плоскости.
- Параллельные воображаемые плоскости.
- . Реальные пары самолетов.
- Взаимно пересекающиеся плоскости.
- Параллельные плоскости.
- Одна плоскость конечна, другая бесконечно удалена, поэтому с аффинной точки зрения не существует.
- . Сопряженные пары воображаемых плоскостей.
- Двойной счет самолетов .
- .
- Конечная плоскость с двойным счетом.
- Двойной счет бесконечно удаленной плоскости, не существующей в аффинной геометрии.
- .
В коллинеации оставляя инвариантную эти формы может быть связана с дробно - линейными преобразованиями или преобразованиями Мёбиуса . [17] Такие формы и их преобразования теперь могут быть применены к нескольким типам пространств, которые могут быть объединены с помощью параметра ε (где ε = 0 для евклидовой геометрии, ε = 1 для эллиптической геометрии, ε = −1 для гиперболической геометрии). ), так что уравнение на плоскости принимает вид[18] и в космосе. [19] Например, абсолют для евклидовой плоскости теперь может быть представлен как. [20]
Эллиптическая плоскость или пространство связаны с поверхностями нулевой части в однородных координатах: [21]
или с использованием неоднородных координат посредством чего абсолют становится воображаемым единичным кругом или единичной сферой: [22]
или выразив однородные координаты через условие (Координаты Вейерштрасса) расстояние упрощается до: [23]
Гиперболическая плоскость или пространство связаны с овальной поверхностью в однородных координатах: [24]
или с использованием неоднородных координат при котором абсолют становится единичным кругом или единичной сферой: [25]
или выразив однородные координаты через условие (Координаты Вейерштрасса модели гиперболоида ) расстояние упрощается до: [26]
Специальная теория относительности
В своих лекциях по истории математики 1919/20, опубликованных посмертно в 1926 году, Кляйн писал: [27]
- Дело в четырехмерном мире или (оставаться в трех измерениях и использовать однородные координаты ) недавно приобрело особое значение благодаря теории относительности в физике.
То есть абсолюты или же в гиперболической геометрии (как обсуждалось выше) соответствуют интервалам или же в пространстве-времени , и его преобразование, оставляющее абсолютный инвариант, может быть связано с преобразованиями Лоренца . Точно так же уравнения единичной окружности или единичной сферы в гиперболической геометрии соответствуют физическим скоростям или же в теории относительности, которые ограничены скоростью света c , так что для любой физической скорости v отношение v / c ограничено внутренней частью единичной сферы, а поверхность сферы образует абсолют Кэли для геометрии.
Дополнительные подробности о связи между метрикой Кэли – Клейна для гиперболического пространства и пространством Минковского специальной теории относительности были указаны Клейном в 1910 г. [28], а также в издании 1928 г. его лекций по неевклидовой геометрии. [29]
Аффинная CK-геометрия
В 2008 году Хорст Мартини и Маргарита Спирова обобщили первую из теорем Клиффорда о круге и другую евклидову геометрию, используя аффинную геометрию, связанную с абсолютом Кэли:
- Если абсолют содержит линию, то получается подсемейство аффинных геометрий Кэли-Клейна . Если абсолют состоит из прямой f и точки F на f , то мы имеем изотропную геометрию . Изотропный круг является коническими трогательными е в F . [30]
Используйте однородные координаты ( x, y, z ). Линия f на бесконечности равна z = 0. Если F = (0,1,0), то парабола с диаметром, параллельным оси y, является изотропной окружностью.
Пусть P = (1,0,0) и Q = (0,1,0) находится на абсолюте, поэтому f такое же, как указано выше. Считается, что прямоугольная гипербола в плоскости ( x, y ) проходит через точки P и Q на бесконечно удаленной прямой. Эти кривые представляют собой псевдоевклидовы окружности.
В трактовке Мартини и Спировой используются двойственные числа для изотропной геометрии и расщепленные комплексные числа для псевдоевклидовой геометрии. Эти обобщенные комплексные числа связаны со своей геометрией, как обычные комплексные числа с евклидовой геометрией.
История
Кэли
Литтлвуд (1986 , стр. 39–40).
Артур Кэли (1859) определил «абсолют», на котором он основал свою проективную метрику, как общее уравнение поверхности второй степени в терминах однородных координат : [1]
оригинал | современный |
---|---|
Расстояние между двумя точками тогда определяется как
оригинал | современный |
---|---|
В двух измерениях
оригинал | современный |
---|---|
с расстояния
оригинал | современный |
---|---|
из которых он обсуждал особый случай с расстояния
Он также сослался на дело (единичная сфера).
Кляйн
Феликс Кляйн (1871) переформулировал выражения Кэли следующим образом: он записал абсолют (который он назвал фундаментальным коническим сечением) в терминах однородных координат: [31]
оригинал | современный |
---|---|
и формируя абсолюты а также для двух элементов он определил метрическое расстояние между ними через поперечное отношение:
На плоскости справедливы те же соотношения для метрических расстояний, за исключением того, что а также теперь связаны с тремя координатами каждый. В качестве основного конического сечения он рассмотрел частный случай, который относится к гиперболической геометрии, когда она действительна, и к эллиптической геометрии, когда она мнима. [32] Преобразования, оставляющие эту форму неизменной, представляют движения в соответствующем неевклидовом пространстве. В качестве альтернативы он использовал уравнение круга в виде, которая относится к гиперболической геометрии, когда положительна (модель Бельтрами – Клейна) или эллиптической геометрии, когда отрицательный. [33] в пространстве, он обсуждал основные поверхности второй степени, в соответствии с которым мнимыми относятся к эллиптической геометрии, действительные и прямолинейные соответствуют один листам гиперболоида с никакого отношения к одной из трех основных геометрических форм, а реальные и недревесный -прямолинейные относятся к гиперболическому пространству.
В своей статье 1873 года он указал на связь между метрикой Кэли и группами преобразований. [34] В частности, квадратные уравнения с вещественными коэффициентами, соответствующие поверхности второй степени, может быть преобразованы в сумму квадратов, из которых разность между числом положительных и отрицательных признаками остаются равными (теперь это называется закон Сильвестра из инерции ). Если знак у всех квадратов одинаковый, поверхность мнимая с положительной кривизной. Если один знак отличается от других, поверхность становится эллипсоид или два листа гиперболоида с отрицательной кривизной.
В первом томе его лекций по неевклидовой геометрии в зимнем семестре 1889/90 (опубликовано 1892/1893), он обсуждал неевклидовую плоскость, используя эти выражения для абсолюта: [35]
и обсудили их инвариантность относительно коллинеаций и преобразований Мёбиуса, представляющих движения в неевклидовых пространствах.
Во втором томе , содержащего лекцию летнего семестра 1890 (также опубликованной 1892/1893), Клейн обсуждался Неевклидов пространство с метрикой Кэлей [36]
и продолжил, чтобы показать, что варианты этой четвертичной квадратичной формы могут быть приведены к одной из следующих пяти форм вещественными линейными преобразованиями [37]
Форма был использован в качестве Klein Кэли абсолютным эллиптической геометрии, [38] , а в гиперболической геометрии он имел отношение и альтернативно уравнение единичной сферы . [39] В конце концов он обсудил их инвариантность относительно коллинеаций и преобразований Мёбиуса , представляющего движение в неевклидовых пространств.
Роберт Фрике и Кляйн резюмировали все это во введении к первому тому лекций по автоморфным функциям 1897 года, в котором они использовали как абсолют в плоской геометрии, и также как и для гиперболического пространства. [40] Лекции Клейна по неевклидовой геометрии были посмертно переизданный в виде одного тома и значительно под редакцией Walther Роземанн в 1928 г. [41] Исторический анализ работы Клейна по неевклидовой геометрии было дано А'Кампо и Пападопулос (2014) . [9]
Смотрите также
- Метрика Гильберта
Заметки
- ^ a b Кэли (1859), стр 82, §§209-229
- ^ Клейн (1871, 1873), Кляйн (1893ab), Фрике / Klein (1897), Кляйн (1910), Klein / Акерман (1926/1979), Klein / Роземанн (1928)
- ^ Клейн & Роземанн (1928), стр. 163
- ^ Клейн & Роземанн (1928), стр. 138
- ^ Клейн & Роземанн (1928), стр. 303
- Перейти ↑ Pierpont (1930), p. 67ff
- ^ Клейн & Роземанн (1928), стр. 163, 304
- ^ Рассел (1898), стр.
- ^ a b Кампо и Пападопулос (2014)
- ↑ H & R Struve (2004), стр.157
- ^ Нильсен (2016)
- ^ Клейн & Роземанн (1928), стр. 164
- ^ Клейн & Роземанн (1928), стр. 167ff
- ^ Веблен & Young (1918), стр. 366
- ↑ Веблен и Янг (1918), стр. 372
- ^ Клейн & Роземанн (1928), стр. 68; См. Также классификации на стр. 70, 72, 74, 85, 92.
- ^ Klein & Роземанн (1928), глава III
- ^ Клейн & Роземанн (1928), стр. 109f
- ^ Клейн & Роземанн (1928), стр. 125f
- ↑ Klein & Rosemann (1928), стр. 132f
- ^ Клейн & Роземанн (1928), стр. 149, 151, 233
- ↑ Либманн (1923), стр. 111, 118
- ↑ Killing (1885), стр. 18, 57, 71 с k 2 = 1 для эллиптической геометрии
- ^ Клейн & Роземанн (1928), стр. 185, 251
- ^ Хаусдорфово (1899 г.), стр. 192 для самолета
- ^ Киллинг (1885), стр 18, 57, 71 с k 2 = -1 для гиперболической геометрии
- ^ Клейн / Акерман (1926/1979), стр. 138
- ^ Кляйн (1910)
- ^ Klein & Роземанн (1928), глава XI, § 5
- ^ Мартини и Спирова (2008)
- ^ Клейн (1871 г.), стр. 587
- ^ Кляйн (1871), стр. 601
- ^ Кляйн (1871), стр. 618
- ^ Кляйн (1873), § 7
- ^ Клейн (1893a), стр. 64, 94, 109, 138
- ^ Кляйн (1893b), стр. 61
- ^ Кляйн (1893b), стр. 64
- ^ Клейн (1893b), стр. 76ff, 108ff
- ^ Клейн (1893b), стр. 82ff, 142ff
- ^ Фрике & Klein (1897), Введение стр. 1-60
- ^ Клейн & Роземанн (1928)
Рекомендации
- Исторический
- фон Штаудт, К. (1847). Geometrie der Lage . Нюрнберг: Нюрнберг Ф. Корн.
- Лагер, Э. (1853). «Обратите внимание сюр - ла - Théorie де Фойе» . Nouvelles Annales де Mathématiques . 12 : 57-66.
- Кэли, А. (1859). «Шестой Мемуар на quantics» . Философские труды Королевского общества в Лондоне . 149 : 61-90. DOI : 10,1098 / rstl.1859.0004 .
- Кляйн, Ф. (1871). "Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie" . Mathematische Annalen . 4 (4): 573–625. DOI : 10.1007 / BF02100583 .
- Кляйн, Ф. (1873). "Ueber умереть sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie" . Mathematische Annalen . 6 (2): 112-145. DOI : 10.1007 / BF01443189 .
- Кляйн, Ф. (1893a). Шиллинг, о. (ред.). Nicht-Euklidische Geometrie I, Vorlesung gehalten während де Wintersemesters 1889-90 . Гёттинген. (второй отпечаток, первый отпечаток 1892 г.)
- Кляйн, Ф. (1893b). Шиллинг, о. (ред.). Nicht-Euklidische Geometrie II, Vorlesung gehalten während des Sommersemesters 1890 . Гёттинген. (второй отпечаток, первый отпечаток 1892 г.)
- Вторичные источники
- Киллинг, W. (1885). Die nicht-euklidischen Raumformen . Лейпциг: Тойбнер.
- Fricke, R .; Кляйн, Ф. (1897). Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen - Erster Band: Die gruppentheoretischen Grundlagen . Лейпциг: Тойбнер.
- Бертран Рассел (1898) «Очерк основ геометрии» , переизданный в 1956 г. компанией Dover Books
- Альфред Норт Уайтхед (1898) Универсальная алгебра , Книга VI Глава 1: Теория расстояния, стр. 347–70, особенно раздел 199 Теория расстояния Кэли.
- Хаусдорф, Ф. (1899). "Аналитиче Байтраге цур nichteuklidischen Geometrie" . Leipziger Math.-Phys. Берихте . 51 : 161–214.
- Дункан Соммервилл (1910/11) "Метрики Кэли – Клейна в n -мерном пространстве", Труды Эдинбургского математического общества 28: 25–41.
- Кляйн, Феликс (1910). . Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 19 : 533–552. DOI : 10.1007 / 978-3-642-51960-4_31 . ISBN 978-3-642-51898-0. Перепечатано в Кляйн, Феликс (1921). Gesammelte Mathematische Abhandlungen . 1 . С. 533–552. DOI : 10.1007 / 978-3-642-51960-4_31 .Английский перевод Дэвида Дельфениха: О геометрических основах группы Лоренца
- Веблен О. и Янг Дж. В. (1918). Проективная геометрия . Бостон: Джинн.
- Либманн, Х. (1923). Nichteuklidische Geometrie . Берлин и Лейпциг: Берлин В. де Грюйтер.
- Кляйн, Ф. (1926). Courant, R .; Нойгебауэр, О. (ред.). Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert . Берлин: Springer.; Английский перевод: М. Акерман, « Развитие математики в XIX веке », Math Sci Press
- Кляйн, Ф. (1928). Роземанн, W. (ред.). Vorlesungen über nicht-Euklidische Geometrie . Берлин: Springer.
- Пьерпон, Дж. (1930). «Неевклидова геометрия, ретроспектива». Бюллетень Американского математического общества . 36 (2): 66–76. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1930-04885-5 .
- Литтлвуд, JE (1986) [1953], сборник Литтлвуда , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-33058-9, Руководство по ремонту 0872858
- Харви Липкин (1985) Метрическая геометрия из Технологического института Джорджии
- Струве, Хорст; Струве, Рольф (2004), "Проективные пространства с метрикой Кэли-Клейна", журнал геометрии , 81 (1): 155-167, DOI : 10.1007 / s00022-004-1679-5 , ISSN 0047-2468 , МР 2134074
- Мартини Хорст, Спирова Маргарита (2008). "Геометрия окружности в аффинных плоскостях Кэли-Клейна". Periodica Mathematica Hungarica . 57 (2): 197–206. DOI : 10.1007 / s10998-008-8197-5 .
- Струве, Хорст; Струве, Рольф (2010), "неевклидовых геометрий: Кэли-Клейна подход", Журнал геометрии , 89 (1): 151-170, DOI : 10.1007 / s00022-010-0053-Z , ISSN 0047-2468 , Руководство по ремонту 2739193
- A'Campo, N .; Пападопулос, А. (2014). «О так называемой неевклидовой геометрии Клейна». In Ji, L .; Пападопулос А. (ред.). Софус Ли и Феликс Кляйн: программа Эрлангена и ее влияние на математику и физику . С. 91–136. arXiv : 1406,7309 . DOI : 10,4171 / 148-1 / 5 . ISBN 978-3-03719-148-4.
- Нильсен, Франк; Музеллец, Борис; Нок, Ричард (2016), «Классификация со смесями изогнутых метрик Махаланобиса», Международная конференция IEEE по обработке изображений (ICIP) , 2016 г. , стр. 241–245, doi : 10.1109 / ICIP.2016.7532355 , ISBN 978-1-4673-9961-6
дальнейшее чтение
- Ян Дрёслер (1979) «Основы многомерного метрического масштабирования в геометриях Кэли-Клейна», Британский журнал математической и статистической психологии 32 (2); 185–211