В математике кардинальная функция (или кардинальный инвариант ) - это функция, которая возвращает количественные числа .
Кардинальные функции в теории множеств [ править ]
- Наиболее часто используемая кардинальная функция - это функция, которая присваивает множеству "A" его мощность , обозначаемую | А |,
- Алеф номер и Beth номер как можно рассматривать как кардинальные функции , определенные на порядковых номерах .
- Кардинальные арифметические операции - это примеры функций от кардинальных чисел (или их пар) до кардинальных чисел.
- Кардинальные характеристики (собственного) идеала I подмножеств X следующие:
- «Аддитивности» из I наименьшее число множеств из I , объединение не в I больше. Поскольку любой идеал замкнут относительно конечных объединений, это число всегда не меньше ; если I - σ-идеал, то
- «Охватывает число» I наименьшее число множеств из I , объединение которых все X . Поскольку сам X не находится в I , мы должны иметь add ( I ) ≤ cov ( I ).
- «Номер однородности» из I (иногда также написаны ) является размер наименьшего множества не I . Предполагая, что I содержит все синглтоны, add ( I ) ≤ non ( I ).
- «Конфинальность» из I является конфинальностями от частичного порядка ( I , ⊆). Легко видеть, что мы должны иметь non ( I ) ≤ cof ( I ) и cov ( I ) ≤ cof ( I ).
- В случае, когда идеал тесно связан со структурой вещественных чисел, такой как идеал нуль-множеств Лебега или идеал скудных множеств , эти кардинальные инварианты называются кардинальными характеристиками континуума .
- Для предупорядоченного множества ограничивающего числа и доминирующие число определяются как
- В теории ПКФ используется кардинальная функция . [1]
Кардинальные функции в топологии [ править ]
Кардинальные функции широко используются в топологии как инструмент для описания различных топологических свойств . [2] [3] Ниже приведены некоторые примеры. (Примечание: некоторые авторы, утверждая, что «в общей топологии нет конечных кардинальных чисел», [4] предпочитают определять кардинальные функции, перечисленные ниже, так, чтобы они никогда не принимали конечные кардинальные числа в качестве значений; это требует изменения некоторых определений приведенных ниже, например, добавив " " в правую часть определений и т. д.)
- Возможно, простейшими кардинальными инвариантами топологического пространства X являются его мощность и мощность топологии, обозначаемые соответственно через | X | и o ( X ).
- Вес ш ( X ) топологического пространства X есть мощность наименьшего основания для X . Когда w ( X ) =, пространство X называется счетным вторым .
- -Вес из пространства X называется мощность наименьшего -BASE для X .
- Сеть веса из X является наименьшим мощность сети для X . Сеть представляет собой семейство множеств, для которых, для всех точек х и открытых окрестностей U , содержащих х , существует B в течение которого х ∈ B ⊆ U .
- Характер топологического пространства X в точке х есть мощность самого маленького локального основания для х . Характер пространства X является
Когда пространство X называется первым счетным . - Плотности д ( Х ) пространства X есть мощность самого маленького плотного подмножества из X . Когда пространство X называется сепарабельным .
- Число Линделёфа L ( X ) пространства X - это наименьшая бесконечная мощность, такая что каждое открытое покрытие имеет подпокрытие мощности не более L ( X ). Когда пространство X называется пространством Линделёфа .
- Клеточности или число Суслина из пространства X является
- это семейство попарно непересекающихся непустых открытых подмножеств .
- Наследственная клеточности (иногда спрэд ) есть верхняя грань cellularities его подмножеств:
или же с топологией подпространства дискретна .
- Наследственная клеточности (иногда спрэд ) есть верхняя грань cellularities его подмножеств:
- Степени из пространства X является
- .
- Итак, X имеет счетную протяженность именно тогда, когда у него нет несчетного замкнутого дискретного подмножества.
- Герметичность т ( х , X ) топологического пространства X в точке является наименьшим кардинальным числом таким образом, что всякий раз, когда в течение некоторого подмножества Y из X , существует подмножество Z из Y , с | Z | ≤ , такое что . Символично,
Плотность пространства X равна . Когда t (X) =, говорят, что пространство X счетно порождено или счетно плотно . - Дополненная герметичность космического X , является наималейшим регулярным кардинальным таким образом, что для любого , существует подмножество Z из Y с мощностью меньше , чем , например , что .
Основные неравенства [ править ]
- c ( X ) ≤ d ( X ) ≤ w ( X ) ≤ o ( X ) ≤ 2 | X |
- ( X ) ≤ w ( X )
- nw ( X ) ≤ w ( X ) и o ( X ) ≤ 2 nw ( X )
Кардинальные функции в булевых алгебрах [ править ]
Кардинальные функции часто используются при изучении булевых алгебр . [5] [6] Можно упомянуть, например, следующие функции:
- Клеточность булевой алгебры - это верхняя грань мощностей антицепей в .
- Длина булева алгебры равна
- это цепь
- Глубина булевой алгебры равна
- - упорядоченное подмножество .
- Несопоставимость алгебры булевой является
- такой что .
- Псевдовес булевой алгебры равен
- такой, что
Кардинальные функции в алгебре [ править ]
Примеры кардинальных функций в алгебре:
- Индекс подгруппы H группы G - это количество смежных классов.
- Размерность векторного пространства V над полем K является мощностью любого Гамель основы из V .
- В более общем смысле, для свободного модуля M над кольцом R мы определяем ранг как мощность любого базиса этого модуля.
- Для линейного подпространства W векторного пространства V определим коразмерность из W (относительно V ).
- Для любой алгебраической структуры можно рассматривать минимальную мощность образующих этой структуры.
- Для алгебраических расширений часто используются алгебраическая степень и отделимая степень (обратите внимание, что алгебраическая степень равна размерности расширения как векторного пространства над меньшим полем).
- Для неалгебраических расширений поля также используется степень трансцендентности .
Внешние ссылки [ править ]
- Словарь определений из общей топологии [1] [2]
См. Также [ править ]
- Диаграмма Цихона
Ссылки [ править ]
- ^ Хольц, Майкл; Стеффенс, Карстен; Вайц, Эдмунд (1999). Введение в кардинальную арифметику . Birkhäuser. ISBN 3764361247.
- ^ Юхас, Иштван (1979). Кардинальные функции в топологии (PDF) . Математика. Center Tracts, Амстердам. ISBN 90-6196-062-2.
- ^ Юхас, Иштван (1980). Кардинальные функции в топологии - десять лет спустя (PDF) . Математика. Center Tracts, Амстердам. ISBN 90-6196-196-3.
- ^ Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Сигма-серия в чистой математике. 6 (Перераб. Ред.). Heldermann Verlag, Берлин. ISBN 3885380064.
- ^ Монк, Дж. Дональд: кардинальные функции на булевых алгебрах . «Лекции по математике ETH Zürich». Birkhäuser Verlag, Базель, 1990. ISBN 3-7643-2495-3 .
- ^ Монк, Дж. Дональд: кардинальные инварианты на булевых алгебрах . «Прогресс в математике», 142. Birkhäuser Verlag, Базель, ISBN 3-7643-5402-X .
- Jech, Томас (2003). Теория множеств . Монографии Спрингера по математике (изд. Третьего тысячелетия). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44085-7. Zbl 1007.03002 .