Полиномы Чебышева

Эти многочлены Чебышева две последовательности многочленов , связанных с синуса и косинуса, нотных , как и . Их можно определить несколькими способами, которые имеют одинаковый конечный результат; В этой статье полиномы определяются, начиная с тригонометрических функций : ${\ Displaystyle Т_ {п} (х)}$ ${\ Displaystyle U_ {п} (х)}$

В полиномы Чебышева первого рода задаются

{\ displaystyle T_ {n}}

{\ displaystyle T_ {n} \ left (\ cos {\ theta} \ right) = \ cos {(n \ theta)}.}

Аналогичным образом определим полиномы Чебышева второго рода как

{\ Displaystyle U_ {п} (х)}

{\ displaystyle U_ {n} \ left (\ cos {\ theta} \ right) \ sin {\ theta} = \ sin {{\ big (} {\ big (} n + 1) \ theta {\ big)} }.}

Эти определения не кажутся полиномами , но с помощью различных тригонометрических тождеств их можно преобразовать в явно полиномиальную форму. Например, при $п = 2 ,$ $Т 2$ формула может быть преобразована в многочлен с аргументом $х = соз ( & thetas)$ , используя формулу двойного угла:

{\ Displaystyle \ соз (2 \ тета) = 2 \ соз ^ {2} (\ тета) -1.}

Заменяя термины в формуле на определения выше, мы получаем

Т 2 (х) = 2 х 2 - 1

.

Остальные $T$ $n$ $($ $x$ $)$ определяются аналогично, где для многочленов второго рода ( $U$ $n$ ) мы должны использовать формулу де Муавра, чтобы получить $sin ($ $n θ$ $)$ как $sin ($ $θ$ $),$ умноженный на многочлен от $cos ($ $θ$ $)$ . Например,

\sin(3\theta )=(4\cos ^{2}(\theta )-1)\,\sin(\theta )

дает

U 2 (х) = 4 х 2 - 1

.

После преобразования в полиномиальную форму $T n (x)$ и $U n (x)$ называются полиномами Чебышева первого и второго рода соответственно.

И наоборот, произвольная целая степень тригонометрических функций может быть выражена как линейная комбинация тригонометрических функций с использованием полиномов Чебышева.

\cos ^{n}\!\theta =2^{1-n}\!\mathop {\mathop {{\sum }'} _{j=0}^{n}} _{n-j\,\mathrm {even} }\!\!{\binom {n}{\tfrac {n-j}{2}}}\,T_{j}(\cos \theta ),

где штрих у символа суммы указывает, что вклад $j = 0$ необходимо уменьшить вдвое, если он появляется, и . $T_{j}(\cos \theta )=\cos j\theta$

Важным и удобным свойством $T$ $n$ $($ $x$ $)$ является то, что они ортогональны относительно внутреннего произведения

{\bigl \langle }\,f(x),\,g(x)\,{\bigr \rangle }~=~\int _{-1}^{1}\,f(x)\,g(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{\,{\sqrt {1-x^{2}\,}}\,}}~,

и $U$ $n$ $($ $x$ $)$ ортогональны по отношению к другому аналогичному внутреннему продукту, указанному ниже. Это следует из того факта, что полиномы Чебышева решают дифференциальные уравнения Чебышева

(1-x^{2})\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0~,

(1-x^{2})\,y''-3\,x\,y'+n\,(n+2)\,y=0~,

которые являются дифференциальными уравнениями Штурма – Лиувилля . Общей чертой таких дифференциальных уравнений является выделенный ортонормированный набор решений. (Другой способ определить полиномы Чебышева - это решения этих уравнений .)

Многочлены Чебышева $T$ $n$ - это многочлены с максимально возможным старшим коэффициентом, модуль которого на интервале $[-1, 1]$ ограничен числом 1. Они также являются «экстремальными» многочленами для многих других свойств. ^[1]

Многочлены Чебышева важны в теории приближений, потому что корни $T n (x)$ , которые также называются узлами Чебышева , используются в качестве точек согласования для оптимизации полиномиальной интерполяции . Результирующий полином интерполяции минимизирует проблему явления Рунге и обеспечивает приближение, близкое к наилучшему полиномиальному приближению непрерывной функции при максимальной норме , также называемое критерием « минимакс ». Это приближение непосредственно приводит к методу квадратур Кленшоу – Кертиса .

Эти многочлены были названы в честь Пафнутия Чебышева . ^[2] Буква $T$ используется из-за альтернативной транслитерации имени Чебышев как Чебышев , Чебышев (французский) или Tschebyschow (немецкий).

Определение [ править ]

График первых пяти

T n

многочленов Чебышева первого рода

Эти многочлены Чебышева первого рода получается из рекуррентного соотношения

{\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{n+1}(x)&=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x)~.\end{aligned}}

Обыкновенная производящая функция для $Т п$ является

\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}~.

Доказательство -

{\begin{aligned}{\text{Define }}\quad G&\equiv \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}\\&=T_{0}(x)+tT_{1}(x)+\sum _{n=2}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}\\&=1+tx+\sum _{n=0}^{\infty }T_{n+2}(x)t^{n+2}\\&=1+tx+\sum _{n=0}^{\infty }(2xT_{n+1}(x)-T_{n}(x))t^{n+2}\\&=1+tx+\sum _{n=0}^{\infty }2xT_{n+1}(x)t^{n+2}-\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n+2}\\&=1+tx+2tx\sum _{n=0}^{\infty }T_{n+1}(x)t^{n+1}-t^{2}\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}\\&=1+tx+2tx(\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}-1)-t^{2}\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}\\&=1+tx+2tx(G-1)-t^{2}G\\&=1+tx+2txG-2tx-t^{2}G\\G-2txG+t^{2}G&=1+tx-2tx\\G&={\frac {1-tx}{\,1-2tx+t^{2}\,}}\end{aligned}}

Есть несколько других производящих функций для многочленов Чебышева; экспоненциальная производящая функция является

\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)\,{\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {1}{2}}\left(e^{t\left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}+e^{t\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}\right)=e^{tx}\,\cosh \left(t{\sqrt {x^{2}-1}}\right)~.

Производящая функция, имеющая отношение к теории двумерного потенциала и мультипольному разложению, имеет вид

\sum \limits _{n=1}^{\infty }T_{n}(x)\,{\frac {t^{n}}{n}}=\ln \left({\frac {1}{\sqrt {1-2tx+t^{2}}}}\right)~.

Сюжет из первых пяти

U п

многочленов Чебышева второго рода

Эти многочлены Чебышева второго рода определяются рекуррентным соотношением

{\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{n+1}(x)&=2x\,U_{n}(x)-U_{n-1}(x)~.\end{aligned}}

Обратите внимание , что два набора рекуррентных соотношений идентичны, за исключением VS. . Обычная производящая функция для $U$ $n$ есть $T_{1}(x)=x$ $U_{1}(x)=2x$

\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)\,t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}~;

экспоненциальная производящая функция

\sum _{n=0}^{\infty }\,U_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=e^{tx}\left(\cosh \left(t{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+{\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}\sinh \left(t{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\right)~.

Тригонометрическое определение [ править ]

Как описано во введении, многочлены Чебышева первого рода можно определить как единственные многочлены, удовлетворяющие

T_{n}(x)={\begin{cases}\cos {\big (}n\arccos x{\big )}&{\text{ if }}~|x|\leq 1\\\cosh {\big (}n\operatorname {arcosh} x{\big )}&{\text{ if }}~x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh {\big (}n\operatorname {arcosh} (-x){\big )}&{\text{ if }}~x\leq -1\end{cases}}

или, другими словами, как единственные многочлены, удовлетворяющие

T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta )

для $n = 0, 1, 2, 3,\dots$ что с технической точки зрения является вариантом (эквивалентным транспонированием) уравнения Шредера . То есть, $T n (x)$ функционально сопряжен с $nx$ , кодифицированным в свойстве вложенности ниже.

Полиномы второго рода удовлетворяют:

U_{n-1}(\cos \theta )\cdot \sin \theta =\sin(n\theta )~,

или же

U_{n}(\cos \theta )={\frac {\sin {\big (}(n+1)\,\theta {\big )}}{\sin \theta }}~,

которое структурно очень похоже на ядро Дирихле $D n (x)$ :

D_{n}(x)={\frac {\sin \left((2n+1){\dfrac {x}{2}}\,\right)}{\sin {\dfrac {x}{2}}}}=U_{2n}\!\!\left(\cos {\frac {x}{2}}\right).

То, что $cos nx$ является многочленом $n-$ й степени от $cos x,$ можно увидеть, заметив, что $cos nx$ является действительной частью одной стороны формулы де Муавра . Действительная часть другой стороны является многочленом от $cos x$ и $sin x$ , в котором все степени $sin x$ четны и, таким образом, заменяются тождеством $cos 2 x + sin 2 x = 1$ . По тем же соображениям $sin nx$ - это мнимая часть многочлена, в которой все степени $sin x$ нечетны, и, таким образом, если один из них исключен, оставшиеся могут быть заменены, чтобы создатьмногочлен $(n - 1)$ -й степени от $cos x$ .

Это тождество весьма полезно в сочетании с рекурсивной формулой генерирования, поскольку оно позволяет вычислить косинус любого целого кратного угла исключительно в терминах косинуса основного угла.

Вычисляя первые два полинома Чебышева,

T_{0}(\cos \theta )=\cos(0\theta )=1

и

T_{1}(\cos \theta )=\cos \theta ,

можно прямо определить, что

{\begin{aligned}\cos 2\theta &=2\cos \theta \cos \theta -1=2\cos ^{2}\theta -1\\\cos 3\theta &=2\cos \theta \cos 2\theta -\cos \theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta ,\end{aligned}}

и так далее.

Два непосредственных следствия - это идентичность композиции (или свойство вложенности, определяющее полугруппу )

T_{n}{\big (}T_{m}(x){\big )}=T_{nm}(x)~;

и выражение комплексного возведения в степень через полиномы Чебышева: при $z = a + bi$ ,

{\begin{aligned}z^{n}&=|z|^{n}\left(\cos \left(n\arccos {\frac {a}{|z|}}\right)+i\sin \left(n\arccos {\frac {a}{|z|}}\right)\right)\\&=|z|^{n}T_{n}\left({\frac {a}{|z|}}\right)+ib|z|^{n-1}\ U_{n-1}\left({\frac {a}{|z|}}\right)~.\end{aligned}}

Определение уравнения Пелла [ править ]

Многочлены Чебышева также можно определить как решения уравнения Пелля

T_{n}(x)^{2}-\left(x^{2}-1\right)U_{n-1}(x)^{2}=1

в кольце $R [x]$ . ^[3] Таким образом, они могут быть сгенерированы стандартной техникой для уравнений Пелла взятия степеней фундаментального решения:

T_{n}(x)+U_{n-1}(x)\,{\sqrt {x^{2}-1}}=\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n}~.

Произведения полиномов Чебышева [ править ]

При работе с многочленами Чебышева довольно часто встречаются произведения двух из них. Эти произведения могут быть сведены к комбинациям полиномов Чебышева с более низкой или более высокой степенью, и заключительные утверждения о продукте сделать легче. Предполагается, что в дальнейшем индекс m больше или равен индексу n и n не является отрицательным. Для полиномов Чебышева первого рода произведение разлагается до

2T_{m}(x)T_{n}(x)=T_{m+n}(x)+T_{|m-n|}(x)

что является аналогом теоремы сложения

2\cos \alpha \,\cos \beta =\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )

с личностями

\alpha \equiv m\arccos x\quad {\text{ and }}\quad \beta \equiv n\arccos x~.

Для $n = 1$ это приводит к уже известной рекуррентной формуле, только расположенной по-другому, а при $n = 2$ она образует рекуррентное соотношение для всех четных или всех нечетных многочленов Чебышева (в зависимости от четности наименьшего $m$ ), что позволяет проектировать функции с заданными свойствами симметрии. Из этого разложения произведения можно заключить еще три полезные формулы для вычисления полиномов Чебышева:

{\begin{aligned}T_{2n}(x)&=2\,T_{n}^{2}(x)-T_{0}(x)&&=2T_{n}^{2}(x)-1\\T_{2n+1}(x)&=2\,T_{n+1}(x)\,T_{n}(x)-T_{1}(x)&&=2\,T_{n+1}(x)\,T_{n}(x)-x\\T_{2n-1}(x)&=2\,T_{n-1}(x)\,T_{n}(x)-T_{1}(x)&&=2\,T_{n-1}(x)\,T_{n}(x)-x\end{aligned}}

Для полиномов Чебышева второго рода произведения можно записать как:

U_{m}(x)\,U_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}\,U_{m-n+2k}(x)=\sum _{\underset {\text{ step 2 }}{p=m-n}}^{m+n}U_{p}(x)~.

для $m \geq n$ .

Таким образом, как и выше, при $n = 2$ рекуррентная формула для многочленов Чебышева второго рода сводится для обоих типов симметрии к

U_{m+2}(x)=U_{2}(x)\,U_{m}(x)-U_{m}(x)-U_{m-2}(x)=U_{m}(x)\,{\big (}U_{2}(x)-1{\big )}-U_{m-2}(x)~,

в зависимости от того, начинается ли $m$ с 2 или 3.

Связь между двумя видами многочленов Чебышева [ править ]

Полиномы Чебышева первого и второго рода соответствуют дополнительной паре последовательностей Люка $Ṽ n (P, Q)$ и $Ũ n (P, Q)$ с параметрами $P = 2 x$ и $Q = 1$ :

{\begin{aligned}{\tilde {U}}_{n}(2x,1)&=U_{n-1}(x)~,\\{\tilde {V}}_{n}(2x,1)&=2\,T_{n}(x)~.\end{aligned}}

Отсюда следует, что они также удовлетворяют паре уравнений взаимной рекуррентности:

{\begin{aligned}T_{n+1}(x)&=x\,T_{n}(x)-(1-x^{2})\,U_{n-1}(x)~,\\U_{n+1}(x)&=x\,U_{n}(x)+T_{n+1}(x)~.\end{aligned}}

Многочлены Чебышева первого и второго рода также связаны следующими соотношениями:

{\begin{aligned}T_{n}(x)&={\frac {1}{2}}{\big (}U_{n}(x)-U_{n-2}(x){\big )}~.&&\\T_{n}(x)&=U_{n}(x)-x\,U_{n-1}(x)~.&&\\U_{n}(x)&=2\,\sum _{{\text{ odd }}j}^{n}T_{j}(x)&&{\text{ for odd }}n~.\\U_{n}(x)&=2\,\sum _{{\text{ even }}j}^{n}T_{j}(x)-1&&{\text{ for even }}n~.\end{aligned}}

Рекуррентное соотношение производной полиномов Чебышева может быть получено из этих соотношений:

2\,T_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}T_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}T_{n-1}(x)\qquad n=2,3,\ldots

Это соотношение используется в спектральном методе Чебышева решения дифференциальных уравнений.

Неравенства Турана для полиномов Чебышева имеют вид

{\begin{aligned}T_{n}(x)^{2}-T_{n-1}(x)\,T_{n+1}(x)&=1-x^{2}>0&&{\text{ for }}-1<x<1&&{\text{ and }}\\U_{n}(x)^{2}-U_{n-1}(x)\,U_{n+1}(x)&=1>0~.\end{aligned}}

Интегральные отношения:

{\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\frac {T_{n}(y)}{(y-x){\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} y&=\pi \,U_{n-1}(x)~,\\\int _{-1}^{1}{\frac {{\sqrt {1-y^{2}}}\,U_{n-1}(y)}{y-x}}\,\mathrm {d} y&=-\pi \,T_{n}(x)\end{aligned}}

где интегралы считаются главным значением.

Явные выражения [ править ]

Различные подходы к определению полиномов Чебышева приводят к различным явным выражениям, таким как:

{\begin{aligned}T_{n}(x)&={\begin{cases}\cos(n\arccos x)\qquad &{\text{ for }}~|x|\leq 1\\\\{\dfrac {1}{2}}{\bigg (}{\Big (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{n}+{\Big (}x+{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{n}{\bigg )}\qquad &{\text{ for }}~|x|\geq 1\\\end{cases}}\\\\&={\begin{cases}\cos(n\arccos x)\qquad \quad &{\text{ for }}~-1\leq x\leq 1\\\\\cosh(n\operatorname {arcosh} x)\qquad \quad &{\text{ for }}~1\leq x\\\\(-1)^{n}\cosh {\big (}n\operatorname {arcosh} (-x){\big )}\qquad \quad &{\text{ for }}~x\leq -1\\\end{cases}}\\\\\\T_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}\left(x^{2}-1\right)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}\left(1-x^{-2}\right)^{k}\\&={\frac {n}{2}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{\frac {(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}}~(2x)^{n-2k}\qquad \qquad {\text{ for }}~n>0\\\\&=n\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k-1)!}{(n-k)!(2k)!}}(1-x)^{k}\qquad \qquad ~{\text{ for }}~n>0\\\\&={}_{2}F_{1}\left(-n,n;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-x)\right)\\\end{aligned}}

с обратным ^[4]^[5]

x^{n}=2^{1-n}\mathop {{\sum }'} _{j=0,\,n-j\,\mathrm {even} }^{n}{\binom {n}{\tfrac {n-j}{2}}}T_{j}(x),

где штрих у символа суммы указывает, что вклад $j = 0$ необходимо уменьшить вдвое, если он появляется.

{\begin{aligned}U_{n}(x)&={\frac {\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n+1}-\left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n+1}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}\left(x^{2}-1\right)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}\left(1-x^{-2}\right)^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {2k-(n+1)}{k}}~(2x)^{n-2k}&{\text{ for }}~n>0\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}~(2x)^{n-2k}&{\text{ for }}~n>0\\&=\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k+1)!}{(n-k)!(2k+1)!}}(1-x)^{k}&{\text{ for }}~n>0\\&=(n+1)\ {}_{2}F_{1}\left(-n,n+2;{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-x)\right)\\\end{aligned}}

где $2 F 1$ - гипергеометрическая функция .

Свойства [ править ]

Симметрия [ править ]

{\begin{aligned}T_{n}(-x)&=(-1)^{n}T_{n}(x)={\begin{cases}T_{n}(x)\quad &~{\text{ for }}~n~{\text{ even}}\\\\-T_{n}(x)\quad &~{\text{ for }}~n~{\text{ odd}}\end{cases}}\\\\\\U_{n}(-x)&=(-1)^{n}U_{n}(x)={\begin{cases}U_{n}(x)\quad &~{\text{ for }}~n~{\text{ even}}\\\\-U_{n}(x)\quad &~{\text{ for }}~n~{\text{ odd}}\end{cases}}\\\end{aligned}}

То есть полиномы Чебышева четного порядка имеют четную симметрию и содержат только четные степени $x$ . Многочлены Чебышева нечетного порядка обладают нечетной симметрией и содержат только нечетные степени $x$ .

Корни и экстремумы [ править ]

Многочлен Чебышева любого вида со степенью $n$ имеет $n$ различных простых корней, называемых корнями Чебышева , в интервале $[-1, 1]$ . Корни полинома Чебышева первого рода иногда называют узлами Чебышева, потому что они используются как узлы при полиномиальной интерполяции. Используя тригонометрическое определение и тот факт, что

\cos \left((2k+1){\frac {\pi }{2}}\right)=0

можно показать, что корни $T n$ равны

x_{k}=\cos \left({\frac {\pi (k+1/2)}{n}}\right),\quad k=0,\ldots ,n-1.

Точно так же корни $U n$ равны

x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n+1}}\pi \right),\quad k=1,\ldots ,n.

Экстремумы из $Т п$ на отрезке $-1 \leq х \leq 1$ расположены на

x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n}}\pi \right),\quad k=0,\ldots ,n.

Одно уникальное свойство многочленов Чебышева первого рода состоит в том, что на интервале $-1 \leq x \leq 1$ все экстремумы имеют значения либо −1, либо 1. Таким образом, эти многочлены имеют только два конечных критических значения , определяющее свойство Многочлены Шабата . И первый, и второй виды полиномов Чебышева имеют экстремумы на концах, определяемые выражением:

T_{n}(1)=1

T_{n}(-1)=(-1)^{n}

U_{n}(1)=n+1

U_{n}(-1)=(-1)^{n}\,(n+1)~.

Дифференциация и интеграция [ править ]

Производные многочленов могут быть не такими простыми. Дифференцируя полиномы в их тригонометрической форме, можно показать, что:

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} T_{n}}{\mathrm {d} x}}&=nU_{n-1}\\{\frac {\mathrm {d} U_{n}}{\mathrm {d} x}}&={\frac {(n+1)T_{n+1}-xU_{n}}{x^{2}-1}}\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}&=n{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x^{2}-1}}=n{\frac {(n+1)T_{n}-U_{n}}{x^{2}-1}}.\end{aligned}}

Последние две формулы могут быть затруднительны в числовом отношении из-за деления на ноль (0/0 неопределенная форма , в частности) при $x = 1$ и $x = -1$ . Можно показать, что:

{\begin{aligned}\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x=1}\!\!&={\frac {n^{4}-n^{2}}{3}},\\\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x=-1}\!\!&=(-1)^{n}{\frac {n^{4}-n^{2}}{3}}.\end{aligned}}

Доказательство -

Вторая производная полинома Чебышева первого рода равна

T''_{n}=n{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x^{2}-1}}

который, если оценивать, как показано выше, создает проблему, потому что он неопределен при $x = \pm 1$ . Поскольку функция является полиномом, (все) производные должны существовать для всех действительных чисел, поэтому ограничение приведенного выше выражения должно дать желаемое значение:

T''_{n}(1)=\lim _{x\to 1}n{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x^{2}-1}}

где пока рассматривается только $x = 1$ . Факторизуя знаменатель:

T''_{n}(1)=\lim _{x\to 1}n{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{(x+1)(x-1)}}=\lim _{x\to 1}n{\frac {\dfrac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x-1}}{x+1}}.

Поскольку предел в целом должен существовать, пределы числителя и знаменателя должны существовать независимо, и

T''_{n}(1)=n{\frac {\displaystyle {\lim _{x\to 1}}{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x-1}}}{\displaystyle {\lim _{x\to 1}}(x+1)}}={\frac {n}{2}}\lim _{x\to 1}{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x-1}}.

Знаменатель (по-прежнему) ограничивается нулем, что означает, что числитель должен ограничиваться нулем, то есть $U n - 1 (1) = nT n (1) = n,$ что будет полезно в дальнейшем. Поскольку числитель и знаменатель ограничиваются нулем, применяется правило L'Hôpital :

{\begin{aligned}T''_{n}(1)&={\frac {n}{2}}\,\lim _{x\to 1}\,{\frac {{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\left(n\,T_{n}-x\,U_{n-1}\right)\,}{\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,(x-1)}}\\&={\frac {n}{2}}\lim _{x\to 1}{\frac {\mathrm {d} }{\,\mathrm {d} x\,}}\,\left(n\,T_{n}-x\,U_{n-1}\right)\\&={\frac {n}{2}}\lim _{x\to 1}\left(\;n^{2}\,U_{n-1}-U_{n-1}-x{\frac {\mathrm {d} }{\,\mathrm {d} x\,}}\,\left(U_{n-1}\right)\;\right)\\&={\frac {n}{2}}\left(\,n^{2}\,U_{n-1}(1)-U_{n-1}(1)-\lim _{x\to 1}x\,{\frac {\mathrm {d} }{\,\mathrm {d} x\,}}\,\left(U_{n-1}\right)\,\right)\\&={\frac {n^{4}}{2}}-{\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {1}{2}}\lim _{x\to 1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\left(n\,U_{n-1}\right)\\&={\frac {n^{4}}{2}}-{\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {T''_{n}(1)}{2}}\\T''_{n}(1)&={\frac {n^{4}-n^{2}}{3}}~.\\\end{aligned}}

Доказательство для $x = -1$ аналогично, но важно то, что $T n (-1) = (-1) n$ .

Действительно, имеет место следующая более общая формула:

\left.{\frac {d^{p}T_{n}}{dx^{p}}}\right|_{x=\pm 1}\!\!=(\pm 1)^{n+p}\prod _{k=0}^{p-1}{\frac {n^{2}-k^{2}}{2k+1}}~.

Этот последний результат очень полезен при численном решении задач на собственные значения.

{\frac {\mathrm {d} ^{p}}{\mathrm {d} x^{p}}}T_{n}(x)=2^{p}\,n\mathop {{\sum }'} _{0\leq k\leq n-p,\,n-p-k{\text{ even }}}{\binom {{\frac {n+p-k}{2}}-1}{\frac {n-p-k}{2}}}{\frac {\left({\frac {n+p+k}{2}}-1\right)!}{\left({\frac {n-p+k}{2}}\right)!}}\,T_{k}(x)~,\qquad p\geq 1~,

где штрих у символов суммирования означает, что член, вносимый $k = 0$ , должен быть уменьшен вдвое, если он появляется.

Что касается интегрирования, первая производная от $T n$ означает, что

\int U_{n}\,\mathrm {d} x={\frac {T_{n+1}}{n+1}}

а рекуррентное соотношение для многочленов первого рода, содержащих производные, устанавливает, что при $n \geq 2$

\int T_{n}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\,\left({\frac {T_{n+1}}{n+1}}-{\frac {T_{n-1}}{n-1}}\right)={\frac {n\,T_{n+1}}{n^{2}-1}}-{\frac {x\,T_{n}}{n-1}}~.

Последней формулой можно дополнительно манипулировать, чтобы выразить интеграл от $T n$ как функцию многочленов Чебышева только первого рода:

{\begin{aligned}\int T_{n}\,\mathrm {d} x&={\frac {n}{n^{2}-1}}T_{n+1}-{\frac {1}{n-1}}T_{1}T_{n}\\&={\frac {n}{n^{2}-1}}\,T_{n+1}-{\frac {1}{2(n-1)}}\,(T_{n+1}+T_{n-1})\\&={\frac {1}{2(n+1)}}\,T_{n+1}-{\frac {1}{2(n-1)}}\,T_{n-1}~.\end{aligned}}

Кроме того, у нас есть

\int _{-1}^{1}T_{n}(x)\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\frac {(-1)^{n}+1}{1-n^{2}}}&{\text{ if }}~n\neq 1\\0&{\text{ if }}~n=1\end{cases}}~.

Ортогональность [ править ]

И $T n,$ и $U n$ образуют последовательность ортогональных многочленов . Полиномы первого рода $T n$ ортогональны относительно веса

{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}~,

на интервале $[-1, 1]$ , т.е. имеем:

\int _{-1}^{1}T_{n}(x)\,T_{m}(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~n\neq m~,\\\\\pi &~{\text{ if }}~n=m=0~,\\\\{\frac {\pi }{2}}&~{\text{ if }}~n=m\neq 0~.\end{cases}}

Это можно доказать, положив $x = cos θ$ и используя определяющее тождество $T n (cos θ) = cos nθ$ .

Аналогично полиномы второго рода $U n$ ортогональны относительно веса

{\sqrt {1-x^{2}}}

на интервале $[-1, 1]$ , т.е. имеем:

\int _{-1}^{1}U_{n}(x)\,U_{m}(x)\,{\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~n\neq m~,\\{\frac {\pi }{2}}&~{\text{ if }}~n=m~.\end{cases}}

(Мера $\sqrt 1 - x 2 d x$ с точностью до нормирующей константы является полукруглым распределением Вигнера .)

$Т п$ удовлетворяет также дискретное условие ортогональности:

\sum _{k=0}^{N-1}{T_{i}(x_{k})\,T_{j}(x_{k})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~i\neq j~,\\N&~{\text{ if }}~i=j=0~,\\{\frac {N}{2}}&~{\text{ if }}~i=j\neq 0~,\end{cases}}

где $N$ - любое целое число, большее чем $max (i, j)$ , ^[6], а $x k$ - это $N$ чебышевских узлов (см. выше) $T N (x)$ :

x_{k}=\cos \left(\pi \,{\frac {2k+1}{2N}}\right)\quad ~{\text{ for }}~k=0,1,\dots ,N-1~.

Для многочленов второго рода и любого целого числа $N > i + j$ с одинаковыми чебышевскими узлами $x k$ существуют аналогичные суммы:

\sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(x_{k})\,U_{j}(x_{k})\left(1-x_{k}^{2}\right)}={\begin{cases}0&{\text{ if }}~i\neq j~,\\{\frac {N}{2}}&{\text{ if }}~i=j~,\end{cases}}

и без весовой функции:

\sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(x_{k})\,U_{j}(x_{k})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~i\not \equiv j{\pmod {2}}~,\\N\cdot (1+\min\{i,j\})&~{\text{ if }}~i\equiv j{\pmod {2}}~.\end{cases}}

Для любого целого числа $N > i + j$ на основе $N$ нулей $U N (x)$ :

y_{k}=\cos \left(\pi \,{\frac {k+1}{N+1}}\right)\quad ~{\text{ for }}~k=0,1,\dots ,N-1~,

можно получить сумму:

\sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(y_{k})\,U_{j}(y_{k})(1-y_{k}^{2})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}i\neq j~,\\{\frac {N+1}{2}}&~{\text{ if }}i=j~,\end{cases}}

и снова без весовой функции:

\sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(y_{k})\,U_{j}(y_{k})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~i\not \equiv j{\pmod {2}}~,\\{\bigl (}\min\{i,j\}+1{\bigr )}{\bigl (}N-\max\{i,j\}{\bigr )}&~{\text{ if }}~i\equiv j{\pmod {2}}~.\end{cases}}

Минимальная $\infty-$ норма [ править ]

Для любого заданного $n \geq 1$ среди многочленов степени $n$ со старшим коэффициентом 1 ( монические многочлены)

f(x)={\frac {1}{\,2^{n-1}\,}}\,T_{n}(x)

это тот, у которого максимальное абсолютное значение на интервале [−1, 1] минимально.

Это максимальное абсолютное значение равно

{\frac {1}{2^{n-1}}}

и $| f (x) |$ достигает этого максимума ровно $n + 1$ раз при

x=\cos {\frac {k\pi }{n}}\quad {\text{for }}0\leq k\leq n.

Доказательство -

Предположим, что $w n (x)$ - многочлен степени $n$ со старшим коэффициентом 1 с максимальным модулем на интервале $[-1,1]$ меньше $1/2 n - 1$ .

Определять

f_{n}(x)={\frac {1}{\,2^{n-1}\,}}\,T_{n}(x)-w_{n}(x)

Поскольку в крайних точках $T n$ имеем

{\begin{aligned}|w_{n}(x)|&<\left|{\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)\right|\\f_{n}(x)&>0\qquad {\text{ for }}~x=\cos {\frac {2k\pi }{n}}~&&{\text{ where }}0\leq 2k\leq n\\f_{n}(x)&<0\qquad {\text{ for }}~x=\cos {\frac {(2k+1)\pi }{n}}~&&{\text{ where }}0\leq 2k+1\leq n\end{aligned}}

Из теоремы промежуточного значения , $е п (х)$ имеет по крайней мере $п$ корней. Однако это невозможно, поскольку $f n (x)$ является многочленом степени $n - 1$ , поэтому из фундаментальной теоремы алгебры следует, что у него не более $n - 1$ корней.

Замечание: По теореме о равноколебаниях среди всех многочленов степени $\leq n$ многочлен $f$ минимизирует $|| f || \infty$ на $[-1,1]$ тогда и только тогда, когда существует $n + 2$ точек $-1 \leq x 0 < x 1 <\dots < x n + 1 \leq 1$ таких, что $| f (x i) | = || f || \infty$ .

Конечно, нулевой многочлен на интервале $[-1,1]$ может быть найден сам по себе и минимизирует $\infty$ -норму.

Однако выше $| f |$ достигает своего максимума только $n + 1$ раз, потому что мы ищем лучший многочлен степени $n \geq 1$ (поэтому приведенная ранее теорема не может быть использована).

Другие свойства [ править ]

Полиномы Чебышева являются частным случаем ультрасферических полиномов или полиномов Гегенбауэра , которые сами по себе являются частным случаем полиномов Якоби :

{\begin{aligned}T_{n}(x)&={\frac {n}{2}}\lim _{q\to 0}{\frac {1}{q}}\,C_{n}^{(q)}(x)\qquad ~{\text{ if }}~n\geq 1~,\\\\U_{n}(x)&={\frac {n+1}{\binom {n+{\frac {1}{2}}}{n}}}P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(x)={\frac {n+1}{\binom {n+{\frac {1}{2}}}{n}}}C_{n}^{(1)}(x)~.\end{aligned}}

Для любого неотрицательного целого числа $n$ , $T n (x)$ и $U n (x)$ оба являются многочленами степени $n$ . Они являются четными или нечетными функциями от $х$ , как $п$ четного или нечетным, так что, когда записываются в виде многочленов от $х$ , он имеет только четные или нечетные степени терминов соответственно. Фактически,

T_{2n}(x)=T_{n}\left(2x^{2}-1\right)=2T_{n}(x)^{2}-1

и

2xU_{n}\left(1-2x^{2}\right)=(-1)^{n}\,U_{2n+1}(x)~.

Старший коэффициент $T n$ равен $2 n - 1,$ если $1 \leq n$ , и 1, если $0 = n$ .

$T n$ - это частный случай кривых Лиссажу с отношением частот, равным $n$ .

Несколько полиномиальных последовательностей, таких как многочлены Люка ( $L n$ ), многочлены Диксона ( $D n$ ), многочлены Фибоначчи ( $F n$ ), связаны с многочленами Чебышева $T n$ и $U n$ .

Многочлены Чебышева первого рода удовлетворяют соотношению

T_{j}(x)\,T_{k}(x)={\tfrac {1}{2}}\left(T_{j+k}(x)+T_{|k-j|}(x)\right)\,,\qquad \forall j,k\geq 0~,

что легко доказывается из формулы произведения на сумму косинуса. Полиномы второго рода удовлетворяют аналогичному соотношению

T_{j}(x)\,U_{k}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\left(U_{j+k}(x)+U_{k-j}(x)\right),&~{\text{ if }}~k\geq j-1~,\\\\{\frac {1}{2}}\left(U_{j+k}(x)-U_{j-k-2}(x)\right),&~{\text{ if }}~k\leq j-2~.\end{cases}}

(с определением $U -1 \equiv 0$ по соглашению).

Аналогично формуле

T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta )~,

у нас есть аналогичная формула

T_{2n+1}(\sin \theta )=(-1)^{n}\sin \left(\left(2n+1\right)\theta \right).

Для $й \neq 0$ ,

T_{n}\!\left({\frac {x+x^{-1}}{2}}\right)={\frac {x^{n}+x^{-n}}{2}}

и

x^{n}=T_{n}\!\!\left({\frac {x+x^{-1}}{2}}\right)+{\frac {x-x^{-1}}{2}}\ U_{n-1}\!\!\left({\frac {x+x^{-1}}{2}}\right),

что следует из того, что это верно по определению при $x = e iθ$ .

Определять

C_{n}(x)\equiv 2\,T_{n}\left({\frac {x}{2}}\right).

Тогда $C n (x)$ и $C m (x)$ - коммутирующие многочлены:

C_{n}{\bigl (}C_{m}(x){\bigr )}=C_{m}{\bigl (}C_{n}(x){\bigr )}~,

как это видно в абелевой вложенности имущества , указанного выше.

Обобщенные полиномы Чебышева [ править ]

Обобщенные многочлены Чебышева T _a определяются равенством

T_{a}(\cos x)={}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-\cos x)\right)=\cos ax\,,\qquad x\in (-\pi ,\pi )~,

где $a$ не обязательно является целым числом, а $2 F 1 (a, b; c; z)$ - гипергеометрическая функция Гаусса ; в качестве примера . Расширение степенного ряда ${\textstyle T_{1/2}(x)={\sqrt {\frac {1+x}{2}}}}$

T_{a}(x)=\cos \left({\frac {\pi a}{2}}\right)+a\sum _{j\geq 1}{\frac {(2x)^{j}}{2j}}\,\cos \left({\frac {\pi \,(a-j)}{2}}\right)\,{\binom {\frac {a+j-2}{2}}{j-1}}

сходится для . $x\in [-1,1]$

Примеры [ править ]

Первый вид [ править ]

Первые несколько полиномов Чебышева первого рода в области

-1 < x <1

: плоские

T 0

,

T 1

,

T 2

,

T 3

,

T 4

и

T 5

.

Первые несколько полиномов Чебышева первого рода - это OEIS : A028297

{\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\T_{4}(x)&=8x^{4}-8x^{2}+1\\T_{5}(x)&=16x^{5}-20x^{3}+5x\\T_{6}(x)&=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\\T_{7}(x)&=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\\T_{8}(x)&=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\\T_{9}(x)&=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x\\T_{10}(x)&=512x^{10}-1280x^{8}+1120x^{6}-400x^{4}+50x^{2}-1\\T_{11}(x)&=1024x^{11}-2816x^{9}+2816x^{7}-1232x^{5}+220x^{3}-11x\end{aligned}}

Второй вид [ править ]

Первые несколько полиномов Чебышева второго рода в области

-1 < x <1

: плоские

U 0

,

U 1

,

U 2

,

U 3

,

U 4

и

U 5

. Хотя это не видно на изображении,

U n (1) = n + 1

и

U n (-1) = (n + 1) (- 1) n

.

Первые несколько полиномов Чебышева второго рода - это OEIS : A053117

{\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{2}(x)&=4x^{2}-1\\U_{3}(x)&=8x^{3}-4x\\U_{4}(x)&=16x^{4}-12x^{2}+1\\U_{5}(x)&=32x^{5}-32x^{3}+6x\\U_{6}(x)&=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\\U_{7}(x)&=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\\U_{8}(x)&=256x^{8}-448x^{6}+240x^{4}-40x^{2}+1\\U_{9}(x)&=512x^{9}-1024x^{7}+672x^{5}-160x^{3}+10x\end{aligned}}

В качестве основы [ править ]

Негладкая функция (вверху)

y = - x 3 H (- x)

, где

H

- ступенчатая функция Хевисайда , и (внизу) 5-я частичная сумма ее разложения Чебышёва. 7-я сумма неотличима от исходной функции при разрешении графика.

В соответствующем пространстве Соболева набор полиномов Чебышева образует ортонормированный базис , так что функция в том же пространстве может быть выражена на $-1 \leq x \leq 1$ через разложение: ^[7]

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x).

Кроме того, как упоминалось ранее, полиномы Чебышева образуют ортогональный базис, который (среди прочего) подразумевает, что коэффициенты $a n$ могут быть легко определены посредством применения внутреннего произведения . Эта сумма называется чебышёвским рядом или чебышёвским разложением .

Поскольку ряд Чебышева связан с рядом косинусов Фурье заменой переменных, все теоремы, тождества и т. Д., Применимые к рядам Фурье, имеют аналог Чебышева. ^[7] Эти атрибуты включают:

Многочлены Чебышева образуют полную ортогональную систему.
Ряд Чебышева сходится к $f (x),$ если функция кусочно гладкая и непрерывная . Требование гладкости может быть ослаблено в большинстве случаев - до тех пор, пока существует конечное число разрывов в $f (x)$ и ее производных.
На разрыве ряд сходится к среднему значению правого и левого пределов.

Обилие теорем и тождеств, унаследованных от рядов Фурье, делает полиномы Чебышева важным инструментом численного анализа ; например , они являются наиболее популярными базисными функциями общего назначения , используемые в спектральном методе , ^[7] , часто в пользу тригонометрических рядов из - за в целом быстрее сходимостей для непрерывных функций ( явление Гиббса еще проблема).

Пример 1 [ править ]

Рассмотрим чебышёвское разложение $log (1 + x)$ . Можно выразить

\log(1+x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x)~.

Коэффициенты $a n$ можно найти либо с помощью внутреннего продукта, либо с помощью условия дискретной ортогональности. Для внутреннего продукта

\int _{-1}^{+1}\,{\frac {T_{m}(x)\,\log(1+x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\int _{-1}^{+1}{\frac {T_{m}(x)\,T_{n}(x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x~,

который дает

a_{n}={\begin{cases}-\log 2&{\text{ for }}~n=0~,\\{\frac {-2(-1)^{n}}{n}}&{\text{ for }}~n>0~.\end{cases}}

В качестве альтернативы, когда внутренний продукт аппроксимируемой функции не может быть оценен, условие дискретной ортогональности дает часто полезный результат для приближенных коэффициентов,

a_{n}\approx {\frac {\,2-\delta _{0n}\,}{N}}\,\sum _{k=0}^{N-1}T_{n}(x_{k})\,\log(1+x_{k})~,

где $δ ij$ - дельта- функция Кронекера, а $x k$ - $N$ нулей Гаусса – Чебышева $T N (x)$ :

x_{k}=\cos \left({\frac {\pi \left(k+{\tfrac {1}{2}}\right)}{N}}\right).

Для любого $N$ эти приблизительные коэффициенты обеспечивают точное приближение к функции в $точке x k$ с контролируемой ошибкой между этими точками. Точные коэффициенты получаются при $N = \infty$ , таким образом представляя функцию точно во всех точках в $[-1,1]$ . Скорость сходимости зависит от функции и ее гладкости.

Это позволяет нам очень эффективно вычислять приблизительные коэффициенты $a n с$ помощью дискретного косинусного преобразования

a_{n}\approx {\frac {2-\delta _{0n}}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}\cos \left({\frac {n\pi \left(\,k+{\tfrac {1}{2}}\right)}{N}}\right)\log(1+x_{k})~.

Пример 2 [ править ]

Другой пример:

{\begin{aligned}(1-x^{2})^{\alpha }&~=~-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\,{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+\alpha \right)}{\Gamma (\alpha +1)}}+2^{1-2\alpha }\,\sum _{n=0}(-1)^{n}\,{2\alpha \choose \alpha -n}\,T_{2n}(x)\\&~=~2^{-2\alpha }\,\sum _{n=0}(-1)^{n}\,{2\alpha +1 \choose \alpha -n}\,U_{2n}(x)~.\end{aligned}}

Частичные суммы [ править ]

Частичные суммы

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x)

очень полезны при приближении различных функций и при решении дифференциальных уравнений (см. спектральный метод ). Два общих метода определения коэффициентов $a n$ - это использование внутреннего произведения, как в методе Галеркина, и использование коллокации, связанной с интерполяцией .

В качестве интерполянта $N$ коэффициентов $(N - 1)$ -й частичной суммы обычно получают на точках Чебышева – Гаусса – Лобатто ^[8] (или сетке Лобатто), что приводит к минимальной ошибке и позволяет избежать явления Рунге, связанного с равномерным распределением. сетка. Этот набор точек соответствует экстремумам полинома наивысшего порядка в сумме плюс конечные точки и задается следующим образом:

x_{k}=-\cos \left({\frac {k\pi }{N-1}}\right)\,;\qquad k=0,1,\dots ,N-1~.

Многочлен в форме Чебышева [ править ]

Произвольный многочлен степени $N$ можно записать через многочлены Чебышева первого рода. ^[9] Такой многочлен $p (x)$ имеет вид

p(x)=\sum _{n=0}^{N}a_{n}T_{n}(x)~.

Многочлены в форме Чебышева можно вычислить с помощью алгоритма Кленшоу .

Сдвинутые многочлены Чебышева [ править ]

Сдвинутые полиномы Чебышева первого рода определяются как

T_{n}^{*}(x)=T_{n}(2x-1)~.

Когда аргумент многочлена Чебышева находится в диапазоне $2 x - 1 \in [-1, 1],$ аргумент сдвинутого многочлена Чебышева равен $x \in [0, 1]$ . Точно так же можно определить сдвинутые многочлены для общих интервалов $[a, b]$ .

См. Также [ править ]

Фильтр Чебышева
Кубический корень Чебышева
Полиномы Диксона
Полиномы Лежандра
Полиномы Эрмита
Полиномы Романовского
Чебышёвские рациональные функции
Теория приближений
Система Chebfun
Дискретное преобразование Чебышева
Неравенство братьев Марковых

Ссылки [ править ]

^ Ривлин, Теодор Дж. (1974). «Глава 2, Экстремальные свойства». Полиномы Чебышева . Чистая и прикладная математика (1-е изд.). Нью-Йорк-Лондон-Сидней: Wiley-Interscience [John Wiley & Sons]. С. 56–123. ISBN 978-047172470-4.
^ Полиномы Чебышева были впервые представлены в Chebyshev, PL (1854). "Теория механизма коннус су ле ном де параллелограмм". Mémoires des Savants étrangers présentés à l'Académie de Saint-Pétersbourg (на французском языке). 7 : 539–586.
^ Demeyer, Йерун (2007). Диофантовы множества над кольцами многочленов и десятая проблема Гильберта для функциональных полей (PDF) (докторская диссертация). п. 70. Архивировано из оригинала (PDF) от 2 июля 2007 года.
Перейти ↑ Cody, WJ (1970). «Обзор практических рациональных и полиномиальных приближений функций». SIAM Обзор . 12 (3): 400–423. DOI : 10.1137 / 1012082 .
^ Mathar, RJ (2006). «Разложение обратных многочленов в ряд Чебышева». J. Comput. Прил. Математика . 196 (2): 596–607. arXiv : math / 0403344 . Bibcode : 2006JCoAM..196.596M . DOI : 10.1016 / j.cam.2005.10.013 . S2CID 16476052 .
^ Для доказательства см .: Mason, JC & Handscomb, DC (2002). Полиномы Чебышева . Тейлор и Фрэнсис.
^ a b c Бойд, Джон П. (2001). Чебышев и спектральные методы Фурье (PDF) (второе изд.). Дувр. ISBN 0-486-41183-4. Архивировано из оригинального (PDF) 31 марта 2010 года . Проверено 19 марта 2009 года .
^ "Чебышевская интерполяция: Интерактивный тур" . Архивировано из оригинала 18 марта 2017 года . Проверено 2 июня +2016 .
^ Для получения дополнительной информации о коэффициентах см .: Mason, JC & Handscomb, DC (2002). Полиномы Чебышева . Тейлор и Фрэнсис.

Источники [ править ]

Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 22» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое издание). Вашингтон; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 773. ISBN. 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Руководство по ремонту 0167642 . LCCN 65-12253 .
Детте, Хольгер (1995). «Заметка о некоторых своеобразных нелинейных экстремальных явлениях полиномов Чебышева». Труды Эдинбургского математического общества . 38 (2): 343–355. arXiv : math / 9406222 . DOI : 10.1017 / S001309150001912X . S2CID 16703489 .
Эллиотт, Дэвид (1964). «Вычисление и оценка коэффициентов разложения функции в ряд Чебышева» . Математика. Комп . 18 (86): 274–284. DOI : 10.1090 / S0025-5718-1964-0166903-7 . Руководство по ремонту 0166903 .
Еременко, А .; Лемперт, Л. (1994). «Экстремальная задача для многочленов» (PDF) . Труды Американского математического общества . 122 (1): 191–193. DOI : 10.1090 / S0002-9939-1994-1207536-1 . Руководство по ремонту 1207536 .
Эрнандес, Массачусетс (2001). «Чебышевские аппроксимационные алгоритмы и приложения». Комп. Математика. Applic . 41 (3–4): 433–445. DOI : 10.1016 / s0898-1221 (00) 00286-8 .
Мейсон, JC (1984). «Некоторые свойства и приложения полинома Чебышева и рациональной аппроксимации». Рациональная аппроксимация и интерполяция . Конспект лекций по математике. 1105 . С. 27–48. DOI : 10.1007 / BFb0072398 . ISBN 978-3-540-13899-0.
Мейсон, JC; Хэндскомб, округ Колумбия (2002). Полиномы Чебышева . Тейлор и Фрэнсис.
Матар, RJ (2006). «Разложение обратных многочленов в ряд Чебышева». J. Comput. Прил. Математика . 196 (2): 596–607. arXiv : math / 0403344 . Bibcode : 2006JCoAM.196..596M . DOI : 10.1016 / j.cam.2005.10.013 . S2CID 16476052 .
Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick SC; Коэкоек, Рулоф; Свартту, Рене Ф. (2010), «Ортогональные многочлены» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
Ремес, Евгений. «Об одном экстремальном свойстве многочленов Чебышева» (PDF) .
Зальцер, Герберт Э. (1976). «Преобразование интерполяционных рядов в ряды Чебышева по рекуррентным формулам» . Математика. Комп . 30 (134): 295–302. DOI : 10.1090 / S0025-5718-1976-0395159-3 . Руководство по ремонту 0395159 .
Scraton, RE (1969). «Решение интегральных уравнений в рядах Чебышева» . Математика. Comput . 23 (108): 837–844. DOI : 10.1090 / S0025-5718-1969-0260224-4 . Руководство по ремонту 0260224 .
Смит, Лайл Б. (1966). «Вычисление коэффициентов ряда Чебышева». Comm. ACM . 9 (2): 86–87. DOI : 10.1145 / 365170.365195 . S2CID 8876563 . Алгоритм 277.
Суетин, П.К. (2001) [1994], "Многочлены Чебышева" , Энциклопедия математики , EMS Press

Внешние ссылки [ править ]

СМИ, связанные с полиномами Чебышева, на Викискладе?
Вайсштейн, Эрик В. "Многочлены Чебышева первого рода" . MathWorld .
Мэтьюз, Джон Х. (2003). «Модуль для полиномов Чебышева» . Кафедра математики. Примечания к курсу математики 340 Численный анализ и математика 440 Расширенный численный анализ . Фуллертон, Калифорния: Университет штата Калифорния. Архивировано из оригинального 29 мая 2007 года . Дата обращения 17 августа 2020 .
«Чебышевская интерполяция: интерактивный тур» . Математическая ассоциация Америки (MAA)- включает иллюстративный Java-апплет .
«Численные вычисления с функциями» . Проект Chebfun .
«Есть ли интуитивное объяснение экстремального свойства многочленов Чебышева?» . Математическое переполнение . Вопрос 25534.
«Полиномиальное вычисление Чебышева и преобразование Чебышева» . Boost . Математика.

[1] Ривлин, Теодор Дж. (1974). «Глава 2, Экстремальные свойства». Полиномы Чебышева . Чистая и прикладная математика (1-е изд.). Нью-Йорк-Лондон-Сидней: Wiley-Interscience [John Wiley & Sons]. С. 56–123. ISBN 978-047172470-4.

[2] Полиномы Чебышева были впервые представлены в Chebyshev, PL (1854). "Теория механизма коннус су ле ном де параллелограмм". Mémoires des Savants étrangers présentés à l'Académie de Saint-Pétersbourg (на французском языке). 7 : 539–586.

[3] Demeyer, Йерун (2007). Диофантовы множества над кольцами многочленов и десятая проблема Гильберта для функциональных полей (PDF) (докторская диссертация). п. 70. Архивировано из оригинала (PDF) от 2 июля 2007 года.

[Cody-4] Перейти ↑ Cody, WJ (1970). «Обзор практических рациональных и полиномиальных приближений функций». SIAM Обзор . 12 (3): 400–423. DOI : 10.1137 / 1012082 .

[Mathar-5] Mathar, RJ (2006). «Разложение обратных многочленов в ряд Чебышева». J. Comput. Прил. Математика . 196 (2): 596–607. arXiv : math / 0403344 . Bibcode : 2006JCoAM..196.596M . DOI : 10.1016 / j.cam.2005.10.013 . S2CID 16476052 .

[6] Для доказательства см .: Mason, JC & Handscomb, DC (2002). Полиномы Чебышева . Тейлор и Фрэнсис.

[boyd-7] Бойд, Джон П. (2001). Чебышев и спектральные методы Фурье (PDF) (второе изд.). Дувр. ISBN 0-486-41183-4. Архивировано из оригинального (PDF) 31 марта 2010 года . Проверено 19 марта 2009 года .

[8] "Чебышевская интерполяция: Интерактивный тур" . Архивировано из оригинала 18 марта 2017 года . Проверено 2 июня +2016 .

[9] Для получения дополнительной информации о коэффициентах см .: Mason, JC & Handscomb, DC (2002). Полиномы Чебышева . Тейлор и Фрэнсис.

[1]

Полиномы Чебышева

Определение [ править ]

Тригонометрическое определение [ править ]

Определение уравнения Пелла [ править ]

Произведения полиномов Чебышева [ править ]

Связь между двумя видами многочленов Чебышева [ править ]

Явные выражения [ править ]

Свойства [ править ]

Симметрия [ править ]

Корни и экстремумы [ править ]

Дифференциация и интеграция [ править ]

Ортогональность [ править ]

Минимальная ∞- норма [ править ]

Другие свойства [ править ]

Обобщенные полиномы Чебышева [ править ]

Примеры [ править ]

Первый вид [ править ]

Второй вид [ править ]

В качестве основы [ править ]

Пример 1 [ править ]

Пример 2 [ править ]

Частичные суммы [ править ]

Многочлен в форме Чебышева [ править ]

Сдвинутые многочлены Чебышева [ править ]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Минимальная $\infty-$ норма [ править ]