Круг представляет собой форму , состоящую из всех точек в плоскости , которые находятся на заданном расстоянии от данной точки, центр ; эквивалентно, это кривая, очерченная точкой, которая движется в плоскости так, что расстояние от нее до данной точки постоянно . Расстояние между любой точкой круга и центром называется радиусом . Эта статья посвящена кругам в евклидовой геометрии и, в частности, евклидовой плоскости, если не указано иное.
Круг |
---|
В частности, круг - это простая замкнутая кривая, которая делит плоскость на две области : внутреннюю и внешнюю . В повседневном использовании термин «круг» может использоваться взаимозаменяемо для обозначения либо границы фигуры, либо всей фигуры, включая ее внутреннюю часть; в строгом техническом использовании круг - это только граница, а вся фигура называется диском .
Круг также может быть определен как особый вид эллипса, в котором два фокуса совпадают, а эксцентриситет равен 0, или как двумерная форма, охватывающая наибольшую площадь на единицу квадрата периметра, с использованием вариационного исчисления .
Определение Евклида
Круг - это плоская фигура, ограниченная одной изогнутой линией, и такая, что все прямые линии, проведенные от определенной точки внутри нее до ограничивающей линии, равны. Ограничивающая линия называется ее окружностью, а точка - ее центром.
Топологическое определение
В области топологии круг не ограничивается геометрическим понятием, но всеми его гомеоморфизмами . Два топологических круга эквивалентны, если один может быть преобразован в другой посредством деформации R 3 на самом себе (известной как окружающая изотопия ). [2]
Терминология
- Кольцо : объект в форме кольца, область, ограниченная двумя концентрическими окружностями.
- Дуга : любая соединенная часть круга. Указание двух конечных точек дуги и центра позволяет создать две дуги, которые вместе составляют полный круг.
- Центр: точка, равноудаленная от всех точек окружности.
- Хорда : отрезок прямой, концы которого лежат на окружности, тем самым разделяя окружность на два отрезка.
- Окружность : длина одного контура по окружности или расстояние по окружности.
- Диаметр : отрезок прямой, конечные точки которого лежат на окружности и который проходит через центр; или длину такого отрезка линии. Это наибольшее расстояние между любыми двумя точками на окружности. Это особый случай хорды, а именно самой длинной хорды для данного круга, и ее длина в два раза больше длины радиуса.
- Диск: область плоскости, ограниченная кругом.
- Линза : область, общая для (пересечения) двух перекрывающихся дисков.
- Проходной: компланарная прямая линия, не имеющая общей точки с окружностью.
- Радиус: отрезок прямой, соединяющий центр окружности с любой точкой на самой окружности; или длина такого сегмента, составляющая половину (длины) диаметра.
- Сектор : область, ограниченная двумя радиусами равной длины с общим центром и любой из двух возможных дуг, определяемых этим центром и конечными точками радиусов.
- Сегмент : область, ограниченная хордой и одной из дуг, соединяющих концы хорды. Длина хорды накладывает нижнюю границу на диаметр возможных дуг. Иногда термин сегмент используется только для областей, не содержащих центра окружности, к которой принадлежит их дуга.
- Секанс : удлиненная хорда, копланарная прямая, пересекающая окружность в двух точках.
- Полукруг : одна из двух возможных дуг, определяемых конечными точками диаметра, с его средней точкой в качестве центра. В обычном нетехническом использовании это может означать внутреннюю часть двумерной области, ограниченной диаметром и одной из его дуг, которая технически называется полудиском. Полудиск - это частный случай сегмента, а именно самый большой.
- Касательная : копланарная прямая линия, имеющая одну общую точку с кругом («касается круга в этой точке»).
Все указанные области могут рассматриваться как открытые , то есть не содержащие своих границ, или как закрытые , включая их соответствующие границы.
История
В слове круг происходит от греческого κίρκος / κύκλος ( Киркос / kuklos ), сам по себе Обменному из гомеровского грека κρίκος ( krikos ), что означает «обруч» или «кольцо». [3] Происхождение слов « цирк» и « схема» тесно связано.
Круг был известен еще до начала письменной истории. Наблюдались бы естественные круги, такие как Луна, Солнце и короткий стебель растения, развевающийся на ветру по песку, который образует на песке форму круга. Круг - это основа колеса , которое с помощью связанных изобретений, таких как шестерни , делает возможным создание многих современных машин. В математике изучение круга помогло вдохновить развитие геометрии, астрономии и математического анализа .
Ранняя наука , в частности , геометрия и астрология и астрономия , была связана с божественным для большинства средневековых ученых , и многие считали , что там было что - то внутренне «божественное» или «совершенное» , которые могут быть найдены в кругах. [4] [5]
Некоторые основные моменты в истории кружка:
- 1700 г. до н.э. - Папирус Райнда дает метод определения площади круглого поля. Результат соответствует256/81 год(3,16049 ...) как приблизительное значение π . [6]
- 300 г. до н.э. - Книга 3 Элементов Евклида посвящена свойствам кругов.
- В Plato «s седьмого Письмо есть подробное определение и объяснение круга. Платон объясняет идеальный круг и то, чем он отличается от любого рисунка, слов, определения или объяснения.
- 1880 CE - Линдеманн доказывает , что π является трансцендентным , эффективно урегулированием тысячелетней проблемы квадратуры круга. [7]
Аналитические результаты
Длина окружности
Отношение длины окружности к ее диаметру равно π (пи), иррациональная константа, приблизительно равная 3,141592654. Таким образом, длина окружности C связана с радиусом r и диаметром d соотношением:
Огороженная территория
Как доказал Архимед в его « Измерении круга» , площадь, заключенная в круг , равна площади треугольника, основание которого равно длине окружности круга, а высота равна радиусу круга, [8] что равно π, умноженному на на квадрат радиуса:
Эквивалентно, обозначая диаметр d ,
то есть примерно 79% описывающего квадрата (сторона которого имеет длину d ).
Круг - это плоская кривая, охватывающая максимальную площадь для данной длины дуги. Это связывает круг с проблемой вариационного исчисления, а именно с изопериметрическим неравенством .
Уравнения
Декартовы координаты
- Уравнение круга
В декартовой системе координат x - y круг с координатами центра ( a , b ) и радиусом r представляет собой набор всех точек ( x , y ), таких что
Это уравнение , известное как уравнение окружности , следует из теоремы Пифагора, примененной к любой точке окружности: как показано на соседней диаграмме, радиус - это гипотенуза прямоугольного треугольника, другие стороны которого имеют длину | х - а | и | у - б |. Если окружность центрирована в начале координат (0, 0), то уравнение упрощается до
- Параметрическая форма
Уравнение может быть записано в параметрической форме с использованием тригонометрических функций синуса и косинуса как
где t - параметрическая переменная в диапазоне от 0 до 2 π , геометрически интерпретируемая как угол, который луч от ( a , b ) до ( x , y ) образует с положительной осью x .
Альтернативная параметризация круга:
В этой параметризации отношение t к r можно интерпретировать геометрически как стереографическую проекцию линии, проходящей через центр параллельно оси x (см. Замена касательного полуугла ). Однако эта параметризация работает только в том случае, если задано значение t для диапазона не только через все вещественные числа, но и до бесконечно удаленной точки; в противном случае крайняя левая точка круга будет опущена.
- 3-х балльная форма
Уравнение круга, определяемого тремя точками не на прямой получается преобразованием трехточечной формы уравнения окружности :
- Однородная форма
В однородных координатах каждое коническое сечение с уравнением окружности имеет вид
Можно доказать, что коническое сечение является окружностью именно тогда, когда оно содержит (при расширении на комплексную проективную плоскость ) точки I (1: i : 0) и J (1: - i : 0). Эти точки называются бесконечно удаленными круговыми точками .
Полярные координаты
В полярных координатах уравнение круга имеет вид
где а - радиус окружности, полярные координаты общей точки на окружности, а - полярные координаты центра круга (т. е. r 0 - это расстояние от начала координат до центра круга, а φ - угол против часовой стрелки от положительной оси x до линии, соединяющей начало координат с центром круга. круг). Для круга с центром в начале координат, т. Е. R 0 = 0 , это сводится просто к r = a . Когда r 0 = a или когда начало координат лежит на окружности, уравнение принимает вид
В общем случае уравнение можно решить относительно r , давая
Обратите внимание, что без знака ± уравнение в некоторых случаях описывало бы только полукруга.
Сложная плоскость
В комплексной плоскости круг с центром в точке c и радиусом r имеет уравнение
В параметрической форме это можно записать как
Слегка обобщенное уравнение
для вещественных p , q и комплексного g иногда называют обобщенной окружностью . Это становится приведенным выше уравнением для круга с, поскольку . Не все обобщенные круги на самом деле являются кругами: обобщенный круг - это либо (истинный) круг, либо линия .
Касательные линии
Касательное через точку Р на окружности перпендикулярен к диаметру , проходящему через P . Если P = ( x 1 , y 1 ) и окружность имеет центр ( a , b ) и радиус r , то касательная линия перпендикулярна прямой от ( a , b ) к ( x 1 , y 1 ), поэтому имеет вид ( x 1 - a ) x + ( y 1 - b ) y = c . Вычисление в ( x 1 , y 1 ) определяет значение c , и в результате уравнение касательной имеет вид
или же
Если y 1 ≠ b , то наклон этой прямой равен
Это также можно найти с помощью неявного дифференцирования .
Когда центр окружности находится в начале координат, уравнение касательной становится равным
и его наклон
Характеристики
- Круг - это форма с наибольшей площадью для данной длины периметра (см. Изопериметрическое неравенство ).
- Круг - очень симметричная форма: каждая линия, проходящая через центр, образует линию симметрии отражения , и она имеет симметрию вращения вокруг центра для каждого угла. Его группа симметрии - ортогональная группа O (2, R ). Группа вращений одна представляет собой круг , группа Т .
- Все круги похожи .
- Окружность круга и радиус пропорциональны .
- Приведенная площадь и квадрат ее радиуса пропорциональны.
- Константы пропорциональности равны 2 π и π соответственно.
- Круг с центром в начале координат с радиусом 1 называется единичной окружностью .
- Мысль , как большой круг из единичной сферы , то становится римановой круг .
- Через любые три точки, не все на одной прямой, проходит уникальный круг. В декартовых координатах можно дать явные формулы для координат центра окружности и радиуса в терминах координат трех заданных точек. См. Описанную окружность .
Аккорд
- Хорды равноудалены от центра круга тогда и только тогда, когда они равны по длине.
- Перпендикуляр хорды проходит через центр окружности; эквивалентные утверждения, вытекающие из уникальности серединного перпендикуляра:
- Перпендикулярная линия от центра круга делит хорду пополам.
- Отрезок через центр рассекает аккорд перпендикулярна хорде.
- Если центральный угол и вписанный угол окружности образуются одной и той же хордой и на одной стороне хорды, то центральный угол вдвое больше вписанного угла.
- Если два угла вписаны на одну хорду и с одной стороны хорды, то они равны.
- Если два угла вписаны на одной и той же хорде и на противоположных сторонах хорды, то они являются дополнительными .
- Для циклического четырехугольника , то внешний угол равен внутреннему углу противоположной.
- Вписанный угол, образованный диаметром, является прямым углом (см. Теорему Фалеса ).
- Диаметр - это самая длинная хорда круга.
- Среди всех окружностей с общей хордой AB круг минимального радиуса - это окружность с диаметром AB.
- Если пересечение любых двух хорд делит одну хорду на длины a и b и делит другую хорду на длины c и d , то ab = cd .
- Если пересечение любых двух перпендикулярных хорд делит одну хорду на длины a и b и делит другую хорду на длины c и d , то a 2 + b 2 + c 2 + d 2 равно квадрату диаметра. [9]
- Сумма квадратов длин любых двух хорд, пересекающихся под прямым углом в данной точке, такая же, как и у любых других двух перпендикулярных хорд, пересекающихся в той же точке, и определяется как 8 r 2 - 4 p 2 , где r - радиус круга, а p - расстояние от центральной точки до точки пересечения. [10]
- Расстояние от точки на окружности до заданной хорды, умноженное на диаметр окружности, равно произведению расстояний от точки до концов хорды. [11] : стр.71
Касательная
- Линия, проведенная перпендикулярно радиусу через конечную точку радиуса, лежащую на окружности, является касательной к окружности.
- Линия, проведенная перпендикулярно касательной через точку контакта с окружностью, проходит через центр окружности.
- К окружности всегда можно провести две касательные из любой точки за пределами окружности, и эти касательные равны по длине.
- Если касательная в точке A и касательная в точке B пересекаются во внешней точке P , то при обозначении центра как O углы ∠ BOA и BPA являются дополнительными.
- Если AD касается окружности в точке A и AQ - хорда окружности, то ∠ DAQ = 1/2дуга ( AQ ) .
Теоремы
- Теорема о хорде утверждает, что если две хорды, CD и EB , пересекаются в A , то AC × AD = AB × AE .
- Если две секущие, AE и AD , также разрезают окружность в точках B и C соответственно, то AC × AD = AB × AE (следствие теоремы о хорде).
- Касательную можно рассматривать как предельный случай секущей, концы которой совпадают. Если касательная от внешней точки A пересекает окружность в точке F, а секущая из внешней точки A пересекает окружность в точках C и D соответственно, то AF 2 = AC × AD (теорема касательной – секущей).
- Угол между хордой и касательной в одной из его конечных точек равен половине угла, образованного в центре окружности, на противоположной стороне хорды (угол касательной хорды).
- Если угол, образуемый хордой в центре, равен 90 ° , то ℓ = r √ 2 , где ℓ - длина хорды, а r - радиус окружности.
- Если две секущие вписаны в круг, как показано справа, то измерение угла A равно половине разности измерений замкнутых дуг ( а также ). Это,, где O - центр окружности (теорема о секущей – секущей).
Вписанные углы
Вписанный угол (примеры - синий и зеленый углы на рисунке) составляет ровно половину соответствующего центрального угла (красный). Следовательно, все вписанные углы, которые образуют одну дугу (розовая), равны. Углы, начертанные на дуге (коричневые), являются дополнительными. В частности, каждый вписанный угол, который образует диаметр, является прямым углом (поскольку центральный угол равен 180 °).
Сагитта
Sagitta (также известный как синус-верзус ) представляет собой отрезок линии , проведенной перпендикулярно к хорде, между серединой этой хорды и дугой окружности.
Учитывая длину y хорды и длину x сагитты, теорему Пифагора можно использовать для вычисления радиуса уникального круга, который будет соответствовать двум линиям:
Другое доказательство этого результата, которое опирается только на два приведенных выше хордовых свойства, состоит в следующем. Учитывая хорду длины y и сагитту длины x , поскольку сагитта пересекает середину хорды, мы знаем, что это часть диаметра окружности. Поскольку диаметр в два раза больше радиуса, длина «недостающей» части диаметра составляет ( 2 r - x ). Используя тот факт, что одна часть одной хорды, умноженная на другую, равна тому же произведению, взятому вдоль хорды, пересекающей первую хорду, находим, что ( 2 r - x ) x = ( y / 2) 2 . Решая относительно r , находим требуемый результат.
Конструкции компаса и линейки
Есть много конструкций из циркуля и линейки, которые образуют круги.
Самым простым и основным является построение с учетом центра круга и точки на окружности. Поместите неподвижную ножку циркуля в центральную точку, подвижную ножку - на точку на окружности и поверните циркуль.
Конструкция с заданным диаметром
- Постройте середину диаметра M.
- Постройте круг с центром M, проходящим через одну из конечных точек диаметра (он также будет проходить через другую конечную точку).
Построение по трем неколлинеарным точкам
- Назовите точки P , Q и R ,
- Постройте серединный перпендикуляр отрезка PQ .
- Постройте серединный перпендикуляр отрезка PR .
- Добавьте точку пересечения этих двух перпендикулярных биссектрис М . (Они встречаются, потому что точки не лежат на одной прямой ).
- Постройте круг с центром M, проходящим через одну из точек P , Q или R (он также будет проходить через две другие точки).
Круг Аполлония
Аполлоний Пергии показал , что круг может быть также определен как набор точек в плоскости , имеющий постоянное отношение (кроме 1) расстояний до двух фиксированных фокусов, A и B . [12] [13] (Множество точек, в которых расстояния равны, представляет собой серединный перпендикуляр отрезка AB , прямую). Иногда говорят, что этот круг нарисован вокруг двух точек.
Доказательство состоит из двух частей. Во-первых, нужно доказать, что при двух фокусах A и B и соотношении расстояний любая точка P, удовлетворяющая отношению расстояний, должна попадать на определенную окружность. Пусть C - другая точка, также удовлетворяющая соотношению и лежащая на отрезке AB . По теореме о биссектрисе угла отрезок PC будет делить внутренний угол APB пополам , поскольку отрезки подобны:
Аналогично, отрезок PD, проходящий через некоторую точку D на расширенной AB, делит пополам соответствующий внешний угол BPQ, где Q находится на расширенной AP . Так как внутренний и внешний углы в сумме составляют 180 градусов, угол CPD составляет ровно 90 градусов; то есть под прямым углом. Множество точек P таких, что угол CPD является прямым углом, образует окружность, диаметр которой равен CD .
Во-вторых, см. [14] : с.15 для доказательства того, что каждая точка на указанной окружности удовлетворяет заданному соотношению.
Кросс-отношения
Тесно связанное свойство окружностей включает геометрию поперечного отношения точек на комплексной плоскости. Если A , B и C такие же, как указано выше, то круг Аполлония для этих трех точек представляет собой набор точек P, для которых абсолютное значение поперечного отношения равно единице:
Другими словами, P является точкой на окружности Аполлония тогда и только тогда, когда соотношение [ A , B ; C , P ] находится на единичной окружности комплексной плоскости.
Обобщенные круги
Если C - середина отрезка AB , то совокупность точек P, удовлетворяющих условию Аполлония
это не круг, а линия.
Таким образом, если A , B и C заданы различные точки на плоскости, то геометрическое место точек P, удовлетворяющих вышеуказанному уравнению, называется «обобщенной окружностью». Это может быть настоящий круг или линия. В этом смысле линия представляет собой обобщенную окружность бесконечного радиуса.
Надпись на других цифрах или их окружение
В каждый треугольник можно вписать уникальную окружность, называемую вписанной , так, чтобы она касалась каждой из трех сторон треугольника. [15]
Около каждого треугольника можно описать уникальный круг, называемый описанной окружностью, так, чтобы он проходил через каждую из трех вершин треугольника . [16]
Тангенциальное многоугольник , такой как тангенциальная четырехугольник , является любой выпуклый многоугольник , внутри которого можно вписать окружность , которая является касательной к каждой стороне многоугольника. [17] Каждый правильный многоугольник и каждый треугольник является касательным многоугольником.
Циклический многоугольник является любым выпуклым многоугольником , вокруг которой круг может быть ограниченным , проходя через каждую вершину. Хорошо изученный пример - вписанный четырехугольник. Каждый правильный многоугольник и каждый треугольник - это циклический многоугольник. Многоугольник, который одновременно является циклическим и касательным, называется бицентрическим многоугольником .
Гипоциклоида представляет собой кривую , которая вписана в данной окружности путем отслеживания неподвижную точку на окружности меньшего , что валки в пределах и по касательной к данной окружности.
Предельный случай других фигур
Круг можно рассматривать как предельный случай каждой из других фигур:
- Декартова овальная форма представляет собой набор точек , такие , что взвешенная сумма расстояний от любой ее точки до двух фиксированных точек (фокусы) является постоянной. Эллипс - это случай, когда веса равны. Круг - это эллипс с нулевым эксцентриситетом, что означает, что два фокуса совпадают друг с другом как центр круга. Окружность также является другим частным случаем декартова овала, в котором один из весов равен нулю.
- У суперэллипса есть уравнение видадля положительных a , b и n . В суперокружности b = a . Окружность - это частный случай суперкруга, в котором n = 2 .
- Овал Кассини представляет собой набор точек таким образом, что произведение расстояний от любой ее точки до двух фиксированных точек является константой. Когда две фиксированные точки совпадают, получается круг.
- Кривая постоянной ширины представляет собой фигуру , ширина которого, определяется как перпендикулярное расстояние между двумя отдельными параллельными линиями каждая из которых пересекает ее границы в одной точке, то же самое , независимо от направления этих двух параллельных линий. Круг - простейший пример фигур такого типа.
В других р- нормах
Определяя круг как набор точек с фиксированным расстоянием от точки, различные формы могут считаться кругами при разных определениях расстояния. В p- норме расстояние определяется как
В евклидовой геометрии p = 2, что дает знакомое
В геометрии таксомотора , р = 1. таксомотора круги квадраты со сторонами , ориентированные на углом 45 ° к осям координат. Хотя каждая сторона будет иметь длинуиспользуя евклидову метрику , где r - радиус круга, его длина в геометрии такси равна 2 r . Таким образом, длина окружности равна 8 р . Таким образом, значение геометрического аналогаравно 4 в этой геометрии. Формула для единичного круга в геометрии такси: в декартовых координатах и
в полярных координатах.
Окружность радиуса 1 (с использованием этого расстояния) является окрестностью фон Неймана ее центра.
Окружность радиуса r для расстояния Чебышева ( метрика L ∞ ) на плоскости также является квадратом со стороной 2 r, параллельной осям координат, поэтому плоское расстояние Чебышева можно рассматривать как эквивалентное вращением и масштабированием до планарного расстояния такси. Однако эта эквивалентность между метриками L 1 и L ∞ не распространяется на более высокие измерения.
Локус постоянной суммы
Рассмотрим конечный набор точки в плоскости. Географическое место точек, в котором сумма квадратов расстояний до данных точек постоянна, представляет собой окружность, центр которой находится в центроиде данных точек. [18] Обобщение для более высоких степеней расстояний получается, если при указывает вершины правильного многоугольника принимаются. [19] Географическое место таких точек, что сумма-я степень расстояний в вершины данного правильного многоугольника с описанным радиусом константа - круг, если
- , где = 1,2,…, -1;
чей центр является центром тяжести .
В случае равностороннего треугольника точки постоянных сумм второй и четвертой степеней представляют собой круги, тогда как для квадрата точки являются кругами постоянных сумм второй, четвертой и шестой степеней. Для правильного пятиугольника будет добавлена постоянная сумма восьмых степеней расстояний и так далее.
Квадрат круга
Возведение круга в квадрат - это проблема, предложенная древними геометрами , для построения квадрата с той же площадью, что и данный круг, с использованием только конечного числа шагов с помощью циркуля и линейки .
В 1882 году эта задача оказалась невыполнимой из -за теоремы Линдемана – Вейерштрасса , которая доказывала, что pi ( π ) является трансцендентным числом , а не алгебраическим иррациональным числом ; то есть это не корень любого многочлена с рациональными коэффициентами. Несмотря на невозможность, эта тема продолжает интересовать энтузиастов псевдоматематики .
Значение в искусстве и символике
Со времен самых ранних известных цивилизаций - таких как ассирийцы и древние египтяне, цивилизации в долине Инда и вдоль Желтой реки в Китае, а также западные цивилизации древней Греции и Рима в период классической античности - круг использовался напрямую или косвенно в изобразительном искусстве, чтобы передать послание художника и выразить определенные идеи. Однако различия в мировоззрении (верованиях и культуре) оказали большое влияние на восприятие художников. В то время как некоторые подчеркивали периметр круга, чтобы продемонстрировать их демократическое проявление, другие сосредоточились на его центре, чтобы символизировать концепцию космического единства. В мистических доктринах круг в основном символизирует бесконечность и цикличность существования, но в религиозных традициях он представляет небесные тела и божественных духов. Круг означает множество священных и духовных концепций, включая единство, бесконечность, целостность, вселенную, божественность, баланс, стабильность и совершенство, среди прочего. Такие концепции были переданы в культурах по всему миру с помощью символов, например, компаса, ореола, vesica piscis и его производных (рыба, глаз, ореол, мандорла и т. Д.), Уроборос, колесо Дхармы и т. Д. радуга, мандалы, окна-розетки и так далее. [20]
Смотрите также
Специально названные кружки
| Треугольника
| О некоторых четырехугольниках
Конического сечения
Тора
|
Рекомендации
- ^ OL 7227282M
- Перейти ↑ Gamelin, Theodore (1999). Введение в топологию . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0486406806.
- ^ krikos Архивировано 6 ноября 2013 г. в Wayback Machine , Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон , на Персее
- ^ Артур Кестлер , Sleepwalkers : История Человек изменяющегося видения Вселенной (1959)
- ↑ Прокл , Шесть книг Прокла, платоновского преемника, по теологии Платона, Архивировано 23 января 2017 г. в Wayback Machine Tr. Томас Тейлор (1816) Vol. 2, гл. 2, "Платона"
- ^ Хронология для 30000 г. до н.э. до 500 г. до н.э. Архивировано 22 марта 2008 г. в Wayback Machine . History.mcs.st-andrews.ac.uk. Проверено 3 мая 2012.
- ^ Возводя круг Archived 2008-06-24 на Wayback Machine . History.mcs.st-andrews.ac.uk. Проверено 3 мая 2012.
- ^ Кац, Виктор Дж. (1998), История математики / Введение (2-е изд.), Аддисон Уэсли Лонгман, стр. 108 , ISBN 978-0-321-01618-8
- ^ Posamentier и Залкинд, сложных проблем в геометрии , Dover, 2е издание, 1996:. С. 104-105, # 4-23.
- ↑ College Mathematics Journal 29 (4), сентябрь 1998 г., стр. 331, задача 635.
- Перейти ↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ., 2007.
- ^ Харкнесс, Джеймс (1898). «Введение в теорию аналитических функций» . Природа . 59 (1530): 30. Bibcode : 1899Natur..59..386B . DOI : 10.1038 / 059386a0 . Архивировано из оригинала на 2008-10-07.
- Перейти ↑ Ogilvy, C. Stanley , Excursions in Geometry , Dover, 1969, 14–17.
- ^ Altshiller-Суд, Натан, Колледж Geometry , Dover, 2007 (ориг. 1952).
- ^ Incircle - из Wolfram MathWorld, архивировано 21 января 2012 г. в Wayback Machine . Mathworld.wolfram.com (26 апреля 2012 г.). Проверено 3 мая 2012.
- ↑ Circumcircle - из Wolfram MathWorld, архивировано 20 января 2012 г. на Wayback Machine . Mathworld.wolfram.com (26 апреля 2012 г.). Проверено 3 мая 2012.
- ^ Тангенциальный многоугольник - из Wolfram MathWorld. Архивировано 3 сентября 2013 г. на Wayback Machine . Mathworld.wolfram.com (26 апреля 2012 г.). Проверено 3 мая 2012.
- ^ Апостол, Том; Мнацаканян, Мамикон (2003). «Суммы квадратов расстояний в м-пространстве». Американский математический ежемесячник . 110 : 516–526.
- ^ Месхишвили, Мамука (2020). «Циклические средние правильных многоугольников и платоновых тел» . Коммуникации в математике и приложениях . 11 : 335–355.
- ^ Абдуллахи, Яхья (29 октября 2019 г.). «Круг с востока на запад». В Шарнье, Жан-Франсуа (ред.). Лувр Абу-Даби: мировоззрение искусства . Rizzoli International Publications, Incorporated. ISBN 9782370741004.
дальнейшее чтение
- Педое, Дэн (1988). Геометрия: разносторонний курс . Дувр.
- "Круг" в архиве истории математики MacTutor
Внешние ссылки
- "Круг" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Круг в PlanetMath .
- Вайсштейн, Эрик В. «Круг» . MathWorld .
- «Интерактивные Java-апплеты» .
для свойств и элементарных конструкций из окружностей
- «Интерактивное уравнение круга стандартной формы» .
Щелкните и перетащите точки, чтобы увидеть уравнение стандартной формы в действии
- «Жевание кругов» .
завязать узел