Неравенство Клаузиуса-Дюгем [1] [2] является способом выражения второго закона термодинамики , который используется в механике сплошных сред . Это неравенство особенно полезно при определении того, является ли определяющее отношение материала термодинамически допустимым. [3]
Это неравенство является утверждением о необратимости природных процессов, особенно когда речь идет о диссипации энергии. Он был назван в честь немецкого физика Рудольфа Клаузиуса и французского физика Пьера Дюгема .
Неравенство Клаузиуса – Дюгема по удельной энтропии
Неравенство Клаузиуса – Дюгема в интегральной форме выражается как
В этом уравнении время, представляет собой тело, и интеграция осуществляется по всему объему тела, представляет собой поверхность тела, - массовая плотность тела,- удельная энтропия (энтропия на единицу массы),это нормальная скорость, - скорость частиц внутри, - единица, нормальная к поверхности, - вектор теплового потока ,- источник энергии на единицу массы, аабсолютная температура . Все переменные являются функциями материальной точки в вовремя .
В дифференциальной форме неравенство Клаузиуса – Дюгема можно записать как
где является производной по времени от а также это расхождение в векторе .
Доказательство |
---|
Предположить, что - произвольный фиксированный контрольный объем . потом а производную можно взять внутрь интеграла, чтобы получить Используя теорему о расходимости , получаем С произвольно, мы должны иметь Расширение или же, или же, Итак, материальные производные по времени от а также даны Следовательно, От сохранения массы . Следовательно, |
Неравенство Клаузиуса – Дюгема по удельной внутренней энергии
Неравенство можно выразить через внутреннюю энергию как
где - производная по времени от удельной внутренней энергии (внутренняя энергия на единицу массы), - напряжение Коши , а- градиент скорости. Это неравенство включает баланс энергии и баланс линейного и углового момента в выражение для неравенства Клаузиуса – Дюгема.
Доказательство |
---|
Использование идентичности в неравенстве Клаузиуса – Дюгема получаем Теперь, используя индексные обозначения по отношению к декартовой системе координат , Следовательно, Следовательно, Перестановка, |
Рассеивание
Количество
называется диссипацией, которая определяется как скорость производства внутренней энтропии в единице объема, умноженная на абсолютную температуру . Поэтому неравенство Клаузиуса – Дюгема также называется диссипативным неравенством . В реальном материале рассеивание всегда больше нуля.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Трусделл, Клиффорд (1952), "Механические основы упругости и гидродинамики", Журнал рациональной механики и анализа , 1 : 125–300.
- ^ Трусделл, Клиффорд и Тупин, Ричард (1960), "Классические теории поля механики", Handbuch der Physik , III , Берлин: Springer.
- ^ Фремон, М. (2006), «Неравенство Клаузиуса – Дюгема, интересное и продуктивное неравенство», « Негладкая механика и анализ» , «Успехи в механике и математике», 12 , Нью-Йорк: Springer, стр. 107–118, doi : 10.1007 / 0-387-29195-4_10 , ISBN 0-387-29196-2.
Внешние ссылки
- Воспоминания о Клиффорде Трусделле Бернарда Д. Коулмана, Journal of Elasticity, 2003.
- Мысли о термомеханике по Вальтеру Нолл , 2008.