Закрытый набор

В геометрии , топологии и смежные отраслях математики , А замкнутое множество является множество которых дополнение является открытым множеством . ^{[1] [2]} В топологическом пространстве замкнутое множество можно определить как множество, которое содержит все его предельные точки . В полном метрическом пространстве замкнутое множество - это множество, которое замкнуто при выполнении предельной операции. Его не следует путать с закрытым коллектором .

Эквивалентные определения замкнутого множества [ править ]

По определению, подмножество из топологического пространства называется замкнутым , если его дополнение является открытым подмножеством ; то есть, если множество A замкнуто в том и только в том случае, если оно равно его закрытию в Equivalently, множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки . Еще одно эквивалентное определение состоит в том, что множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои граничные точки . Каждое подмножество всегда содержится в своем (топологическом) замыкании, в котором обозначается, то есть, если тогда Кроме того, является замкнутым подмножеством${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle (Х, \ тау)}$${\ Displaystyle X \ setminus A}$${\ Displaystyle (Х, \ тау)}$${\ displaystyle X \ setminus A \ in \ tau.}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$${\ Displaystyle A \ substeq X}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} A;}$${\ Displaystyle A \ substeq X}$${\ displaystyle A \ substeq \ operatorname {cl} _ {X} A.}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$ если и только если ${\displaystyle A=\operatorname {cl} _{X}A.}$

Альтернативная характеристика замкнутых множеств доступна через последовательности и сети . Подмножество топологического пространства замкнуто в том и только в том случае, если каждый предел каждой сети элементов также принадлежит к пространству с первым счетом (например, метрическому пространству), достаточно рассматривать только сходящиеся последовательности , а не все сети. Одно из достоинств этой характеристики состоит в том, что ее можно использовать в качестве определения в контексте пространств сходимости , которые являются более общими, чем топологические пространства. Обратите внимание, что эта характеристика также зависит от окружающего пространства.${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle X,}$поскольку сходится ли последовательность или сеть в зависимости от того, какие точки присутствуют в A, точка в называется близкой к подмножеству if (или, что эквивалентно, если if принадлежит замыканию в топологическом подпространстве, что означает, что где наделено подпространством топология, индуцированная на нем ^{[примечание 1]} ). Поскольку замыкание in - это, таким образом, множество всех точек в , близких к этой терминологии, позволяет дать простое английское описание замкнутых подмножеств: ${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cup \{x\},}$${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{A\cup \{x\}}A}$${\displaystyle A\cup \{x\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A,}$

подмножество закрыто тогда и только тогда, когда оно содержит все близкие к нему точки.

С точки зрения чистой конвергенции, точка близка к подгруппе тогда и только тогда , когда существует некоторая сеть (оцененный) в сходящуюся к Если это топологическое подпространство некоторого другого топологического пространства в этом случае называется топологическим супер-пространство в то там может существовать некоторая точка, которая близка к (хотя и не является ее элементом ), поэтому подмножество может быть замкнуто, но не замкнуто в "большом" окружающем суперпространстве. Если и если есть какие-либо топологическое суперпространство${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle Y\setminus X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$то всегда (потенциально собственно) подмножество , которое обозначает замыкание в самом деле, даже если замкнутое подмножество (которое происходит тогда и только тогда ), тем не менее , все еще возможно , чтобы быть подмножеством Однако, это замкнутое подмножество , если и только если для некоторых (или , что эквивалентно, для каждого) топологического супер-пространства из${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}A,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Y;}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A=\operatorname {cl} _{X}A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}A.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A=X\cap \operatorname {cl} _{Y}A}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X.}$

Замкнутые множества также могут использоваться для характеристики непрерывных функций : карта является непрерывной тогда и только тогда, когда для каждого подмножества ; это может быть перефразировать в простом английском языке , как: непрерывна тогда и только тогда , когда для каждого подмножества отображает точки, близкие к точкам, которые близки к Аналогичным образом , непрерывна по фиксированной заданной точке тогда и только тогда , когда находится близко к подгруппе , то близко к${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {cl} _{Y}(f(A))}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f(A).}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A\subseteq X,}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(A).}$

Подробнее о закрытых наборах [ править ]

Понятие замкнутого множества определено выше в терминах открытых множеств , концепция, которая имеет смысл для топологических пространств , а также для других пространств, которые несут топологические структуры, такие как метрические пространства , дифференцируемые многообразия , равномерные пространства и калибровочные пространства .

Будет ли набор замкнутым, зависит от пространства, в которое он встроен. Однако компактные хаусдорфовы пространства « абсолютно замкнуты » в том смысле, что если вы вложите компактное хаусдорфово пространство в произвольное хаусдорфово пространство, то оно всегда будет замкнутым подмножеством ; «окружающее пространство» здесь не имеет значения. Компактификация Стоуна – Чеха , процесс, который превращает полностью регулярное хаусдорфово пространство в компактное хаусдорфово пространство, может быть описан как примыкающие к пространству пределы некоторых несходящихся сетей.${\displaystyle D}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$

Кроме того, каждое замкнутое подмножество компакта компактно, и каждое компактное подпространство хаусдорфова пространства замкнуто.

Замкнутые множества также дают полезную характеристику компактности: топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый набор непустых замкнутых подмножеств с пустым пересечением допускает конечное подмножество с пустым пересечением.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Топологическое пространство будет отключено , если существует непересекающиеся, непустой, открытые подмножества и из объединения которых Кроме того, будет полностью отключен , если он имеет открытую основу , состоящую из замкнутых множеств.${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$

Свойства замкнутых множеств [ править ]

Замкнутый набор содержит свою границу . Другими словами, если вы находитесь «вне» закрытого набора, вы можете немного переместиться в любом направлении и все равно оставаться за пределами набора. Обратите внимание, что это также верно, если граница является пустым набором, например, в метрическом пространстве рациональных чисел, для набора чисел, квадрат которого меньше, чем${\displaystyle 2.}$

• Любое пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто (включая пересечения бесконечного числа замкнутых множеств).
• Объединение из конечного множества замкнутых множеств замкнуто.
• Пустое множество замкнуто.
• Весь набор закрыт.

Фактически, если задан набор и набор подмножеств таких, что элементы обладают перечисленными выше свойствами, то существует уникальная топология на такой, что замкнутые подмножества - это в точности те множества, которые принадлежат к. Свойство пересечения также позволяет определить закрытие набора в пространстве , которое определяется как наименьшее замкнутое подмножество , что является подмножеством из в частности, замыкание может быть построена как пересечение всех этих замкнутых надмножеств.${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {F} \neq \varnothing }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \mathbb {F} .}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle X}$

Множества, которые могут быть построены как объединение счетного числа замкнутых множеств, обозначаются F σ множеств. Эти наборы не нужно закрывать.

Примеры закрытых множеств [ править ]

• Замкнутый интервал из действительных чисел замкнуто. (См. Раздел Интервал (математика) для объяснения обозначений скобок и скобок.)${\displaystyle [a,b]}$
• Интервальный паевой замкнуто в метрическом пространстве действительных чисел, а множество из рациональных чисел между и (включительно) замкнуто в пространстве рациональных чисел, но не замкнуто в действительных числах.${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle [0,1]\cap \mathbb {Q} }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle [0,1]\cap \mathbb {Q} }$
• Некоторые множества не являются ни открытыми, ни закрытыми, например, полуоткрытый интервал в действительных числах.${\displaystyle [0,1)}$
• Некоторые наборы бывают как открытыми, так и закрытыми и называются закрытыми наборами .
• Луч закрыт.${\displaystyle [1,+\infty )}$
• Множество Кантора является необычным замкнутым множеством в том смысле , что она целиком состоит из точек границы и нигде не плотно.
• Одноэлементные точки (и, следовательно, конечные множества) замкнуты в хаусдорфовых пространствах .
• Множество целых чисел - это бесконечное и неограниченное замкнутое множество действительных чисел.${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Если - функция между топологическими пространствами, то является непрерывной тогда и только тогда, когда прообразы замкнутых множеств в замкнуты в${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X.}$

См. Также [ править ]

• Clopen set  - подмножество одновременно открытого и закрытого
• Закрытая карта
• Открытый набор  - базовое подмножество топологического пространства.
• Район
• Регион (математика)  - Математическое подмножество пространства
• Обычный закрытый набор

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Долецкий, Шимон ; Майнард, Фредерик (2016). Основы сходимости топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917 .
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365 .
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Дуврские книги по математике (Первое изд.). Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240 .