Замыкание (топология)

В математике , то замыкание подмножества S точек в топологическом пространстве состоит из всех точек в S вместе со всеми предельными точками из S . Замыкание S может быть эквивалентно определяется как союз из S и его границы , а также как пересечение всех замкнутых множеств , содержащих S . Интуитивно замыкание можно представить как все точки, которые находятся либо в S, либо «около» S.. Точка , которая находится в замыкании S является точкой закрытия из S . Понятие закрытия во многом двойственно понятию интерьера .

Определения [ править ]

Точка закрытия [ править ]

Для подмножества евклидова пространства , это точка закрытия, если каждый открытый шар с центром в содержит точку (эта точка может быть самой собой).${\ displaystyle S}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle x}$

Это определение обобщается на любое подмножество в виде метрического пространства Полностью выражается, для метрического пространства с метрикой является точкой замыкания , если для каждого существует некоторые такие , что расстояние (опять же , разрешено). Другой способ выразить это - сказать, что это точка закрытия, если расстояние${\ displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle d(x,s)<r}$${\displaystyle x=s}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle d(x,S):=\inf _{s\in S}d(x,s)=0.}$

Это определение обобщается на топологические пространства , заменяя «открытый шар» или «шар» на « окрестность ». Пусть подмножество топологического пространства Тогда это точка закрытия или клейкой точка из , если каждая окрестность содержит точку ^[1] Следуют отметить , что это определение не зависит от того , требуется районы должны быть открыты.${\displaystyle S}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S.}$

Предельная точка [ править ]

Определение точки закрытия тесно связано с определением предельной точки . Разница между этими двумя определениями тонкая, но важная - а именно, в определении предельной точки каждая окрестность рассматриваемой точки должна содержать точку из множества, отличную от нее самой . Множество всех предельных точек множества называется производное множество из${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$

Таким образом, каждая предельная точка является точкой закрытия, но не каждая точка закрытия является предельной точкой. Точка замыкания, которая не является предельной точкой, является изолированной точкой . Другими словами, точка является изолированной точкой, если она является элементом и если существует окрестность которой не содержит других точек, кроме нее самой. ^[2]${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$

Для данного множества и точка является точкой закрытия тогда и только тогда, когда является элементом или является предельной точкой (или того и другого).${\displaystyle S}$${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$

Закрытие набора [ править ]

Замыкание подмножества топологического пространства обозначается или , возможно, (если подразумевается), где , если оба , и ясно из контекста , то она может также обозначать или (кроме того, иногда капитализируются ) может быть определена с использованием любого из следующие эквивалентные определения:${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,\tau ),}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{(X,\tau )}S}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \operatorname {cl} S,}$ ${\displaystyle {\overline {S}},}$${\displaystyle S{}^{-}}$${\displaystyle \operatorname {cl} }$${\displaystyle \operatorname {Cl} }$

1. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$есть множество всех точек закрытия из${\displaystyle S.}$
2. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$- множество вместе со всеми его предельными точками . ^[3]${\displaystyle S}$
3. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$является пересечением всех замкнутых множеств, содержащих${\displaystyle S.}$
4. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$ наименьшее замкнутое множество, содержащее ${\displaystyle S.}$
5. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$есть объединение и его граница${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \partial (S).}$
6. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$это множество всех , для которых существует сеть (оцененная) в сходящихся к ин${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (X,\tau ).}$

Замыкание множества обладает следующими свойствами. ^[4]

• ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$является закрытым надмножеством${\displaystyle S}$
• Множество закрыто тогда и только тогда, когда${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\operatorname {cl} S}$
• Если то является подмножеством${\displaystyle S\subseteq T}$${\displaystyle \operatorname {cl} S}$${\displaystyle \operatorname {cl} T.}$
• Если - замкнутое множество, то содержит тогда и только тогда, когда содержит${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {cl} S.}$

Иногда второе или третье свойство выше используется как определение топологического замыкания, которое все еще имеет смысл при применении к другим типам замыканий (см. Ниже). ^[5]

В пространстве с первым счетом (таком как метрическое пространство ) - это набор всех пределов всех сходящихся последовательностей точек в. Для общего топологического пространства это утверждение остается верным, если заменить «последовательность» на « сеть » или « фильтр». ".${\displaystyle \operatorname {cl} S}$${\displaystyle S.}$

Обратите внимание, что эти свойства также выполняются, если "закрытие", "надмножество", "пересечение", "содержит / содержащий", "наименьший" и "закрытый" заменяются на "внутренний", "подмножество", "объединение", "содержащий". в "," крупнейшем "и" открытом ". Подробнее об этом см. Ниже оператор закрытия .

Примеры [ править ]

Рассмотрим сферу в 3-х измерениях. Неявно есть две области интересов, создаваемые этой сферой; сама сфера и ее внутренность (которая называется открытым 3-шаром). Полезно уметь различать внутреннюю часть 3-шара и поверхность, поэтому мы различаем открытый 3-шар и закрытый 3-шар - закрытие 3-шара. Закрытие открытого 3-шара - это открытый 3-шар плюс поверхность.

В топологическом пространстве :

• В любом пространстве, ${\displaystyle \varnothing =\operatorname {cl} \varnothing .}$
• В любом пространстве ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X=\operatorname {cl} X.}$

Предоставление и стандартная (метрическая) топология :${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

• Если евклидово пространство из действительных чисел , то${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=[0,1].}$
• Если евклидово пространство , то замыкание множества из рациональных чисел является все пространство Мы говорим , что это плотная в${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• Если - комплексная плоскость, то${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2},}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left(\{z\in \mathbb {C} :|z|>1\}\right)=\{z\in \mathbb {C} :|z|\geq 1\}.}$
• Если - конечное подмножество евклидова пространства, то (Для общего топологического пространства это свойство эквивалентно аксиоме T 1. )${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=S.}$

На множество действительных чисел можно ставить другие топологии вместо стандартной.

• Если наделен топологией нижнего предела , то${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=[0,1).}$
• Если рассматривать на в дискретной топологии , в которой каждое множество замкнуто (открыто), а затем${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=(0,1).}$
• Если рассматривать на с тривиальной топологией , в которой только замкнутые (открытые) множества являются пустое множество и само, то${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=\mathbb {R} .}$

Эти примеры показывают, что закрытие набора зависит от топологии основного пространства. Последние два примера являются частными случаями следующего.

• В любом дискретном пространстве , поскольку каждое множество замкнуто (а также открыто), каждое множество равно своему закрытию.
• В любом антидискретном пространстве , так как только замкнутые множества являются пустым множеством и сам, мы имеем , что замыкание пустого множества является пустым множеством, и для каждого непустого подмножества из Других слов, каждое непустое подмножество антидискретного пространство плотное .${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A=X.}$

Закрытие набора также зависит от того, в каком пространстве мы выполняем закрытие. Например, if - это множество рациональных чисел с обычной относительной топологией, индуцированной евклидовым пространством, а if then замкнуто в, а замыкание в in равно ; однако закрытие в евклидовом пространстве - это набор всех действительных чисел, больших или равных${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle S=\{q\in \mathbb {Q} :q^{2}>2,q>0\},}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}.}$

Оператор закрытия [ править ]

Оператор замыкания на множестве является отображением из множества мощности из , в себя, удовлетворяющих закрывающих АКСИОМЫ Куратовских . Учитывая топологическое пространство , топологическое замыкание индуцирует функцию, которая определяется отправкой подмножества туда, где обозначение или может использоваться вместо этого. Наоборот, если является оператором замыкания на множестве, то топологическое пространство получается путем определения замкнутых множеств как тех подмножеств, которые удовлетворяют (таким образом, дополнения этих подмножеств образуют открытые множества${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}:\wp (X)\to \wp (X)}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S,}$${\displaystyle {\overline {S}}}$${\displaystyle S^{-}}$${\displaystyle \mathbb {c} }$${\displaystyle X,}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle \mathbb {c} (S)=S}$${\displaystyle X}$топологии). ^[6]

Оператор замыкания является двойным для внутреннего оператора, который обозначается в том смысле , что${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}}$${\displaystyle \operatorname {int} _{X},}$

${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=X\setminus \operatorname {int} _{X}(X\setminus S),}$

а также

${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S=X\setminus \operatorname {cl} _{X}(X\setminus S).}$

Следовательно, абстрактная теория операторов замыкания и аксиомы замыкания Куратовского могут быть легко переведены на язык внутренних операторов, заменяя множества их дополнениями в${\displaystyle X.}$

В общем случае оператор замыкания не коммутирует с пересечениями. Однако в полном метрическом пространстве верен следующий результат:

Факты о закрытии [ править ]

Подмножество будет закрыто в тогда и только тогда , в частности:${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=S.}$

• Замыкание пустого множества - это пустое множество;
• Само закрытие - это${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
• Замыкание пересечения множеств всегда является подмножеством (но не обязательно равным) пересечению замыканий множеств.
• В союзе с конечным числом множеств, то замыкание объединения и объединение замыканий равно; объединение нулевых множеств - это пустое множество, и поэтому это утверждение содержит более раннее утверждение о закрытии пустого множества как особый случай.
• Замыкание объединения бесконечного множества множеств не обязательно равно объединению замыканий, но всегда является надмножеством объединения замыканий.

Если это подпространство в содержащем , то замыкании вычисляется в равно пересечение и закрытию вычислены в : В частности, плотно в том и только тогда , когда есть подмножество${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{A}S=A\cap \operatorname {cl} _{X}S.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S.}$

Категорическая интерпретация [ править ]

Можно элегантно определить оператор замыкания в терминах универсальных стрелок следующим образом.

Powerset из набора может быть реализовано в виде частичного порядка категории , в которой объекты являются подмножествами и морфизмы включений всякий раз , когда это подмножество Кроме того, топология на является подкатегорией с включением функторе множество замкнутых подмножеств , содержащий фиксированное подмножество можно отождествить с категорией запятой. Эта категория - также частичный порядок - затем имеет начальный объект. Таким образом, существует универсальная стрелка от до, заданная включением .${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B.}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle I:T\to P.}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle (A\downarrow I).}$${\displaystyle \operatorname {cl} A.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle I,}$${\displaystyle A\to \operatorname {cl} A.}$

Аналогично, так как каждое замкнутое множество , содержащее соответствуют с открытым набором , содержащимся в можно интерпретировать категорию как набор открытых подмножеств содержатся в с терминальным объектом интерьером из${\displaystyle X\setminus A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (I\downarrow X\setminus A)}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle \operatorname {int} (A),}$${\displaystyle A.}$

Все свойства замыкания могут быть выведены из этого определения и некоторых свойств вышеуказанных категорий. Более того, это определение уточняет аналогию между топологическим замыканием и другими типами замыканий (например, алгебраическими ), поскольку все они являются примерами универсальных стрелок.

См. Также [ править ]

• Точка привязки  - точка, которая принадлежит замыканию некоторого заданного подмножества топологического пространства.
• Замыкательная алгебра
• Производное множество (математика)
• Интерьер (топология)
• Предельная точка  - точка x в топологическом пространстве, все окрестности которой содержат некоторую точку в данном подмножестве, отличную от x .

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бейкер, Крамп В. (1991), Введение в топологию , Wm. С. Браун Издатель, ISBN 0-697-05972-3
• Крум, Фред Х. (1989), Принципы топологии , Saunders College Publishing, ISBN 0-03-012813-7
• Джеминьяни, Майкл С. (1990) [1967], Элементарная топология (2-е изд.), Довер, ISBN 0-486-66522-4
• Хокинг, Джон Дж .; Янг, Гейл С. (1988) [1961], Топология , Дувр, ISBN 0-486-65676-4
• Куратовский, К. (1966), Топология , I , Academic Press
• Первин, Уильям Дж. (1965), Основы общей топологии , Academic Press
• Шуберт, Хорст (1968), Топология , Аллин и Бэкон
• Зэлинеску, Константин (30 июля 2002 г.). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, штат Нью-Джерси, Лондон: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. Руководство по ремонту  1921556 . OCLC  285163112 .

Внешние ссылки [ править ]

• «Замыкание множества» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]