Береговая линия Парадокс это противоречит здравому смыслу наблюдения , что береговая линия из суши не имеет четко определенную длину. Это является следствием фрактальных свойств береговой линии, т. Е. Того факта, что береговая линия обычно имеет фрактальную размерность (что фактически делает неприменимым понятие длины). Первое зарегистрированное наблюдение этого явления было сделано Льюисом Фри Ричардсоном [1], и его продолжил Бенуа Мандельброт . [2]
Измеренная длина береговой линии зависит от метода ее измерения и степени картографического обобщения . Поскольку на суше есть объекты всех масштабов, от сотен километров до крошечных долей миллиметра и ниже, нет очевидного размера мельчайших деталей, которые следует учитывать при измерении, и, следовательно, нет единого четко определенного периметра. к суше. Существуют различные приближения, когда делаются конкретные предположения о минимальном размере элемента.
Проблема в корне отличается от измерения других, более простых краев. Например, можно точно измерить длину прямого идеализированного металлического стержня, используя измерительное устройство, чтобы определить, что длина меньше определенной величины и больше другой величины, то есть измерить ее в пределах определенного степень неопределенности . Чем точнее прибор для измерения, тем точнее будут результаты к истинной длине кромки. Однако при измерении береговой линии более близкое измерение не приводит к увеличению точности - измерение только увеличивается в длине; в отличие от металлического стержня, невозможно получить максимальное значение длины береговой линии.
В трехмерном пространстве парадокс береговой линии легко распространяется на концепцию фрактальных поверхностей, при которой площадь поверхности изменяется в зависимости от разрешения измерения.
Математические аспекты [ править ]
 | Этот раздел требует дополнительных ссылок для проверки . ( Февраль 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
Основное понятие длины происходит от евклидова расстояния . В евклидовой геометрии прямая линия представляет собой кратчайшее расстояние между двумя точками . Эта линия имеет только одну длину. На поверхности сферы это заменяется геодезической длиной (также называемой длиной большого круга ), которая измеряется вдоль кривой поверхности, которая существует в плоскости, содержащей оба конца и центр сферы. Длина основных кривых является более сложной , но также может быть вычислена. Измеряя линейками, можно приблизительно определить длину кривой, сложив сумму прямых линий, соединяющих точки:
Использование нескольких прямых линий для аппроксимации длины кривой даст оценку меньше истинной длины; когда используются все более короткие (и, следовательно, более многочисленные) линии, сумма приближается к истинной длине кривой. Точное значение этой длины можно найти с помощью исчисления , раздела математики, позволяющего вычислять бесконечно малые расстояния. Следующая анимация показывает, как плавной кривой можно значимо присвоить точную длину:
Однако не все кривые можно измерить таким способом. Фрактальный , по определению, кривой, сложность меняется с измерительной шкалой. В то время как приближения гладкой кривой стремятся к одному значению по мере увеличения точности измерения, измеренное значение для фрактала не сходится.
Поскольку длина фрактальной кривой всегда расходится до бесконечности, если бы кто-то измерил береговую линию с бесконечным или почти бесконечным разрешением, длина бесконечно коротких изломов на береговой линии в сумме составила бы бесконечность. [3] Однако этот рисунок основан на предположении, что пространство можно разделить на бесконечно малые участки. Истинность этого предположения, лежащего в основе евклидовой геометрии и служащего полезной моделью в повседневных измерениях, является предметом философских размышлений и может отражать или не отражать изменяющиеся реальности «пространства» и «расстояния» на атомарном уровне ( примерно в масштабе нанометра ). Например, длина Планка, на много порядков меньше атома, предлагается как наименьшая возможная измеримая единица во Вселенной.
Береговые линии менее определенны по своему построению, чем идеализированные фракталы, такие как множество Мандельброта, потому что они сформированы различными природными событиями, которые создают закономерности статистически случайным образом, тогда как идеализированные фракталы образуются посредством повторяющихся итераций простых, шаблонных последовательностей. [4]
См. Также [ править ]
- Спор о границе на Аляске - претензии Аляски и Канады на Аляскинский Панхандл сильно различались, основываясь на конкурирующих интерпретациях неоднозначной фразы, устанавливающей границу на «линии, параллельной изгибам побережья», примененной к региону с плотным фьордом.
- Проблема береговой линии
- Фрактальное измерение
- Рог Габриэля , геометрическая фигура с бесконечной площадью поверхности, но конечным объемом
- « Какова длина побережья Великобритании? Статистическое самоподобие и дробное измерение », статья Бенуа Мандельброта
- Парадокс кучи
- Парадоксы Зенона
Ссылки [ править ]
Цитаты [ править ]
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Парадокс береговой линии» . MathWorld .
- ^ Мандельброт, Бенуа (1983). Фрактальная геометрия природы . WH Freeman and Co. 25–33 . ISBN 978-0-7167-1186-5.
- ^ Пост и Эйзен, стр. 550. (см. Ниже)
- ^ Хайнц Отто Пейтген, Хартмут Юргенс, Дитмар Saupe, Хаос и фракталы: новые рубежи науки ; Весна 2004 г .; п. 424 .
Источники [ править ]
- Пост, Дэвид Г. и Майкл Эйзен . « Какова длина береговой линии права? Размышления о фрактальной природе правовых систем ». Journal of Legal Studies XXIX (1), январь 2000 г.
Внешние ссылки [ править ]
- « Береговые линии » в Fractal Geometry (ред. Майкл Фрейм, Бенуа Мандельброт и Ниал Негер; поддерживается для Math 190a в Йельском университете)
- Атлас Канады - Береговая линия и береговая линия
- Блог NOAA GeoZone о цифровом побережье
- Что такое парадокс береговой линии? - YouTube- видео от Veritasium
- Объяснение парадокса береговой линии - видео на YouTube от RealLifeLore
