Конус

Правый круговой конус и косой круговой конус

Двойной конус (не показан бесконечно вытянутым)

3D модель конуса

Конус представляет собой трехмерная геометрическая форма , что сужается плавно от плоского основания (часто, хотя и не обязательно, кругового) до точки называется вершина или вершина .

Конус образован набором отрезков , полуосей или линий, соединяющих общую точку, вершину, со всеми точками на основании, которое находится в плоскости , не содержащей вершины. В зависимости от автора, основание может быть ограничено кругом , любой одномерной квадратичной формой на плоскости, любой замкнутой одномерной фигурой или любым из вышеперечисленного плюс все замкнутые точки. Если замкнутые точки включены в основание, конус является твердым объектом ; в противном случае это двумерныйобъект в трехмерном пространстве. В случае твердого объекта граница, образованная этими линиями или частичными линиями, называется боковой поверхностью ; если боковая поверхность не ограничена, это коническая поверхность .

В случае отрезков прямой конус не выходит за пределы основания, а в случае полупрямой - бесконечно далеко. В случае линий конус простирается бесконечно далеко в обоих направлениях от вершины, и в этом случае его иногда называют двойным конусом.. Половина двойного конуса на одной стороне вершины называется покровом .

Ось конуса представляет собой прямую линию (если таковые имеются), проходя через вершину, о которой основание (и весь конус) имеет круговую симметрию .

В обычном использовании в элементарной геометрии конусы считаются правильными круговыми , где круг означает, что основание является кругом, а право означает, что ось проходит через центр основания под прямым углом к его плоскости. ^[1] Если конус прямоугольный, то пересечение плоскости с боковой поверхностью является коническим сечением . В общем, однако, основание может иметь любую форму ^[2], а вершина может лежать где угодно (хотя обычно предполагается, что основание ограничено и, следовательно, имеет конечную площадь., а вершина лежит вне плоскости основания). В отличие от правых конусов, это косые конусы, в которых ось проходит через центр основания неперпендикулярно. ^[3]

Конус с многоугольным основанием называется пирамидой .

В зависимости от контекста, «конус» может также означать, в частности, выпуклый конус или проективный конус .

Конусы также могут быть обобщены на более высокие измерения .

Дополнительная терминология [ править ]

Периметр основания конуса называется «направляющей», а каждый из отрезков прямой между направляющей и вершиной является «образующей» или «образующей» боковой поверхности. (О связи между этим смыслом термина «директриса» и директрисой конического сечения см. Сферы Данделина .)

«Радиус основания» кругового конуса - это радиус его основания; часто это просто называют радиусом конуса. Диафрагма прямого кругового конуса максимальный угол между двумя линиями образующей; если образующая составляет угол θ к оси, апертура равна 2 θ .

Конус с отрезанной плоскостью участком, включая его вершину, называется « усеченным конусом»; если плоскость усечения параллельна основанию конуса, она называется усеченной . ^[1] «Эллиптический конус» - это конус с эллиптическим основанием. ^[1] «Обобщенный конус» - это поверхность, созданная набором линий, проходящих через вершину и каждую точку на границе (также см. Визуальную оболочку ).

Измерения и уравнения [ править ]

Объем [ править ]

Объем любого коническая твердого вещества составляет одну треть от произведения площади основания и высоты ^[4]${\ displaystyle V}$${\ displaystyle A_ {B}}$${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} A_ {B} h.}$

В современной математике эту формулу можно легко вычислить с помощью исчисления - она ​​представляет собой интеграл с точностью до масштабирования Без использования исчисления формулу можно доказать, сравнив конус с пирамидой и применив принцип Кавальери, в частности, сравнивая конус с пирамидой. (масштабированная по вертикали) правая квадратная пирамида, составляющая треть куба. Эта формула не может быть доказана без использования таких бесконечно малых аргументов - в отличие от двумерных формул для площади многогранника, хотя и аналогичной площади круга - и, следовательно, допускала менее строгие доказательства до появления исчисления, когда древние греки использовали метод истощение . По сути, это содержание третьей проблемы Гильберта - точнее, не все многогранные пирамиды${\ displaystyle \ int x ^ {2} dx = {\ tfrac {1} {3}} x ^ {3}.}$ножницы конгруэнтны (могут быть разрезаны на конечные части и переставлены в другие), и, таким образом, объем не может быть вычислен исключительно с использованием аргумента разложения. ^[5]

Центр масс [ править ]

Центр масс коники твердого вещества с равномерной плотностью лежит одной четверти пути от центра основания до вершины, на прямой линии , соединяющей два.

Правый круговой конус [ править ]

Объем [ править ]

Для круглого конуса с радиусом r и высотой h основание представляет собой круг площади, поэтому формула для объема принимает вид ^[6]${\ displaystyle \ pi r ^ {2}}$

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h.}$

Высота наклона [ править ]

Наклонная высота правого кругового конуса - это расстояние от любой точки на окружности его основания до вершины через линейный сегмент на поверхности конуса. Он определяется выражением , где - радиус основания, а - высота. Это можно доказать с помощью теоремы Пифагора .${\displaystyle {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle h}$

Площадь [ править ]

Боковая поверхность площадь прямого кругового конуса , где радиус окружности в нижней части конуса и является наклонной высотой конуса. ^[4] Площадь поверхности нижней окружности конуса такой же , как и для любого круга, . Таким образом, общая площадь правильного кругового конуса может быть выражена следующим образом:${\displaystyle LSA=\pi rl}$${\displaystyle r}$${\displaystyle l}$${\displaystyle \pi r^{2}}$

• Радиус и высота

${\displaystyle \pi r^{2}+\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

(площадь основания плюс площадь боковой поверхности; термин - наклонная высота)${\displaystyle {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

${\displaystyle \pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)}$

где - радиус, а - высота.${\displaystyle r}$${\displaystyle h}$

• Радиус и наклонная высота

${\displaystyle \pi r^{2}+\pi rl}$

${\displaystyle \pi r(r+l)}$

где - радиус, а - наклонная высота.${\displaystyle r}$${\displaystyle l}$

• Окружность и наклонная высота

${\displaystyle {\frac {c^{2}}{4\pi }}+{\frac {cl}{2}}}$

${\displaystyle \left({\frac {c}{2}}\right)\left({\frac {c}{2\pi }}+l\right)}$

где - окружность, - наклонная высота.${\displaystyle c}$${\displaystyle l}$

• Угол и высота при вершине

${\displaystyle \pi h^{2}\tan {\frac {\Theta }{2}}\left(\tan {\frac {\Theta }{2}}+\sec {\frac {\Theta }{2}}\right)}$

где - угол при вершине, а - высота.${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle h}$

Круговой сектор [ править ]

Круговой сектор , полученный путем разворачивания поверхности одного покрова конуса имеет:

• радиус R

${\displaystyle R={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

• длина дуги L

${\displaystyle L=c=2\pi r}$

• центральный угол φ в радианах

${\displaystyle \phi ={\frac {L}{R}}={\frac {2\pi r}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}}$

Форма уравнения [ править ]

Поверхность конуса параметризуется как

${\displaystyle f(\theta ,h)=(h\cos \theta ,h\sin \theta ,h),}$

где - угол «вокруг» конуса, а - «высота» вдоль конуса.${\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}$${\displaystyle h\in \mathbb {R} }$

Правый сплошной круговой конус с высотой и отверстием , ось которого является координатной осью, а вершина - начало координат, параметрически описывается как${\displaystyle h}$${\displaystyle 2\theta }$${\displaystyle z}$

${\displaystyle F(s,t,u)=\left(u\tan s\cos t,u\tan s\sin t,u\right)}$

где пробегают , и , соответственно.${\displaystyle s,t,u}$${\displaystyle [0,\theta )}$${\displaystyle [0,2\pi )}$${\displaystyle [0,h]}$

В неявной форме то же твердое тело определяется неравенствами

${\displaystyle \{F(x,y,z)\leq 0,z\geq 0,z\leq h\},}$

где

${\displaystyle F(x,y,z)=(x^{2}+y^{2})(\cos \theta )^{2}-z^{2}(\sin \theta )^{2}.\,}$

В более общем смысле, прямой круговой конус с вершиной в начале координат, осью, параллельной вектору , и апертурой задается неявным векторным уравнением, где${\displaystyle d}$${\displaystyle 2\theta }$${\displaystyle F(u)=0}$

${\displaystyle F(u)=(u\cdot d)^{2}-(d\cdot d)(u\cdot u)(\cos \theta )^{2}}$   или же   ${\displaystyle F(u)=u\cdot d-|d||u|\cos \theta }$

где , и обозначает скалярное произведение .${\displaystyle u=(x,y,z)}$${\displaystyle u\cdot d}$

Эллиптический конус [ править ]

В системе декартовых координат , эллиптический конус представляет собой геометрическое место уравнения вида ^[7]

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=z^{2}.}$

Это аффинный образ прямоугольного единичного конуса с уравнением. Из того факта, что аффинный образ конического сечения является коническим сечением того же типа (эллипс, парабола, ...), получаем:${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}\ .}$

• Любое плоское сечение эллиптического конуса является коническим сечением.

Очевидно, что в любом правом круговом конусе есть окружности. Это также верно, но менее очевидно в общем случае (см. Круглый раздел ).

Проективная геометрия [ править ]

В проективной геометрии , А цилиндр просто конус, вершина которого на бесконечности. ^[8] Интуитивно, если сохранить фиксированное основание и принять предел, когда вершина уходит в бесконечность, можно получить цилиндр, угол стороны которого увеличивается как arctan , в пределе, образующем прямой угол . Это полезно при определении вырожденных коник , которые требуют рассмотрения цилиндрических коник .

Согласно Г.Б. Холстеду , конус генерируется аналогично конике Штейнера только с проективным и осевым пучками (не в перспективе), а не с проективными диапазонами, используемыми для коники Штейнера:

«Если два копунктуальных непрямых осевых карандаша являются проекционными, но не перспективными, точки пересечения коррелированных плоскостей образуют« коническую поверхность второго порядка »или« конус »». ^[9]

Высшие измерения [ править ]

Определение конуса может быть расширено до более высоких измерений (см. Выпуклые конусы ). В этом случае говорят , что выпуклое множество С в режиме реального векторного пространства R ^п является конусом (с вершиной в начале координат) , если для каждого вектора х в С и каждого неотрицательного действительного числа а , вектор ах в C . ^[2] В этом контексте аналоги круговых конусов обычно не являются чем-то особенным; на самом деле многие интересуются многогранными конусами .

См. Также [ править ]

• Биконусы
• Конус (линейная алгебра)
• Конус (топология)
• Цилиндр (геометрия)
• Демокрит
• Обобщенная коническая
• Гиперболоид
• Список фигур
• Пирометрический конус
• Квадрик
• Вращение осей
• Линейчатая поверхность
• Перевод осей

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Protter, Murray H .; Морри младший, Чарльз Б. (1970), Вычисление колледжа с аналитической геометрией (2-е изд.), Чтение: Addison-Wesley , LCCN  76087042

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме конусов .

• Вайсштейн, Эрик В. «Конус» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Двойной конус» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Обобщенный конус» . MathWorld .
• Интерактивный вращающийся конус от Maths Is Fun
• Конус для бумажной модели
• Площадь боковой поверхности косого конуса
• Cut a Cone Интерактивная демонстрация пересечения конуса с плоскостью.