Конгруэнтность (геометрия)

Пример конгруэнтности. Два треугольника слева равны, а третий похож на них. Последний треугольник не совпадает и не похож ни на один из остальных. Конгруэнтность позволяет изменять некоторые свойства, такие как местоположение и ориентацию, но оставляет другие неизменными, например расстояния и углы . Неизмененные свойства называются инвариантами .

В геометрии две фигуры или объекты являются конгруэнтными, если они имеют одинаковую форму и размер, или если один имеет такую ​​же форму и размер, что и зеркальное отображение другого. ^[1]

Более формально, два набора точек называются конгруэнтными, если и только если одна может быть преобразована в другую с помощью изометрии , т. Е. Комбинации жестких движений , а именно сдвига , вращения и отражения . Это означает, что любой объект можно перемещать и отражать (но не изменять размер) так, чтобы он точно совпадал с другим объектом. Таким образом, две отдельные плоские фигуры на листе бумаги являются конгруэнтными, если мы можем вырезать их, а затем полностью сопоставить. Переворачивание бумаги разрешено.

Эта диаграмма иллюстрирует геометрический принцип конгруэнтности треугольника угол-угол-сторона: для данного треугольника ABC и треугольника A'B'C 'треугольник ABC конгруэнтен треугольнику A'B'C' тогда и только тогда, когда: угол CAB конгруэнтен углу C'A'B ', а угол ABC конгруэнтен углу A'B'C', а BC конгруэнтен B'C '.

В элементарной геометрии слово конгруэнтное часто используется следующим образом. ^[2] Слово равно часто используется вместо конгруэнтного для этих объектов.

• Два отрезка совпадают, если они имеют одинаковую длину.
• Два угла конгруэнтны, если имеют одинаковую величину.
• Два круга совпадают, если они имеют одинаковый диаметр.

В этом смысле конгруэнтность двух плоских фигур подразумевает, что их соответствующие характеристики «совпадают» или «равны», включая не только их соответствующие стороны и углы, но также их соответствующие диагонали, периметры и площади.

Связанная концепция подобия применяется, если объекты имеют одинаковую форму, но не обязательно имеют одинаковый размер. (В большинстве определений конгруэнтность рассматривается как форма подобия, хотя меньшинство требует, чтобы объекты имели разные размеры, чтобы считаться подобными.)

Определение конгруэнтности многоугольников

Оранжевый и зеленый четырехугольники равны; синий им не соответствует. Все три имеют одинаковый периметр и площадь . (Порядок сторон синего четырехугольника "смешанный", в результате два внутренних угла и одна диагональ не совпадают.)

Для того чтобы два многоугольника были конгруэнтными, они должны иметь равное количество сторон (и, следовательно, равное количество - то же количество - вершин). Два многоугольника с n сторонами конгруэнтны тогда и только тогда, когда каждый из них имеет численно идентичные последовательности (даже если по часовой стрелке для одного многоугольника и против часовой стрелки для другого) сторона-угол-сторона-угол -... для n сторон и n углов.

Конгруэнтность многоугольников можно установить графически следующим образом:

• Сначала сопоставьте и пометьте соответствующие вершины двух фигур.
• Во-вторых, нарисуйте вектор от одной из вершин одной из фигур к соответствующей вершине другой фигуры. Переведите первую фигуру по этому вектору так, чтобы эти две вершины совпали.
• В-третьих, поверните переведенную фигуру вокруг совпадающей вершины, пока одна пара соответствующих сторон не совпадет.
• В-четвертых, отразите повернутую фигуру вокруг этой совпадающей стороны, пока фигуры не совпадут.

Если в какой-то момент шаг не может быть завершен, многоугольники не совпадают.

Конгруэнтность треугольников

Два треугольника конгруэнтны, если их соответствующие стороны равны по длине, а соответствующие им углы равны по мере.

Если треугольник ABC конгруэнтен треугольнику DEF, математически это соотношение можно записать как:

${\ Displaystyle \ треугольник \ mathrm {ABC} \ cong \ треугольник \ mathrm {DEF}.}$

Во многих случаях достаточно установить равенство трех соответствующих частей и использовать один из следующих результатов, чтобы вывести конгруэнтность двух треугольников.

Определение конгруэнтности

Достаточные доказательства соответствия между двумя треугольниками в евклидовом пространстве могут быть представлены с помощью следующих сравнений:

• SAS (сторона-угол-сторона): если две пары сторон двух треугольников равны по длине, а включенные углы равны при измерении, то треугольники совпадают.
• SSS (Сторона-Сторона-Сторона): если три пары сторон двух треугольников равны по длине, то треугольники равны.
• ASA (Угол-Сторона-Угол): если две пары углов двух треугольников равны по размеру, и включенные стороны равны по длине, то треугольники совпадают.

Постулат ASA был внесен Фалесом Милетским (греч.). В большинстве систем аксиом три критерия - SAS, SSS и ASA - устанавливаются в виде теорем . В школе математика Study Group системы SAS принимается как один (# 15) из 22 постулатов.

• AAS (Угол-Угол-Сторона): Если две пары углов двух треугольников равны по измерению, и пара соответствующих не включенных сторон равны по длине, то треугольники совпадают. AAS эквивалентен условию ASA тем фактом, что если заданы любые два угла, то это же и третий угол, поскольку их сумма должна составлять 180 °. ASA и AAS иногда объединяют в одно условие, AAcorrS - любые два угла и соответствующую сторону. ^[3]
• RHS (прямоугольная сторона гипотенузы ), также известная как HL ( сторона гипотенузы): если у двух прямоугольных треугольников гипотенузы равны по длине, а пара более коротких сторон равны по длине, то треугольники конгруэнтны. .

Боковой угол

Условие SSA (side-side-angle), которое определяет две стороны и невключенный угол (также известный как ASS, или angle-side-side) само по себе не доказывает совпадения. Чтобы продемонстрировать соответствие, требуется дополнительная информация, такая как измерение соответствующих углов и в некоторых случаях длины двух пар соответствующих сторон. Есть несколько возможных случаев:

Если два треугольника удовлетворяют условию SSA, а длина стороны, противоположной углу, больше или равна длине соседней стороны (SSA, или длинная сторона-короткий боковой угол), то эти два треугольника совпадают. Противоположная сторона иногда длиннее, если соответствующие углы острые, но всегда длиннее, если соответствующие углы прямые или тупые. Если угол является прямым углом, также известным как постулат гипотенузы (HL) или условие прямоугольной стороны гипотенузы (RHS), третья сторона может быть вычислена с помощью теоремы Пифагора, что позволяет вычислить постулат SSS. применяемый.

Если два треугольника удовлетворяют условию SSA, а соответствующие углы являются острыми, а длина стороны, противоположной углу, равна длине смежной стороны, умноженной на синус угла, то два треугольника конгруэнтны.

Если два треугольника удовлетворяют условию SSA и соответствующие углы являются острыми и длина стороны, противоположной углу, больше, чем длина смежной стороны, умноженная на синус угла (но меньше длины соседней стороны), тогда нельзя показать, что два треугольника конгруэнтны. Это неоднозначный случай, и из данной информации могут быть образованы два разных треугольника, но дополнительная информация, позволяющая различать их, может привести к доказательству соответствия.

Угол-угол-угол

В евклидовой геометрии AAA (угол-угол-угол) (или просто AA, поскольку в евклидовой геометрии углы треугольника в сумме составляют 180 °) не предоставляет информации о размере двух треугольников и, следовательно, доказывает только сходство, а не конгруэнтность в евклидовом пространстве.

Однако в сферической геометрии и гиперболической геометрии (где сумма углов треугольника зависит от размера) AAA достаточно для сравнения на заданной кривизне поверхности. ^[4]

CPCTC

Этот акроним означает « Соответствующие части конгруэнтных треугольников - конгруэнтные» - это сокращенная версия определения конгруэнтных треугольников. ^{[5] [6]}

Более подробно, это краткий способ сказать, что если треугольники ABC и DEF совпадают, то есть

${\ Displaystyle \ треугольник ABC \ cong \ треугольник DEF,}$

с соответствующими парами углов в вершинах A и D ; B и E ; и C и F , и с соответствующими парами сторон AB и DE ; BC и EF ; и CA и FD , то верны следующие утверждения:

${\ Displaystyle {\ overline {AB}} \ cong {\ overline {DE}}}$

${\ Displaystyle {\ overline {BC}} \ cong {\ overline {EF}}}$

${\ Displaystyle {\ overline {AC}} \ cong {\ overline {DF}}}$

${\ Displaystyle \ угол ВАС \ конг \ угол EDF}$

${\ Displaystyle \ угол ABC \ cong \ angle DEF}$

${\displaystyle \angle BCA\cong \angle EFD.}$

Это утверждение часто используется в качестве обоснования в доказательствах элементарной геометрии, когда требуется заключение о конгруэнтности частей двух треугольников после того, как конгруэнтность треугольников была установлена. Например, если два треугольника были показаны как конгруэнтные по критериям SSS, и утверждение, что соответствующие углы совпадают, необходимо в доказательстве, то CPCTC может использоваться в качестве обоснования этого утверждения.

Связанная теорема - CPCFC , в которой «треугольники» заменены на «фигуры», так что теорема применима к любой паре многоугольников или многогранников , которые конгруэнтны.

Определение конгруэнтности в аналитической геометрии

В евклидовой системе конгруэнтность фундаментальна; это аналог равенства для чисел. В аналитической геометрии конгруэнтность может быть определена интуитивно следующим образом: два отображения фигур в одну декартову систему координат конгруэнтны тогда и только тогда, когда для любых двух точек в первом отображении евклидово расстояние между ними равно евклидову расстоянию между соответствующими точки во втором отображении.

А государства более формальное определения , что два подмножества A и B из евклидова пространства R ^п называется конгруэнтным , если существует изометрия п  : R ^п → R ^н (элемент из евклидовой группы Е ( п )) с F ( A ) = B . Конгруэнтность - это отношение эквивалентности .

Конгруэнтные конические сечения

Два конических сечения конгруэнтны, если их эксцентриситет и один другой отдельный параметр, их характеризующий, равны. Их эксцентриситет определяет их формы, равенства которых достаточно для установления сходства, а второй параметр затем устанавливает размер. Поскольку две окружности , параболы или прямоугольные гиперболы всегда имеют одинаковый эксцентриситет (в частности, 0 в случае окружностей, 1 в случае парабол и в случае прямоугольных гипербол), две окружности, параболы или прямоугольные гиперболы должны иметь только одно другое общее значение параметра, определяющее их размер, чтобы они были конгруэнтными.${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Конгруэнтные многогранники

Для двух многогранников с одинаковым числом E ребер, одинаковым числом граней и одинаковым числом сторон на соответствующих гранях существует набор не более E измерений, которые могут установить, конгруэнтны ли многогранники. ^{[7] [8]} Для кубов , у которых 12 граней, необходимо всего 9 измерений.

Конгруэнтные треугольники на сфере

Как и в случае плоских треугольников, на сфере два треугольника, разделяющие одну и ту же последовательность угол-сторона-угол (ASA), обязательно конгруэнтны (то есть, у них есть три одинаковые стороны и три одинаковых угла). ^[9] Это можно увидеть следующим образом: можно поместить одну из вершин с заданным углом на южном полюсе и провести сторону с заданной длиной вверх по нулевому меридиану. Знание обоих углов на обоих концах сегмента фиксированной длины гарантирует, что две другие стороны исходят с однозначно определенной траекторией и, таким образом, встретятся друг с другом в однозначно определенной точке; таким образом, ASA действительна.

Теоремы сравнения сторона-угол-сторона (SAS) и сторона-сторона-сторона (SSS) также верны для сферы; кроме того, если два сферических треугольника имеют одинаковую последовательность угол-угол-угол (AAA), они конгруэнтны (в отличие от плоских треугольников). ^[9]

Теорема сравнения плоскость-треугольник, угол-угол-сторона (AAS) не выполняется для сферических треугольников. ^[10] Как и в плоской геометрии, угол наклона стороны-стороны (SSA) не подразумевает конгруэнтности.

Обозначение

Обычно для сравнения используется символ равенства с тильдой над ним, ≅ , что соответствует символу Unicode «приблизительно равно» (U + 2245). В Великобритании иногда используется трехстрочный знак равенства ≡ (U + 2261).

Смотрите также

• Изометрия евклидовой плоскости
• Изометрия

Рекомендации

внешняя ссылка

Викискладе есть медиафайлы по теме конгруэнтности .

• SSS в Cut-the-Knot
• SSA в Cut-the-Knot
• Интерактивная анимация, демонстрирующая конгруэнтные многоугольники , конгруэнтные углы , конгруэнтные линейные сегменты , конгруэнтные треугольники в Math Open Reference