Коническое сечение

Типы конических сечений:
1: Круг 2: Эллипс
3: Парабола 4: Гипербола

Таблица коников, Циклопедия , 1728 г.

В математике , А коническое сечение (или просто коническая ) представляет собой кривую получается как пересечения поверхности в виде конуса с плоскостью . Три типа конического сечения: гипербола , парабола и эллипс ; круг является частным случаем эллипса, хотя исторически это иногда называют четвертым типом. Древнегреческие математики изучали конические сечения, кульминацией которых стала систематическая работа Аполлония Пергского над их свойствами около 200 г. до н.э.

Конические сечения на евклидовой плоскости обладают различными отличительными свойствами, многие из которых могут использоваться в качестве альтернативных определений. Одно такое свойство определяет некруглую конику ^[1] как набор тех точек, расстояние от которых до некоторой конкретной точки, называемой фокусом , и некоторой конкретной линии, называемой директрисой , находится в фиксированном соотношении, называемом эксцентриситетом . Тип конуса определяется величиной эксцентриситета. В аналитической геометрии конику можно определить как плоскую алгебраическую кривую степени 2; то есть как набор точек, координаты которых удовлетворяют квадратному уравнениюв двух переменных, которые могут быть записаны в матричной форме. Это уравнение позволяет вывести и алгебраически выразить геометрические свойства конических сечений.

На евклидовой плоскости три типа конических сечений выглядят совершенно разными, но имеют много общих свойств. Расширяя евклидову плоскость, чтобы включить в нее бесконечно удаленную линию, получая проективную плоскость , очевидное различие исчезает: ветви гиперболы пересекаются в двух бесконечно удаленных точках, образуя единую замкнутую кривую; и два конца параболы встречаются, образуя замкнутую кривую, касающуюся линии на бесконечности. Дальнейшее расширение за счет расширения реальных координат до комплексных координат предоставляет средства для алгебраического анализа этого объединения.

Евклидова геометрия

Конические сечения изучались тысячи лет и дали богатый источник интересных и красивых результатов в евклидовой геометрии .

Определение

Черные границы окрашенных областей представляют собой конические участки. Не показана другая половина гиперболы, которая находится на не показанной другой половине двойного конуса.

Коническим является кривым получаются как пересечение плоскости , называется плоскостью среза , с поверхностью двойного конуса (конус с двумя покровами ). Обычно для упрощения описания предполагается, что конус является правильным круговым конусом, но это не требуется; любой двойной конус с круглым поперечным сечением будет достаточно. Плоскости, проходящие через вершину конуса, будут пересекать конус в точке, линии или паре пересекающихся линий. Они называются вырожденными кониками, и некоторые авторы вообще не считают их кониками. Если не указано иное, «коника» в этой статье будет относиться к невырожденной конике.

Есть три типа коник: эллипс , парабола и гипербола . Круг представляет собой особый вид эллипса, хотя исторически Аполлоний рассматривать в качестве четвертого типа. Эллипсы возникают, когда пересечение конуса и плоскости представляет собой замкнутую кривую . Окружность получается, когда секущая плоскость параллельна плоскости образующей окружности конуса; для правого конуса это означает, что секущая плоскость перпендикулярна оси. Если секущая плоскость параллельна ровно одной образующей конуса, то коника не ограничена и называется параболой . В остальном случае фигура представляет собой гиперболу: плоскость пересекает обе половины конуса, образуя две отдельные неограниченные кривые.

Эксцентриситет, фокус и директриса

Эллипс ( e = 1/2), парабола ( e = 1) и гипербола ( e = 2) с фиксированным фокусом F и направляющей ( e = ∞). Красный кружок ( e = 0) включен для справки, у него нет направляющей в плоскости.

В качестве альтернативы можно определить коническое сечение исключительно с точки зрения геометрии плоскости: это геометрическое место всех точек $P$ , расстояние которых до фиксированной точки $F$ (называемое фокусом ) является постоянным кратным (называемым эксцентриситетом $e$ ) расстояния от $P$ к фиксированной прямой $L$ (называемой директрисой ). При $0 < e <1$ получаем эллипс, при $e = 1$ - параболу, а при $e > 1$ - гиперболу.

Круг является предельным случаем и не определяется фокусом и направляющей в евклидовой плоскости. Эксцентриситет круга равен нулю, а его фокус - это центр окружности, но его направляющую можно принять только как бесконечно удаленную линию в проективной плоскости. ^[2]

Эксцентриситет эллипса можно рассматривать как меру того, насколько эллипс отклоняется от круга. ^[3]^{: 844}

Если угол между поверхностью конуса и его осью равен, а угол между плоскостью резания и осью равен, эксцентриситет равен ^[4] $\beta$ $\alpha ,$ ${\frac {\cos \alpha }{\cos \beta }}.$

Доказательство того, что приведенные выше кривые, определяемые свойством фокус-директрисы, такие же, как кривые, получаемые плоскостями, пересекающими конус, облегчается использованием сфер Данделина . ^[5]

Конические параметры

Конические параметры в случае эллипса

В дополнение к эксцентриситету ( e ), фокусам и направляющей, с коническим сечением связаны различные геометрические элементы и длины.

Главная ось является линия , соединяющая фокусы эллипса или гиперболы, а ее средняя точка находится на кривой в центр . У параболы нет центра.

Линейный эксцентриситет ( $с$ ) представляет собой расстояние между центром и фокусом.

Латус прямая кишка является хорда параллельно директрисе и проходящей через фокус; его полудлина - прямая полу-латусная мышца ( $ℓ$ ).

Фокальный параметр ( $р$ ) является расстояние от фокуса до соответствующей директрисы.

Главная ось является хорда между двумя вершинами: самый длинный аккорд эллипса, самый короткий аккорд между ветвями гиперболы. Его полудлина - большая полуось ( $а$ ). Когда эллипс или гипербола находятся в стандартном положении , как в уравнениях ниже, с фокусами на $й$ ось и центр в начале координат, вершины конического имеют координаты $(- а, 0)$ и $( , 0)$ , с $а$ , неотрицательный.

Ось незначительные является кратчайшим диаметр эллипса, а его половина длины является ось полу-минор ( $б$ ), то же самое значение , $б$ , как в стандартном уравнении ниже. По аналогии, для гиперболы мы также называем параметр $b$ в стандартном уравнении малой полуосью.

Имеют место следующие соотношения: ^[6]

$\ \ell =pe$
$\ c=ae$
$\ p+c={\frac {a}{e}}$

Для коника в стандартном положении, эти параметры имеют следующие значения, принимая . $a,b>0$

коническая секция	уравнение	эксцентриситет ( $е$ )	линейный эксцентриситет ( $c$ )	полу-латусная прямая кишка ( $ℓ$ )	фокусный параметр ( $p$ )
круг	$x^{2}+y^{2}=a^{2}\,$	$0\,$	$0\,$	$a\,$	$\infty$
эллипс	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	${\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$	${\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$	${\frac {b^{2}}{a}}$	${\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$
парабола	$y^{2}=4ax\,$	$1\,$	Нет данных	$2a\,$	$2a\,$
гипербола	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	${\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$	${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$	${\frac {b^{2}}{a}}$	${\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Стандартные формы в декартовых координатах

Стандартные формы эллипса

Стандартные формы параболы

Стандартные формы гиперболы

После введения декартовых координат свойство focus-directrix можно использовать для получения уравнений, которым удовлетворяют точки конического сечения. ^[7] Путем изменения координат ( вращения и перемещения осей ) эти уравнения могут быть приведены в стандартные формы . ^[8] Для эллипсов и гипербол стандартная форма имеет ось $x в$ качестве главной оси и начало координат (0,0) в качестве центра. Вершины - это $(\pm a, 0)$ и фокусы $(\pm c, 0)$ . Определим $b$ уравнениями $c 2 = a 2 - b 2$ для эллипса и $c 2 = a 2 + b 2$ для гиперболы. Для круга $c = 0,$ поэтому $a 2 = b 2$ . Для параболы стандартная форма фокусируется на оси $x$ в точке $(a, 0),$ а направляющая - на прямой с уравнением $x = - a$ . В стандартной форме парабола всегда проходит через начало координат.

Для прямоугольной или равносторонней гиперболы , асимптоты которой перпендикулярны, существует альтернативная стандартная форма, в которой асимптоты являются осями координат, а прямая $x = y$ - главной осью. Тогда фокусы имеют координаты $(c, c)$ и $(- c, - c)$ . ^[9]

Круг: $x 2 + y 2 = a 2$
Эллипс: $х 2 / а 2 + y 2 / б 2 = 1$
Парабола: $y 2 = 4 оси$ с $a > 0$
Гипербола: $х 2 / а 2 - y 2 / б 2 = 1$
Прямоугольная гипербола: ^[10] $xy = c 2 / 2$

Первые четыре из этих форм симметричны как относительно оси $x, так и$ оси $y$ (для окружности, эллипса и гиперболы) или только относительно оси $x$ (для параболы). Однако прямоугольная гипербола симметрична относительно прямых $y = x$ и $y = - x$ .

Эти стандартные формы могут быть записаны параметрически как,

Круг : $( сов θ, грех θ)$ ,
Эллипс : $(a cos θ, b sin θ)$ ,
Парабола : $(в 2, 2 в)$ ,
Гипербола : $(a sec θ, b tan θ)$ или $(\pm a ch u, b sh u)$ ,
Прямоугольная гипербола : где $(dt,{\frac {d}{t}})$ $d={\frac {c}{\sqrt {2}}}.$

Общая декартова форма

В системе декартовых координат , то граф из квадратного уравнения в двух переменных всегда является коническим сечением (хотя это может быть вырожденной ^[11] ), и все конические сечения возникают в этом случае. Наиболее общее уравнение имеет вид ^[12]

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,

со всеми действительными числами коэффициентов и $A, B, C$ не все нулевые.

Матричные обозначения

Вышеупомянутое уравнение можно записать в матричной записи как ^[13]

\left({\begin{matrix}x&y\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}D&E\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right)+F=0.

Общее уравнение также можно записать как

\left({\begin{matrix}x&y&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}}\right)=0.

Эта форма является специализацией однородной формы, используемой в более общем контексте проективной геометрии (см. Ниже ).

Дискриминантный

Конические участки, описываемые этим уравнением, можно классифицировать по значению , называемому дискриминантом уравнения. ^[14] Таким образом, дискриминант равен $- 4Δ,$ где $Δ$ - определитель матрицы $B^{2}-4AC$ $\left|{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right|.$

Если коника невырожденная , то: ^[15]

если B ² - 4 AC <0 , уравнение представляет собой эллипс ;
- если $A = C$ и $B = 0$ , уравнение представляет собой круг , который является частным случаем эллипса;
если $B 2 - 4 AC = 0$ , уравнение представляет собой параболу ;
если B ² - 4 AC > 0 , уравнение представляет собой гиперболу ;
- если $A + C = 0$ , уравнение представляет собой прямоугольную гиперболу .

В обозначениях здесь, и $B$ полиномиальные коэффициенты, в отличие от некоторых источников, обозначающих большой и малой осей , как $A$ и $B$ .

Инварианты

Дискриминант $Б 2 - 4 переменного тока$ из квадратного уравнения конического сечения (или , что эквивалентно, определитель $переменного тока - В 2 /4$ матрицы 2 × 2) и количество $+$ $С$ ( след матрицы 2 × 2) инвариантны относительно произвольные повороты и перемещения осей координат, ^[15]^[16]^[17], как определитель матрицы 3 × 3 выше . ^[18]^:^{pp. 60–62} Постоянный член $F$ и сумма $D$ $2$ $+$ $E$ $2$ инвариантны только относительно вращения. ^[18]^{: стр. 60–62.}

Эксцентриситет с точки зрения коэффициентов

Когда коническое сечение алгебраически записывается как

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,\,

эксцентриситет можно записать как функцию коэффициентов квадратного уравнения. ^[19] Если $4 AC = B 2,$ коника является параболой и ее эксцентриситет равен 1 (при условии, что она невырожденная). В противном случае, если предположить, что уравнение представляет собой невырожденную гиперболу или эллипс, эксцентриситет определяется выражением

e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}},

где $η = 1,$ если определитель указанной выше матрицы 3 × 3 отрицательный, и $η = -1,$ если этот определитель положительный.

Это также можно показать ^[18]^{: с. 89 видно,} что эксцентриситет является положительным решением уравнения

\Delta e^{4}+[(A+C)^{2}-4\Delta ]e^{2}-[(A+C)^{2}-4\Delta ]=0,

где снова это имеет ровно одно положительное решение - эксцентриситет - в случае параболы или эллипса, тогда как в случае гиперболы у него есть два положительных решения, одно из которых - эксцентриситет. $\Delta =AC-{\frac {B^{2}}{4}}.$

Преобразование в каноническую форму

В случае эллипса или гиперболы уравнение

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,

можно преобразовать в каноническую форму в преобразованных переменных как ^[20] $x',y'$

{\frac {x'^{2}}{-S/(\lambda _{1}^{2}\lambda _{2})}}+{\frac {y'^{2}}{-S/(\lambda _{1}\lambda _{2}^{2})}}=1,

или эквивалентно

{\frac {x'^{2}}{-S/(\lambda _{1}\Delta )}}+{\frac {y'^{2}}{-S/(\lambda _{2}\Delta )}}=1,

где и - собственные значения матрицы , т. е. решения уравнения $\lambda _{1}$ $\lambda _{2}$ $\left({\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right)$

\lambda ^{2}-(A+C)\lambda +(AC-(B/2)^{2})=0

- и является определителем матрицы 3 × 3 выше , и снова является определителем матрицы 2 × 2. В случае эллипса квадраты двух полуосей задаются знаменателями в канонической форме. $S$ $\Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}$

Полярные координаты

Разработка конического сечения , как эксцентриситета е увеличивается

В полярных координатах коническое сечение с одним фокусом в начале координат и, если есть, другим с отрицательным значением (для эллипса) или положительным значением (для гиперболы) по оси $x$ , задается уравнением

r={\frac {l}{1+e\cos \theta }},

где $e$ - эксцентриситет, а $l$ - прямая полость прямой кишки.

Как и выше, при $e = 0$ график представляет собой круг, при $0 < e <1$ график представляет собой эллипс, при $e = 1$ - параболу, а при $e > 1$ - гиперболу.

Полярная форма уравнения коники часто используется в динамике ; например, определение орбит объектов, вращающихся вокруг Солнца.^[21]

Характеристики

Так же, как две (различные) точки определяют линию, пять точек определяют конику . Формально, если любые пять точек на плоскости находятся в общем линейном положении , то есть нет трех коллинеарных , через них проходит единственная коника, которая будет невырожденной; это верно как для евклидовой плоскости, так и для ее продолжения, реальной проективной плоскости. В самом деле, для любых пяти точек через них проходит коника, но если три точки лежат на одной прямой, то коника будет вырожденной (приводимой, поскольку она содержит прямую) и может не быть единственной; см. дальнейшее обсуждение .

Четыре точки на плоскости в общем линейном положении определяют уникальную конику, проходящую через первые три точки и имеющую четвертую точку в качестве своего центра. Таким образом, знание центра эквивалентно знанию двух точек на конике с целью определения кривой. ^[22]

Кроме того, коника определяется любой комбинацией k точек общего положения, через которые она проходит, и 5 - k прямых, касающихся ее, для 0≤ k ≤5. ^[23]

Любая точка на плоскости находится либо на нуле, либо на одной или двух касательных к конике. Точка только на одной касательной находится на конике. Точка без касательной называется внутренней точкой (или внутренней точкой ) коники, а точка на двух касательных линиях - внешней точкой (или внешней точкой ).

Все конические секции имеют свойство отражения, которое можно сформулировать следующим образом: все зеркала в форме невырожденной конической секции отражают свет, идущий от одного фокуса или идущий к одному фокусу, к другому фокусу или от него. В случае параболы второй фокус нужно рассматривать как бесконечно удаленный, так что световые лучи, идущие к второму фокусу или исходящие от него, параллельны. ^[24]^[25]

Теорема Паскаля касается коллинеарности трех точек, построенных из набора из шести точек на любой невырожденной конике. Теорема также верна для вырожденных коник, состоящих из двух прямых, но в этом случае она известна как теорема Паппа .

Невырожденные конические сечения всегда « гладкие ». Это важно для многих приложений, таких как аэродинамика, где требуется гладкая поверхность для обеспечения ламинарного потока и предотвращения турбулентности .

История

Менехм и ранние произведения

Считается, что первое определение конического сечения было дано Менахмом (умер в 320 г. до н.э.) как часть его решения проблемы Делиана ( Дублирование куба ). ^[26]^[27] Его работы не сохранились, даже названия, которые он использовал для этих кривых, известны только из вторичных источников. ^[28] Определение, используемое в то время, отличается от того, что обычно используется сегодня. Конусы были построены путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов так, чтобы гипотенуза образовывала поверхность конуса (такая линия называется образующей). Три типа конусов были определены по углам их вершин (измеренным как удвоенный угол, образованный гипотенузой и катетом, вращающимся вокруг прямоугольного треугольника). Затем определялось коническое сечение путем пересечения одного из этих конусов плоскостью, перпендикулярной образующей. Тип конуса определяется типом конуса, то есть углом, образованным в вершине конуса: если угол острый, то коника является эллипсом; если угол прямой, то коника - парабола; а если угол тупой, то коника - это гипербола (но только одна ветвь кривой). ^[29]

Говорят, что Евклид (около 300 г. до н. Э.) Написал четыре книги о кониках, но и они были утеряны. ^[30] Архимед (умер около 212 г. до н. Э.), Как известно, изучал коники, определив площадь, ограниченную параболой и хордой в квадратуре параболы . Его основной интерес был связан с измерением площадей и объемов фигур, относящихся к коникам, и часть этой работы сохранилась в его книге о телах вращения коников «О коноидах и сфероидах» . ^[31]

Аполлоний Пергский

Схема из Коник Аполлония в арабском переводе IX века

Наибольший прогресс в изучении коников древними греками был достигнут Аполлонием Пергским (умер около 190 г. до н. Э.), Чьи восьмитомные « Конические сечения» или « Коники» обобщили и значительно расширили существующие знания. ^[32] Изучение Аполлонием свойств этих кривых позволило показать, что любая плоскость, пересекающая фиксированный двойной конус (две вершины), независимо от ее угла, будет давать конус в соответствии с более ранним определением, что приводит к обычно используемому определению сегодня. Таким образом также можно получить круги, которые нельзя построить предыдущим методом. Это может объяснить, почему Аполлоний считал окружности четвертым типом конического сечения, но это различие больше не проводится. Аполлоний использовал эллипс имен, парабола и гипербола для этих кривых, заимствуя терминологию из более ранних работ Пифагора о площадях. ^[33]

Паппу Александрийскому (умер ок. 350 г. н. Э.) Приписывают разъяснение важности концепции конического фокуса и детальное описание соответствующей концепции директрисы , включая случай параболы (которая отсутствует в известных трудах Аполлония). ^[34]

Аль-Кухи

Инструмент для рисования конических сечений был впервые описан в 1000 году исламским математиком Аль-Кухи . ^[35]^{: 30}^[36]

Омар Хайям

Работа Аполлония была переведена на арабский язык, и большая часть его работ сохранилась только в арабской версии. Персы нашли приложения теории, в первую очередь персидский ^[37] математик и поэт Омар Хайям , который нашел геометрический метод решения кубических уравнений с использованием конических сечений. ^[38]^[39]

Европа

Иоганн Кеплер расширил теорию коник с помощью « принципа непрерывности », предшественника концепции пределов. Кеплер впервые использовал термин « очаги» в 1604 году ^[40].

Жирар Дезарг и Блез Паскаль разработали теорию коник, используя раннюю форму проективной геометрии, и это помогло придать импульс исследованию этой новой области. В частности, Паскаль открыл теорему, известную как hexagrammum mysticum, из которой можно вывести многие другие свойства коник.

Рене Декарт и Пьер Ферма применили свою недавно открытую аналитическую геометрию к изучению коник. В результате геометрические проблемы коник были сведены к задачам алгебры. Однако именно Джон Уоллис в своем трактате 1655 года Tractatus de sectionibus conicis первым определил конические сечения как примеры уравнений второй степени. ^[41] писалось ранее, но опубликована позже, Ян де Витт «s Elementa Curvarum Linearum начинается с Кеплера кинематическаяпостроение коник, а затем построение алгебраических уравнений. Эта работа, в которой используется методология Ферма и нотация Декарта, была названа первым учебником по этому предмету. ^[42] Де Витт изобрел термин директриса . ^[42]

Приложения

Параболоида форма археоциаты производит конические сечения на скалах

Конические сечения важны в астрономии : орбиты двух массивных объектов, которые взаимодействуют согласно закону всемирного тяготения Ньютона, являются коническими сечениями, если их общий центр масс считается покоящимся. Если они связаны вместе, они оба начертят эллипсы; если они расходятся, они оба будут следовать параболам или гиперболам. См. Проблему двух тел .

Отражающие свойства конических секций используются в конструкции прожекторов, радиотелескопов и некоторых оптических телескопов. ^[43] В прожекторах в качестве отражателя используется параболическое зеркало с лампочкой в фокусе; и аналогичная конструкция используется для параболического микрофона . В оптическом телескопе Herschel размером 4,2 метра на Ла-Пальме, на Канарских островах, используется первичное параболическое зеркало, чтобы отражать свет во вторичное гиперболическое зеркало, которое снова отражает его в фокус за первым зеркалом.

В реальной проективной плоскости

Конические сечения имеют некоторые очень похожие свойства в евклидовой плоскости, и причины этого становятся яснее, когда коники рассматриваются с точки зрения более крупной геометрии. Евклидова плоскость может быть вложена в реальную проективную плоскость, а коники могут рассматриваться как объекты в этой проективной геометрии. Один из способов сделать это - ввести однородные координаты и определить конику как набор точек, координаты которых удовлетворяют неприводимому квадратному уравнению с тремя переменными (или, что эквивалентно, нулями неприводимой квадратичной формы ). Более технически, множество точек, которые являются нулями квадратичной формы (при любом количестве переменных), называется квадрикой, а неприводимые квадрики в двумерном проективном пространстве (т. е. с тремя переменными) традиционно называют кониками.

Евклидовой плоскости $R 2$ встраивается в вещественной проективной плоскости , примыкающая к линии на бесконечности (и его соответствующие точки на бесконечности ) , так что все линии параллельного класса встречаются на этой линии. С другой стороны, начиная с реальной проективной плоскости, евклидова плоскость получается путем выделения некоторой прямой как линии на бесконечности и удаления ее и всех ее точек.

Пересечение в бесконечности

В проективном пространстве над любым телом, но, в частности, над вещественными или комплексными числами, все невырожденные коники эквивалентны, и поэтому в проективной геометрии просто говорят о «конике», не указывая тип. То есть существует проективное преобразование, которое отображает любую невырожденную конику на любую другую невырожденную конику. ^[44]

Три типа конических сечений снова появятся в аффинной плоскости, полученной путем выбора прямой проекционного пространства в качестве линии на бесконечности. Затем эти три типа определяются по тому, как эта бесконечно удаленная линия пересекает конику в проективном пространстве. В соответствующем аффинном пространстве получается эллипс, если коника не пересекает линию на бесконечности, парабола, если коника пересекает прямую на бесконечности в одной двойной точке, соответствующей оси, и гипербола, если коника пересекает прямую в точке бесконечность в двух точках, соответствующих асимптотам. ^[45]

Однородные координаты

В однородных координатах коническое сечение можно представить в виде:

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0.

Или в матричной записи

\left({\begin{matrix}x&y&z\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)=0.

Матрица 3 × 3 выше называется матрицей конического сечения .

Некоторые авторы предпочитают записывать общее однородное уравнение в виде

Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dxz+2Eyz+Fz^{2}=0,

(или его разновидность), так что матрица конического сечения имеет более простой вид:

M=\left({\begin{matrix}A&B&D\\B&C&E\\D&E&F\end{matrix}}\right),

но это обозначение не используется в данной статье. ^[46]

Если определитель матрицы конического сечения равен нулю, коническое сечение вырождено .

Поскольку умножение всех шести коэффициентов на один и тот же ненулевой скаляр дает уравнение с тем же набором нулей, можно рассматривать коники, представленные $(A, B, C, D, E, F),$ как точки в пятимерной проективной проекции. Космос $\mathbf {P} ^{5}.$

Проективное определение круга

Метрические концепции евклидовой геометрии (концепции, связанные с измерением длины и углов) не могут быть немедленно распространены на реальную проективную плоскость. ^[47] Они должны быть переопределены (и обобщены) в этой новой геометрии. Это можно сделать для произвольных проективных плоскостей , но чтобы получить реальную проективную плоскость в качестве расширенной евклидовой плоскости, необходимо сделать определенный выбор. ^[48]

Зафиксируем произвольную прямую на проективной плоскости, которую мы будем называть абсолютной прямой . Выберите две различные точки на абсолютной линии и назовите их абсолютными точками . Со ссылкой на эти варианты можно определить несколько метрических концепций. Так , например, учитывая строку , содержащую точки $A$ и $B$ , то средняя точка отрезка линии $AB$ определяется как точка $C$ , которая является гармоническая четвёрка точки пересечения $AB$ и абсолютной линии, по отношению к $A$ и $B$ .

Коника на проективной плоскости, содержащая две абсолютные точки, называется окружностью . Поскольку пять точек определяют конику, окружность (которая может быть вырожденной) определяется тремя точками. Чтобы получить расширенную евклидову плоскость, абсолютная линия выбирается как бесконечно удаленная от евклидовой плоскости, а абсолютные точки - это две особые точки на этой прямой, называемые круговыми точками на бесконечности . Линии, содержащие две точки с действительными координатами, не проходят через круглые точки на бесконечности, поэтому в евклидовой плоскости круг, согласно этому определению, определяется тремя точками, которые не лежат на одной прямой . ^[49]^{: 72}

Было упомянуто, что окружности в евклидовой плоскости не могут быть определены свойством фокус-директрисы. Однако, если рассматривать линию на бесконечности как направляющую, тогда, если принять эксцентриситет равным $e = 0,$ круг будет обладать свойством фокус-направляющей, но он все еще не определяется этим свойством. ^[50] В этой ситуации нужно быть осторожным, чтобы правильно использовать определение эксцентриситета как отношение расстояния от точки на окружности до фокуса (длина радиуса) к расстоянию от этой точки до направляющей (это расстояние бесконечно), что дает нулевое предельное значение.

Проективное коническое определение Штейнера

Определение генерации Штейнера конического сечения

Синтетический (бескоординатный) подход к определению конических сечений в проективной плоскости был дан Якобом Штайнером в 1867 году.

Принимая во внимание два пучка линий в двух точках (все строки , содержащие и соответственно) и проективное , но не перспективное отображение из на . Тогда точки пересечения соответствующих прямых образуют невырожденное проективное коническое сечение. ^[51]^[52]^[53]^[54] $B(U),B(V)$ $U,V$ $U$ $V$ $\pi$ $B(U)$ $B(V)$

Перспективное отображение карандаша на карандаш является биекция (1-1 переписки) таким образом, что соответствующие линии пересекаются на фиксированную линию , которая называется осью из перспективности . $\pi$ $B(U)$ $B(V)$ $a$ $\pi$

Проективное отображение является конечной последовательностью перспективных отображений.

Поскольку проективное отображение в проективной плоскости над полем ( папповой плоскости ) однозначно определяется заданием изображений трех прямых ^[55], для генерации Штейнера конического сечения, помимо двух точек, должны быть только изображения трех прямых. данный. Эти 5 элементов (2 точки, 3 линии) однозначно определяют коническое сечение. $U,V$

Линия коники

Согласно принципу двойственности на проективной плоскости двойственная точка каждой точки является линией, а двойственная точка множества точек (набор точек, удовлетворяющих некоторому условию) называется оболочкой прямых. Используя определение Штейнера коники (это множество точек теперь будем называть точечной коникой ) как пересечения соответствующих лучей двух связанных пучков, легко дуализировать и получить соответствующую оболочку, состоящую из стыков соответствующих точек два связанных диапазона (точки на линии) на разных основаниях (линии, на которых находятся точки). Такая оболочка называется прямой конической (или дуальной конической ).

В реальной проективной плоскости точечная коника обладает тем свойством, что каждая прямая пересекает ее в двух точках (которые могут совпадать или могут быть комплексными), и любой набор точек с этим свойством является точечной коникой. Отсюда вдвойне следует, что у прямой коники есть две прямые, проходящие через каждую точку, и любая огибающая прямых с этим свойством является прямой конической. В каждой точке точечной коники есть уникальная касательная линия, и, вдвойне, на каждой прямой конической прямой есть единственная точка, называемая точкой контакта . Важная теорема утверждает, что касательные линии точечной коники образуют прямую конику, а точки соприкосновения прямой коники образуют коническую точку. ^[56]^{: 48–49}

Определение фон Штаудта

Карл Георг Христиан фон Штаудт определил конику как точку, заданную всеми абсолютными точками полярности, которая имеет абсолютные точки. Фон Штаудт ввел это определение в Geometrie der Lage (1847) как часть своей попытки удалить все метрические концепции из проективной геометрии.

Полярности , $π$ , проективная плоскость, $Р$ , является инволютивной (т.е. порядка два) биекции между точками и линиями $Р$ , сохраняющее соотношением инцидентности . Таким образом, полярность относится точка $Q$ с линией $ц$ и, после Gergonne , $д$ называется полярный из $Q$ и $Q$ полюс из $ц$ . ^[57] абсолютная точка ( линия ) от полярности один , который падает с его полярным (полюсом).^[58]

Коника фон Штаудта в вещественной проективной плоскости эквивалентна конике Штейнера . ^[59]

Конструкции

Невозможно построить непрерывную дугу коники с помощью линейки и циркуля. Однако существует несколько построений линейки и циркуля для любого количества отдельных точек на дуге.

Один из них основан на обратной теореме Паскаля, а именно, если точки пересечения противоположных сторон шестиугольника лежат на одной прямой, то шесть вершин лежат на конике. В частности, из пяти точек $A, B, C, D, E$ и прямой, проходящей через $E$ , скажем $EG$ , \ можно построить точку $F,$ которая лежит на этой прямой и находится на конике, определяемой этими пятью точками. Пусть $AB$ пересекает $DE$ в $L$ , $BC$ пересекает $EG$ в $M$ и пусть $CD$ пересекает $LM$ на $N$ . Тогдасоответствует $EG$ в нужной точке $F$ . ^[60]^:^52–53 Изменяя прямую, проходящую через $E$ , можно построить сколько угодно дополнительных точек на конике.

Метод параллелограмма для построения эллипса

Другой метод, основанный на конструкции Штейнера и полезный в инженерных приложениях, - это метод параллелограмма , при котором коника строится точка за точкой путем соединения определенных равноотстоящих точек на горизонтальной и вертикальной линиях. ^{[61] В} частности, чтобы построить эллипс с помощью уравнения $х 2 / а 2 + y 2 / б 2 = 1$ , сначала построим прямоугольник $ABCD$ с вершинами $A (a, 0), B (a, 2 b), C (- a, 2 b)$ и $D (- a, 0)$ . Разделите сторону $BC$ на $n$ равных отрезков и используйте параллельную проекцию относительно диагонали $AC$ , чтобы сформировать равные отрезки на стороне $AB$ (длины этих отрезков будут равны $б / а$ умноженное на длину отрезков $BC$ ). На стороне $BC$ этикетке левой концы отрезков с $А 1$ до $А п$ , начиная с $B$ и происходит в направлении $C$ . На стороне $АВ$ маркировать верхние конечные точки $D 1$ до $D п$ , начиная с $А$ и происходит в направлении $B$ . Точки пересечения $AA i \cap DD i$ для $1 \leq i \leq n$ будут точками эллипса между $A$ и $Р (0, б)$ . Маркировка связывает линии карандаша черезточку $A$ с линиями карандаша черезточку $D$ проективно, но не в перспективе. Искомая коника получается с помощью этой конструкции, поскольку три точки $A, D$ и $P$ и две касательные (вертикальные прямые в $A$ и $D$ ) однозначно определяют конику. Если другой диаметр (и сопряженный с ним диаметр) используется вместо большой и малой осей эллипса, в конструкции используется параллелограмм, который не является прямоугольником, давая имя методу. Объединение линий карандашей может быть расширено, чтобы получить другие точки на эллипсе. Аналогичны конструкции для гипербол ^[62] и парабол ^[63] .

Еще один общий метод использует свойство полярности для построения касательной огибающей коники (прямой коники). ^[64]

В комплексной проективной плоскости

В комплексной плоскости C ² эллипсы и гиперболы не различимы: можно рассматривать гиперболу как эллипс с мнимой длиной оси. Например, эллипс становится гиперболой при геометрической замене сложного вращения, что дает . Таким образом, существует двухсторонняя классификация: эллипс / гипербола и парабола. Продолжение кривых до комплексной проективной плоскости соответствует пересечению бесконечно удаленной прямой в двух различных точках (соответствующих двум асимптотам) или в одной двойной точке (соответствующей оси параболы); таким образом, реальная гипербола является более убедительным реальным изображением для сложного эллипса / гиперболы, так как она также имеет 2 (реальных) пересечения с линией на бесконечности. $x^{2}+y^{2}=1$ $y=iw,$ $x^{2}-w^{2}=1$

Дальнейшее объединение происходит в комплексной проективной плоскости CP ² : невырожденные коники нельзя отличить друг от друга, так как любая может быть переведена в любую другую проективным линейным преобразованием .

Можно доказать, что в CP ² два конических сечения имеют четыре общие точки (если учесть множественность ), так что имеется от 1 до 4 точек пересечения . Возможны следующие варианты пересечения: четыре различные точки, две особые точки и одна двойная точка, две двойные точки, одна особая точка и одна с кратностью 3, одна точка с кратностью 4. Если любая точка пересечения имеет кратность> 1, две кривые называются быть касательным . Если имеется точка пересечения с кратностью не менее 3, две кривые называются соприкасающимися . Если имеется только одна точка пересечения, кратность которой равна 4, две кривые называются сверхскоростными .^[65]

Кроме того, каждая прямая линия дважды пересекает каждый конический участок. Если точка пересечения двойная, линия представляет собой касательную . Каждая коническая секция, пересекающаяся с бесконечно удаленной линией, имеет две бесконечно удаленные точки. Если эти точки действительны, кривая представляет собой гиперболу ; если они воображаемые конъюгаты, это эллипс ; если есть только одна двойная точка, это парабола . Если бесконечно удаленные точки являются циклическими точками $(1, i, 0)$ и $(1, - i, 0)$ , коническое сечение представляет собой окружность . Если коэффициенты конического сечения действительны, бесконечно удаленные точки либо действительны, либокомплексно-сопряженный .

Вырожденные случаи

То, что следует рассматривать как вырожденный случай коники, зависит от используемого определения и геометрических параметров конического сечения. Некоторые авторы определяют конику как двумерную невырожденную квадрику. В этой терминологии нет вырожденных коник (только вырожденные квадрики), но мы будем использовать более традиционную терминологию и избегать этого определения.

В евклидовой плоскости, используя геометрическое определение, возникает вырожденный случай, когда секущая плоскость проходит через вершину конуса. Вырожденная коника - это либо: точка , когда плоскость пересекает конус только в вершине; прямая линия , когда плоскость является касательной к конусу (он содержит ровно один генератор конуса); или пара пересекающихся прямых (две образующие конуса). ^[66] Они соответствуют предельным формам эллипса, параболы и гиперболы соответственно.

Если коника на евклидовой плоскости определяется нулями квадратного уравнения (то есть как квадрика), то вырожденными кониками являются: пустое множество , точка или пара прямых, которые могут быть параллельны, пересекаются в точке или совпадают. Случай пустого множества может соответствовать либо паре комплексно сопряженных параллельных линий, таких как уравнение, либо воображаемому эллипсу , например, уравнению . Мнимый эллипс не удовлетворяет общему определению вырождения и, таким образом, обычно не рассматривается. как выродившийся. ^[67] $x^{2}+1=0,$ $x^{2}+y^{2}+1=0.$ Случай двух линий возникает, когда квадратное выражение делится на два линейных множителя, нули каждого из которых дают линию. В случае, если коэффициенты одинаковы, соответствующие прямые совпадают, и мы называем эту линию двойной линией (линия с кратностью 2), и это предыдущий случай касательной плоскости сечения.

В реальной проективной плоскости, поскольку параллельные прямые пересекаются в точке на бесконечной прямой, случай параллельной прямой евклидовой плоскости можно рассматривать как пересекающиеся прямые. Однако, поскольку точка пересечения является вершиной конуса, сам конус вырождается в цилиндр , то есть с вершиной на бесконечности. Остальные секции в этом случае называются цилиндрическими секциями . ^[68] Невырожденные цилиндрические секции представляют собой эллипсы (или окружности).

Если смотреть с точки зрения комплексной проективной плоскости, вырожденные случаи реальной квадрики (т. Е. Квадратное уравнение имеет действительные коэффициенты) можно рассматривать как пару прямых, возможно совпадающих. Пустым набором может быть линия на бесконечности, рассматриваемая как двойная линия, (действительная) точка - это пересечение двух комплексно сопряженных линий и других случаев, как упоминалось ранее.

Чтобы отличить вырожденные случаи от невырожденных случаев (включая пустое множество с последним), используя матричную запись, пусть $β$ будет определителем матрицы 3 × 3 конического сечения, то есть $β = (AC - В 2 / 4) F + КРОВАТЬ - CD 2 - AE 2 / 4$ ; и пусть дискриминант $α = B 2 - 4 AC$ . Тогда коническое сечение невырождено тогда и только тогда, когда $β \neq 0$ . Если $β = 0,$ у нас есть точка, когда $α <0$ , две параллельные прямые (возможно, совпадающие), когда $α = 0$ , или две пересекающиеся прямые, когда $α > 0$ . ^[69]

Карандаш коников

(Невырожденная) коника полностью определяется пятью точками общего положения (без трех коллинеарных ) на плоскости, и система коник, которые проходят через фиксированный набор из четырех точек (опять же на плоскости, а не трех коллинеарных), называется пучок коник . ^[70]^{: 64} Четыре общие точки называются базовыми точками карандаша. Через любую точку, кроме базовой, проходит единственный конус карандаша. Это понятие обобщает пучок окружностей . ^[71]^{: 127}

Пересечение двух коник

Решения системы двух уравнений второй степени с двумя переменными можно рассматривать как координаты точек пересечения двух конических сечений общего положения. В частности, две коники могут не иметь ни одной, двух или четырех возможно совпадающих точек пересечения. Эффективный метод поиска этих решений использует однородное матричное представление конических сечений , то есть симметричную матрицу 3x3, которая зависит от шести параметров.

Процедура определения точек пересечения состоит из следующих шагов, где коники представлены матрицами: ^[72]

учитывая две коники и , рассмотрим пучок коник, заданный их линейной комбинацией $C_{1}$ $C_{2}$ $\lambda C_{1}+\mu C_{2}.$
определить однородные параметры, соответствующие вырожденной конике пучка. Это можно сделать, наложив условие that и решив для и . Оказывается, это решения уравнения третьей степени. $(\lambda ,\mu )$ $\det(\lambda C_{1}+\mu C_{2})=0$ $\lambda$ $\mu$
учитывая вырожденную конику , отождествите две, возможно совпадающие, составляющие ее прямые. $C_{0}$
пересечь каждую идентифицированную линию с одной из двух исходных коник; этот шаг можно эффективно выполнить, используя двойственное коническое представление $C_{0}$
точки пересечения будут представлять решения исходной системы уравнений.

Обобщения

Коники могут быть определены над другими полями (то есть в других папповых геометриях ). Однако следует проявлять осторожность, когда поле имеет характеристику 2, поскольку некоторые формулы использовать нельзя. Например, используемые выше матричные представления требуют деления на 2.

Обобщением невырожденной коники на проективной плоскости является овал . Овал - это набор точек, обладающий следующими свойствами, присущими коникам: 1) любая прямая пересекает овал ни в одной, ни в одной или двух точках, 2) в любой точке овала существует единственная касательная линия.

Обобщение свойств фокуса коник на случай, когда имеется более двух фокусов, дает наборы, называемые обобщенными кониками .

В других областях математики

Классификация на эллиптические, параболические и гиперболические широко распространена в математике и часто делит поле на четко определенные подполя. Классификация в основном возникает из-за наличия квадратичной формы (в двух переменных это соответствует ассоциированному дискриминанту ), но также может соответствовать эксцентриситету.

Классификация квадратичных форм:

Квадратичные формы

Квадратичные формы над действительными числами классифицируются законом инерции Сильвестра , а именно их положительным индексом, нулевым индексом и отрицательным индексом: квадратичная форма от n переменных может быть преобразована в диагональную форму , например, где число +1 коэффициентов, k , является положительным индексом, число коэффициентов −1 ,, является отрицательным индексом, а остальные переменные являются нулевым индексом m, поэтому в двух переменных ненулевые квадратичные формы классифицируются как:

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}-x_{k+1}^{2}-\cdots -x_{k+\ell }^{2},

k+\ell +m=n.

$x^{2}+y^{2}$ - положительно-определенный (отрицательный тоже включен), соответствующий эллипсам,
$x^{2}$ - вырожденные, соответствующие параболам, и
$x^{2}-y^{2}$ - неопределенный, соответствующий гиперболам.

В двух переменных квадратичные формы классифицируются по дискриминанту, аналогично коникам, но в более высоких измерениях более полезной классификацией является определенная (все положительные или все отрицательные), вырожденные (некоторые нули) или неопределенные (сочетание положительных и отрицательных, но без нулей). Эта классификация лежит в основе многих последующих.

Кривизна

Гауссова кривизна из поверхности описывает геометрию бесконечно малого, и может в каждой точке быть либо положительным - эллиптическая геометрия , нулевой - геометрия Евклида (плоская, парабола), или отрицательными - гиперболические геометрии ; бесконечно мало, до второго порядка поверхность выглядит как график (или 0), или . В самом деле, по теореме униформизации любую поверхность можно считать глобально (в каждой точке) положительно изогнутой, плоской или отрицательно изогнутой. В более высоких измерениях тензор кривизны Римана представляет собой более сложный объект, но многообразия с постоянной секционной кривизной

x^{2}+y^{2},

x^{2}

x^{2}-y^{2}

являются интересными объектами исследования и обладают совершенно разными свойствами, как обсуждалось при секционной кривизне .

PDE второго порядка

Уравнения с частными производными (УЧП) второго порядка классифицируются в каждой точке как эллиптические, параболические или гиперболические, соответственно, поскольку их члены второго порядка соответствуют эллиптической, параболической или гиперболической квадратичной форме. Поведение и теория этих различных типов УЧП разительно различаются - характерным примером является то, что уравнение Пуассона является эллиптическим, уравнение теплопроводности - параболическим, а волновое уравнение - гиперболическим.

Классификация эксцентриситета включает:

Преобразования Мебиуса: Реальные преобразования Мёбиуса (элементы PSL 2 ( R ) или его 2-кратного покрытия, SL 2 ( R ) ) классифицируются как эллиптические, параболические или гиперболические соответственно, поскольку их полуслед или зеркальное отражение классификации по эксцентриситету. $0\leq |\operatorname {tr} |/2<1,$ $|\operatorname {tr} |/2=1,$ $|\operatorname {tr} |/2>1,$
Отношение дисперсии к среднему: Отношение дисперсии к среднему классифицирует несколько важных семейств дискретных распределений вероятностей : постоянное распределение как круговое (эксцентриситет 0), биномиальные распределения как эллиптические, распределения Пуассона как параболические и отрицательные биномиальные распределения как гиперболические. Это разрабатывается в кумулянтах некоторых дискретных распределений вероятностей .

В этом интерактивном SVG перемещайте влево и вправо по изображению SVG, чтобы повернуть двойной конус.

Смотрите также

Циркумконический и инконический
Conic Sections Rebellion , протесты студентов Йельского университета
Директорский кружок
Эллиптическая система координат
Эквидистантный набор
Девятиконечная коническая
Параболические координаты
Квадратичная функция

Примечания

^ Eves 1963 , с. 319
^ Бреннан, Esplen & Gray 1999 , стр. 13
^ Коэн, Д., Precalculus: с тригонометрией единичного круга ( Стэмфорд : Томсон Брукс / Коул , 2006), стр. 844 .
Перейти ↑ Thomas & Finney 1979 , p. 434
^ Бреннан, Esplen & Gray 1999 , стр. 19; Кендиг 2005 , стр.86 , 141
^ Бреннан, Esplen & Gray 1999 , стр. 13-16
^ Бреннан, Esplen & Gray 1999 , стр. 11-16
^ Проттера & Морри 1970 , стр. 314-328, 585-589
^ Проттера & Морри 1970 , стр. 290-314
Перейти ↑ Wilson & Tracey 1925 , p. 130
^ пустое множество включается как вырожденная коника, так как оно может возникнуть как решение этого уравнения
^ Проттер & Моррите 1970 , стр. 316
^ Бреннан, Esplen & Gray 1999 , стр. 30
^ Fanchi, Джон Р. (2006), Math освежители для ученых и инженеров , John Wiley и Sons, стр. 44-45, ISBN 0-471-75715-2, Раздел 3.2, с. 45
^ a b Проттер и Морри 1970 , стр. 326
Перейти ↑ Wilson & Tracey 1925 , p. 153
^ Петтофреццо, Энтони, Матрицы и преобразования , Dover Publ., 1966, стр. 110.
^ a b c Испания, Б., Аналитические коники (Минеола, Нью-Йорк: Довер, 2007). Первоначально опубликовано в 1957 году издательством Pergamon .
^ Аюб, Аюб Б., «Эксцентриситет конического сечения», The College Mathematics Journal 34 (2), март 2003 г., стр. 116–121.
^ АЙЮБ, АВ, "Центральные конические сечения вновь", Математика Журнал 66 (5), 1993, 322-325.
^ Бреннан, Esplen & Gray 1999 , стр. 17
^ Витворт, Уильям Аллен . Трилинейные координаты и другие методы современной аналитической геометрии двух измерений , Забытые книги, 2012 г. (ориг. Дейтон, Белл и Ко, 1866 г.), стр. 203.
^ Париж Pamfilos, "Галерея коника пяти элементов", Форум Geometricorum 14, 2014, 295-348. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201431.pdf
^ Бреннан, Esplen & Gray 1999 , стр. 28
^ Даунс 2003 , стр. 36 и далее.
↑ Согласно Плутарху, это решение было отвергнуто Платоном на том основании, что оно не могло быть достигнуто с помощью только линейки и циркуля, однако такая интерпретация утверждения Плутарха подверглась критике. Бойер 2004 , стр.14, сноска 14
Перейти ↑ Boyer 2004 , pp. 17–18
Перейти ↑ Boyer 2004 , p. 18
Перейти ↑ Katz 1998 , p. 117
^ Хит, TL, Тринадцать книг элементов Евклида , Vol. I, Довер, 1956, стр. 16
^ Eves 1963 , с. 28
^ Аполлоний Пергский, Трактат о конических сечениях , отредактированный Т.Л. Хитом (Кембридж: Cambridge University Press, 2013).
^ Eves 1963 , с. 30
Перейти ↑ Boyer 2004 , p. 36
^ Стиллвелл, Джон (2010). Математика и ее история (3-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. п. 30 . ISBN 978-1-4419-6052-8.
^ «Аполлоний Пергский Коникс, книги с первого по седьмой» (PDF) . Проверено 10 июня 2011 года .
^ Тернер, Ховард Р. (1997). Наука в средневековом исламе: иллюстрированное введение . Техасский университет Press . п. 53. ISBN 0-292-78149-0.
↑ Boyer, CB , & Merzbach, UC , История математики ( Hoboken : John Wiley & Sons, Inc. , 1968), стр. 219 .
^ Ван дер Варден, Б.Л. , Геометрия и алгебра в древних цивилизациях ( Берлин / Гейдельберг : Springer Verlag , 1983), стр. 73 .
Перейти ↑ Katz 1998 , p. 126
Перейти ↑ Boyer 2004 , p. 110
^ a b Boyer 2004 , стр. 114
^ Бреннан, Esplen & Gray 1999 , стр. 27
^ Artzy 2008 , стр. 158, Thm 3-5.1
^ Artzy 2008 , стр. 159
^ Эта форма уравнения не обобщается на поля характеристики два (см. Ниже)
^ Рассмотрите возможность поиска середины отрезка прямой с одной конечной точкой на бесконечности.
^ Фолкнер 1952 , стр. 71
^ Фолкнер 1952 , стр. 72
^ Eves 1963 , с. 320
Перейти ↑ Coxeter 1993 , p. 80
^ Хартманн , стр. 38
^ Merserve 1983 , стр. 65
^ Jacob Steiner's Vorlesungen über Synthetische Geometrie , BG Teubner, Leipzig 1867 (из Google Книги: (немецкий) Часть II следует за Частью I ) Часть II, стр. 96
^ Хартманн , стр. 19
↑ Faulkner, 1952 , стр. 48–49 .
Перейти ↑ Coxeter 1964 , p. 60
^ Кокстер и несколько других авторов используют термин самосопряженный вместо абсолютного.
Перейти ↑ Coxeter 1964 , p. 80
Перейти ↑ Faulkner 1952 , pp. 52–53
^ Даунс 2003 , стр. 5
^ Даунс 2003 , стр. 14
^ Даунс 2003 , стр. 19
↑ Акопян и Заславский 2007 , с. 70
^ Wilczynski, EJ (1916), "Некоторые замечания об историческом развитии и будущих перспективах дифференциальной геометрии плоских кривых", Bull. Амер. Математика. Soc. , 22 (7): 317–329, DOI : 10,1090 / s0002-9904-1916-02785-6.
^ Бреннан, Esplen & Gray 1999 , стр. 6
^ Корн, GA, & Корн, TM, Математический справочник для ученых и инженеров: определения, теоремы и формулы для справки и обзора ( Mineola, NY : Dover Publications , 1961), стр. 42 .
^ "MathWorld: Цилиндрическая секция" .
^ Лоуренс, Дж. Деннис (1972), Каталог специальных плоских кривых , Довер, стр. 63 , ISBN 0-486-60288-5
Перейти ↑ Faulkner 1952 , pg. 64 .
^ Бергер, М. , Открытие геометрии: лестница Иакова к современной высшей геометрии (Берлин / Гейдельберг: Springer, 2010), стр. 127 .
^ Рихтер-Геберт 2011 , стр. 196

внешняя ссылка

Викискладе есть медиафайлы по теме конических секций .

В Викиучебнике есть книга на следующие темы: Конические разделы

В Wikisource есть текст статьи Conic Section 1911 года из Британской энциклопедии .

Конический разрез (Геометрия) в Британской энциклопедии
Можно ли вывести конические формулы из конуса? архив 2007-07-15 Гэри С. Стаудт ( Университет штата Индиана, Пенсильвания)
Конические сечения на кривых специальных плоскостей .
Вайсштейн, Эрик В. «Коническое сечение» . MathWorld .
Возникновение конусов. Коники в природе и в других местах .
См конических сечений на вырез в-узле для резкого доказательства того, что любое конечное коническое сечение представляет собой эллипс и XAH Ли для подобного лечения другого коника.
Восьмиточка конической формы на эскизах динамической геометрии
Локус неявных уравнений второго порядка. Интерактивный графический редактор коник Java; использует общее неявное уравнение второго порядка.

[1] Eves 1963 , с. 319

[2] Бреннан, Esplen & Gray 1999 , стр. 13

[3] Коэн, Д., Precalculus: с тригонометрией единичного круга ( Стэмфорд : Томсон Брукс / Коул , 2006), стр. 844 .

[4] Перейти ↑ Thomas & Finney 1979 , p. 434

[5] Бреннан, Esplen & Gray 1999 , стр. 19; Кендиг 2005 , стр.86 , 141

[6] Бреннан, Esplen & Gray 1999 , стр. 13-16

[7] Бреннан, Esplen & Gray 1999 , стр. 11-16

[8] Проттера & Морри 1970 , стр. 314-328, 585-589

[9] Проттера & Морри 1970 , стр. 290-314

[10] Перейти ↑ Wilson & Tracey 1925 , p. 130

[11] пустое множество включается как вырожденная коника, так как оно может возникнуть как решение этого уравнения

[12] Проттер & Моррите 1970 , стр. 316

[13] Бреннан, Esplen & Gray 1999 , стр. 30

[14] Fanchi, Джон Р. (2006), Math освежители для ученых и инженеров , John Wiley и Sons, стр. 44-45, ISBN 0-471-75715-2, Раздел 3.2, с. 45

[Protter_1970_326-15] Проттер и Морри 1970 , стр. 326

[16] Перейти ↑ Wilson & Tracey 1925 , p. 153

[17] Петтофреццо, Энтони, Матрицы и преобразования , Dover Publ., 1966, стр. 110.

[Spain-18] Испания, Б., Аналитические коники (Минеола, Нью-Йорк: Довер, 2007). Первоначально опубликовано в 1957 году издательством Pergamon .

[19] Аюб, Аюб Б., «Эксцентриситет конического сечения», The College Mathematics Journal 34 (2), март 2003 г., стр. 116–121.

[20] АЙЮБ, АВ, "Центральные конические сечения вновь", Математика Журнал 66 (5), 1993, 322-325.

[21] Бреннан, Esplen & Gray 1999 , стр. 17

[WW-22] Витворт, Уильям Аллен . Трилинейные координаты и другие методы современной аналитической геометрии двух измерений , Забытые книги, 2012 г. (ориг. Дейтон, Белл и Ко, 1866 г.), стр. 203.

[23] Париж Pamfilos, "Галерея коника пяти элементов", Форум Geometricorum 14, 2014, 295-348. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201431.pdf

[24] Бреннан, Esplen & Gray 1999 , стр. 28

[25] Даунс 2003 , стр. 36 и далее.

[26] Согласно Плутарху, это решение было отвергнуто Платоном на том основании, что оно не могло быть достигнуто с помощью только линейки и циркуля, однако такая интерпретация утверждения Плутарха подверглась критике. Бойер 2004 , стр.14, сноска 14

[27] Перейти ↑ Boyer 2004 , pp. 17–18

[28] Перейти ↑ Boyer 2004 , p. 18

[29] Перейти ↑ Katz 1998 , p. 117

[30] Хит, TL, Тринадцать книг элементов Евклида , Vol. I, Довер, 1956, стр. 16

[31] Eves 1963 , с. 28

[32] Аполлоний Пергский, Трактат о конических сечениях , отредактированный Т.Л. Хитом (Кембридж: Cambridge University Press, 2013).

[33] Eves 1963 , с. 30

[34] Перейти ↑ Boyer 2004 , p. 36

[35] Стиллвелл, Джон (2010). Математика и ее история (3-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. п. 30 . ISBN 978-1-4419-6052-8.

[36] «Аполлоний Пергский Коникс, книги с первого по седьмой» (PDF) . Проверено 10 июня 2011 года .

[37] Тернер, Ховард Р. (1997). Наука в средневековом исламе: иллюстрированное введение . Техасский университет Press . п. 53. ISBN 0-292-78149-0.

[38] Boyer, CB , & Merzbach, UC , История математики ( Hoboken : John Wiley & Sons, Inc. , 1968), стр. 219 .

[39] Ван дер Варден, Б.Л. , Геометрия и алгебра в древних цивилизациях ( Берлин / Гейдельберг : Springer Verlag , 1983), стр. 73 .

[40] Перейти ↑ Katz 1998 , p. 126

[41] Перейти ↑ Boyer 2004 , p. 110

[BoyerDeWitt-42] Boyer 2004 , стр. 114

[43] Бреннан, Esplen & Gray 1999 , стр. 27

[44] Artzy 2008 , стр. 158, Thm 3-5.1

[45] Artzy 2008 , стр. 159

[46] Эта форма уравнения не обобщается на поля характеристики два (см. Ниже)

[47] Рассмотрите возможность поиска середины отрезка прямой с одной конечной точкой на бесконечности.

[48] Фолкнер 1952 , стр. 71

[49] Фолкнер 1952 , стр. 72

[50] Eves 1963 , с. 320

[51] Перейти ↑ Coxeter 1993 , p. 80

[Hartmann1-52] Хартманн , стр. 38

[53] Merserve 1983 , стр. 65

[54] Jacob Steiner's Vorlesungen über Synthetische Geometrie , BG Teubner, Leipzig 1867 (из Google Книги: (немецкий) Часть II следует за Частью I ) Часть II, стр. 96

[55] Хартманн , стр. 19

[56] Faulkner, 1952 , стр. 48–49 .

[57] Перейти ↑ Coxeter 1964 , p. 60

[58] Кокстер и несколько других авторов используют термин самосопряженный вместо абсолютного.

[59] Перейти ↑ Coxeter 1964 , p. 80

[60] Перейти ↑ Faulkner 1952 , pp. 52–53

[61] Даунс 2003 , стр. 5

[62] Даунс 2003 , стр. 14

[63] Даунс 2003 , стр. 19

[64] Акопян и Заславский 2007 , с. 70

[65] Wilczynski, EJ (1916), "Некоторые замечания об историческом развитии и будущих перспективах дифференциальной геометрии плоских кривых", Bull. Амер. Математика. Soc. , 22 (7): 317–329, DOI : 10,1090 / s0002-9904-1916-02785-6.

[66] Бреннан, Esplen & Gray 1999 , стр. 6

[67] Корн, GA, & Корн, TM, Математический справочник для ученых и инженеров: определения, теоремы и формулы для справки и обзора ( Mineola, NY : Dover Publications , 1961), стр. 42 .

[68] "MathWorld: Цилиндрическая секция" .

[69] Лоуренс, Дж. Деннис (1972), Каталог специальных плоских кривых , Довер, стр. 63 , ISBN 0-486-60288-5

[70] Перейти ↑ Faulkner 1952 , pg. 64 .

[71] Бергер, М. , Открытие геометрии: лестница Иакова к современной высшей геометрии (Берлин / Гейдельберг: Springer, 2010), стр. 127 .

[72] Рихтер-Геберт 2011 , стр. 196

[1]