В математике и физике символы Кристоффеля представляют собой массив чисел, описывающих метрическую связь . [1] Метрическая связь — это специализация аффинной связи с поверхностями или другими многообразиями , наделенными метрикой , позволяющая измерять расстояния на этой поверхности. В дифференциальной геометрии аффинная связность может быть определена без ссылки на метрику, и следуют многие дополнительные понятия: параллельный перенос , ковариантные производные , геодезическиеи т. д. также не требуют понятия метрики. [2] [3] Однако, когда доступна метрика, эти понятия могут быть напрямую связаны с «формой» самого многообразия; эта форма определяется тем, как касательное пространство соединяется с кокасательным пространством с помощью метрического тензора . [4] Абстрактно можно сказать, что многообразие имеет связанный ( ортонормированный ) пучок фреймов , где каждый « фрейм » является возможным выбором координатного фрейма . Из инвариантной метрики следует, что структурной группой расслоения фреймов является ортогональная группа O( p, к ) . В результате такое многообразие обязательно является ( псевдо ) римановым многообразием . [5] [6] Символы Кристоффеля обеспечивают конкретное представление связи (псевдо) римановой геометрии в терминах координат на многообразии. Затем дополнительные понятия, такие как параллельный перенос, геодезические и т. д., могут быть выражены в терминах символов Кристоффеля.
В общем, существует бесконечное число метрических соединений для данного метрического тензора ; однако существует уникальная связь, свободная от кручения , связь Леви-Чивиты . В физике и общей теории относительности принято работать почти исключительно со связью Леви-Чивиты, работая в системах координат (называемых голономными координатами ), где кручение равно нулю. Например, в евклидовых пространствах символы Кристоффеля описывают, как локальные базы координат изменяются от точки к точке.
В каждой точке лежащего в основе n -мерного многообразия для любой локальной системы координат вокруг этой точки символы Кристоффеля обозначаются Γ i jk для i , j , k = 1, 2, ..., n . Каждая запись этого массива n × n × n является действительным числом . При линейных преобразованиях координат на многообразии символы Кристоффеля преобразуются подобно компонентам тензора , но при общих преобразованиях координат ( диффеоморфизмы ) они не. Большинство алгебраических свойств символов Кристоффеля вытекают из их отношения к аффинной связности; лишь немногие следуют из того факта, что структурная группа является ортогональной группой O( m , n ) (или группой Лоренца O (3, 1) для общей теории относительности).
Символы Кристоффеля используются для выполнения практических расчетов. Например, тензор кривизны Римана может быть полностью выражен через символы Кристоффеля и их первые частные производные . В ОТО связь играет роль гравитационного силового поля с соответствующим гравитационным потенциалом, являющимся метрическим тензором. Когда система координат и метрический тензор имеют некоторую общую симметрию, многие из Γ i jk равны нулю .
Определения, данные ниже, действительны как для римановых многообразий , так и для псевдоримановых многообразий , таких как те из общей теории относительности , с тщательным различием между верхними и нижними индексами ( контравариантными и ковариантными индексами). Формулы справедливы для любого соглашения о знаках , если не указано иное.
В этой статье используется правило суммирования Эйнштейна с векторами, выделенными жирным шрифтом. Коэффициенты связности Леви - Чивиты (или псевдоримановой связности), выраженные в координатном базисе, называются символами Кристоффеля .