Импульс

Импульс
Импульс битка для пула передается установленным шарам после столкновения.
Общие символы	п , п
Единица СИ	килограмм-метр в секунду кг⋅м / с
Прочие единицы	пуля ⋅ фут / с
Сохранился ?	да
Измерение	MLT −1

Часть серии по
Классическая механика
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (м {\ textbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви Применяемый Небесный Continuum Динамика Кинематика Кинетика Статика Статистический
Основы Ускорение Угловой момент Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Точка зрения Инерциальная система отсчета Импульс Инерция  / момент инерции Масса Механическая мощность Механическая работа Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Составы Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианская механика Уравнение Гамильтона – Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана – фон Неймана
Основные темы Коэффициент демпфирования Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерциальная  / неинерциальная система отсчета Механика движения плоских частиц Движение  ( линейное ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Жесткое тело динамика Уравнения Эйлера Простые гармонические колебания Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся опорная рамка Центростремительная сила Центробежная сила реактивный Сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Скорость вращения Угловое ускорение  / перемещение  / частота  / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Даниэль Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Clairaut Лагранж Лаплас Гамильтон Пуассон Коши Раут Liouville Appell Гиббс Купман фон Нейман
Категории ► Классическая механика
v т е

В механике Ньютона , импульс движения , поступательный импульс или просто импульс ( мн. Импульсы) - это произведение массы и скорости объекта. Это векторная величина, имеющая величину и направление. Если m - масса объекта, а v - его скорость (также векторная величина), то импульс объекта равен: В единицах СИ импульс измеряется в килограммах-метрах в секунду ( кг ⋅ м / с ).
${\ displaystyle \ mathbf {p} = m \ mathbf {v}.}$

Второй закон движения Ньютона гласит, что скорость изменения количества движения тела равна действующей на него чистой силе. Импульс зависит от системы отсчета , но в любой инерциальной системе это консервативное количество, а это означает , что если замкнутая систему не зависят от внешних сил, его полный импульс не изменяется. Импульс также сохраняется в специальной теории относительности (с модифицированной формулой) и, в модифицированной форме, в электродинамике , квантовой механике , квантовой теории поля и общей теории относительности . Это выражение одной из фундаментальных симметрий пространства и времени:поступательная симметрия .

Расширенные формулировки классической механики, лагранжевой и гамильтоновой механики позволяют выбирать системы координат, которые включают симметрии и ограничения. В этих системах сохраняющейся величиной является обобщенный импульс , и в целом он отличается от кинетического импульса, определенного выше. Концепция обобщенного импульса переносится в квантовую механику, где становится оператором волновой функции . Операторы импульса и положения связаны принципом неопределенности Гейзенберга .

В непрерывных системах, таких как электромагнитные поля , гидродинамика и деформируемые тела , можно определить плотность импульса, и континуальная версия сохранения импульса приводит к таким уравнениям, как уравнения Навье – Стокса для жидкостей или уравнение движения Коши для деформируемых твердых тел. или жидкости.

Ньютоновский

Импульс - это векторная величина : она имеет как величину, так и направление. Поскольку импульс имеет направление, его можно использовать для прогнозирования результирующего направления и скорости движения объектов после их столкновения. Ниже основные свойства импульса описаны в одном измерении. Векторные уравнения почти идентичны скалярным уравнениям (см. Множественные измерения ).

Одиночная частица

Импульс частицы условно обозначается буквой p . Это произведение двух величин: массы частицы (обозначается буквой m ) и ее скорости ( v ): ^[1]

п знак равно м v . {\ displaystyle p = mv.}

Единица количества движения - это произведение единиц массы и скорости. В единицах СИ , если масса выражается в килограммах, а скорость - в метрах в секунду, то импульс выражается в килограммах-метрах в секунду (кг · м / с). В единицах cgs , если масса выражена в граммах, а скорость - в сантиметрах в секунду, то импульс выражается в граммах сантиметрах в секунду (г⋅см / с).

Будучи вектором, импульс имеет величину и направление. Например, модель самолета весом 1 кг, летящая на север со скоростью 1 м / с в прямом и горизонтальном полете, имеет импульс 1 кг · м / с на севере, измеренный относительно земли.

Многие частицы

Импульс системы частиц - это векторная сумма их импульсов. Если две частицы имеют соответственно массы m ₁ и m ₂ и скорости v ₁ и v ₂ , полный импульс равен

${\ displaystyle {\ begin {align} p & = p_ {1} + p_ {2} \\ & = m_ {1} v_ {1} + m_ {2} v_ {2} \,. \ end {выравнивается}} }$

В более общем случае импульсы более двух частиц можно сложить следующим образом:

${\ displaystyle p = \ sum _ {i} m_ {i} v_ {i}.}$

Система частиц имеет центр масс , точку, определяемую взвешенной суммой их положений:

${\ displaystyle r _ {\ text {cm}} = {\ frac {m_ {1} r_ {1} + m_ {2} r_ {2} + \ cdots} {m_ {1} + m_ {2} + \ cdots }} = {\ frac {\ sum \ limits _ {i} m_ {i} r_ {i}} {\ sum \ limits _ {i} m_ {i}}}.}.$

Если одна или несколько частиц движутся, центр масс системы, как правило, также будет двигаться (если только система не вращается вокруг него). Если общая масса частиц равна , а центр масс движется со скоростью v _см , импульс системы равен:${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle p = mv _ {\ text {cm}}.}$

Это известно как первый закон Эйлера . ^{[2] [3]}

Отношение к силе

Если результирующая сила F, приложенная к частице, постоянна и применяется в течение интервала времени Δ t , импульс частицы изменяется на величину

Δ п знак равно F Δ т . {\ Displaystyle \ Delta p = F \ Delta t \ ,.}

В дифференциальной форме это второй закон Ньютона ; скорость изменения импульса частицы равна мгновенной силе F, действующей на нее, ^[1]

${\ displaystyle F = {\ frac {dp} {dt}}.}$

Если результирующая сила, испытываемая частицей, изменяется как функция времени, F (t) , изменение количества движения (или импульса J ) между моментами времени t ₁ и t ₂ равно

${\displaystyle \Delta p=J=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F(t)\,dt\,.}$

Импульс измеряется в производных единиц в ньютон секунду (1 N⋅s = 1 kg⋅m / с) или дин второй (1 dyne⋅s = 1 g⋅cm / с)

В предположении постоянной массы m это эквивалентно записи

${\displaystyle F={\frac {d(mv)}{dt}}=m{\frac {dv}{dt}}=ma,}$

следовательно, результирующая сила равна массе частицы, умноженной на ее ускорение . ^[1]

Пример : модель самолета массой 1 кг ускоряется из состояния покоя до скорости 6 м / с на север за 2 с. Чистая сила, необходимая для создания этого ускорения, составляет 3  ньютона на север. Изменение импульса на север составляет 6 кг⋅м / с. Скорость изменения количества движения составляет 3 (кг · м / с) / с на север, что численно эквивалентно 3 ньютонам.

Сохранение

В замкнутой системе ( системе , которая не обменивается материей с окружающей средой и не подвергается действию внешних сил) общий импульс постоянен. Этот факт, известный как закон сохранения количества движения , подразумевается законами движения Ньютона . ^{[4] [5]} Предположим, например, что взаимодействуют две частицы. В силу третьего закона силы между ними равны и противоположны. Если частицы пронумерованы 1 и 2, второй закон гласит, что F ₁ =дп ₁/dtи F ₂ =дп ₂/dt. Следовательно,

${\displaystyle {\frac {dp_{1}}{dt}}=-{\frac {dp_{2}}{dt}},}$

с отрицательным знаком, указывающим, что силы противостоят. Эквивалентно,

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(p_{1}+p_{2}\right)=0.}$

Если скорости частиц до взаимодействия равны u ₁ и u ₂ , а затем - v ₁ и v ₂ , то

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.}

Этот закон выполняется независимо от того, насколько сложна сила между частицами. Точно так же, если есть несколько частиц, импульс, которым обмениваются каждая пара частиц, в сумме равен нулю, поэтому общее изменение импульса равно нулю. Этот закон сохранения применяется ко всем взаимодействиям, включая столкновения и разделения, вызванные взрывными силами. ^[4] Это также может быть обобщено на ситуации, когда законы Ньютона не выполняются, например, в теории относительности и в электродинамике . ^[6]

Зависимость от системы отсчета

Импульс - это измеримая величина, и ее измерение зависит от движения наблюдателя. Например: если яблоко сидит в стеклянном лифте, который опускается, сторонний наблюдатель, глядя в лифт, видит, как яблоко движется, поэтому для этого наблюдателя у яблока есть ненулевой импульс. Для кого-то внутри лифта яблоко не движется, поэтому у него нулевой импульс. У каждого из двух наблюдателей есть система координат , в которой они наблюдают движения, и, если лифт неуклонно спускается, они увидят поведение, которое согласуется с теми же физическими законами.

Предположим, что частица занимает позицию x в стационарной системе отсчета. С точки зрения другой системы отсчета, движущейся с постоянной скоростью u , положение (представленное штрихованной координатой) изменяется со временем как

${\displaystyle x'=x-ut\,.}$

Это называется преобразованием Галилея . Если частица движется со скоростьюdx/dt= v в первой системе отсчета, во второй он движется со скоростью

${\displaystyle v'={\frac {dx'}{dt}}=v-u\,.}$

Поскольку u не меняется, ускорения такие же:

${\displaystyle a'={\frac {dv'}{dt}}=a\,.}$

Таким образом, импульс сохраняется в обеих системах отсчета. Более того, пока сила имеет одну и ту же форму, в обеих системах отсчета второй закон Ньютона остается неизменным. Этому критерию удовлетворяют такие силы, как ньютоновская гравитация, которые зависят только от скалярного расстояния между объектами. Эта независимость системы отсчета называется ньютоновской относительностью или галилеевой инвариантностью . ^[7]

Смена системы отсчета часто может упростить расчет движения. Например, при столкновении двух частиц можно выбрать систему отсчета, где одна частица начинается в состоянии покоя. Другой, часто используемой системой отсчета является система координат центра масс, которая движется вместе с центром масс. В этой системе отсчета полный импульс равен нулю.

Применение к столкновениям

Самого по себе закона сохранения количества движения недостаточно, чтобы определить движение частиц после столкновения. Необходимо знать еще одно свойство движения - кинетическую энергию . Это не обязательно сохраняется. Если он сохраняется, столкновение называется упругим столкновением ; в противном случае это неупругое столкновение .

Упругие столкновения

Упругое столкновение - это такое столкновение, при котором кинетическая энергия не поглощается. Совершенно упругие «столкновения» могут происходить, когда объекты не касаются друг друга, как, например, при атомном или ядерном рассеянии, когда электрическое отталкивание разделяет их. Рогатки маневр спутника вокруг планеты также можно рассматривать как абсолютно упругое столкновение. Столкновение между двумя шарами бассейна - хороший пример почти полностью упругого столкновения из-за их высокой жесткости , но когда тела соприкасаются, всегда возникает некоторая диссипация . ^[8]

Лобовое упругое столкновение между двумя телами может быть представлено скоростями в одном измерении вдоль линии, проходящей через тела. Если скорости равны u ₁ и u ₂ до столкновения и v ₁ и v ₂ после, уравнения, выражающие сохранение количества движения и кинетической энергии:

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\\{\tfrac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}&={\tfrac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}\,.\end{aligned}}}$

Смена системы отсчета может упростить анализ столкновения. Например, предположим, что есть два тела одинаковой массы m , одно неподвижное и одно приближающееся к другому со скоростью v (как на рисунке). Центр масс движется со скоростьюv/2 и оба тела движутся к нему со скоростью v/2. Из-за симметрии после столкновения оба должны удаляться от центра масс с одинаковой скоростью. Прибавляя скорость центра масс к обоим, мы обнаруживаем, что тело, которое двигалось, теперь остановлено, а другое движется со скоростью v . Тела поменялись скоростями. Независимо от скоростей тел переключение на систему координат центра масс приводит нас к такому же выводу. Следовательно, конечные скорости даются как ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}&=u_{2}\\v_{2}&=u_{1}\,.\end{aligned}}}$

В общем, когда известны начальные скорости, конечные скорости даются как ^[9]

${\displaystyle v_{1}=\left({\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{1}+\left({\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{2}\,}$

${\displaystyle v_{2}=\left({\frac {m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{2}+\left({\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{1}\,.}$

Если одно тело имеет гораздо большую массу, чем другое, его скорость будет мало затронута столкновением, в то время как другое тело испытает большие изменения.

Неупругие столкновения

При неупругом столкновении часть кинетической энергии сталкивающихся тел преобразуется в другие формы энергии (например, тепло или звук ). Примеры включают в себя столкновение трафика , ^[10] , в котором эффект потери кинетической энергии можно увидеть в повреждении транспортных средств; электроны теряют часть своей энергии атомам (как в эксперименте Франка – Герца ); ^[11] и ускорители частиц, в которых кинетическая энергия преобразуется в массу в виде новых частиц.

При совершенно неупругом столкновении (например, при ударе жука о лобовое стекло) оба тела после этого совершают одинаковое движение. Лобовое неупругое столкновение между двумя телами может быть представлено скоростями в одном измерении вдоль линии, проходящей через тела. Если перед столкновением скорости равны u ₁ и u _2, то при совершенно неупругом столкновении оба тела будут двигаться со скоростью v после столкновения. Уравнение, выражающее сохранение импульса:

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=\left(m_{1}+m_{2}\right)v\,.\end{aligned}}}$

Если одно тело с самого начала неподвижно (например ), уравнение сохранения импульса имеет вид${\displaystyle u_{2}=0}$

${\displaystyle m_{1}u_{1}=\left(m_{1}+m_{2}\right)v\,,}$

так

${\displaystyle v={\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}u_{1}\,.}$

В другой ситуации, если система отсчета движется с конечной скоростью, так что объекты будут остановлены в результате совершенно неупругого столкновения, и 100% кинетической энергии преобразуется в другие формы энергии. В этом случае начальные скорости тел были бы ненулевыми, или тела должны были бы быть безмассовыми.${\displaystyle v=0}$

Одним из показателей неупругости столкновения является коэффициент восстановления C _R , определяемый как отношение относительной скорости отрыва к относительной скорости приближения. Применяя эту меру к мячу, отскакивающему от твердой поверхности, это можно легко измерить, используя следующую формулу: ^[12]

${\displaystyle C_{\text{R}}={\sqrt {\frac {\text{bounce height}}{\text{drop height}}}}\,.}$

Уравнения импульса и энергии также применимы к движениям объектов, которые начинаются вместе, а затем расходятся. Например, взрыв является результатом цепной реакции, которая преобразует потенциальную энергию, запасенную в химической, механической или ядерной форме, в кинетическую энергию, акустическую энергию и электромагнитное излучение. В ракетах также используется принцип сохранения импульса: топливо выталкивается наружу, набирая импульс, и ракете передается равный и противоположный импульс. ^[13]

Несколько измерений

Реальное движение имеет направление и скорость и должно быть представлено вектором . В системе координат с осями x , y , z скорость имеет компоненты v _x в направлении x , v _y в направлении y , v _z в направлении z . Вектор выделен жирным шрифтом: ^[14]

${\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right).}$

Точно так же импульс является векторной величиной и представлен жирным шрифтом:

${\displaystyle \mathbf {p} =\left(p_{x},p_{y},p_{z}\right).}$

Уравнения в предыдущих разделах работают в векторной форме, если скаляры p и v заменить векторами p и v . Каждое векторное уравнение представляет собой три скалярных уравнения. Например,

${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$

представляет собой три уравнения: ^[14]

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}&=mv_{x}\\p_{y}&=mv_{y}\\p_{z}&=mv_{z}.\end{aligned}}}$

Уравнения кинетической энергии являются исключением из приведенного выше правила замены. Уравнения по-прежнему одномерные, но каждый скаляр представляет величину вектора , например,

${\displaystyle v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\,.}$

Каждое векторное уравнение представляет собой три скалярных уравнения. Часто координаты можно выбрать так, чтобы потребовалось всего два компонента, как на рисунке. Каждый компонент может быть получен отдельно, а результаты объединены для получения векторного результата. ^[14]

Простая конструкция, включающая центр масс, может быть использована, чтобы показать, что если неподвижная упругая сфера столкнется с движущейся сферой, то после столкновения эти двое уйдут под прямым углом (как на рисунке). ^[15]

Объекты переменной массы

Понятие импульса играет фундаментальную роль в объяснении поведения переменной массы объектов , такие как ракета выброс топливо или звезды аккрецирующего газ. Анализируя такой объект, мы рассматриваем массу объекта как функцию, которая изменяется со временем: m ( t ) . Таким образом, импульс объекта в момент времени t равен p ( t ) = m ( t ) v ( t ) . Затем можно попытаться применить второй закон движения Ньютона, сказав, что внешняя сила F, действующая на объект, связана с его импульсом p (t ) на F =дп/dt, но это неверно, как и связанное выражение, найденное путем применения правила продукта к d ( мв )/dt: ^[16]

${\displaystyle F=m(t){\frac {dv}{dt}}+v(t){\frac {dm}{dt}}.}$(неверно) ^{[ почему? ]}

Это уравнение неправильно описывает движение объектов переменной массы. Правильное уравнение

${\displaystyle F=m(t){\frac {dv}{dt}}-u{\frac {dm}{dt}},}$

где u - скорость выброшенной / аккрецированной массы, как видно в системе покоя объекта . ^[16] Это отличается от v , которая представляет собой скорость самого объекта в инерциальной системе отсчета.

Это уравнение выводится путем отслеживания как импульса объекта, так и импульса выброшенной / аккрецированной массы ( дм ). При совместном рассмотрении объект и масса ( dm ) составляют замкнутую систему, в которой сохраняется полный импульс.

${\displaystyle P(t+dt)=(m-dm)(v+dv)+dm(v-u)=mv+mdv-udm=P(t)+mdv-udm}$

Релятивистский

Лоренц-инвариантность

Ньютоновская физика предполагает, что абсолютное время и пространство существуют вне любого наблюдателя; это приводит к галилеевой инвариантности . Это также приводит к предсказанию того, что скорость света может изменяться от одной системы отсчета к другой. Это противоречит наблюдениям. В специальной теории относительности Эйнштейн придерживается постулата о том, что уравнения движения не зависят от системы отсчета, но предполагает, что скорость света c инвариантна. В результате положение и время в двух системах отсчета связаны преобразованием Лоренца вместо преобразования Галилея . ^[17]

Рассмотрим, например, одну систему отсчета, движущуюся относительно другой со скоростью v в направлении x . Преобразование Галилея дает координаты движущейся системы отсчета как

${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=t\\x'&=x-vt\end{aligned}}}$

а преобразование Лоренца дает ^[18]

${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\,\end{aligned}}}$

где γ - фактор Лоренца :

γ = 1 1 − v 2 / c 2 . {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.}

Второй закон Ньютона с фиксированной массой не инвариантен относительно преобразования Лоренца. Однако его можно сделать инвариантным, сделав инерциальную массу m объекта функцией скорости:

${\displaystyle m=\gamma m_{0}\,;}$

m ₀ - инвариантная масса объекта. ^[19]

Модифицированный импульс,

${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma m_{0}\mathbf {v} \,,}$

подчиняется второму закону Ньютона:

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\,.}$

В рамках классической механики релятивистский импульс близко аппроксимируется ньютоновским импульсом: при низкой скорости γm ₀ v приблизительно равно m ₀ v , ньютоновскому выражению для импульса.

Четырехвекторная формулировка

В специальной теории относительности физические величины выражаются с помощью четырех векторов, которые включают время в качестве четвертой координаты наряду с тремя пространственными координатами. Эти векторы обычно обозначаются заглавными буквами, например R для позиции. Выражение для четырехимпульса зависит от того, как выражаются координаты. Время может быть дано в его обычных единицах или умножено на скорость света, так что все компоненты четырехвектора имеют размерность длины. Если последнее масштабирование используется, интервал надлежащего времени , τ , определяется ^[20]

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}\,,}$

является инвариантным относительно преобразований Лоренца (в этом выражении и в то , что следует за (+ - - -) Метрика подпись была использована, разные авторы используют разные соглашения). Математически эту инвариантность можно обеспечить одним из двух способов: рассматривая четыре вектора как евклидовы векторы и умножая время на √ −1 ; или сохраняя реальную величину времени и встраивая векторы в пространство Минковского . ^[21] В пространстве Минковского скалярное произведение двух четырехвекторов U = ( U ₀ , U ₁ , U ₂ , U₃ ) и V = ( V ₀ , V ₁ , V ₂ , V ₃ ) определяется как

${\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {V} =U_{0}V_{0}-U_{1}V_{1}-U_{2}V_{2}-U_{3}V_{3}\,.}$

Во всех системах координат ( контравариантная ) релятивистская четырехскорость определяется соотношением

${\displaystyle \mathbf {U} \equiv {\frac {d\mathbf {R} }{d\tau }}=\gamma {\frac {d\mathbf {R} }{dt}}\,,}$

а (контравариантный) четырехимпульс равен

P = m 0 U , {\displaystyle \mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} \,,}

где m ₀ - инвариантная масса. Если R = ( ct, x, y, z ) (в пространстве Минковского), то

${\displaystyle \mathbf {P} =\gamma m_{0}\left(c,\mathbf {v} \right)=(mc,\mathbf {p} )\,.}$

Используя эквивалентность массы и энергии Эйнштейна , E = mc ² , это можно переписать как

${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)\,.}$

Таким образом, сохранение четырехимпульса лоренц-инвариантно и означает сохранение как массы, так и энергии.

Величина четырехвектора импульса равна m ₀ c :

${\displaystyle ||\mathbf {P} ||^{2}=\mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =\gamma ^{2}m_{0}^{2}(c^{2}-v^{2})=(m_{0}c)^{2}\,,}$

и инвариантен для всех систем отсчета.

Релятивистское соотношение энергии и импульса сохраняется даже для безмассовых частиц, таких как фотоны; полагая m ₀ = 0, получаем, что

${\displaystyle E=pc\,.}$

В игре в релятивистский «бильярд», если неподвижная частица сталкивается с движущейся частицей при упругом столкновении, пути, образованные этими двумя впоследствии, образуют острый угол. В этом отличие от нерелятивистского случая, когда они движутся под прямым углом. ^[22]

Четырехимпульс плоской волны можно связать с волновым четырехвектором ^[23]

${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)=\hbar \mathbf {K} =\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)}$

Для частицы соотношение между временными компонентами, E = ħ ω , является соотношением Планка – Эйнштейна , а соотношение между пространственными компонентами, p = ħ k , описывает волну материи де Бройля .

Обобщенный

Законы Ньютона трудно применить ко многим видам движения, поскольку движение ограничено ограничениями . Например, бусинка на счетах вынуждена двигаться вдоль проволоки, а маятниковая боб вынуждена качаться на фиксированном расстоянии от оси вращения. Многие такие ограничения могут быть включены путем изменения обычных декартовых координат на набор обобщенных координат , количество которых может быть меньше. ^[24] Разработаны уточненные математические методы решения задач механики в обобщенных координатах. Они вводят обобщенный импульс , также известный как канонический или сопряженный импульс., что расширяет понятия как количества движения, так и момента количества движения . Чтобы отличить его от обобщенного импульса, произведение массы и скорости также называется механическим , кинетическим или кинематическим импульсом . ^{[6] [25] [26]} Два основных метода описаны ниже.

Лагранжева механика

В лагранжевой механике лагранжиан определяется как разница между кинетической энергией T и потенциальной энергией V :

${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V\,.}$

Если обобщенные координаты представлены в виде вектора q = ( q ₁ , q ₂ , ..., q _N ), а дифференцирование по времени представлено точкой над переменной, то уравнения движения (известные как уравнения Лагранжа или Эйлера– Уравнения Лагранжа ) представляют собой систему из N уравнений: ^[27]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{j}}}=0\,.}$

Если координата q _i не является декартовой координатой, связанная с ней обобщенная компонента импульса p _i не обязательно имеет размерность количества движения. Даже если q _i - декартова координата, p _i не будет таким же, как механический импульс, если потенциал зависит от скорости. ^[6] Некоторые источники представляют собой кинематический импульс символа П . ^[28]

В этой математической системе обобщенный импульс связан с обобщенными координатами. Его компоненты определяются как

${\displaystyle p_{j}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\,.}$

Каждая компонента p _j называется сопряженным импульсом для координаты q _j .

Теперь, если данная координата q _i не входит в лагранжиан (хотя может появиться ее производная по времени), то

${\displaystyle p_{j}={\text{constant}}\,.}$

Это обобщение закона сохранения импульса. ^[6]

Даже если обобщенные координаты - это просто обычные пространственные координаты, сопряженные импульсы не обязательно являются обычными координатами импульса. Пример можно найти в разделе по электромагнетизму.

Гамильтонова механика

В гамильтоновой механике лагранжиан (функция обобщенных координат и их производных) заменяется гамильтонианом, который является функцией обобщенных координат и импульса. Гамильтониан определяется как

${\displaystyle {\mathcal {H}}\left(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t\right)=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {L}}\left(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t\right)\,,}$

где импульс получается дифференцированием лагранжиана, как указано выше. Гамильтоновы уравнения движения ^[29]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {q}}_{i}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\\-{\dot {p}}_{i}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}\\-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}&={\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}\,.\end{aligned}}}$

Как и в лагранжевой механике, если обобщенная координата не появляется в гамильтониане, его сопряженная компонента импульса сохраняется. ^[30]

Симметрия и сохранение

Сохранение количества движения является математическим следствием однородности ( симметрии сдвига ) пространства (положение в пространстве - это каноническая величина, сопряженная с импульсом). То есть сохранение количества движения является следствием того факта, что законы физики не зависят от положения; это частный случай теоремы Нётер . ^[31] Для систем, не обладающих этой симметрией, может быть невозможно определить сохранение импульса. Примеры, в которых сохранение импульса не применяется, включают искривленное пространство-время в общей теории относительности ^[32] или кристаллы времени в физике конденсированного состояния .^{[33] [34] [35] [36]}

Электромагнитный

Частица в поле

В уравнениях Максвелла силы между частицами опосредуются электрическими и магнитными полями. Электромагнитная сила (сила Лоренца ) на частицу с зарядом q из-за комбинации электрического поля E и магнитного поля B равна

F = q ( E + v × B ) . {\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} ).}

(в единицах СИ ). ^{[37] : 2} Он имеет электрический потенциал φ ( r , t ) и магнитный векторный потенциал A ( r , t ) . ^[28] В нерелятивистском режиме его обобщенный импульс равен

${\displaystyle \mathbf {P} =m\mathbf {\mathbf {v} } +q\mathbf {A} ,}$

тогда как в релятивистской механике это становится

${\displaystyle \mathbf {P} =\gamma m\mathbf {\mathbf {v} } +q\mathbf {A} .}$

Величину иногда называют потенциальным импульсом . ^{[38] [39] [40]} Это импульс, обусловленный взаимодействием частицы с электромагнитными полями. Название является аналогией с потенциальной энергией , которая представляет собой энергию, обусловленную взаимодействием частицы с электромагнитными полями. Эти величины образуют четырехвектор, так что аналогия непротиворечива; кроме того, концепция потенциального импульса важна для объяснения так называемого скрытого импульса электромагнитных полей ^[41]${\displaystyle V=q\mathbf {A} }$${\displaystyle U=q\varphi }$

Сохранение

В механике Ньютона закон сохранения количества движения может быть выведен из закона действия и противодействия , который гласит, что каждая сила имеет возвратно-поступательную равную и противоположную силу. При некоторых обстоятельствах движущиеся заряженные частицы могут оказывать друг на друга силы в противоположных направлениях. ^[42] Тем не менее, общий импульс частиц и электромагнитного поля сохраняется.

Вакуум

Сила Лоренца передает импульс частице, поэтому по второму закону Ньютона частица должна сообщать импульс электромагнитным полям. ^[43]

В вакууме импульс единицы объема равен

${\displaystyle \mathbf {g} ={\frac {1}{\mu _{0}c^{2}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} \,,}$

где μ ₀ является вакуумной проницаемостью и с представляет собой скорость света . Плотность импульса пропорциональна вектору Пойнтинга S, который дает направленную скорость передачи энергии на единицу площади: ^{[43] [44]}

${\displaystyle \mathbf {g} ={\frac {\mathbf {S} }{c^{2}}}\,.}$

Если импульс должен сохраняться в объеме V в области Q , изменения количества движения вещества за счет силы Лоренца должны уравновешиваться изменениями импульса электромагнитного поля и оттоком количества движения. Если P _mech - это импульс всех частиц в Q , и частицы рассматриваются как континуум, то второй закон Ньютона дает

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {P} _{\text{mech}}}{dt}}=\iiint \limits _{Q}\left(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \right)dV\,.}$

Электромагнитный импульс равен

${\displaystyle \mathbf {P} _{\text{field}}={\frac {1}{\mu _{0}c^{2}}}\iiint \limits _{Q}\mathbf {E} \times \mathbf {B} \,dV\,,}$

а уравнение сохранения каждой компоненты импульса i имеет вид

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {P} _{\text{mech}}+\mathbf {P} _{\text{field}}\right)_{i}=\iint \limits _{\sigma }\left(\sum \limits _{j}T_{ij}n_{j}\right)d\Sigma \,.}$

Член в правой части представляет собой интеграл по площади поверхности Х поверхностей сга , представляющая поток импульса в и из объема, и п _J представляет собой компонент нормали к поверхности S . Величина T _ij называется тензором напряжений Максвелла и определяется как

${\displaystyle T_{ij}\equiv \epsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{2}\right)\,.}$^[43]

Средства массовой информации

Приведенные выше результаты относятся к микроскопическим уравнениям Максвелла, применимым к электромагнитным силам в вакууме (или в очень малых масштабах в среде). Плотность импульса в средах определить сложнее, потому что разделение на электромагнитное и механическое произвольно. Определение плотности электромагнитного импульса изменено на

${\displaystyle \mathbf {g} ={\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {E} \times \mathbf {H} ={\frac {\mathbf {S} }{c^{2}}}\,,}$

где H-поле H связано с B-полем и намагниченностью M соотношением

${\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}\left(\mathbf {H} +\mathbf {M} \right)\,.}$

Тензор электромагнитных напряжений зависит от свойств среды. ^[43]

Квантовая механика

В квантовой механике , импульс определяются как самосопряженный оператор на волновой функции . В Гейзенберге принцип неопределенности пределы определяет , насколько точно на импульс и положение одной наблюдаемой системы могут быть известны сразу. В квантовой механике положение и импульс - сопряженные переменные .

Для отдельной частицы, описанной в базисе позиций, оператор импульса может быть записан как

${\displaystyle \mathbf {p} ={\hbar \over i}\nabla =-i\hbar \nabla \,,}$

где ∇ - оператор градиента , ħ - приведенная постоянная Планка , а i - мнимая единица . Это часто встречающаяся форма оператора импульса, хотя оператор импульса в других базисах может принимать другие формы. Например, в импульсном пространстве оператор импульса представляется как

${\displaystyle \mathbf {p} \psi (p)=p\psi (p)\,,}$

где оператор p, действующий на волновую функцию ψ ( p ), дает эту волновую функцию, умноженную на значение p , аналогично тому, как оператор положения, действующий на волновую функцию ψ ( x ), дает эту волновую функцию, умноженную на значение x .

Как для массивных, так и для безмассовых объектов релятивистский импульс связан с фазовой постоянной соотношением ^[45]${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle p=\hbar \beta }$

Электромагнитное излучение (включая видимый свет , ультрафиолетовый свет и радиоволны ) переносится фотонами . Хотя фотоны (частица света) не имеют массы, они все же несут импульс. Это приводит к таким приложениям, как солнечный парус . Расчет импульса света в диэлектрических средах несколько спорно (см полемика Abraham-Минковского ). ^{[46] [47]}

В деформируемых телах и жидкостях

Сохранение в континууме

В таких областях, как гидродинамика и механика твердого тела , невозможно проследить движение отдельных атомов или молекул. Вместо этого материалы должны быть аппроксимированы континуумом, в котором есть частицы или частицы жидкости в каждой точке, которой приписывается среднее значение свойств атомов в небольшой области поблизости. В частности, он имеет плотность ρ и скорость v, которые зависят от времени t и положения r . Импульс единицы объема равен ρ v . ^[48]

Рассмотрим столб воды в гидростатическом равновесии . Все силы на воде уравновешены, и вода неподвижна. В каждой капле воды уравновешиваются две силы. Первый - это гравитация, которая действует непосредственно на каждый атом и молекулу внутри. Сила тяжести на единицу объема равна ρ g , где g - ускорение свободного падения . Вторая сила - это сумма всех сил, действующих на его поверхность окружающей водой. Сила снизу больше, чем сила сверху, ровно на величину, необходимую для уравновешивания силы тяжести. Нормальная сила на единицу площади - это давление p. Средняя сила, приходящаяся на единицу объема внутри капли, представляет собой градиент давления, поэтому уравнение баланса сил имеет вид ^[49]

${\displaystyle -\nabla p+\rho \mathbf {g} =0\,.}$

Если силы не сбалансированы, капля ускоряется. Это ускорение - не просто частная производная∂ v/∂tпотому что жидкость в данном объеме изменяется со временем. Вместо этого необходима материальная производная : ^[50]

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\equiv {\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\,.}$

Применительно к любой физической величине производная материала включает скорость изменения в точке и изменения из-за адвекции, когда жидкость проходит мимо точки. На единицу объема скорость изменения количества движения равна ρD v/Dt. Это равно чистой силе, действующей на каплю.

Силы, которые могут изменить импульс капли, включают градиент давления и гравитации, как указано выше. Кроме того, поверхностные силы могут деформировать каплю. В простейшем случае напряжение сдвига τ , создаваемое силой, параллельной поверхности капли, пропорционально скорости деформации или скорости деформации . Такое напряжение сдвига возникает, если жидкость имеет градиент скорости, потому что жидкость движется быстрее с одной стороны, чем с другой. Если скорость в направлении x изменяется с z , тангенциальная сила в направлении x на единицу площади, перпендикулярно направлению z, равна

${\displaystyle \sigma _{\text{zx}}=-\mu {\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\,,}$

где μ - вязкость . Это также поток или поток на единицу площади x-импульса через поверхность. ^[51]

В том числе эффекта вязкости, уравнение баланса импульса для несжимаемой жидкости в виде ньютоновской жидкости является

${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=-{\boldsymbol {\nabla }}p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\rho \mathbf {g} .\,}$

Они известны как уравнения Навье – Стокса . ^[52]

Уравнения баланса импульса могут быть распространены на более общие материалы, включая твердые тела. Для каждой поверхности с нормалью в направлении i и силой в направлении j существует составляющая напряжения σ _ij . Девять компонентов составляют тензор напряжений Коши σ , который включает как давление, так и сдвиг. Локальное сохранение импульса выражается уравнением импульса Коши :

${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}={\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f} \,,}$

где f - объемная сила . ^[53]

Уравнение импульса Коши широко применимо к деформациям твердых тел и жидкостей. Соотношение между напряжениями и скоростью деформации зависит от свойств материала (см. Типы вязкости ).

Акустические волны

Возмущение в среде вызывает колебания или волны , которые распространяются вдали от своего источника. В жидкости небольшие изменения давления p часто можно описать уравнением акустической волны :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}p\,,}$

где c - скорость звука . В твердом теле аналогичные уравнения могут быть получены для распространения давления ( продольные волны ) и сдвига (поперечные волны ). ^[54]

Поток или перенос на единицу площади компоненты импульса ρv _j со скоростью v _i равен ρ v _j v _j . В линейном приближении, которое приводит к приведенному выше акустическому уравнению, среднее время этого потока равно нулю. Однако нелинейные эффекты могут привести к ненулевому среднему значению. ^[55] Поток импульса может возникать, даже если сама волна не имеет среднего импульса. ^[56]

История концепции

Этот раздел требует внимания специалиста по истории науки . Конкретная проблема: Спор о создателе сохранения импульса. Подробности смотрите на странице обсуждения . WikiProject History of Science может помочь нанять эксперта. ( Ноябрь 2019 г. )

Примерно в 530 году нашей эры, работая в Александрии, византийский философ Иоанн Филопон разработал концепцию импульса в своем комментарии к « Физике» Аристотеля . Аристотель утверждал, что все, что движется, должно чем-то двигаться. Например, брошенный мяч нужно удерживать в движении за счет движения воздуха. Большинство авторов продолжали принимать теорию Аристотеля до времен Галилея, но некоторые были настроены скептически. Филопон указал на абсурдность утверждения Аристотеля о том, что движению объекта способствует тот же воздух, который сопротивляется его прохождению. Он предположил, что вместо этого объекту был придан импульс в момент его броска. ^[57] Ибн Сина (также известный под латинизированным именем Авиценна) прочитал Филопона и опубликовал свою собственную теорию движения в «Книге исцеления» в 1020 году. Он согласился с тем, что метатель придает снаряду импульс; но в отличие от Филопона, который считал, что это временная добродетель, которая угаснет даже в вакууме, он рассматривал ее как постоянную, требующую внешних сил, таких как сопротивление воздуха, чтобы рассеять ее. ^{[58] [59] [60]} Труд Филопона и, возможно, Ибн Сины, ^[60] был прочитан и уточнен европейскими философами Питером Оливи и Жаном Буриданом . Буридано, который около 1350 выступили ректор Парижского университета, называемый импульспропорциональна весу, умноженному на скорость. Более того, теория Буридана отличалась от теории его предшественника в том, что он не считал стимул саморассеивающимся, утверждая, что тело будет задержано силами сопротивления воздуха и гравитации, которые могли бы противодействовать его импульсу. ^{[61] [62]}

Рене Декарт считал, что общее «количество движения» ( латинское : Quantitas motus ) во Вселенной сохраняется, ^[63] где количество движения понимается как произведение размера и скорости. Это не следует рассматривать как утверждение современного закона количества движения, поскольку у него не было концепции массы, отличной от веса и размера, и, что более важно, он считал, что сохраняется скорость, а не скорость. Итак, для Декарта, если бы движущийся объект отскочил от поверхности, изменив свое направление, но не скорость, не было бы изменения в его количестве движения. ^{[64] [65] [66]} Галилей в своих « Двух новых науках» использовал итальянскийслово impeto аналогичным образом описывает количество движения Декарта.

Лейбниц в своем « Рассуждении о метафизике » привел аргумент против конструкции Декарта о сохранении «количества движения» на примере сбрасывания блоков разного размера на разные расстояния. Он указывает, что сила сохраняется, но количество движения, которое определяется как произведение размера и скорости объекта, не сохраняется. ^[67]

Христиан Гюйгенс довольно рано пришел к выводу, что законы Декарта для упругого столкновения двух тел должны быть неправильными, и сформулировал правильные законы. ^[68] Важным шагом было признание им галилеевской инвариантности проблем. ^{[69] На распространение} его взглядов ушло много лет. Он передал их лично Уильяму Браункеру и Кристоферу Рену в Лондоне в 1661 году. ^[70] То, что Спиноза написал о них Генри Ольденбургу в 1666 году, во время Второй англо-голландской войны , было сохранено. ^[71] Гюйгенс действительно разработал их в рукописи.De motu corporum ex percussione в период 1652–1616 гг. Война закончилась в 1667 году, и Гюйгенс объявил о своих результатах Королевскому обществу в 1668 году. Он опубликовал их в Journal des sçavans в 1669 году ^[72].

Первое правильное утверждение закона сохранения количества движения было сделано английским математиком Джоном Уоллисом в его работе 1670 года, Mechanica sive De Motu, Tractatus Geometricus : «Начальное состояние тела, будь то покой или движение, будет сохраняться» и Если сила больше сопротивления, произойдет движение ". ^[73] Уоллис использовал импульс для количества движения и vis для силы. « Philosophi Naturalis Principia Mathematica» Ньютона , когда она была впервые опубликована в 1687 году, продемонстрировала аналогичный подход к словам, которые можно было бы использовать для математического импульса. Его Определение II определяет Quantitas Motus, «количество движения», как «возникающее из скорости и количества материи вместе», что определяет его как импульс. ^[74] Таким образом, когда в Законе II он ссылается на mutatio motus , «изменение движения», пропорциональное приложенной силе, он обычно подразумевает импульс, а не движение. ^[75] Оставалось только присвоить условный термин количеству движения. Первое использование «количества движения» в его собственном математическом смысле неясно, но ко времени, когда в 1721 году, за пять лет до последнего издания « Principia Mathematica» Дженнингса, было написано « Разное» , импульс M или «количество движения» для студентов определялся как "прямоугольник ", произведение Qи V , где Q - «количество материала», а V - «скорость»,s/т. ^[76]

Смотрите также

Рекомендации

Библиография

внешняя ссылка

Поищите импульс в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Сохранение импульса - Глава из онлайн-учебника