Контактная механика

Эта статья может быть слишком технической для понимания большинства читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технических деталей. ( Март 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Часть серии по
Механика сплошной среды
Законы Сохранение Масса Импульс Энергия Неравенства Клаузиус-Дюгем (энтропия)
Механика твердого тела Деформация Эластичность линейный Пластичность Закон Гука Стресс Конечная деформация Бесконечно малая деформация Совместимость Гибка Контактная механика фрикционный Теория разрушения материала Механика разрушения
Гидравлическая механика Жидкости Статика  · Динамика Принцип Архимеда  · Принцип Бернулли Уравнения Навье – Стокса Уравнение Пуазейля  · Закон Паскаля Вязкость ( Ньютоновский  · неньютоновский ) Плавучесть  · Смешивание  · Давление Жидкости Поверхностное натяжение Капиллярное действие Газы Атмосфера Закон Бойля Закон Чарльза Закон Гей-Люссака Закон о комбинированном газе Плазма
Реология Вязкоупругость Реометрия Реометр Умные жидкости Электрореологический Магнитореологический Феррожидкости
Ученые Бернулли Бойл Коши Чарльз Эйлер Гей-Люссак Гук Ньютон Навье Нолл Паскаль Стокса Truesdell
v т е

Контакт механики является исследование деформации в твердых тел , которые соприкасаются друг с другом в одной или нескольких точках. ^{[1] [2]} Основное различие в механике контакта заключается между напряжениями, действующими перпендикулярно поверхностям контактирующих тел (известное как нормальное направление ), и напряжениями трения, действующими по касательной между поверхностями. Эта страница посвящена в основном нормальному направлению, то есть механике контакта без трения. Механика фрикционного контакта обсуждается отдельно. Нормальные напряжения вызываются приложенными силами и адгезией. присутствуют на контактирующих поверхностях, даже если они чистые и сухие.

Контактная механика - это часть машиностроения . Физико-математическая формулировка предмета основана на механике материалов и механике сплошной среды и фокусируется на вычислениях с участием упругих , вязкоупругих и пластических тел в статическом или динамическом контакте. Механика контактов предоставляет необходимую информацию для безопасного и энергоэффективного проектирования технических систем, а также для изучения трибологии , контактной жесткости , электрического контактного сопротивления и твердости при вдавливании.. Принципы механики контактов применяются в таких приложениях, как контакт колеса локомотива с рельсом, сцепные устройства, тормозные системы, шины , подшипники , двигатели внутреннего сгорания , механические соединения , уплотнительные прокладки, металлообработка , обработка металлов давлением, ультразвуковая сварка , электрические контакты и многие другие. Текущие проблемы, с которыми сталкиваются в этой области, могут включать анализ напряжений в контактных и соединительных элементах, а также влияние смазки и конструкции материала на трение иносить . Применение контактной механики распространяется и на микро- и нанотехнологии .

Первоначальная работа по механике контакта восходит к 1881 году, когда была опубликована статья Генриха Герца «О контакте упругих тел» ^[3] ( «Ueber die Berührung fester elastischer Körper» ) . Герц пытался понять, как оптические свойства нескольких составных линз могут изменяться под действием силы, удерживающей их вместе. Контактное напряжение Герца относится к локализованным напряжениям, которые развиваются, когда две криволинейные поверхности входят в контакт и слегка деформируются под воздействием приложенных нагрузок. Эта величина деформации зависит от модуля упругости.контактирующего материала. Он дает контактное напряжение как функцию нормальной контактной силы, радиусов кривизны обоих тел и модуля упругости обоих тел. Контактное напряжение Герца формирует основу для уравнений несущей способности и усталостной долговечности подшипников, шестерен и любых других тел, где две поверхности контактируют.

История [ править ]

Классическая контактная механика в первую очередь связана с Генрихом Герцем. ^{[3] [4]} В 1882 году Герц решил контактную задачу двух упругих тел с искривленными поверхностями. Это все еще актуальное классическое решение составляет основу современных проблем контактной механики. Например, в машиностроении и трибологии , Герца контактных напряжений является описание напряжений в пределах сопрягаемых деталей. Контактное напряжение Герца обычно относится к напряжению вблизи области контакта между двумя сферами разного радиуса.

Лишь почти сто лет спустя Джонсон , Кендалл и Робертс нашли подобное решение для случая клеевого контакта. ^[5] Эта теория была отвергнута Борисом Дерягиным и сотрудниками ^[6], которые предложили другую теорию адгезии ^[7] в 1970-х годах. Модель Дерягина стала известна как модель ДМТ (после Дерягина, Мюллера и Топорова) ^[7], а модель Джонсона и др. Модель стала известна как модель JKR (в честь Джонсона, Кендалла и Робертса) для адгезионного эластичного контакта. Этот отказ сыграл важную роль в развитии Табора ^[8], а затем и Моугиса ^{[6] [9]} параметры, которые количественно определяют, какая модель контакта (из моделей JKR и DMT) лучше представляет адгезионный контакт для конкретных материалов.

Дальнейший прогресс в области контактной механики в середине двадцатого века можно объяснить такими именами, как Боуден и Табор . Боуден и Табор первыми подчеркнули важность шероховатости поверхности контактирующих тел. ^{[10] [11]} Путем исследования шероховатости поверхности было установлено, что истинная площадь контакта между фрикционными партнерами меньше, чем кажущаяся площадь контакта. Такое понимание также коренным образом изменило направление работ в трибологии. Работы Боудена и Табора дали несколько теорий контактной механики шероховатых поверхностей.

При обсуждении новаторских работ в этой области также следует упомянуть вклад Арчарда (1957) ^[12] . Арчард пришел к выводу, что даже для шероховатых упругих поверхностей площадь контакта приблизительно пропорциональна нормальной силе . Дальнейшие важные идеи в этом направлении были предоставлены Гринвудом и Уильямсоном (1966), ^[13] Бушем (1975), ^[14] и Перссоном (2002). ^[15] Основные результаты этих работ заключались в том, что истинная поверхность контакта в шероховатых материалах обычно пропорциональна нормальной силе, в то время как параметры отдельных микроконтактов (т.е. давление, размер микроконтакта) зависят лишь слабо. под нагрузкой.

Классические решения для неклейкого эластичного контакта [ править ]

Теорию контакта между упругими телами можно использовать для определения площадей контакта и глубины вдавливания для простых геометрических фигур. Некоторые часто используемые решения перечислены ниже. Теория, используемая для вычисления этих решений, обсуждается далее в статье. Решения для множества других технически значимых форм, например, усеченного конуса, изношенной сферы, грубых профилей, полых цилиндров и т. Д., Можно найти в ^[16]

Контакт между сферой и полупространством [ править ]

Упругая сфера из радиуса отступов упругого полупространства , где общая деформация , в результате чего площади контакта радиуса ${\displaystyle R}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle a={\sqrt {Rd}}}$

Приложенная сила связана со смещением соотношением ^[4]${\displaystyle F}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle F={\frac {4}{3}}E^{*}R^{\frac {1}{2}}d^{\frac {3}{2}}}$

куда

${\displaystyle {\frac {1}{E^{*}}}={\frac {1-\nu _{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-\nu _{2}^{2}}{E_{2}}}}$

и , являются модули упругости и , что коэффициенты Пуассона , связанные с каждым телом.${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle E_{2}}$${\displaystyle \nu _{1}}$${\displaystyle \nu _{2}}$

Распределение нормального давления в зоне контакта в зависимости от расстояния от центра круга ^[1]

${\displaystyle p(r)=p_{0}\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

где - максимальное контактное давление, определяемое${\displaystyle p_{0}}$

${\displaystyle p_{0}={\frac {3F}{2\pi a^{2}}}={\frac {1}{\pi }}\left({\frac {6F{E^{*}}^{2}}{R^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

Радиус круга связан с приложенной нагрузкой уравнением${\displaystyle F}$

${\displaystyle a^{3}={\cfrac {3FR}{4E^{*}}}}$

Полная деформация связана с максимальным контактным давлением соотношением${\displaystyle d}$

${\displaystyle d={\frac {a^{2}}{R}}=\left({\frac {9F^{2}}{16{E^{*}}^{2}R}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

Максимальное напряжение сдвига происходит в интерьере в течение .${\displaystyle z\approx 0.49a}$${\displaystyle \nu =0.33}$

Контакт между двумя сферами [ править ]

Для контакта между двумя сферами радиуса и площадь контакта представляет собой круг радиуса . Уравнения такие же, как для сферы, контактирующей с полуплоскостью, за исключением того, что эффективный радиус определяется как ^[4]${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{2}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}$

Контакт между двумя скрещенными цилиндрами равного радиуса ${\displaystyle R}$[ править ]

Это эквивалентно контакту между сферой радиуса и плоскостью .${\displaystyle R}$

Контакт жесткого цилиндра с плоским концом и упругого полупространства [ править ]

Если жесткий цилиндр вдавить в упругое полупространство, он создает распределение давления, описываемое ^[17]

${\displaystyle p(r)=p_{0}\left(1-{\frac {r^{2}}{R^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

где - радиус цилиндра, а${\displaystyle R}$

${\displaystyle p_{0}={\frac {1}{\pi }}E^{*}{\frac {d}{R}}}$

Связь между глубиной вдавливания и нормальной силой определяется выражением

${\displaystyle F=2RE^{*}d}$

Контакт между жестким коническим индентором и упругим полупространством [ править ]

В случае вдавливания упругого полупространства модуля Юнга с помощью жесткого конического индентора глубина области контакта и радиус контакта связаны соотношением ^[17]${\displaystyle E}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle a}$

${\displaystyle \epsilon =a\tan(\theta )}$

с определяемым как угол между плоскостью и боковой поверхностью конуса. Общая глубина вдавливания определяется как:${\displaystyle \theta }$${\displaystyle d}$

${\displaystyle d={\frac {\pi }{2}}\epsilon }$

Общая сила

${\displaystyle F={\frac {\pi E}{2\left(1-\nu ^{2}\right)}}a^{2}\tan(\theta )={\frac {2E}{\pi \left(1-\nu ^{2}\right)}}{\frac {d^{2}}{\tan(\theta )}}}$

Распределение давления определяется выражением

${\displaystyle p\left(r\right)={\frac {Ed}{\pi a\left(1-\nu ^{2}\right)}}\ln \left({\frac {a}{r}}+{\sqrt {\left({\frac {a}{r}}\right)^{2}-1}}\right)={\frac {Ed}{\pi a\left(1-\nu ^{2}\right)}}\cosh ^{-1}\left({\frac {a}{r}}\right)}$

Напряжение имеет логарифмическую особенность на вершине конуса.

Контакт между двумя цилиндрами с параллельными осями [ править ]

При контакте двух цилиндров с параллельными осями сила линейно пропорциональна длине цилиндров L и глубине вдавливания d : ^[18]

${\displaystyle F\approx {\frac {\pi }{4}}E^{*}Ld}$

Радиусы кривизны полностью отсутствуют в этой зависимости. Радиус контакта описывается обычным соотношением

${\displaystyle a={\sqrt {Rd}}}$

с

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}$

как при контакте двух сфер. Максимальное давление равно

${\displaystyle p_{0}=\left({\frac {E^{*}F}{\pi LR}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

Контакт подшипника [ править ]

Контакт в случае подшипников часто представляет собой контакт между выпуклой поверхностью (охватываемый цилиндр или сфера) и вогнутой поверхностью (охватывающий цилиндр или сфера: отверстие или полусферическое кольцо ).

Метод уменьшения размерности [ править ]

Некоторые контактные проблемы могут быть решены с помощью метода уменьшения размерности (MDR). В этом методе исходная трехмерная система заменяется контактом тела с линейно-упругим или вязкоупругим основанием (см. Рис.). Свойства одномерных систем в точности совпадают со свойствами исходной трехмерной системы, если форма тел изменена, а элементы фундамента определены в соответствии с правилами MDR. ^{[19] [20]} MDR основан на решении осесимметричных контактных задач, впервые полученных Людвигом Фёпплом (1941) и Герхардом Шубертом (1942) ^[21]

Однако для получения точных аналитических результатов требуется, чтобы контактная задача была осесимметричной, а контакты были компактными.

Теория Герца неклейкого эластичного контакта [ править ]

Классическая теория контакта сосредоточена в первую очередь на неклейком контакте, когда в зоне контакта не допускается возникновение силы натяжения, т. Е. Контактирующие тела могут быть разделены без сил адгезии. Несколько аналитических и численных подходов были использованы для решения контактных задач, удовлетворяющих условию отсутствия прилипания. Между телами в местах соприкосновения передаются сложные силы и моменты , поэтому проблемы механики контакта могут стать довольно сложными. Кроме того, контактные напряжения обычно нелинейно зависят от деформации. Чтобы упростить процедуру решения, система отсчетаобычно определяется, в котором объекты (возможно, движущиеся относительно друг друга) статичны. Они взаимодействуют посредством поверхностного натяжения (или давления / напряжения) на их границе раздела.

В качестве примера рассмотрим два объекта, которые встречаются на некоторой поверхности в плоскости ( , ), причем ось -x считается нормальной к поверхности. Одно из тел будут испытывать нормально направленное давление распределения и плоскостной поверхность тяговых распределений и по области . С точки зрения баланса сил Ньютона , силы:${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle p_{z}=p(x,y)=q_{z}(x,y)}$${\displaystyle q_{x}=q_{x}(x,y)}$${\displaystyle q_{y}=q_{y}(x,y)}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle P_{z}=\int _{S}p(x,y)~\mathrm {d} A~;~~Q_{x}=\int _{S}q_{x}(x,y)~\mathrm {d} A~;~~Q_{y}=\int _{S}q_{y}(x,y)~\mathrm {d} A}$

должны быть равны и противоположны силам, установленным в другом теле. Моменты, соответствующие этим силам:

${\displaystyle M_{x}=\int _{S}y~q_{z}(x,y)~\mathrm {d} A~;~~M_{y}=\int _{S}-x~q_{z}(x,y)~\mathrm {d} A~;~~M_{z}=\int _{S}[x~q_{y}(x,y)-y~q_{x}(x,y)]~\mathrm {d} A}$

также требуется взаимное сокращение между телами, чтобы они были кинематически неподвижны.

Допущения в теории Герца [ править ]

При определении решений контактных задач Герца делаются следующие допущения :

• Деформации небольшие и находятся в пределах упругости.
• Поверхности сплошные и не соответствуют друг другу (это означает, что площадь контакта намного меньше характерных размеров контактирующих тел).
• Каждое тело можно рассматривать как упругое полупространство.
• Поверхности без трения.

Дополнительные сложности возникают, когда некоторые или все эти допущения нарушаются, и такие контактные задачи обычно называют негерцевскими .

Методы аналитического решения [ править ]

Методы аналитического решения проблемы неклейкого контакта можно разделить на два типа в зависимости от геометрии области контакта. ^[22] соответствующий контакт является один , в котором два тела коснулись в нескольких точках , прежде чем любая деформация происходит (то есть, они просто «подходят друг к другу»). Несоответствующий контакт является один , в котором форма тел неодинаковы достаточно того, что при нулевой нагрузке, они касаются только в точке (или , возможно , вдоль линия). В случае несоответствия площадь контакта мала по сравнению с размерами объектов, и напряжения в этой области сильно сосредоточены. Такой контакт называется концентрированным , иначе - разноплановым .

Обычный подход к линейной упругости заключается в наложении ряда решений, каждое из которых соответствует точечной нагрузке, действующей в области контакта. Например, в случае загрузки в полуплоскости , то Flamant решение часто используется в качестве отправной точки , а затем обобщена на различные формы площади контакта. Балансы сил и моментов между двумя контактирующими телами действуют как дополнительные ограничения для решения.

Точечный контакт на (2D) полуплоскости [ править ]

Отправной точкой для решения контактных задач является понимание эффекта «точечной нагрузки», приложенной к изотропной, однородной и линейной упругой полуплоскости, показанной на рисунке справа. Проблема может заключаться в плоском напряжении или плоской деформации . Это краевая задача линейной упругости с граничными условиями тяги :

${\displaystyle \sigma _{xz}(x,0)=0~;~~\sigma _{z}(x,z)=-P\delta (x,z)}$

где - дельта-функция Дирака . Граничные условия утверждают, что на поверхности нет касательных напряжений и в точке (0, 0) приложена сингулярная нормальная сила P. Применение этих условий к основным уравнениям упругости дает результат${\displaystyle \delta (x,z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}&=-{\frac {2P}{\pi }}{\frac {x^{2}z}{\left(x^{2}+z^{2}\right)^{2}}}\\\sigma _{zz}&=-{\frac {2P}{\pi }}{\frac {z^{3}}{\left(x^{2}+z^{2}\right)^{2}}}\\\sigma _{xz}&=-{\frac {2P}{\pi }}{\frac {xz^{2}}{\left(x^{2}+z^{2}\right)^{2}}}\end{aligned}}}$

для некоторой точки ,, в полуплоскости. Круг, показанный на рисунке, указывает на поверхность, на которой максимальное напряжение сдвига постоянно. Из этого поля напряжений можно определить компоненты деформации и, таким образом, смещения всех материальных точек.${\displaystyle (x,y)}$

Линейный контакт на (2D) полуплоскости [ править ]

Нормальная загрузка по региону ${\displaystyle (a,b)}$[ править ]

Предположим, что вместо точечной нагрузки к поверхности применяется распределенная нагрузка по всему диапазону . Принцип линейной суперпозиции может применяться для определения результирующего поля напряжений как решения интегральных уравнений:${\displaystyle P}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle a<x<b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}&=-{\frac {2z}{\pi }}\int _{a}^{b}{\frac {p\left(x'\right)\left(x-x'\right)^{2}\,dx'}{\left[\left(x-x'\right)^{2}+z^{2}\right]^{2}}}~;~~\sigma _{zz}=-{\frac {2z^{3}}{\pi }}\int _{a}^{b}{\frac {p\left(x'\right)\,dx'}{\left[\left(x-x'\right)^{2}+z^{2}\right]^{2}}}\\[3pt]\sigma _{xz}&=-{\frac {2z^{2}}{\pi }}\int _{a}^{b}{\frac {p\left(x'\right)\left(x-x'\right)\,dx'}{\left[\left(x-x'\right)^{2}+z^{2}\right]^{2}}}\end{aligned}}}$

Сдвиговая нагрузка по региону ${\displaystyle (a,b)}$[ править ]

Тот же принцип применяется к нагрузке на поверхность в плоскости поверхности. Эти виды сцепления могут возникать в результате трения. Решение аналогично приведенному выше (как для единичных, так и для распределенных нагрузок ), но с небольшими изменениями:${\displaystyle Q}$${\displaystyle q(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}&=-{\frac {2}{\pi }}\int _{a}^{b}{\frac {q\left(x'\right)\left(x-x'\right)^{3}\,dx'}{\left[\left(x-x'\right)^{2}+z^{2}\right]^{2}}}~;~~\sigma _{zz}=-{\frac {2z^{2}}{\pi }}\int _{a}^{b}{\frac {q\left(x'\right)\left(x-x'\right)\,dx'}{\left[\left(x-x'\right)^{2}+z^{2}\right]^{2}}}\\[3pt]\sigma _{xz}&=-{\frac {2z}{\pi }}\int _{a}^{b}{\frac {q\left(x'\right)\left(x-x'\right)^{2}\,dx'}{\left[\left(x-x'\right)^{2}+z^{2}\right]^{2}}}\end{aligned}}}$

Эти результаты могут быть наложены на результаты, приведенные выше, для нормальной нагрузки, чтобы справиться с более сложными нагрузками.

Точечный контакт в (3D) полупространстве [ править ]

Аналогично решению Фламанта для двумерной полуплоскости, фундаментальные решения известны и для линейно-упругого трехмерного полупространства. Они были найдены Буссинеском для концентрированной нормальной нагрузки и Черрути для тангенциальной нагрузки. См. Соответствующий раздел в разделе « Линейная эластичность» .

Методы численного решения [ править ]

При использовании схем численного решения для решения контактных задач не нужно делать различия между соответствующими и несоответствующими контактами. Эти методы не полагаются на дальнейшие предположения в процессе решения, поскольку они основаны исключительно на общей формулировке основных уравнений. ^{[23] [24] [25] [26] [27]} Помимо стандартных уравнений, описывающих деформацию и движение тел, можно сформулировать два дополнительных неравенства. Первый просто ограничивает движение и деформацию тел, предполагая, что проникновение невозможно. Следовательно, зазор между двумя телами может быть только положительным или нулевым.${\displaystyle h}$

${\displaystyle h\geq 0}$

где обозначает контакт. Второе допущение в механике контакта связано с тем, что в зоне контакта не должно возникать силы натяжения (контактирующие тела можно поднимать без сил сцепления). Это приводит к неравенству, которому должны подчиняться напряжения на поверхности контакта. Он разработан для нормального стресса .${\displaystyle h=0}$${\displaystyle \sigma _{n}=\mathbf {t} \cdot \mathbf {n} }$

В местах соприкосновения поверхностей зазор равен нулю, т.е. нормальное напряжение действительно отличное от нуля . В местах, где поверхности не соприкасаются, нормальное напряжение равно нулю; , при этом разрыв положительный; то есть . Этот тип формулировки дополнительности может быть выражен в так называемой форме Куна – Таккера , а именно.${\displaystyle h=0}$${\displaystyle \sigma _{n}<0}$${\displaystyle \sigma _{n}=0}$${\displaystyle h>0}$

${\displaystyle h\geq 0\,,\quad \sigma _{n}\leq 0\,,\quad \sigma _{n}\,h=0\,.}$

Эти условия действительны в целом. Математическая формулировка зазора зависит от кинематики лежащей в основе теории твердого тела (например, линейного или нелинейного твердого тела в двух или трех измерениях, модели балки или оболочки ). Пересчитывая нормальное напряжение с точки зрения контактного давления ,; т.е. проблема Куна-Таккера может быть переформулирована в стандартной форме дополнительности, т.е.${\displaystyle \sigma _{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=-\sigma _{n}}$

В линейно-упругом случае зазор можно сформулировать как где - расстояние между твердыми телами, - геометрия / топография контакта (цилиндр и шероховатость) и - упругая деформация / прогиб. Если контактирующие тела аппроксимированы как линейные упругие полупространства, решение интегрального уравнения Буссинеска-Черрути может быть применено для выражения деформации ( ) как функции контактного давления ( ); т.е.${\displaystyle h_{0}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$${\displaystyle p}$ куда для линейной загрузки эластичного полупространства и для точечного нагружения упругого полупространства. ^[1]

После дискретизации задача линейной упругой контактной механики может быть сформулирована в стандартной форме задачи линейной дополнительности (LCP). ^[28]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {h} &=\mathbf {h} _{0}+\mathbf {g} +\mathbf {Cp} ,\\\mathbf {h} \cdot \mathbf {p} &=0,\,\,\,\mathbf {p} \geq 0,\,\,\,\mathbf {h} \geq 0,\\\end{aligned}}}$

где - матрица, элементами которой являются так называемые коэффициенты влияния, связывающие контактное давление и деформацию. Строгая LCP-формулировка задачи CM, представленная выше, позволяет напрямую применять хорошо зарекомендовавшие себя методы численного решения, такие как алгоритм поворота Лемке . Преимущество алгоритма Лемке в том, что он находит численно точное решение за конечное число итераций. Реализация MATLAB, представленная Almqvist et al. это один из примеров, который можно использовать для численного решения проблемы. Кроме того, пример кода для LCP-решения задачи механики двухмерного линейного упругого контакта также был обнародован при обмене файлами MATLAB Алмквистом и др.${\displaystyle \mathbf {C} }$

Контакт между шероховатыми поверхностями [ править ]

Когда два тела с шероховатыми поверхностями прижимаются друг к другу, истинная площадь контакта, образованная между двумя телами, намного меньше кажущейся или номинальной площади контакта . Механика контакта с шероховатыми поверхностями обсуждается с точки зрения механики нормального контакта и статических фрикционных взаимодействий. ^[29] Природные и инженерные поверхности обычно демонстрируют особенности шероховатости, известные как неровности, в широком диапазоне масштабов длины вплоть до молекулярного уровня, причем поверхностные структуры демонстрируют само сродство, также известное как поверхностная фрактальность . Признано, что самоаффинная структура поверхностей является источником линейного масштабирования истинной площади контакта с приложенным давлением. ^[30]${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{0}}$Допуская модель срезания сварных контактов в трибологических взаимодействиях, эту повсеместно наблюдаемую линейность между площадью контакта и давлением также можно рассматривать как источник линейности зависимости между статическим трением и приложенной нормальной силой. ^[29]

В контакте между «случайной шероховатой» поверхностью и упругим полупространством истинная площадь контакта связана с нормальной силой соотношением ^{[1] [30] [31] [32]}${\displaystyle F}$

${\displaystyle A={\frac {\kappa }{E^{*}h'}}F}$

с равным среднему квадрату (также известному как среднее квадратичное) уклона поверхности и . Среднее давление на истинной контактной поверхности${\displaystyle h'}$${\displaystyle \kappa \approx 2}$

${\displaystyle p_{\mathrm {av} }={\frac {F}{A}}\approx {\frac {1}{2}}E^{*}h'}$

можно разумно оценить как половину эффективного модуля упругости, умноженного на среднеквадратичный уклон поверхности .${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle h'}$

Обзор модели GW [ править ]

Гринвуд и Уильямсон в 1966 г. (GW) ^[30] предложили теорию механики упругого контакта шероховатых поверхностей, которая сегодня является основой многих теорий в трибологии (трение, адгезия, тепловая и электрическая проводимость, износ и т. Д.). Они рассмотрели контакт между гладкой жесткой плоскостью и номинально плоской деформируемой шероховатой поверхностью, покрытой круглыми выступами на вершине того же радиуса R. Их теория предполагает, что деформация каждой выступающей части не зависит от деформации ее соседей и описывается моделью Герца. . Высота выступов распределена случайным образом. Вероятность того, что высота выступов находится между и составляет . Авторы рассчитали количество пятен контакта n, общую площадь контакта${\displaystyle z}$${\displaystyle z+dz}$${\displaystyle \phi (z)dz}$${\displaystyle A_{r}}$и полная нагрузка P в общем случае. Они представили эти формулы в двух формах: в базовой и с использованием стандартизованных переменных. Если предположить, что N неровностей покрывают шероховатую поверхность, то ожидаемое количество контактов равно

${\displaystyle n=N\int _{d}^{\infty }\phi (z)dz}$

Ожидаемую общую площадь контакта можно рассчитать по формуле

${\displaystyle A_{a}=N\pi R\int _{d}^{\infty }(z-d)\phi (z)dz}$

а ожидаемая общая сила определяется выражением

${\displaystyle P={\frac {4}{3}}NE_{r}{\sqrt {R}}\int _{d}^{\infty }(z-d)^{\frac {3}{2}}\phi (z)dz}$

куда:

R - радиус кривизны микровыступа,

z - высота микровыступа от линии профиля,

d, закройте поверхность,

${\displaystyle E_{r}=\left({\frac {1-\nu _{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-\nu _{2}^{2}}{E_{2}}}\right)^{-1}}$, композитный модуль упругости Юнга,

${\displaystyle E_{i}}$, модуль упругости поверхности,

${\displaystyle \nu _{i}}$, Поверхностные коэффициенты Пуассона.

Они ввели стандартизированное разделение и стандартизированное распределение по высоте , стандартное отклонение которого равно единице. Ниже представлены формулы в стандартизованном виде.${\displaystyle h=d/\sigma }$${\displaystyle \phi ^{*}(s)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{n}(h)&=\int _{h}^{\infty }(s-h)^{n}\phi ^{*}(s)ds\\n&=\eta A_{n}F_{0}(h)\\A_{a}&=\pi \eta AR\sigma F_{1}(h)\\P&={\frac {4}{3}}\eta AE_{r}{\sqrt {R}}\sigma ^{\frac {3}{2}}F_{\frac {3}{2}}(h)\end{aligned}}}$

куда:

d - расстояние,

${\displaystyle A}$ - номинальная площадь контакта,

${\displaystyle \eta }$ - поверхностная плотность неровностей,

${\displaystyle E^{*}}$ - эффективный модуль Юнга.

Недавно точные аппроксимации и были опубликованы Jedynak. ^[33] Они задаются следующими рациональными формулами, которые являются очень точными приближениями к интегралам . Они рассчитаны для гауссова распределения неровностей${\displaystyle A_{r}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle F_{n}(h)}$

${\displaystyle F_{n}(h)={\frac {a_{0}+a_{1}h+a_{2}h^{2}+a_{3}h^{3}}{1+b_{1}h+b_{2}h^{2}+b_{3}h^{3}+b_{4}h^{4}+b_{5}h^{5}+b_{6}h^{6}}}\exp \left(-{\frac {h^{2}}{2}}\right)}$

Поскольку коэффициенты равны${\displaystyle F_{1}(h)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}[][a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}]&=[0.398942280401,0.159773702775,0.0389687688311,0.00364356495452]\\[][b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6}]&=\left[1.653807476138,1.170419428529,0.448892964428,0.0951971709160,0.00931642803836,-6.383774657279\times 10^{-6}\right]\end{aligned}}}$

Максимальная относительная погрешность составляет .${\displaystyle 9.93\times 10^{-8}\%}$

Поскольку коэффициенты равны${\displaystyle F_{\frac {3}{2}}(h)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}[][a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}]&=[0.430019993662,0.101979509447,0.0229040629580,0.000688602924]\\[][b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6}]&=[1.671117125984,1.199586555505,0.46936532151,0.102632881122,0.010686348714,0.0000517200271]\end{aligned}}}$

Максимальная относительная погрешность составляет . В статье ^[33] также содержатся точные выражения для${\displaystyle 1.91\times 10^{-7}\%}$${\displaystyle F_{n}(h)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(h)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}h^{2}\right)-{\frac {1}{2}}h\,\operatorname {erfc} \left({\frac {h}{\sqrt {2}}}\right)\\F_{\frac {3}{2}}(h)&={\frac {1}{4{\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {h^{2}}{4}}\right){\sqrt {h}}\left(\left(h^{2}+1\right)K_{\frac {1}{4}}\left({\frac {h^{2}}{4}}\right)-h^{2}K_{\frac {3}{4}}\left({\frac {h^{2}}{4}}\right)\right)\end{aligned}}}$

где erfc (z) означает дополнительную функцию ошибок и является модифицированной функцией Бесселя второго рода.${\displaystyle K_{\nu }(z)}$

Для ситуации, когда неровности на двух поверхностях имеют гауссово распределение по высоте, а пики можно считать сферическими ^[30], среднего контактного давления достаточно, чтобы вызвать текучесть, когда где - одноосный предел текучести, а - твердость при вдавливании. ^[1] Гринвуд и Уильямсон ^[30] определили безразмерный параметр, называемый индексом пластичности, который можно использовать для определения того, будет ли контакт упругим или пластичным.${\displaystyle p_{\text{av}}=1.1\sigma _{y}\approx 0.39\sigma _{0}}$${\displaystyle \sigma _{y}}$${\displaystyle \sigma _{0}}$${\displaystyle \Psi }$

Модель Гринвуда-Вильямсона требует знания двух статистически зависимых величин; стандартное отклонение шероховатости поверхности и кривизны выступов неровностей. Альтернативное определение индекса пластичности было дано Микичем. ^[31] Податливость возникает, когда давление превышает одноосный предел текучести. Поскольку предел текучести пропорционален твердости при вдавливании , Микич определил индекс пластичности для упруго-пластического контакта как${\displaystyle \sigma _{0}}$

${\displaystyle \Psi ={\frac {E^{*}h'}{\sigma _{0}}}>{\frac {2}{3}}~.}$

В этом определении представлена ​​микрошероховатость в состоянии полной пластичности, и требуется только одна статистическая величина, среднеквадратичный наклон, которую можно рассчитать на основе измерений поверхности. При контакте поверхность ведет себя упруго.${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \Psi <{\frac {2}{3}}}$

В обеих моделях Гринвуда-Вильямсона и Микича предполагается, что нагрузка пропорциональна деформированной площади. Следовательно, поведение системы пластично или упруго не зависит от приложенной нормальной силы. ^[1]

Обзор модели GT [ править ]

Модель, предложенная Гринвудом и Триппом (GT), ^[34], расширила модель GW на контакт между двумя шероховатыми поверхностями. Модель GT широко используется в области эластогидродинамического анализа.

Наиболее часто цитируемые уравнения, приводимые в модели GT, относятся к площади контакта неровностей.

${\displaystyle A_{a}=\pi ^{2}(\eta \beta \sigma )^{2}AF_{2}(\lambda ),}$

и нагрузка на неровностях

${\displaystyle P={\frac {8{\sqrt {2}}}{15}}\pi (\eta \beta \sigma )^{2}{\sqrt {\frac {\sigma }{\beta }}}E'AF_{\frac {5}{2}}(\lambda ),}$

куда:

${\displaystyle \eta \beta \sigma }$, параметр шероховатости,

${\displaystyle A}$, номинальная площадь контакта,

${\displaystyle \lambda }$, Параметр масляной пленки Стрибека, впервые определенный Стрибеком \ cite {gt} как ,${\displaystyle \lambda =h/\sigma }$

${\displaystyle E'}$, эффективный модуль упругости,

${\displaystyle F_{2},F_{\frac {5}{2}}(\lambda )}$, введены статистические функции для согласования с предполагаемым гауссовым распределением неровностей.

Точные решения для и в первую очередь представлены Jedynak. ^[33] Они выражаются следующим образом${\displaystyle A_{a}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle F_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{2}&={\frac {1}{2}}\left(h^{2}+1\right)\operatorname {erfc} \left({\frac {h}{\sqrt {2}}}\right)-{\frac {h}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {h^{2}}{2}}\right)\\F_{\frac {5}{2}}&={\frac {1}{8{\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {h^{2}}{4}}\right)h^{\frac {3}{2}}\left(\left(2h^{2}+3\right)K_{\frac {3}{4}}\left({\frac {h^{2}}{4}}\right)-\left(2h^{2}+5\right)K_{\frac {1}{4}}\left({\frac {h^{2}}{4}}\right)\right)\end{aligned}}}$

где erfc (z) означает дополнительную функцию ошибок и является модифицированной функцией Бесселя второго рода.${\displaystyle K_{\nu }(z)}$

В статье ^[33] можно найти исчерпывающий обзор существующих приближений к . Новые предложения дают наиболее точные приближения к значениям и , которые описаны в литературе. Они задаются следующими рациональными формулами, которые очень точно приближаются к интегралам . Они рассчитаны для гауссова распределения неровностей${\displaystyle F_{\frac {5}{2}}}$${\displaystyle F_{\frac {5}{2}}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle F_{n}(h)}$

${\displaystyle F_{n}(h)={\frac {a_{0}+a_{1}h+a_{2}h^{2}+a_{3}h^{3}}{1+b_{1}h+b_{2}h^{2}+b_{3}h^{3}+b_{4}h^{4}+b_{5}h^{5}+b_{6}h^{6}}}\exp \left(-{\frac {h^{2}}{2}}\right)}$

Поскольку коэффициенты равны${\displaystyle F_{2}(h)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}[][a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}]&=[0.5,0.182536384941,0.039812283118,0.003684879001]\\[][b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6}]&=[1.960841785003,1.708677456715,0.856592986083,0.264996791567,0.049257843893,0.004640740133]\end{aligned}}}$

Максимальная относительная погрешность составляет .${\displaystyle 1.68\times 10^{-7}\%}$

Поскольку коэффициенты равны${\displaystyle F_{\frac {5}{2}}(h)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}[][a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}]&=[0.616634218997,0.108855827811,0.023453835635,0.000449332509]\\[][b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6}]&=[1.919948267476,1.635304362591,0.799392556572,0.240278859212,0.043178653945,0.003863334276]\end{aligned}}}$

Максимальная относительная погрешность составляет .${\displaystyle 4.98\times 10^{-8}\%}$

Адгезионный контакт между упругими телами [ править ]

Когда две твердые поверхности находятся в непосредственной близости, они испытывают притягивающие силы Ван-дер-Ваальса . Модель Ван-дер-Ваальса Брэдли ^[35] позволяет рассчитать силу растяжения между двумя жесткими сферами с идеально гладкими поверхностями. Модель контакта Герца не считает адгезию возможной. Однако в конце 1960-х годов при сравнении теории Герца с экспериментами с контактом резиновых и стеклянных сфер было обнаружено несколько противоречий.

Было замечено ^[5], что, хотя теория Герца применима при больших нагрузках, при малых нагрузках

• площадь контакта была больше, чем предсказывала теория Герца,
• площадь контакта имела ненулевое значение даже при снятии нагрузки, и
• даже если соприкасающиеся поверхности были чистыми и сухими, было даже сильное сцепление.

Это указывало на то, что действуют силы сцепления. Модель Джонсона-Кендалла-Робертса (JKR) и модели Дерягина-Мюллера-Топорова (DMT) были первыми, в которых адгезия была включена в контакт Герца.

Модель жесткого контакта Брэдли [ править ]

Обычно считается, что поверхностная сила между двумя атомными плоскостями на расстоянии друг от друга может быть получена из потенциала Леннарда-Джонса . С этим предположением${\displaystyle z}$

${\displaystyle F(z)={\cfrac {16\gamma }{3z_{0}}}\left[\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-9}-\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-3}\right]}$

где - сила (положительная при сжатии), - полная поверхностная энергия обеих поверхностей на единицу площади, - равновесное разделение двух атомных плоскостей.${\displaystyle F}$${\displaystyle 2\gamma }$${\displaystyle z_{0}}$

Модель Брэдли применила потенциал Леннарда-Джонса, чтобы найти силу сцепления между двумя жесткими сферами. Полная сила между сферами равна

${\displaystyle F_{a}(z)={\cfrac {16\gamma \pi R}{3}}\left[{\cfrac {1}{4}}\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-8}-\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-2}\right]~;~~{\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}$

где - радиусы двух сфер.${\displaystyle R_{1},R_{2}}$

Две сферы полностью разделяются, когда сила отрыва достигается в этот момент.${\displaystyle z=z_{0}}$

${\displaystyle F_{a}=F_{c}=-4\gamma \pi R.}$

Модель упругого контакта Джонсона-Кендалла-Робертса (JKR) [ править ]

Чтобы учесть эффект адгезии в контакте Герца, Джонсон, Кендалл и Робертс ^[5] сформулировали теорию адгезионного контакта JKR, используя баланс между накопленной упругой энергией и потерями поверхностной энергии . Модель JKR учитывает влияние контактного давления и адгезии только внутри области контакта. Общее решение для распределения давления в области контакта в модели JKR:

${\displaystyle p(r)=p_{0}\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}+p_{0}'\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

Обратите внимание, что в первоначальной теории Герца термин «содержание» не учитывался на том основании, что в зоне контакта нельзя было поддерживать напряжение. Для контакта двух сфер${\displaystyle p_{0}'}$

${\displaystyle p_{0}={\frac {2aE^{*}}{\pi R}};\quad p_{0}'=-\left({\frac {4\gamma E^{*}}{\pi a}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

где - радиус области контакта, - приложенная сила, - полная поверхностная энергия обеих поверхностей на единицу площади контакта, - радиусы, модули Юнга и коэффициенты Пуассона двух сфер, и${\displaystyle a\,}$${\displaystyle F}$${\displaystyle 2\gamma }$${\displaystyle R_{i},\,E_{i},\,\nu _{i},~~i=1,2}$

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}};\quad {\frac {1}{E^{*}}}={\frac {1-\nu _{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-\nu _{2}^{2}}{E_{2}}}}$

Расстояние приближения между двумя сферами определяется выражением

${\displaystyle d={\frac {\pi a}{2E^{*}}}\left(p_{0}+2p_{0}'\right)={\frac {a^{2}}{R}}}$

Уравнение Герца для площади контакта двух сфер, модифицированное с учетом поверхностной энергии, имеет вид

${\displaystyle a^{3}={\frac {3R}{4E^{*}}}\left(F+6\gamma \pi R+{\sqrt {12\gamma \pi RF+(6\gamma \pi R)^{2}}}\right)}$

Когда поверхностная энергия равна нулю , уравнение Герца для контакта между двумя сферами восстанавливается. Когда приложенная нагрузка равна нулю, радиус контакта равен${\displaystyle \gamma =0}$

${\displaystyle a^{3}={\frac {9R^{2}\gamma \pi }{E^{*}}}}$

Растягивающая нагрузка, при которой сферы разделяются (т. Е. ), По прогнозам, составит${\displaystyle a=0}$

${\displaystyle F_{\text{c}}=-3\gamma \pi R\,}$

Эта сила также называется силой отрыва . Обратите внимание, что эта сила не зависит от модулей двух сфер. Однако есть другое возможное решение для значения при этой нагрузке. Это критическая площадь контакта , определяемая как${\displaystyle a}$${\displaystyle a_{\text{c}}}$

${\displaystyle a_{\text{c}}^{3}={\frac {9R^{2}\gamma \pi }{4E^{*}}}}$

Если определить работу адгезии как

${\displaystyle \Delta \gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}-\gamma _{12}}$

где - энергии адгезии двух поверхностей и - член взаимодействия, мы можем записать радиус контакта JKR как${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$${\displaystyle \gamma _{12}}$

${\displaystyle a^{3}={\frac {3R}{4E^{*}}}\left(F+3\Delta \gamma \pi R+{\sqrt {6\Delta \gamma \pi RF+(3\Delta \gamma \pi R)^{2}}}\right)}$

Растягивающая нагрузка при отрыве составляет

${\displaystyle F=-{\frac {3}{2}}\Delta \gamma \pi R\,}$

а критический радиус контакта определяется выражением

${\displaystyle a_{\text{c}}^{3}={\frac {9R^{2}\Delta \gamma \pi }{8E^{*}}}}$

Критическая глубина проникновения составляет

${\displaystyle d_{\text{c}}={\frac {a_{c}^{2}}{R}}=\left(R^{\frac {1}{2}}{\frac {9\Delta \gamma \pi }{4E^{*}}}\right)^{\frac {2}{3}}}$

Модель упругого контакта Дерягина-Мюллера-Топорова (ДМТ) [ править ]

Модель Дерягина-Мюллера-Топорова (DMT) ^{[7] [36]} является альтернативной моделью для адгезионного контакта, которая предполагает, что профиль контакта остается таким же, как и в контакте Герца, но с дополнительными взаимодействиями притяжения за пределами области контакта.

Радиус контакта между двумя сферами по теории ДМТ равен

${\displaystyle a^{3}={\cfrac {3R}{4E^{*}}}\left(F+4\gamma \pi R\right)}$

и сила отрыва

${\displaystyle F_{c}=-4\gamma \pi R\,}$

Когда достигается сила отрыва, площадь контакта становится равной нулю, и нет сингулярности в контактных напряжениях на краю площади контакта.

По работе адгезии ${\displaystyle \Delta \gamma }$

${\displaystyle a^{3}={\cfrac {3R}{4E^{*}}}\left(F+2\Delta \gamma \pi R\right)}$

и

${\displaystyle F_{c}=-2\Delta \gamma \pi R\,}$

Табор параметр [ править ]

В 1977 году Табор ^[37] показал, что очевидное противоречие между теориями JKR и DMT может быть разрешено, если отметить, что эти две теории были крайними пределами единой теории, параметризованной параметром Табора ( ), определяемым как${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu :={\frac {d_{c}}{z_{0}}}\approx \left[{\frac {R(\Delta \gamma )^{2}}{{E^{*}}^{2}z_{0}^{3}}}\right]^{\frac {1}{3}}}$

где - равновесное расстояние между двумя контактирующими поверхностями. Теория JKR применима к большим, податливым сферам, для которых велико. Теория DMT применима для маленьких жестких сфер с небольшими значениями .${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$

Впоследствии Дерягин и его сотрудники ^[38] , применив закон поверхностной силы Брэдли к упругому полупространству, подтвердили, что по мере увеличения параметра Табора сила отрыва падает от значения Брэдли до значения JKR . Позже Гринвуд ^[39] провел более подробные расчеты, в результате которых была обнаружена S-образная кривая нагрузки / подхода, которая объясняет эффект подпрыгивания. Более эффективный метод выполнения расчетов и дополнительные результаты были даны Фэном ^[40]${\displaystyle 2\pi R\Delta \gamma }$${\displaystyle (3/2)\pi R\Delta \gamma }$

Модель упругого контакта Моугиса-Дагдейла [ править ]

Дальнейшее усовершенствование идеи Табора было внесено Моугисом ^[9], который представил поверхностную силу в терминах аппроксимации зоны когезии Дагдейла , так что работа адгезии определяется выражением

${\displaystyle \Delta \gamma =\sigma _{0}~h_{0}}$

где - максимальная сила, предсказываемая потенциалом Леннарда-Джонса, и - максимальное разделение, полученное путем сопоставления областей под кривыми Дагдейла и Леннарда-Джонса (см. рисунок рядом). Это означает, что сила притяжения постоянна для . Дальнейшего проникновения при сжатии нет. Идеальный контакт происходит в области радиуса, а силы сцепления величиной распространяются на область радиуса . В этой области две поверхности разделены расстоянием с помощью и . Отношение определяется как${\displaystyle \sigma _{0}}$${\displaystyle h_{0}}$${\displaystyle z_{0}\leq z\leq z_{0}+h_{0}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \sigma _{0}}$${\displaystyle c>a}$${\displaystyle a<r<c}$${\displaystyle h(r)}$${\displaystyle h(a)=0}$${\displaystyle h(c)=h_{0}}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle m:={\frac {c}{a}}}$.

В теории Моугиса-Дагдейла ^[41] распределение силы тяги на поверхности делится на две части: одна из-за контактного давления Герца, а другая из-за адгезионного напряжения Дагдейла. Предполагается, что в регионе присутствует герцовый контакт . Вклад в поверхностную тягу от давления Герца определяется выражением${\displaystyle -a<r<a}$

${\displaystyle p^{H}(r)=\left({\frac {3F^{H}}{2\pi a^{2}}}\right)\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

где контактная сила Герца определяется выражением${\displaystyle F^{H}}$

${\displaystyle F^{H}={\frac {4E^{*}a^{3}}{3R}}}$

Проникновение за счет упругого сжатия составляет

${\displaystyle d^{H}={\frac {a^{2}}{R}}}$

Вертикальное смещение при составляет${\displaystyle r=c}$

${\displaystyle u^{H}(c)={\cfrac {1}{\pi R}}\left[a^{2}\left(2-m^{2}\right)\sin ^{-1}\left({\frac {1}{m}}\right)+a^{2}{\sqrt {m^{2}-1}}\right]}$

и разделение между двумя поверхностями на IS${\displaystyle r=c}$

${\displaystyle h^{H}(c)={\frac {c^{2}}{2R}}-d^{H}+u^{H}(c)}$

Распределение сцепления с поверхностью за счет адгезионного напряжения Дагдейла составляет

${\displaystyle p^{D}(r)={\begin{cases}-{\frac {\sigma _{0}}{\pi }}\cos ^{-1}\left[{\frac {2-m^{2}-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}}{m^{2}\left(1-{\frac {r^{2}}{m^{2}a^{2}}}\right)}}\right]&\quad {\text{for}}\quad r\leq a\\-\sigma _{0}&\quad {\text{for}}\quad a\leq r\leq c\end{cases}}}$

Общая сила сцепления тогда определяется как

${\displaystyle F^{D}=-2\sigma _{0}m^{2}a^{2}\left[\cos ^{-1}\left({\frac {1}{m}}\right)+{\frac {1}{m^{2}}}{\sqrt {m^{2}-1}}\right]}$

Сжатие из-за адгезии Дагдейла составляет

${\displaystyle d^{D}=-\left({\frac {2\sigma _{0}a}{E^{*}}}\right){\sqrt {m^{2}-1}}}$

и разрыв в ИБ${\displaystyle r=c}$

${\displaystyle h^{D}(c)=\left({\frac {4\sigma _{0}a}{\pi E^{*}}}\right)\left[{\sqrt {m^{2}-1}}\cos ^{-1}\left({\frac {1}{m}}\right)+1-m\right]}$

Чистое сцепление с поверхностью контакта тогда равно, а чистая сила контакта равна . Когда тяга клея падает до нуля.${\displaystyle p(r)=p^{H}(r)+p^{D}(r)}$${\displaystyle F=F^{H}+F^{D}}$${\displaystyle h(c)=h^{H}(c)+h^{D}(c)=h_{0}}$

На этом этапе вводятся безразмерные значения , которые игнорируются как${\displaystyle a,c,F,d}$

${\displaystyle {\bar {a}}=\alpha a~;~~{\bar {c}}:=\alpha c~;~~{\bar {d}}:=\alpha ^{2}Rd~;~~\alpha :=\left({\frac {4E^{*}}{3\pi \Delta \gamma R^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}~;~~{\bar {A}}:=\pi c^{2}~;~~{\bar {F}}={\frac {F}{\pi \Delta \gamma R}}}$

Кроме того, Моугис предложил параметр, эквивалентный параметру Табора . Этот параметр определяется как${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \lambda :=\sigma _{0}\left({\frac {9R}{2\pi \Delta \gamma {E^{*}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.16\mu }$

где ступенчатое когезионное напряжение равно теоретическому напряжению потенциала Леннарда-Джонса${\displaystyle \sigma _{0}}$

${\displaystyle \sigma _{\text{th}}={\frac {16\Delta \gamma }{9{\sqrt {3}}z_{0}}}}$

Чжэн и Ю ^[42] предложили другое значение когезионного напряжения ступеньки

${\displaystyle \sigma _{0}=\exp \left(-{\frac {223}{420}}\right)\cdot {\frac {\Delta \gamma }{z_{0}}}\approx 0.588{\frac {\Delta \gamma }{z_{0}}}}$

соответствовать потенциалу Леннарда-Джонса, что приводит к

${\displaystyle \lambda \approx 0.663\mu }$

Тогда чистая контактная сила может быть выражена как

${\displaystyle {\bar {F}}={\bar {a}}^{3}-\lambda {\bar {a}}^{2}\left[{\sqrt {m^{2}-1}}+m^{2}\sec ^{-1}m\right]}$

а упругое сжатие - как

${\displaystyle {\bar {d}}={\bar {a}}^{2}-{\frac {4}{3}}~\lambda {\bar {a}}{\sqrt {m^{2}-1}}}$

Уравнение когезионного зазора между двумя телами принимает вид

${\displaystyle {\frac {\lambda {\bar {a}}^{2}}{2}}\left[\left(m^{2}-2\right)\sec ^{-1}m+{\sqrt {m^{2}-1}}\right]+{\frac {4\lambda {\bar {a}}}{3}}\left[{\sqrt {m^{2}-1}}\sec ^{-1}m-m+1\right]=1}$

Это уравнение может быть решено для получения значений для различных значений и . Для больших значений , и модели JKR получается. Для малых значений модель DMT восстанавливается.${\displaystyle c}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle m\rightarrow 1}$${\displaystyle \lambda }$

Модель Карпика-Оглетри-Салмерона (COS) [ править ]

Модель Моугиса-Дагдейла может быть решена итеративно, только если значение неизвестно априори. Приближенное решение Карпика-Оглетри-Салмерона ^[43] упрощает процесс за счет использования следующего соотношения для определения радиуса контакта :${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=a_{0}(\beta )\left({\frac {\beta +{\sqrt {1-F/F_{c}(\beta )}}}{1+\beta }}\right)^{\frac {2}{3}}}$

где - площадь контакта при нулевой нагрузке, а - параметр перехода, связанный с соотношением${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda \approx -0.924\ln(1-1.02\beta )}$

Случай в точности соответствует теории JKR, тогда как соответствует теории DMT. Для промежуточных случаев модель COS близко соответствует решению Моугиса-Дагдейла для .${\displaystyle \beta =1}$${\displaystyle \beta =0}$${\displaystyle 0<\beta <1}$${\displaystyle 0.1<\lambda <5}$

Влияние формы контакта [ править ]

Даже при наличии идеально гладких поверхностей геометрия может иметь значение в виде макроскопической формы области контакта. Когда жесткий пуансон с плоской, но странной формы гранью осторожно снимается с его мягкого аналога, его отделение происходит не мгновенно, а фронты отрыва начинаются с острых углов и перемещаются внутрь, пока не будет достигнута окончательная конфигурация, которая для макроскопически изотропных форм является почти круглой. Основным параметром, определяющим адгезию плоских контактов, является максимальный линейный размер контакта. ^[44] Экспериментально наблюдаемый процесс отсоединения можно увидеть в фильме. ^[45]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• [2] : Более подробную информацию о контактных напряжениях и эволюции уравнений напряжения подшипников можно найти в этой публикации Эрвина Зарецки, руководителя отдела NASA по подшипникам, зубчатым колесам и трансмиссии Исследовательского центра Гленна НАСА.
• [3] : программа MATLAB для решения линейной задачи механики упругого контакта, озаглавленной; «LCP-решение задачи механики линейного упругого контакта» предоставляется при обмене файлами в MATLAB Central.
• [4] : Калькулятор контактной механики.
• [5] : подробные расчеты и формулы теории JKR для двух сфер.
• [5] : код Matlab для анализа контактов Герца (включает линейные, точечные и эллиптические случаи).
• [6] : модели адгезии JKR, MD и DMT (процедуры Matlab).