Уравнение неразрывности

Гидравлическая механика

Жидкости
Статика · Динамика Принцип Архимеда · Принцип Бернулли Уравнения Навье – Стокса Уравнение Пуазейля · Закон Паскаля Вязкость ( Ньютоновский · неньютоновский ) Плавучесть · Смешивание · Давление
Жидкости
Поверхностное натяжение Капиллярное действие
Газы
Атмосфера Закон Бойля Закон Чарльза Закон Гей-Люссака Закон о комбинированном газе
Плазма

Реология

Умные жидкости
Вязкоупругость Реометрия Реометр
Электрореологический Магнитореологический Феррожидкости

Уравнение непрерывности в физике является уравнение , которое описывает перенос некоторой величины. Он особенно прост и эффективен, когда применяется к сохраненному количеству , но его можно обобщить для применения к любому обширному количеству . Поскольку масса , энергия , импульс , электрический заряд и другие естественные величины сохраняются в соответствующих соответствующих условиях, различные физические явления могут быть описаны с помощью уравнений неразрывности.

Уравнения неразрывности - более сильная локальная форма законов сохранения . Например, слабая версия закона сохранения энергии гласит, что энергия не может быть ни создана, ни уничтожена, т. Е. Общее количество энергии во Вселенной фиксировано. Это утверждение не исключает возможности того, что некоторое количество энергии могло исчезнуть из одной точки, одновременно появившись в другой точке. Более сильное утверждение состоит в том, что энергия сохраняется локально : энергия не может быть ни создана, ни уничтожена, а также не может " телепортироваться".«из одного места в другое - он может перемещаться только непрерывным потоком. Уравнение неразрывности - это математический способ выразить этот вид утверждения. Например, уравнение неразрывности для электрического заряда утверждает, что количество электрического заряда в любом объеме пространство может изменяться только количеством электрического тока, протекающего в этот объем или из него через его границы.

В более общем смысле уравнения непрерывности могут включать в себя термины «источник» и «сток», которые позволяют им описывать величины, которые часто, но не всегда, сохраняются, например, плотность молекулярных частиц, которые могут быть созданы или разрушены химическими реакциями. В повседневном примере есть уравнение непрерывности для количества живых людей; у него есть «исходный термин» для объяснения рождения людей и «поглотительный термин» для объяснения смерти людей.

Любое уравнение неразрывности может быть выражено в «интегральной форме» (в терминах интеграла потока ), которая применяется к любой конечной области, или в «дифференциальной форме» (в терминах оператора дивергенции ), которая применяется в точке.

Непрерывность уравнения лежат в основе более конкретных уравнений переноса , такие как уравнения конвекции-диффузии , уравнение переноса Больцмана и уравнений Навье-Стокса .

Потоки, управляемые уравнениями неразрывности, можно визуализировать с помощью диаграммы Сэнки .

Общее уравнение [ править ]

Определение потока [ править ]

Уравнение неразрывности полезно, когда можно определить поток . Чтобы определить поток, сначала должна быть величина $q,$ которая может течь или двигаться, такая как масса , энергия , электрический заряд , импульс , количество молекул и т. Д. Пусть $ρ$ будет объемной плотностью этой величины, то есть количеством $q$ на единицу объема.

То, как течет эта величина $q$ , описывается ее потоком . Поток $q$ - векторное поле , которое мы обозначим как j . Вот несколько примеров и свойств флюса:

Размерность потока - это «количество $q,$ протекающего в единицу времени через единицу площади». Например, в уравнении неразрывности массы для текущей воды, если 1 грамм воды в секунду протекает через трубу с площадью поперечного сечения 1 см ² , то средний поток массы $j$ внутри трубы составляет (1 грамм / секунду) / см ² , а его направление - вдоль трубы в том направлении, в котором течет вода. Вне трубы, где нет воды, поток равен нулю.
Если существует поле скоростей $u,$ которое описывает соответствующий поток, другими словами, если вся величина $q$ в точке $x$ движется со скоростью $u (x),$ то поток по определению равен плотности, умноженной на поле скорости :

{\ Displaystyle \ mathbf {j} = \ rho \ mathbf {u}}

Например, если в уравнении неразрывности массы для текущей воды

u

- это скорость воды в каждой точке, а

ρ

- плотность воды в каждой точке, тогда

j

будет потоком массы.

В хорошо известном примере поток электрического заряда - это плотность электрического тока .

Иллюстрация того , как поток

J

из величины

д

проходит через открытую поверхность

S

. (

d S

- дифференциальная векторная площадь ).

Если существует воображаемая поверхность $S$ , то поверхностный интеграл потока по $S$ равен количеству $q$ , которое проходит через поверхность $S$ в единицу времени:

${\ displaystyle ({\ text {Оцените, что}} q {\ text {течет через воображаемую поверхность}} S) = \ iint _ {S} \ mathbf {j} \ cdot d \ mathbf {S}}$

в котором

\iint S d S

- поверхностный интеграл .

(Обратите внимание, что понятие, которое здесь называется «поток», в некоторой литературе также называется «плотностью потока», в этом контексте «поток» обозначает поверхностный интеграл плотности потока. Подробности см. В основной статье о потоке ).

Интегральная форма [ править ]

Интегральная форма уравнения неразрывности утверждает, что:

Количество $q$ в области увеличивается, когда дополнительное $q$ течет внутрь через поверхность области, и уменьшается, когда оно течет наружу;
Количество $q$ в области увеличивается, когда новое $q$ создается внутри области, и уменьшается, когда $q$ уничтожается;
Помимо этих двух процессов, нет другого способа изменить количество $q$ в регионе.

Математически интегральная форма уравнения неразрывности, выражающая скорость увеличения $q$ в объеме $V,$ имеет следующий вид:

${\ displaystyle {\ frac {dq} {dt}} +}$ $\ oiint$ ${\ displaystyle \ scriptstyle S}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {j} \ cdot d \ mathbf {S} = \ Sigma}$

куда

В интегральной форме уравнения неразрывности

S

- это любая замкнутая поверхность , полностью охватывающая объем

V

, как и любая из поверхностей слева.

S

не может быть поверхностью с границами, как те, что справа. (Поверхности синие, границы красные.)

$S$ - любая мнимая замкнутая поверхность , охватывающая объем $V$ ,
$\ oiint$ $S$ $d S$ обозначаетповерхностный интегралпо этой замкнутой поверхности,
$q$ - общее количество количества в объеме $V$ ,
$j$ - поток $q$ ,
$т$ время,
$Σ$ - чистая скорость, с которой $q$ генерируется внутри объема $V$ в единицу времени. Когда $д$ генерируется, это называется источник из $ц$ , и это делает $Σ$ более позитивным. Когда $д$ разрушается, она называется слив из $ц$ , и это делает $Е$ более отрицательным. Этот термин иногда записывается какполное изменение q в результате его образования или разрушения внутри контрольного объема. ${\ displaystyle dq / dt | _ {\ rm {gen}}}$

В простом примере $V$ может быть зданием, а $q$ - количеством людей в здании. Поверхность $S$ будет состоять из стен, дверей, крыши и фундамента здания. Тогда уравнение непрерывности утверждает, что количество людей в здании увеличивается, когда люди входят в здание (поток внутрь через поверхность), уменьшается, когда люди выходят из здания (поток наружу через поверхность), увеличивается, когда кто-то в здании дает рождение (источник, $Σ > 0$ ) и уменьшается, когда кто-то в здании умирает (раковина, $Σ <0$ ).

Дифференциальная форма [ править ]

По теореме о расходимости общее уравнение неразрывности также можно записать в "дифференциальной форме":

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ набла \ cdot \ mathbf {j} = \ sigma \,}$

куда

$\nabla\cdot$ - расхождение ,
$ρ$ - количество $q$ в единице объема,
$j$ - поток $q$ ,
$т$ время,
$σ$ - образование $q$ на единицу объема в единицу времени. Термины, которые создают $q$ (т. $Е. Σ > 0$ ) или удаляют $q$ (т. $Е. Σ <0$ ), называются «источниками» и «стоками» соответственно.

Это общее уравнение может использоваться для вывода любого уравнения неразрывности, от простого уравнения неразрывности объема до сложного уравнения Навье – Стокса . Это уравнение также обобщает уравнение переноса . Другие уравнения в физике, такие как закон Гаусса электрического поля и закон Гаусса для тяжести , имеют сходную математическую форму для уравнения непрерывности, но, как правило , не называют термином «уравнением непрерывности», так как $J$ в тех случаях , не представляют собой поток реальной физической величины.

В случае, если $q$ является сохраняющейся величиной, которая не может быть создана или уничтожена (например, энергия ), $σ = 0,$ и уравнения становятся:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ набла \ cdot \ mathbf {j} = 0 \,}

Электромагнетизм [ править ]

В теории электромагнетизма уравнение неразрывности - это эмпирический закон, выражающий (локальное) сохранение заряда . Математически это автоматическое следствие уравнений Максвелла , хотя сохранение заряда более фундаментально, чем уравнения Максвелла. В нем говорится , что расхождение в плотности тока $J$ (в ампер на квадратный метр) равна скорости отрицательного изменения в плотности заряда $р$ (в кулонах на кубический метр),

{\ Displaystyle \ набла \ cdot \ mathbf {J} = - {\ partial \ rho \ over \ partial t}}

Согласованность с уравнениями Максвелла

Одно из уравнений Максвелла , закон Ампера (с поправкой Максвелла) , гласит, что

\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}.

Взяв расхождение обеих сторон (расхождение и частную производную по времени коммутации), получаем

\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {H} )=\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial (\nabla \cdot \mathbf {D} )}{\partial t}},

но расходимость завитка равна нулю, так что

\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial (\nabla \cdot \mathbf {D} )}{\partial t}}=0.

Но закон Гаусса (другое уравнение Максвелла) гласит, что

\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho ,\,

которое можно подставить в предыдущее уравнение, чтобы получить уравнение неразрывности

\nabla \cdot \mathbf {J} +{\partial \rho \over \partial t}=0.\,

Ток - это движение заряда. Уравнение неразрывности говорит, что если заряд движется из дифференциального объема (т.е. дивергенция плотности тока положительна), то количество заряда в этом объеме будет уменьшаться, поэтому скорость изменения плотности заряда будет отрицательной. Следовательно, уравнение неразрывности сводится к сохранению заряда.

Если бы магнитные монополи существовали, было бы уравнение неразрывности для монопольных токов, см. Статью о монополях, чтобы узнать об истории вопроса и двойственности между электрическим и магнитным токами.

Гидродинамика [ править ]

В гидродинамике уравнение неразрывности утверждает, что скорость, с которой масса входит в систему, равна скорости, с которой масса покидает систему, плюс накопление массы в системе. ^[1]^[2] Дифференциальная форма уравнения неразрывности: ^[1]

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0

куда

$ρ$ - плотность жидкости,
$т$ время,
$u$ - векторное поле скорости потока .

Производную по времени можно понимать как накопление (или потерю) массы в системе, в то время как член дивергенции представляет собой разницу между входящим потоком и выходящим потоком. В этом контексте это уравнение также является одним из уравнений Эйлера (гидродинамика) . Уравнения Навье – Стокса образуют векторное уравнение неразрывности, описывающее сохранение количества движения .

Если жидкость несжимаема (объемная скорость деформации равна нулю), уравнение неразрывности массы упрощается до уравнения неразрывности объема: ^[3]

\nabla \cdot \mathbf {u} =0,

что означает, что дивергенция поля скорости всюду равна нулю. Физически это равносильно утверждению, что скорость расширения локального объема равна нулю, следовательно, поток воды через сходящуюся трубу будет регулироваться исключительно за счет увеличения его скорости, поскольку вода в значительной степени несжимаема.

Энергия и тепло [ править ]

Сохранение энергии говорит о том, что энергия не может быть создана или уничтожена. (См. Ниже нюансы, связанные с общей теорией относительности.) Следовательно, существует уравнение неразрывности для потока энергии:

{\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {q} =0

куда

$u$ , локальная плотность энергии (энергия на единицу объема),
$q$ , поток энергии (передача энергии на единицу площади поперечного сечения в единицу времени) как вектор,

Важный практический пример - поток тепла . Когда тепло течет внутри твердого тела, уравнение неразрывности можно объединить с законом Фурье (тепловой поток пропорционален градиенту температуры), чтобы получить уравнение теплопроводности . Уравнение теплового потока также может иметь исходные термины: хотя энергия не может быть создана или разрушена, тепло может быть создано из других типов энергии, например, посредством трения или джоулева нагрева .

Распределения вероятностей [ править ]

Если существует величина, которая непрерывно движется в соответствии со случайным (случайным) процессом, например, местоположение отдельной растворенной молекулы с броуновским движением , тогда существует уравнение непрерывности для ее распределения вероятностей . Поток в этом случае - это вероятность на единицу площади в единицу времени, что частица проходит через поверхность. Согласно уравнению неразрывности, отрицательная дивергенция этого потока равна скорости изменения плотности вероятности . Уравнение неразрывности отражает тот факт, что молекула всегда где-то - интеграл ее распределения вероятностей всегда равен 1 - и что она движется непрерывным движением (без телепортации ).

Квантовая механика [ править ]

Квантовая механика - еще одна область, в которой существует уравнение неразрывности, связанное с сохранением вероятности . Для членов уравнения требуются следующие определения, и они немного менее очевидны, чем в других примерах выше, поэтому они кратко описаны здесь:

Волновая $Ψ$ для одной частицы в пространстве позиций (а не импульсном пространстве ), то есть, в зависимости от положения $г$ и времени $т$ , $Ф = Ф (г, т)$ .
Функция плотности вероятности :
$\rho (\mathbf {r} ,t)=\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)=|\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}.$
Вероятность нахождения частицы в пределах $V$ в $т$ обозначается и определяется
$P=P_{\mathbf {r} \in V}(t)=\int _{V}\Psi ^{*}\Psi dV=\int _{V}|\Psi |^{2}dV.$
Тока вероятности (ака вероятности потока) является
$\mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\hbar }{2mi}}\left[\Psi ^{*}\left(\nabla \Psi \right)-\Psi \left(\nabla \Psi ^{*}\right)\right].$

С этими определениями уравнение неразрывности гласит:

\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0~\rightleftharpoons ~\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}=0.

Любая форма может быть указана. Интуитивно указанные выше величины указывают на то, что они представляют собой поток вероятности. Шанс нахождения частицы в некотором положении $г$ и время $т$ потоков , как жидкость ; отсюда термин « ток вероятности» , векторное поле . Сама частица вовсе не течет детерминирована в этом векторном поле .

Согласованность с уравнением Шредингера

Трехмерное уравнение Шредингера, зависящее от времени, и его комплексно сопряженное ( везде

i \to - i

) соответственно: ^[4]

{\begin{aligned}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi &=i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}},\\-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi ^{*}&=-i\hbar {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}},\\\end{aligned}}

где $U$ - потенциальная функция . Частные производный от $р$ по отношению к $т$ является:

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left(\Psi ^{*}\Psi \right)=\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}.

Умножив уравнение Шредингера $Ф *$ , то решение для $Ф * \partial Ψ / \partial т$ , А так же умножение сложного конъюгированного уравнения Шредингера $Ф$ , то решая для $Ч \partial Ψ * / \partial т$ ;

{\begin{aligned}\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}&={\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ^{*}\Psi \right],\\\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi \Psi ^{*}\right],\\\end{aligned}}

подставив в производную по времени $ρ$ :

{\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}&={\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ^{*}\Psi \right]-{\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi \Psi ^{*}\right]\\&={\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ^{*}\Psi \right]+{\frac {1}{i\hbar }}\left[+{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}-U\Psi ^{*}\Psi \right]\\[2pt]&=-{\frac {1}{i\hbar }}{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +{\frac {1}{i\hbar }}{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}\\[2pt]&={\frac {\hbar }{2im}}\left[\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}-\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi \right]\\\end{aligned}}

В Лапласа операторы ( $\nabla 2$ ) в приведенном выше результате предположить , что правая рука дивергенция $J$ , и обратный порядок терминов , это означает , негатив $J$ , всего:

{\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {j} &=\nabla \cdot \left[{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\left(\nabla \Psi \right)-\Psi \left(\nabla \Psi ^{*}\right)\right)\right]\\&={\frac {\hbar }{2mi}}\left[\Psi ^{*}\left(\nabla ^{2}\Psi \right)-\Psi \left(\nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)\right]\\&=-{\frac {\hbar }{2mi}}\left[\Psi \left(\nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)-\Psi ^{*}\left(\nabla ^{2}\Psi \right)\right]\\\end{aligned}}

так что уравнение неразрывности:

{\begin{aligned}&{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} \\\Rightarrow {}&{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0\\\end{aligned}}

Интегральная форма аналогична общему уравнению.

Релятивистская версия [ править ]

Специальная теория относительности [ править ]

Обозначения и инструменты специальной теории относительности , особенно 4-векторы и 4-градиенты , предлагают удобный способ написать любое уравнение неразрывности.

Плотность величины $ρ$ и ее ток $j$ можно объединить в 4-вектор, называемый 4-током :

J=\left(c\rho ,j_{x},j_{y},j_{z}\right)

где $c$ - скорость света . 4- дивергенция этого тока:

\partial _{\mu }J^{\mu }=c{\frac {\partial \rho }{\partial ct}}+\nabla \cdot \mathbf {j}

где $\partial μ$ - это 4-градиент, а $μ$ - индекс, обозначающий размерность пространства-времени . Тогда уравнение неразрывности:

\partial _{\mu }J^{\mu }=0

в обычном случае, когда нет источников или стоков, то есть для совершенно сохраняемых величин, таких как энергия или заряд. Это уравнение неразрывности явно («очевидно») лоренц-инвариантно .

Примеры уравнений неразрывности, часто записываемых в такой форме, включают сохранение электрического заряда.

\partial _{\mu }J^{\mu }=0

где $J$ - электрический 4-ток ; и сохранение энергии-импульса

\partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0

где $T$ - тензор энергии-импульса .

Общая теория относительности [ править ]

В общей теории относительности , где пространство-время искривлено, уравнение неразрывности (в дифференциальной форме) для энергии, заряда или других сохраняющихся величин включает ковариантную дивергенцию вместо обычной дивергенции.

Например, тензор энергии- это второго порядка тензорное поле , содержащее плотности энергии-импульса, энергии-импульса потоков и напряжений сдвига, о распределении массы и энергии. Дифференциальная форма сохранения энергии-импульса в общей теории относительности утверждает, что ковариантная дивергенция тензора энергии-косяка равна нулю:

{T^{\mu }}_{\nu ;\mu }=0.

Это важное ограничение на форму, которую уравнения поля Эйнштейна принимают в общей теории относительности . ^[5]

Однако обычная дивергенция тензора энергии-импульса не обязательно обращается в нуль: ^[6]

\partial _{\mu }T^{\mu \nu }=-\Gamma _{\mu \lambda }^{\mu }T^{\lambda \nu }-\Gamma _{\mu \lambda }^{\nu }T^{\mu \lambda },

Правая часть строго исчезает только для плоской геометрии.

Как следствие, интегральную форму уравнения неразрывности трудно определить и не обязательно справедливо для области, в которой пространство-время значительно искривлено (например, вокруг черной дыры или во всей вселенной). ^[7]

Физика элементарных частиц [ править ]

Кварки и глюоны имеют цветной заряд , который всегда сохраняется, как электрический заряд, и существует уравнение неразрывности для таких токов цветного заряда (явные выражения для токов даны в тензоре напряженности поля глюонов ).

В физике элементарных частиц есть много других величин, которые часто или всегда сохраняются: барионное число (пропорциональное количеству кварков минус количество антикварков), электронное число, мю-число, тау-число , изоспин и другие. ^[8] Каждый из них имеет соответствующее уравнение неразрывности, возможно, включая члены источника / поглотителя.

Теорема Нётер [ править ]

Одной из причин того, что уравнения сохранения часто встречаются в физике, является теорема Нётер . Это означает, что всякий раз, когда законы физики имеют непрерывную симметрию , существует уравнение неразрывности для некоторой сохраняющейся физической величины. Три самых известных примера:

Законы физики инвариантны относительно перевода времени - например, законы физики сегодня такие же, как и вчера. Эта симметрия приводит к уравнению неразрывности для сохранения энергии .
Законы физики инвариантны по отношению к перемещению пространства - например, законы физики в Бразилии такие же, как законы физики в Аргентине. Эта симметрия приводит к уравнению неразрывности для сохранения импульса .
Законы физики инвариантны относительно ориентации - например, плавая в космическом пространстве, вы не можете измерить, "какой путь вверх"; законы физики одинаковы независимо от того, как вы ориентируетесь. Эта симметрия приводит к уравнению неразрывности для сохранения углового момента .

См . Доказательства и подробности в теореме Нётер .

См. Также [ править ]

Закон сохранения
Форма сохранения
Диссипативная система

Ссылки [ править ]

^ a b Педлоски, Джозеф (1987). Геофизическая гидродинамика . Springer . С. 10–13 . ISBN 978-0-387-96387-7.
Перейти ↑ Clancy, LJ (1975), Aerodynamics , Section 3.3, Pitman Publishing Limited, Лондон
^ Филдинг, Сюзанна. «Основы гидродинамики» (PDF) . Даремский университет . Проверено 22 декабря 2019 .
^ Для этого вывода см., Например, McMahon, D. (2006). Демистификация квантовой механики . Макгроу Хилл. ISBN 0-07-145546-9.
Перейти ↑ D. McMahon (2006). Теория относительности лишена мистификации . Макгроу Хилл (США). ISBN 0-07-145545-0.
^ CW Misner; К.С. Торн; Дж. А. Уиллер (1973). Гравитация . ISBN компании WH Freeman & Co. 0-7167-0344-0.
^ Майкл Вайс; Джон Баэз. "Сохраняется ли энергия в общей теории относительности?" . Проверено 25 апреля 2014 .
^ Дж. А. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co., стр. 558–559. ISBN 0-7167-0344-0.

Дальнейшее чтение [ править ]

Hydrodynamics, H. Lamb , Cambridge University Press, (перевод в цифровую форму 6-го издания 1932 г., 2006 г.) ISBN 978-0-521-45868-9
Введение в электродинамику (3-е издание), DJ Griffiths , Pearson Education Inc, 1999, ISBN 81-7758-293-3
Электромагнетизм (2-е издание), IS Grant, WR Phillips , Manchester Physics Series, 2008 ISBN 0-471-92712-0
Гравитация, Дж. А. Уиллер, К. Миснер, К. С. Торн , WH Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0

[Pedlosky-1] Педлоски, Джозеф (1987). Геофизическая гидродинамика . Springer . С. 10–13 . ISBN 978-0-387-96387-7.

[2] Перейти ↑ Clancy, LJ (1975), Aerodynamics , Section 3.3, Pitman Publishing Limited, Лондон

[Fielding-3] Филдинг, Сюзанна. «Основы гидродинамики» (PDF) . Даремский университет . Проверено 22 декабря 2019 .

[4] Для этого вывода см., Например, McMahon, D. (2006). Демистификация квантовой механики . Макгроу Хилл. ISBN 0-07-145546-9.

[5] Перейти ↑ D. McMahon (2006). Теория относительности лишена мистификации . Макгроу Хилл (США). ISBN 0-07-145545-0.

[6] CW Misner; К.С. Торн; Дж. А. Уиллер (1973). Гравитация . ISBN компании WH Freeman & Co. 0-7167-0344-0.

[7] Майкл Вайс; Джон Баэз. "Сохраняется ли энергия в общей теории относительности?" . Проверено 25 апреля 2014 .

[8] Дж. А. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co., стр. 558–559. ISBN 0-7167-0344-0.