Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике и теории вероятностей , теория континуума перколяции является ветвь математики , которая простирается дискретной теории перколяции к непрерывному пространству (часто евклидово пространство ℝ п ). Более конкретно, основные точки дискретной перколяции образуют типы решеток, тогда как основные точки непрерывной перколяции часто случайным образом расположены в некотором непрерывном пространстве и образуют тип точечного процесса.. Для каждой точки часто помещается случайная форма, и эти формы накладываются друг на друга, образуя сгустки или компоненты. Как и в случае дискретной перколяции, обычным направлением исследований перколяции континуума является изучение условий возникновения бесконечных или гигантских компонентов. [1] [2] Другие общие концепции и методы анализа существуют в этих двух типах теории перколяции, а также в изучении случайных графов и случайных геометрических графов .

Континуум перколяции возникла из ранней математической модели для беспроводных сетей , [2] [3] , который, с появлением нескольких беспроводных сетевых технологий в последние годы, были обобщены и изучены с целью определения теоретических границ информационной емкости и производительности в беспроводные сети. [4] [5] В дополнение к этому параметру, перколяция континуума нашла применение в других дисциплинах, включая биологию, геологию и физику, таких как изучение пористых материалов и полупроводников , и стала предметом математического интереса сама по себе. [6]

Ранняя история [ править ]

В начале 1960-х Эдгар Гилберт [3] предложил математическую модель в беспроводных сетях, которая положила начало теории перколяции континуума, тем самым обобщив дискретную перколяцию. [2] Точки, лежащие в основе этой модели, иногда известной как модель диска Гилберта, были равномерно рассеяны в бесконечной плоскости ℝ 2 в соответствии с однородным пуассоновским процессом . Гилберт, который заметил сходство между дискретной и континуальной перколяцией, [7] затем использовал концепции и методы из вероятностного предмета ветвящихся процессов, чтобы показать, что существует пороговое значение для бесконечного или «гигантского» компонента.

Определения и терминология [ править ]

Точные названия, терминология и определения этих моделей могут незначительно отличаться в зависимости от источника, что также отражается в использовании обозначений точечных процессов .

Общие модели [ править ]

Существует ряд хорошо изученных моделей протекания континуума, которые часто основаны на однородных точечных процессах Пуассона .

Модель диска [ править ]

Рассмотрим набор точек { x i } на плоскости ℝ 2 , образующих однородный пуассоновский процесс Φ с постоянной (точечной) плотностью λ . Для каждой точки пуассоновского процесса (т. Е. X i ∈ Φ поместите диск D i с центром в точку x i . Если каждый диск D i имеет случайный радиус R i (из общего распределения ), не зависящий от все остальные радиусы и все нижележащие точки { xi }, то полученная математическая структура называется случайной моделью диска.

Логическая модель [ править ]

Для модели случайного диска, если взять совокупное объединение всех дисков { D i } , то результирующая структура ⋃ i D i известна как модель Булева – Пуассона (также известная как просто булева модель ), [8] которая является обычно изучаемой моделью в перколяции континуума [1], а также в стохастической геометрии . [8] Если все радиусы установлены на некоторую общую константу, скажем, r > 0 , то результирующая модель иногда называется моделью диска Гилберта (булевой). [9]

Моделирование 4 моделей Пуассона – Булева (постоянного радиуса или диска Гильберта) по мере увеличения плотности с наибольшими кластерами, выделенными красным.

Модель зародышевого зерна [ править ]

Модель диска может быть обобщена на более произвольные формы, где вместо диска случайная компактная (следовательно, ограниченная и замкнутая в ℝ 2 ) форма S i помещается в каждую точку x i . Опять же, каждая форма S i имеет общее распределение и не зависит от всех других форм и лежащего в основе (Пуассона) точечного процесса. Эта модель известна как модель «зародыш – зерно», где лежащие в основе точки { x i } являются ростками, а случайные компактные формы S i - зернами . Вset объединение всех форм образует булеву модель зародыша. Типичный выбор зерен включает диски, случайный многоугольник и сегменты произвольной длины. [8]

Булевы модели также являются примерами случайных процессов, известных как процессы покрытия. [10] Вышеупомянутые модели могут быть расширены с плоскости ℝ 2 на общее евклидово пространство ℝ n .

Компоненты и критичность [ править ]

В модели Булева – Пуассона диски могут быть изолированными группами или группами дисков, которые не контактируют с другими группами дисков. Эти комки известны как компоненты. Если площадь (или объем в более высоких измерениях) компонента бесконечна, говорят, что это бесконечный или «гигантский» компонент. Основное внимание в теории перколяции уделяется установлению условий существования гигантских компонентов в моделях, что имеет параллели с изучением случайных сетей. Если большого компонента не существует, модель считается подкритической. Условия критичности гигантских компонентов, естественно, зависят от таких параметров модели, как плотность основного точечного процесса.

Теория исключенных территорий [ править ]

Исключенная область размещенного объекта определяется как минимальная область вокруг объекта, в которую нельзя поместить дополнительный объект без перекрытия с первым объектом. Например, в системе случайно ориентированных однородных прямоугольников длиной l , шириной w и соотношением сторон r =л/ш, средняя исключенная площадь определяется по формуле: [11]

В системе одинаковых эллипсов с полуосями a и b и отношением r =а/б, и периметр C , среднее значение исключенных областей определяется как: [12]

Теория исключенных площадей утверждает, что критическая числовая плотность (порог перколяции) N c системы обратно пропорциональна средней исключенной площади A r :

С помощью моделирования методом Монте-Карло было показано, что порог перколяции как в однородных, так и в неоднородных системах прямоугольников или эллипсов определяется средними исключенными областями и может быть довольно хорошо аппроксимирован линейным соотношением

с константой пропорциональности в диапазоне 3,1–3,5. [11] [12]

Приложения [ править ]

Логическая модель как модель покрытия беспроводной сети.

Приложения теории перколяции разнообразны и варьируются от материаловедения до систем беспроводной связи . Часто работа включает демонстрацию того, что в системе происходит какой-то фазовый переход .

Беспроводные сети [ править ]

Беспроводные сети иногда лучше всего представлены стохастическими моделями из-за их сложности и непредсказуемости, поэтому перколяция континуума использовалась для разработки моделей стохастической геометрии беспроводных сетей . Например, инструменты теории непрерывной перколяции и процессов покрытия были использованы для изучения покрытия и возможности подключения сенсорных сетей . [13] [14]Одним из основных ограничений этих сетей является потребление энергии, когда обычно каждый узел имеет батарею и встроенную форму сбора энергии. Чтобы снизить потребление энергии в сенсорных сетях, были предложены различные схемы ожидания, которые влекут за собой переход подгруппы узлов в режим ожидания с низким энергопотреблением. Эти схемы сна, очевидно, влияют на покрытие и возможность подключения сенсорных сетей. Были предложены простые модели энергосбережения, такие как простая нескоординированная модель «мигания», в которой (в каждый временной интервал) каждый узел независимо выключается (или увеличивается) с некоторой фиксированной вероятностью. Используя инструменты теории перколяции, была проанализирована мигающая логическая модель Пуассона, чтобы изучить влияние задержки и возможности подключения такой простой схемы питания. [13]

См. Также [ править ]

  • Стохастические геометрические модели беспроводных сетей
  • Случайные графики
  • Булева модель (теория вероятностей)

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b Мистер Р. (1996). Перколяция континуума . 119 . Издательство Кембриджского университета.[ ISBN отсутствует ]
  2. ^ a b c Franceschetti, M .; Мистер, Р. (2007). Случайные сети для коммуникации: от статистической физики к информационным системам . 24 . Издательство Кембриджского университета.[ ISBN отсутствует ]
  3. ^ а б Гилберт, EN (1961). «Случайные плоские сети». Журнал Общества промышленной и прикладной математики . 9 (4): 533–543. DOI : 10.1137 / 0109045 .
  4. ^ Dousse, O .; Baccelli, F .; Тиран, П. (2005). «Влияние помех на возможность подключения в специальных сетях». Транзакции IEEE / ACM в сети . 13 (2): 425–436. CiteSeerX 10.1.1.5.3971 . DOI : 10.1109 / tnet.2005.845546 . S2CID 1514941 .  
  5. ^ Dousse, O .; Franceschetti, M .; Macris, N .; Meester, R .; Тиран, П. (2006). «Просачивание в график отношения сигнал / помеха» . Журнал прикладной теории вероятностей . 2006 (2): 552–562. DOI : 10.1239 / JAP / 1152413741 .
  6. ^ Balberg, И. (1987). «Последние достижения в перколяции континуума». Философский журнал B . 56 (6): 991–1003. Bibcode : 1987PMagB..56..991B . DOI : 10.1080 / 13642818708215336 .
  7. ^ Холл, П. (1985). «О перколяции континуума» . Летопись вероятности . 13 (4): 1250–1266. DOI : 10.1214 / AOP / 1176992809 .
  8. ^ a b c Стоян, Д .; Кендалл, WS; Mecke, J .; Рушендорф, Л. (1995). Стохастическая геометрия и ее приложения . 2 . Вили Чичестер.[ ISBN отсутствует ]
  9. ^ Балистер, Пол; Саркар, Амиты; Боллобаш, Бела (2008). «Перколяция, связность, покрытие и раскраска случайных геометрических графов». Справочник по крупномасштабным случайным сетям . С. 117–142.[ ISBN отсутствует ]
  10. ^ Холл, П. (1988). Введение в теорию процессов покрытия . 1 . Нью-Йорк: Вили.[ ISBN отсутствует ]
  11. ^ а б Ли, Цзяньтун; Остлинг, Микаэль (2013). «Пороги перколяции двумерных континуальных систем прямоугольников». Physical Review E . 88 (1): 012101. Bibcode : 2013PhRvE..88a2101L . DOI : 10.1103 / PhysRevE.88.012101 . ISSN 1539-3755 . PMID 23944408 . S2CID 21438506 .   
  12. ^ а б Ли, Цзяньтун; Остлинг, Микаэль (2016). «Точные пороги перколяции двумерных случайных систем, содержащих перекрывающиеся эллипсы» . Physica A: Статистическая механика и ее приложения . 462 : 940–950. Bibcode : 2016PhyA..462..940L . DOI : 10.1016 / j.physa.2016.06.020 . ISSN 0378-4371 . 
  13. ^ a b Dousse, O .; Mannersalo, P .; Тиран, П. (2004). «Задержки беспроводных сенсорных сетей с несогласованными механизмами энергосбережения». Материалы 5-го Международного симпозиума ACM по мобильным специальным сетям и вычислениям . ACM. С. 109–120.
  14. ^ Gui, C .; Мохапатра, П. (2004). «Энергосбережение и качество наблюдения в сенсорных сетях сопровождения целей». Труды 10-й ежегодной международной конференции по мобильным вычислениям и сетям . ACM. С. 129–143.