Тензор contorsion в дифференциальной геометрии разница между связи с использованием и без кручения в нем. Обычно он появляется при изучении спиновых связей . Так, например, референс вместе со спиновым соединением, когда он подчиняется условию исчезающего кручения, дает описание гравитации Эйнштейна. Что касается суперсимметрии , то же ограничение - исчезающее кручение - дает (полевые уравнения) 11-мерной супергравитации . [1] То есть тензор скручивания вместе со связью становится одним из динамических объектов теории, понижая метрику до второстепенной, производной роли.
Устранение кручения в соединении называется поглощением кручения и является одним из шагов метода эквивалентности Картана для установления эквивалентности геометрических структур.
Определение в метрической геометрии
В метрической геометрии тензор конторсии выражает разницу между метрической совместимой аффинной связью с символом Кристоффеля. и уникальная связность Леви-Чивиты без кручения для той же метрики.
Тензор конторсии определяется в терминах тензора кручения как (до знака, см. ниже)
где индексы повышаются и понижаются по отношению к метрике:
- .
Причина неочевидной суммы в определении тензора искажения связана с разницей суммы-суммы, которая обеспечивает совместимость метрик. Тензор кручения антисимметричен по первым двум индексам, тогда как сам тензор кручения антисимметричен по двум последним индексам; это показано ниже.
Аффинное соединение, совместимое с полной метрикой, можно записать как:
Где соединение Леви-Чивита без кручения:
Определение в аффинной геометрии
В аффинной геометрии нет ни метрики, ни метрической связи, и поэтому никто не вправе повышать и понижать индексы по требованию. По-прежнему можно добиться аналогичного эффекта, используя форму припоя , позволяющую связать жгут с тем, что происходит в его базовом пространстве. Это явно геометрическая точка зрения, с тензорами теперь геометрические объектов в вертикальных и горизонтальных пучках одного пучка волокон , вместо того , чтобы быть проиндексированы алгебраическими объекты , определенных только на базовое пространстве. В этом случае можно построить тензор contorsion, живущий в одной форме на касательном расслоении.
Напомним, что кручение соединения можно выразить как
где это форма припоя ( тавтологическая один-форма ). Нижний индекс служит лишь напоминанием о том, что этот тензор кручения получен из связи.
По аналогии с понижением индекса тензора кручения в предыдущем разделе, можно выполнить аналогичную операцию с формой припоя и построить тензор
Здесь - скалярное произведение. Этот тензор можно выразить как [2]
Количество является формой перекручивания, и это именно то , что нужно добавить к произвольной связности, чтобы получить связность Леви-Чивиты без кручения. То есть, учитывая связь Эресмана , есть еще одна связь то есть без кручения.
Обнуление кручения тогда равносильно тому, что
или же
Это можно рассматривать как уравнение поля, связывающее динамику связи с динамикой тензора скручивания.
Вывод
Один из способов быстро получить аффинную связность, совместимую с метрикой, - это повторить идею разности суммы-суммы, использованную при выводе связности Леви – Чивиты, но не принимать кручение равным нулю. Ниже приводится вывод.
Соглашение о выводе (выберите определение коэффициентов связи таким образом. Мотивация - это форма связи один в теории калибровки):
Начнем с условия совместимости с метрикой:
Теперь мы используем разность суммы-суммы (циклически перебираем индексы по условию):
Теперь мы воспользуемся приведенным ниже определением тензора кручения (для голономной системы отсчета), чтобы переписать связь:
Обратите внимание, что это определение кручения имеет знак, противоположный обычному определению при использовании вышеуказанного соглашения. для нижнего порядкового индекса коэффициентов связи, т.е. он имеет знак, противоположный знаку безкоординатного определения в следующем разделе о геометрии. Исправление этого несоответствия (которое, кажется, часто встречается в литературе) привело бы к тензорному искажению с противоположным знаком.
Подставляем определение тензора кручения в то, что у нас есть:
Очистите это и объедините похожие термины
Члены кручения объединяются, чтобы создать объект, который трансформируется тензорно. Поскольку эти термины комбинируются вместе метрически совместимым образом, им дано имя, тензор конторсиона, который определяет кососимметричную часть метрической совместимой аффинной связности.
Мы определим его здесь, исходя из того, что он соответствует индексам левой части уравнения, приведенного выше.
Очистка с использованием антисимметрии тензора кручения дает то, что мы определим как тензор конторсии:
Подставляя это обратно в наше выражение, мы получаем:
Теперь выделите коэффициенты связи и сгруппируйте члены кручения вместе:
Напомним, что первый член с частными производными - это выражение связи Леви-Чивиты, часто используемое релятивистами.
Следуя примеру, определим следующее как связность Леви-Чивита без кручения:
Тогда у нас есть, что аффинное соединение, совместимое с полной метрикой, теперь можно записать как:
Связь с телепараллелизмом
В теории телепараллелизма можно встретить связь, связность Вайтценбека , которая является плоской (исчезающая кривизна Римана), но имеет ненулевое кручение. Плоскостность - это именно то, что позволяет создавать параллельные поля кадра. Эти понятия можно распространить на супермногообразия . [3]
Смотрите также
Рекомендации
- ↑ Урс Шрайбер, « 11d Gravity From Just the Torsion Constraint » (2016)
- ^ Дэвид Бликер, " Калибровочная теория и вариационные принципы " (1982) D. Reidel Publishing (см. Теорему 6.2.5)
- ^ Брайс ДеВитт , Супермногообразия , (1984) Cambridge University Press ISBN 0521 42377 5 (См. Подраздел «Дальний параллелизм» в разделе 2.7.)