Функция передачи контраста

Спектр мощности (преобразование Фурье) типичной электронной микрофотографии. Эффект функции передачи контраста можно увидеть в чередующихся светлых и темных кольцах (кольца Тона), которые показывают связь между контрастом и пространственной частотой.

Функция передачи контраста ( CTF ) математически описывает, как аберрации в просвечивающем электронном микроскопе (TEM) изменяют изображение образца. ^{[1] [2] [3] [4]} Эта функция передачи контраста (CTF) устанавливает разрешение просвечивающей электронной микроскопии высокого разрешения (HRTEM), также известной как TEM фазового контраста.

Рассматривая записанное изображение как истинный объект с деградацией CTF, описание CTF позволяет произвести обратный инжиниринг настоящего объекта . Это обычно называется CTF-коррекцией и жизненно важно для получения структур с высоким разрешением в трехмерной электронной микроскопии, особенно в электронной криомикроскопии . Ее эквивалентом в световой оптике является оптическая передаточная функция .

Фазовый контраст в HRTEM [ править ]

Контраст в ПЭМВР возникает из-за интерференции в плоскости изображения фаз рассеянных электронных волн с фазой прошедших электронных волн. Когда электронная волна проходит через образец в ПЭМ, происходят сложные взаимодействия. Над образцом электронную волну можно представить как плоскую волну. Когда электронная волна или волновая функция проходит через образец, изменяется как фаза, так и амплитуда электронного луча. Результирующий рассеянный и прошедший электронный пучок затем фокусируется линзой объектива и отображается детектором в плоскости изображения.

Детекторы могут напрямую измерять только амплитуду, но не фазу. Однако при правильных параметрах микроскопа фазовую интерференцию можно косвенно измерить по интенсивности в плоскости изображения. Электроны очень сильно взаимодействуют с кристаллическими твердыми телами. В результате изменения фазы из-за очень мелких деталей, вплоть до атомного масштаба, могут быть зарегистрированы с помощью HRTEM.

Теория переноса контраста [ править ]

Диаграмма ПЭМ с функцией передачи фазового контраста

Теория переноса контраста предоставляет количественный метод преобразования выходной волновой функции в окончательное изображение. Часть анализа основана на преобразованиях Фурье волновой функции электронного пучка. Когда волновая функция электрона проходит через линзу, волновая функция проходит через преобразование Фурье. Это концепция из оптики Фурье .

Теория переноса контраста состоит из четырех основных операций: ^[1]

1. Воспользуйтесь преобразованием Фурье выходной волны, чтобы получить амплитуду волны в задней фокальной плоскости линзы объектива.
2. Измените волновую функцию в обратном пространстве с помощью фазового фактора, также известного как функция передачи фазового контраста , для учета аберраций.
3. Обратное преобразование Фурье модифицированной волновой функции для получения волновой функции в плоскости изображения
4. Найдите квадратный модуль волновой функции в плоскости изображения, чтобы найти интенсивность изображения (это сигнал, который записывается детектором и создает изображение)

Математическая форма [ править ]

Если мы сделаем некоторые предположения о нашем образце, то можно будет найти аналитическое выражение как для фазового контраста, так и для передаточной функции фазового контраста. Как обсуждалось ранее, когда электронная волна проходит через образец, электронный луч взаимодействует с образцом посредством рассеяния и испытывает фазовый сдвиг. Это представлено волновой функцией электрона, выходящей из нижней части образца. Это выражение предполагает, что рассеяние вызывает сдвиг фазы (а не сдвиг амплитуды). Это называется приближением фазового объекта.

Волновая функция выхода [ править ]

Следуя обозначениям Уэйда, ^[1] выражение выходной волновой функции представлено следующим образом:

${\ Displaystyle \ тау (г, г) = \ тау _ {о} \ ехр [-i \ пи \ лямбда \ int dz'U (г, г ')]}$

${\ Displaystyle \ тау _ {о} = \ тау (г, 0)}$

${\ Displaystyle U (г, г) = 2 мВ (г, г) / час ^ {2}}$

Где выходная волновая функция τ является функцией как в плоскости образца, так и перпендикулярно плоскости образца. представляет волновую функцию, падающую на верхнюю часть образца. - длина волны электронного пучка ^[5], которая задается ускоряющим напряжением. - эффективный потенциал образца, который зависит от атомных потенциалов внутри кристалла, представленный как .${\ displaystyle r}$${\ displaystyle z}$${\ Displaystyle \ тау _ {о}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle V}$

В выходной волновой функции фазовый сдвиг представлен как:

${\ Displaystyle \ фи (г) = \ пи \ лямбда \ int dz'U (г, г ')}$

Это выражение можно еще более упростить, учитывая еще несколько предположений об образце. Если образец считается очень тонким и слабым рассеивателем, так что фазовый сдвиг << 1, то волновая функция может быть аппроксимирована разложением линейного полинома Тейлора . ^[6] Это приближение называется приближением объекта слабой фазы.

Тогда волновая функция на выходе может быть выражена как:

${\ Displaystyle \ тау (г, г) = \ тау _ {о} [1 + я \ фи (г)]}$

Передаточная функция фазового контраста [ править ]

Прохождение через линзу объектива вызывает преобразование Фурье и фазовый сдвиг. Таким образом, волновая функция на задней фокальной плоскости линзы объектива может быть представлена ​​следующим образом:

${\ Displaystyle I (\ theta) = \ дельта (\ theta) + \ Phi K (\ theta)}$

${\ displaystyle \ theta}$ = угол рассеяния между прошедшей электронной волной и рассеянной электронной волной

${\ displaystyle \ delta}$= дельта-функция, представляющая нерассеянную прошедшую электронную волну

${\displaystyle \Phi }$ = преобразование Фурье фазы волновой функции

${\displaystyle K(\theta )}$= фазовый сдвиг, вызванный аберрациями микроскопа, также известный как функция передачи контраста:

${\displaystyle K(\theta )=\sin[(2\pi /\lambda )W(\theta )]}$
${\displaystyle W(\theta )=-z\theta ^{2}/2+C_{s}\theta ^{4}/4}$

${\displaystyle \lambda }$= релятивистская длина волны электронной волны, = сферическая аберрация линзы объектива${\displaystyle C_{s}}$

Передаточная функция контраста также может быть задана в терминах пространственных частот или обратного пространства. С учетом отношения передаточная функция фазового контраста становится: ${\textstyle \theta =\lambda k}$

${\displaystyle K(k)=\sin[(2\pi )W(k)]}$
${\displaystyle W(k)=-z\lambda k^{2}/2+C_{s}\lambda ^{3}k^{4}/4}$

${\displaystyle z}$= расфокусировка линзы объектива (согласно условию, что недофокус положительный, а перефокус отрицательный), = релятивистская длина волны электронной волны, = сферическая аберрация линзы объектива, = пространственная частота (единицы м ^-1 )${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle C_{s}}$${\displaystyle k}$

Сферическая аберрация [ править ]

Сферическая аберрация - это эффект размытия, возникающий, когда линза не может сводить падающие лучи под большими углами падения к точке фокусировки, а фокусирует их в точку ближе к линзе. Это приведет к распространению отображаемой точки (которая в идеале отображается как единственная точка в гауссовой плоскости изображения) по диску конечного размера в плоскости изображения. Измерение аберрации в плоскости, перпендикулярной оптической оси, называется поперечной аберрацией. Можно показать, что размер (радиус) аберрационного диска в этой плоскости пропорционален кубу угла падения (θ) в малоугловом приближении, и что явный вид в этом случае имеет вид

${\displaystyle r_{s}=C_{s}\cdot \theta ^{3}\cdot M}$

где - сферическая аберрация и - увеличение, которые фактически являются константами настроек объектива. Затем можно отметить, что разница в углах преломления идеального луча и луча, страдающего сферической аберрацией, составляет ${\displaystyle C_{s}}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \alpha _{s}=\arctan \left({\frac {b}{R}}\right)-\arctan \left({\frac {b}{R+r_{s}}}\right)}$

где - расстояние от линзы до гауссовой плоскости изображения, а - радиальное расстояние от оптической оси до точки на линзе, через которую прошел луч. Дальнейшее упрощение (без применения каких-либо приближений) показывает, что ${\displaystyle b}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \alpha _{s}=\arctan \left({\frac {br_{s}}{R^{2}+Rr_{s}+b^{2}}}\right)}$

Теперь можно применить два приближения, чтобы продвинуться дальше простым способом. Они полагаются на предположение, что оба и намного меньше чем , что эквивалентно утверждению, что мы рассматриваем относительно небольшие углы падения и, следовательно, также очень маленькие сферические аберрации. При таком предположении два главных члена в знаменателе не имеют значения, и их можно приблизительно оценить как не вносящие вклад. Посредством этих предположений мы также неявно заявили, что сама дробь может считаться малой, и это приводит к исключению функции посредством малоуглового приближения;${\displaystyle r_{s}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \arctan()}$

${\displaystyle \alpha _{s}\approx \arctan \left({\frac {br_{s}}{b^{2}}}\right)\approx {\frac {br_{s}}{b^{2}}}={\frac {r_{s}}{b}}={\frac {C_{s}\cdot \theta ^{3}\cdot M}{b}}}$

Если изображение считается приблизительно сфокусированным, а угол падения снова считается малым, то${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\frac {R}{f}}\approx \tan \left(\theta \right)\approx \theta ~~{\text{and}}~~M\approx {\frac {b}{f}}}$

Это означает, что приблизительное выражение для разницы в углах преломления идеального луча и луча, страдающего сферической аберрацией, дается формулой

${\displaystyle \alpha _{s}\approx {\frac {C_{s}\cdot R^{3}}{f^{4}}}}$

Расфокусировать [ править ]

В отличие от сферической аберрации, мы продолжим оценку отклонения расфокусированного луча от идеального, указав продольную аберрацию; мера того, насколько луч отклоняется от фокальной точки вдоль оптической оси. Обозначая это расстояние , можно показать, что разница в углах преломления между лучами, исходящими от сфокусированного и расфокусированного объекта, может быть связана с углом преломления как${\displaystyle \Delta b}$${\displaystyle \alpha _{f}}$

${\displaystyle {\sqrt {R^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(\alpha _{f})=\Delta b\cdot \sin(\theta '-\alpha _{f})}$

где и определены так же, как и для сферической аберрации. Предполагая, что (или что то же самое ), мы можем показать, что${\displaystyle R}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \alpha _{f}<<\theta '}$${\displaystyle |b\cdot \sin(\alpha _{f})|<<|R|}$

${\displaystyle \sin(\alpha _{f})\approx {\frac {\Delta b\sin(\theta ')}{\sqrt {R^{2}+b^{2}}}}={\frac {\Delta b\cdot R}{R^{2}+b^{2}}}}$

Поскольку мы требовали, чтобы мы были малы, и поскольку из этого следует , что малость , нам дается приближение как${\displaystyle \alpha _{f}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle R<<b}$${\displaystyle \alpha _{f}}$

${\displaystyle \alpha _{f}\approx {\frac {\Delta b\cdot R}{b^{2}}}}$

Из формулы тонкой линзы можно показать, что , давая окончательную оценку разницы в угле преломления между лучами в фокусе и вне фокуса как${\displaystyle \Delta b/b^{2}\approx \Delta f/f^{2}}$

${\displaystyle \alpha _{f}\approx {\frac {\Delta f\cdot R}{f^{2}}}}$

Примеры [ править ]

Передаточная функция контраста определяет, сколько фазового сигнала передается на волновую функцию реального пространства в плоскости изображения. Поскольку квадрат модуля волновой функции реального пространства дает сигнал изображения, функция передачи контраста ограничивает объем информации, который в конечном итоге может быть преобразован в изображение. Форма передаточной функции контраста определяет качество формирования реального космического изображения в ПЭМ.

Это пример функции передачи контраста. Следует отметить несколько моментов:

• Функция существует в пространственно-частотной области или k-пространстве.
• Если функция равна нулю, это означает, что коэффициент пропускания отсутствует или фазовый сигнал не включается в реальное космическое изображение.
• Первый раз, когда функция пересекает ось x, называется точечным разрешением.
• Чтобы максимизировать фазовый сигнал, обычно лучше использовать условия визуализации, которые повышают разрешение точки до более высоких пространственных частот.
• Когда функция отрицательная, это означает положительный фазовый контраст, приводящий к яркому фону с темными атомарными элементами.
• Каждый раз, когда CTF пересекает ось x, происходит инверсия контраста.
• Соответственно, за пределами точечного разрешения микроскопа фазовая информация не может быть напрямую интерпретирована и должна быть смоделирована с помощью компьютерного моделирования.

Расфокусировка Шерцера [ править ]

Значение расфокусировки ( ) можно использовать для противодействия сферической аберрации, чтобы обеспечить больший фазовый контраст. Этот анализ был разработан Шерцером и называется расфокусировкой Шерцера. ^[7]${\textstyle z}$

${\displaystyle z_{s}=(C_{s}\lambda )^{1/2}}$

Переменные те же, что и в разделе математической обработки, с установкой специфической расфокусировки Шерцера, как сферической аберрации, и λ как релятивистской длины волны для электронной волны.${\displaystyle z_{s}}$${\displaystyle C_{s}}$

На рисунке в следующем разделе показана функция CTF для микроскопа CM300 в расфокусировке Scherzer. По сравнению с функцией CTF, показанной выше, имеется большее окно, также известное как полоса пропускания, пространственных частот с высоким коэффициентом пропускания. Это позволяет большему количеству фазового сигнала проходить в плоскость изображения.

Функция конверта [ править ]

Огибающая функция представляет собой эффект дополнительных аберраций, которые ослабляют передаточную функцию контраста и, в свою очередь, фазу. Члены огибающей, составляющие функцию огибающей, имеют тенденцию подавлять высокие пространственные частоты. Точная форма функций конверта может отличаться от источника к источнику. Обычно они применяются путем умножения функции передачи контрастности на член огибающей Et, представляющий временные аберрации, и член огибающей Es, представляющий пространственные аберрации. Это дает модифицированную или эффективную функцию передачи контраста:

${\displaystyle K_{eff}(k)=E_{t}E_{s}(\sin[(2\pi /\lambda )W(k)]}$

Примеры временных аберраций включают хроматические аберрации, разброс по энергии, фокусное расстояние, нестабильность источника высокого напряжения и нестабильность тока линзы объектива. Пример пространственной аберрации включает конечную сходимость падающего луча. ^[8]

Как показано на рисунке, наиболее ограничительный член огибающей будет преобладать при демпфировании передаточной функции контраста. В этом конкретном примере термин временной огибающей является наиболее ограничительным. Поскольку члены огибающей сильнее затухают на более высоких пространственных частотах, наступает момент, когда фазовый сигнал больше не может проходить. Это называется пределом информации микроскопа и является одним из показателей разрешения.

Моделирование функции огибающей может дать представление как о конструкции прибора ПЭМ, так и о параметрах визуализации. Моделируя различные аберрации с помощью членов огибающей, можно увидеть, какие аберрации больше всего ограничивают фазовый сигнал.

Различное программное обеспечение было разработано для моделирования как функции передачи контраста, так и функции огибающей для конкретных микроскопов и определенных параметров изображения. ^{[9] [10]}

Теория линейной визуализации против теории нелинейной визуализации [ править ]

Предыдущее описание передаточной функции контраста зависит от теории линейной визуализации . Теория линейной визуализации предполагает, что переданный луч является доминирующим, имеется лишь слабый фазовый сдвиг образца. Во многих случаях это предварительное условие не выполняется. Чтобы учесть эти эффекты, требуется нелинейная теория построения изображений . В случае сильно рассеивающих образцов дифрагированные электроны не только будут мешать проходящему лучу, но также будут мешать друг другу. Это приведет к интенсивности дифракции второго порядка. Для моделирования этих дополнительных интерференционных эффектов требуется теория нелинейного изображения. ^{[11] [12]}

Вопреки широко распространенному предположению, линейная / нелинейная теория построения изображений не имеет ничего общего с кинематической дифракцией или динамической дифракцией соответственно.

Тем не менее, линейная теория построения изображений все еще используется, поскольку она имеет некоторые вычислительные преимущества. В теории линейных изображений коэффициенты Фурье для волновой функции плоскости изображения разделимы. Это значительно снижает вычислительную сложность, позволяя ускорить компьютерное моделирование изображений HRTEM. ^[13]

См. Также [ править ]

• Диск Эйри , разные, но похожие явления в свете
• Оптическая передаточная функция
• Функция разброса точки
• Просвечивающая электронная микроскопия

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Коррекция функции передачи контраста (CTF)
• Обсуждение CTF Хеннинга Штальберга
• Список чтения CTF
• Интерактивное моделирование CTF