Выпуклая комбинация

Если заданы три точки на плоскости, как показано на рисунке, точка представляет собой выпуклую комбинацию трех точек, в то время как это не так.${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}}$${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle Q}$

( однако представляет собой аффинную комбинацию трех точек, поскольку их аффинная оболочка представляет собой всю плоскость.)${\ displaystyle Q}$

В выпуклой геометрии , A выпуклая комбинация является линейной комбинацией из точек (которые могут быть векторами , скаляры , или в более общем случае точек в аффинном пространстве ) , где все коэффициенты являются неотрицательным и сумма к 1. ^[1]

Более формально, учитывая конечное число точек в реальном векторном пространстве , выпуклая комбинация этих точек представляет собой точку вида${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}}$

${\displaystyle \alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}$

где действительные числа удовлетворяют и ^[1]${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle \alpha _{i}\geq 0}$${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}=1.}$

В качестве частного примера каждая выпуклая комбинация двух точек лежит на отрезке прямой между точками. ^[1]

Множество называется выпуклым, если оно содержит все выпуклые комбинации своих точек. Выпуклая оболочка данного множества точек совпадает с множеством всех их выпуклых комбинаций. ^[1]

Существуют подмножества векторного пространства, которые не замкнуты относительно линейных комбинаций, но замкнуты относительно выпуклых комбинаций. Например, интервал выпуклый, но при линейных комбинациях образуется линия действительных чисел. Другой пример - выпуклый набор вероятностных распределений , так как линейные комбинации не сохраняют ни неотрицательности, ни сродства (т. Е. Имеют полное целое).${\displaystyle [0,1]}$

Другие объекты [ править ]

• Аналогичным образом , выпуклая комбинация из случайных величин является взвешенной суммой (где удовлетворяют тем же ограничения, что и выше) ее компоненты распределения вероятностей, часто называют конечное распределение смеси , с функцией плотности вероятности :${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle \alpha _{i}}$

${\displaystyle f_{X}(x)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f_{Y_{i}}(x)}$

Связанные конструкции [ править ]

• Коническая комбинация представляет собой линейную комбинацию с неотрицательными коэффициентами. Когда точка должна использоваться в качестве исходной точки для определения векторов смещения , тогда это выпуклая комбинация точек тогда и только тогда, когда нулевое смещение является нетривиальной конической комбинацией их соответствующих векторов смещения относительно .${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$
• Взвешенные средние функционально такие же, как выпуклые комбинации, но в них используются другие обозначения. Коэффициенты ( веса ) в средневзвешенном значении не требуется суммировать до 1; вместо этого взвешенная линейная комбинация явно делится на количество весов.
• Аффинные комбинации похожи на выпуклые комбинации, но коэффициенты не обязательно должны быть неотрицательными. Следовательно, аффинные комбинации определены в векторных пространствах над любым полем .

См. Также [ править ]

• Аффинная оболочка
• Теорема Каратеодори (выпуклая оболочка)
• Симплекс
• Барицентрическая система координат

Ссылки [ править ]