Октаэдрическая симметрия

Правильный октаэдр имеет 24 вращательных (или сохраняющих ориентацию) симметрии и всего 48 симметрий. К ним относятся преобразования, сочетающие отражение и вращение. Куб имеет такой же набор симметрий, поскольку многогранник двойственен октаэдру.

Группа симметрий, сохраняющих ориентацию, есть S ₄ , группа симметрии или группа перестановок четырех объектов, поскольку для каждой перестановки четырех диагоналей куба имеется ровно одна такая симметрия.

Хиральная и полная (или ахиральная ) октаэдрическая симметрия — это дискретные точечные симметрии (или, что то же самое, симметрии на сфере ) с наибольшими группами симметрии, совместимыми с трансляционной симметрией . Они входят в число кристаллографических точечных групп кубической кристаллической системы .

Как и гипероктаэдрическая группа размерности 3, полная октаэдрическая группа представляет собой сплетение , и естественный способ идентифицировать ее элементы - это пары с и . Но так как это также прямое произведение , можно просто идентифицировать элементы тетраэдрической подгруппы T _d как и их инверсии как . ${\ displaystyle S_ {2} \ wr S_ {3} \ simeq S_ {2} ^ {3} \ rtimes S_ {3}}$
${\ Displaystyle (м, п)}$ ${\ Displaystyle м \ в [0,2 ^ {3}}}$ ${\ Displaystyle п \ в [0,3!}}$
${\ Displaystyle S_ {4} \ раз S_ {2}}$ ${\ Displaystyle а \ в [0,4!}}$ ${\ Displaystyle а '}$

Так, например, тождество представлено как , а инверсия - как . представляется как и как . ${\ Displaystyle (0,0)}$ ${\ Displaystyle 0}$ ${\ Displaystyle (7,0)}$ ${\ Displaystyle 0'}$
${\ Displaystyle (3,1)}$ ${\ Displaystyle 6}$ ${\ Displaystyle (4,1)}$ ${\ Displaystyle 6'}$

${\ Displaystyle 7 '\ circ 4 = 8'}$

Граф
циклов Четыре шестиугольных цикла имеют общую инверсию (черный узел сверху). Шестиугольники симметричны, поэтому, например, 3 и 4 находятся в одном цикле.