Криволинейные координаты

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) Эта статья может сбивать с толку или непонятна читателям . Помогите, пожалуйста, прояснить статью . На странице обсуждения может быть обсуждение этого вопроса . ( Январь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) Фактическая точность этой статьи оспаривается . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите обеспечить надежный источник спорных заявлений . ( Январь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Криволинейные (вверху), аффинные (справа) и декартовы (слева) координаты в двумерном пространстве

В геометрии , криволинейные координаты являются системой координат для евклидова пространства , в которой координатные линии могут быть изогнутой. Эти координаты могут быть получены из набора декартовых координат с помощью преобразования, которое является локально обратимым (взаимно-однозначное отображение) в каждой точке. Это означает, что можно преобразовать точку, заданную в декартовой системе координат, в ее криволинейные координаты и обратно. Название криволинейные координаты , придуманное французским математиком Ламе , происходит от того факта, что координатные поверхности криволинейных систем искривлены.

Хорошо известными примерами криволинейных систем координат в трехмерном евклидовом пространстве ( R ³ ) являются цилиндрические и сферические координаты. Декартова координатная поверхность в этом пространстве является координатной плоскостью ; например, z = 0 определяет плоскость x - y . В том же пространстве координатная поверхность r = 1 в сферических координатах является поверхностью единичной сферы , которая изогнута. Формализм криволинейных координат обеспечивает единое и общее описание стандартных систем координат.

Криволинейные координаты часто используются для определения местоположения или распределения физических величин, которые могут быть, например, скалярами , векторами или тензорами . Математические выражения, включающие эти величины в векторном исчислении и тензорном анализе (такие как градиент , дивергенция , ротор и лапласиан ), могут быть преобразованы из одной системы координат в другую в соответствии с правилами преобразования для скаляров, векторов и тензоров. Такие выражения затем становятся справедливыми для любой криволинейной системы координат.

Криволинейная система координат может быть проще в использовании, чем декартова система координат для некоторых приложений. Движение частиц под действием центральных сил обычно легче решить в сферических координатах, чем в декартовых координатах; это верно для многих физических задач со сферической симметрией, определенной в R ³ . Уравнения с граничными условиямикоторые следуют координатным поверхностям для конкретной криволинейной системы координат, может быть проще решить в этой системе. Хотя можно описать движение частицы в прямоугольном ящике, используя декартовы координаты, движение в сфере проще со сферическими координатами. Сферические координаты являются наиболее распространенными криволинейными системами координат и используются в науках о Земле , картографии , квантовой механике , теории относительности и инженерии .

Ортогональные криволинейные координаты в 3-х измерениях [ править ]

Координаты, базис и векторы [ править ]

А пока рассмотрим трехмерное пространство . Точка P в трехмерном пространстве (или ее вектор положения r ) может быть определена с использованием декартовых координат ( x , y , z ) [эквивалентно написано ( x ¹ , x ² , x ³ )] , где e _x , e _y , e _z - стандартные базисные векторы .${\ displaystyle \ mathbf {r} = x \ mathbf {e} _ {x} + y \ mathbf {e} _ {y} + z \ mathbf {e} _ {z}}$

Его также можно определить по его криволинейным координатам ( q ¹ , q ² , q ³ ), если эта тройка чисел однозначно определяет одну точку. Тогда связь между координатами задается обратимыми функциями преобразования:

${\ displaystyle x = f ^ {1} (q ^ {1}, q ^ {2}, q ^ {3}), \, y = f ^ {2} (q ^ {1}, q ^ {2) }, q ^ {3}), \, z = f ^ {3} (q ^ {1}, q ^ {2}, q ^ {3})}$

${\ displaystyle q ^ {1} = g ^ {1} (x, y, z), \, q ^ {2} = g ^ {2} (x, y, z), \, q ^ {3} = g ^ {3} (x, y, z)}$

Поверхности q ¹ = постоянная, q ² = постоянная, q ³ = постоянная называются координатными поверхностями ; а пространственные кривые, образованные их попарным пересечением, называются координатными кривыми . Эти оси координат определяются касательными к координатным кривым на пересечении трех поверхностей. В общем, они не являются фиксированными направлениями в пространстве, что бывает в случае простых декартовых координат, и, таким образом, обычно нет естественной глобальной основы для криволинейных координат.

В декартовой системе стандартные базисные векторы могут быть получены из производной положения точки P относительно локальной координаты

${\displaystyle \mathbf {e} _{x}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}};\;\mathbf {e} _{y}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}};\;\mathbf {e} _{z}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial z}}.}$

Применение тех же производных к криволинейной системе локально в точке P определяет естественные базисные векторы:

${\displaystyle \mathbf {h} _{1}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}};\;\mathbf {h} _{2}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}};\;\mathbf {h} _{3}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}.}$

Такой базис, векторы которого меняют свое направление и / или величину от точки к точке, называется локальным базисом . Все базы, связанные с криволинейными координатами, обязательно локальны. Базисные векторы, одинаковые во всех точках, являются глобальными базисами и могут быть связаны только с линейными или аффинными системами координат .

В этой статье e зарезервировано для стандартного базиса (декартова), а h или b - для криволинейного базиса.

Они могут не иметь единичной длины, а также могут быть не ортогональными. В том случае, если они являются ортогональными во всех точках , где производные хорошо определены, мы определим коэффициенты Ламу (после Габриэля Ламу ) по

${\displaystyle h_{1}=|\mathbf {h} _{1}|;\;h_{2}=|\mathbf {h} _{2}|;\;h_{3}=|\mathbf {h} _{3}|}$

а криволинейные ортонормированные базисные векторы -

${\displaystyle \mathbf {b} _{1}={\dfrac {\mathbf {h} _{1}}{h_{1}}};\;\mathbf {b} _{2}={\dfrac {\mathbf {h} _{2}}{h_{2}}};\;\mathbf {b} _{3}={\dfrac {\mathbf {h} _{3}}{h_{3}}}.}$

Эти базисные векторы вполне могут зависеть от положения P ; поэтому необходимо, чтобы они не считались постоянными для региона. (Технически они образуют основу для касательного расслоения в точке P и поэтому являются локальными по отношению к P. )${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

В общем, криволинейные координаты позволяют естественным базисным векторам h _i не все взаимно перпендикулярны друг другу и не обязательно иметь единичную длину: они могут иметь произвольную величину и направление. Использование ортогонального базиса упрощает векторные манипуляции по сравнению с неортогональным. Тем не менее, некоторые области физики и техники , в частности , механика жидкости и механики сплошной среды , требуют , не ортогональных базисов для описания деформаций и переноса жидкости для учета сложных направленных зависимостей физических величин. Обсуждение общего случая появится позже на этой странице.

Векторное исчисление [ править ]

Дифференциальные элементы [ править ]

В ортогональных криволинейных координатах, поскольку полное дифференциальное изменение r равно

${\displaystyle d\mathbf {r} ={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}}dq^{1}+{\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}}dq^{2}+{\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}dq^{3}=h_{1}dq^{1}\mathbf {b} _{1}+h_{2}dq^{2}\mathbf {b} _{2}+h_{3}dq^{3}\mathbf {b} _{3}}$

так что масштабные коэффициенты ${\displaystyle h_{i}=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\right|}$

В неортогональных координатах длина является положительным квадратным корнем из (с соглашением Эйнштейна о суммировании ). Шесть независимых скалярных произведений g _ij = h _i . h _j естественных базисных векторов обобщают три масштабных коэффициента, определенных выше для ортогональных координат. Девять g _ij являются компонентами метрического тензора , который имеет только три ненулевые компоненты в ортогональных координатах: g ₁₁ = h ₁ h ₁ , g ₂₂ = h ₂ h _2.${\displaystyle d\mathbf {r} =dq^{1}\mathbf {h} _{1}+dq^{2}\mathbf {h} _{2}+dq^{3}\mathbf {h} _{3}}$${\displaystyle d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =dq^{i}dq^{j}\mathbf {h} _{i}\cdot \mathbf {h} _{j}}$, г ₃₃ = ч ₃ ч ₃ .

Ковариантные и контравариантные базы [ править ]

Пространственные градиенты, расстояния, производные по времени и масштабные коэффициенты взаимосвязаны в системе координат двумя группами базисных векторов:

Следовательно, общая криволинейная система координат имеет два набора базисных векторов для каждой точки: { b ₁ , b ₂ , b ₃ } - ковариантный базис, а { b ¹ , b ² , b ³ } - контравариантный (он же обратный) основание. Типы ковариантных и контравариантных базисных векторов имеют одинаковое направление для ортогональных криволинейных систем координат, но, как обычно, имеют инвертированные единицы относительно друг друга.

Обратите внимание на следующее важное равенство:

${\displaystyle \mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=\delta _{j}^{i}}$

где обозначает обобщенную дельту Кронекера .${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$

Доказательство

В декартовой системе координат мы можем записать скалярное произведение как:${\displaystyle (\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z})}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} ^{j}=({\dfrac {\partial x}{\partial q_{i}}},{\dfrac {\partial y}{\partial q_{i}}},{\dfrac {\partial z}{\partial q_{i}}})\cdot ({\dfrac {\partial q_{j}}{\partial x}},{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial y}},{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial z}})={\dfrac {\partial x}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial z}}}$ Рассмотрим бесконечно малое смещение . Пусть dq 1 , dq 2 и dq 3 обозначают соответствующие бесконечно малые изменения криволинейных координат q 1 , q 2 и q 3 соответственно.${\displaystyle d\mathbf {r} =dx\cdot \mathbf {e} _{x}+dy\cdot \mathbf {e} _{y}+dz\cdot \mathbf {e} _{z}}$ По цепному правилу dq 1 можно выразить как: ${\displaystyle dq_{1}={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}dy+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}dz={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}({\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{3}}}dq_{3})+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}({\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{3}}}dq_{3})}$ Если смещение d r таково, что dq 2 = dq 3 = 0, то есть вектор положения r перемещается на бесконечно малую величину вдоль оси координат q 2 = const и q 3 = const, то: ${\displaystyle dq_{1}={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}dq_{1}}$ Делим на dq 1 и переходя к пределу dq 1 → 0: ${\displaystyle 1={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial q_{1}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}={\dfrac {\partial x}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}}$ или эквивалентно: ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}\cdot \mathbf {b} ^{1}=1}$ Теперь, если смещение d r таково, что dq 1 = dq 3 = 0, то есть вектор положения r перемещается на бесконечно малую величину вдоль координатной оси q 1 = const и q 3 = const, тогда: ${\displaystyle 0={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}dq_{2}}$ Делим на dq 2 и переходя к пределу dq 2 → 0: ${\displaystyle 0={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial q_{2}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}={\dfrac {\partial x}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}}$ или эквивалентно: ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}\cdot \mathbf {b} ^{1}=0}$ И так далее для других точечных продуктов. Альтернативное доказательство: ${\displaystyle \delta _{j}^{i}dq^{j}=dq^{i}=\nabla q^{i}\cdot d\mathbf {r} =\mathbf {b} ^{i}\cdot {\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}dq^{j}=\mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}dq^{j}}$ и подразумевается соглашение Эйнштейна о суммировании .

Вектор v может быть задан в терминах любого базиса, т. Е.

${\displaystyle \mathbf {v} =v^{1}\mathbf {b} _{1}+v^{2}\mathbf {b} _{2}+v^{3}\mathbf {b} _{3}=v_{1}\mathbf {b} ^{1}+v_{2}\mathbf {b} ^{2}+v_{3}\mathbf {b} ^{3}}$

Используя соглашение Эйнштейна о суммировании, базисные векторы соотносятся с компонентами согласно ^{[2] ( стр. 30–32 ).}

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}\delta _{k}^{i}=v^{i}}$

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}\delta _{i}^{k}=v_{i}}$

а также

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v^{k}\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=g_{ki}v^{k}}$

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v_{k}\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=g^{ki}v_{k}}$

где g - метрический тензор (см. ниже).

Вектор может быть задан ковариантными координатами (пониженные индексы, записываются v _k ) или контравариантными координатами (повышенные индексы, пишутся v ^k ). Из приведенных выше векторных сумм видно, что контравариантные координаты связаны с ковариантными базисными векторами, а ковариантные координаты связаны с контравариантными базисными векторами.

Ключевой особенностью представления векторов и тензоров в терминах индексированных компонентов и базисных векторов является инвариантность в том смысле, что компоненты вектора, которые преобразуются ковариантным образом (или контравариантным образом), объединяются в пары с базисными векторами, которые преобразуются контравариантным способом (или ковариантный способ).

Интеграция [ править ]

Построение ковариантного базиса в одном измерении [ править ]

Рассмотрим одномерную кривую, показанную на рис. 3. В точке P , взятой за начало координат , x - одна из декартовых координат, а q ¹ - одна из криволинейных координат. Местный (без единицы) базисный вектор б ₁ (записанной ч ₁ выше, с б зарезервирован для единичных векторов) и она построена на д ¹ ось , которая является касательной к этой координатной линии в точке P . Ось q ¹ и, следовательно, вектор b ₁ образуют угол с декартовой координатой x${\displaystyle \alpha }$ось и декартов базисный вектор e ₁ .

Из треугольника PAB видно, что

${\displaystyle \cos \alpha ={\cfrac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {b} _{1}|}}\quad \Rightarrow \quad |\mathbf {e} _{1}|=|\mathbf {b} _{1}|\cos \alpha }$

где | е ₁ |, | b ₁ | являются модулями двух базисных векторов, т.е. скалярные точки пересечения PB и PA . PA также является проекцией b ₁ на ось x .

Однако этот метод преобразования базисных векторов с использованием направленных косинусов неприменим к криволинейным координатам по следующим причинам:

1. При увеличении расстояния от P угол между кривой q ¹ и декартовой осью x все больше отклоняется от .${\displaystyle \alpha }$
2. На расстоянии PB истинный угол - это угол, который касательная в точке C образует с осью x, и последний угол явно отличается от .${\displaystyle \alpha }$

Углы , что д ¹ линии и что форма оси с х оси проходных становятся ближе по значению Чем ближе движется к точке P и стать в точности равна по P .

Пусть точка E расположена очень близко к P , так близко, что расстояние PE бесконечно мало. Тогда ПЭ, измеренный на оси q ^1, практически совпадает с ПЭ, измеренным на линии q ¹ . В то же время отношение PD / PE ( PD - проекция PE на ось x ) становится почти точно равным .${\displaystyle \cos \alpha }$

Обозначим бесконечно малые точки пересечения PD и PE соответственно как dx и d q ¹ . потом

${\displaystyle \cos \alpha ={\cfrac {dx}{dq^{1}}}={\frac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {b} _{1}|}}}$.

Таким образом, направленные косинусы могут быть заменены в преобразованиях с более точными соотношениями между бесконечно малыми точками пересечения координат. Отсюда следует, что составляющая (проекция) b ₁ на ось x равна

${\displaystyle p^{1}=\mathbf {b} _{1}\cdot {\cfrac {\mathbf {e} _{1}}{|\mathbf {e} _{1}|}}=|\mathbf {b} _{1}|{\cfrac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {e} _{1}|}}\cos \alpha =|\mathbf {b} _{1}|{\cfrac {dx}{dq^{1}}}\quad \Rightarrow \quad {\cfrac {p^{1}}{|\mathbf {b} _{1}|}}={\cfrac {dx}{dq^{1}}}}$.

Если q ⁱ = q ⁱ ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) и x _i = x _i ( q ¹ , q ² , q ³ ) - гладкие (непрерывно дифференцируемые) функции, коэффициенты преобразования можно записать как и . То есть эти отношения являются частными производными координат, принадлежащих одной системе, по отношению к координатам, принадлежащим другой системе.${\displaystyle {\cfrac {\partial q^{i}}{\partial x_{j}}}}$${\displaystyle {\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}}$

Построение ковариантного базиса в трех измерениях [ править ]

Проделав то же самое для координат в других двух измерениях, b ₁ можно выразить как:

${\displaystyle \mathbf {b} _{1}=p^{1}\mathbf {e} _{1}+p^{2}\mathbf {e} _{2}+p^{3}\mathbf {e} _{3}={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{3}}$

Аналогичные уравнения справедливы для b ₂ и b _3, так что стандартный базис { e ₁ , e ₂ , e ₃ } преобразуется в локальный (упорядоченный и нормированный ) базис { b ₁ , b ₂ , b ₃ } следующей системой уравнения:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {b} _{2}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {b} _{3}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{3}\end{aligned}}}$

Аналогичным образом можно получить обратное преобразование локального базиса в стандартный базис:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{3}\\\mathbf {e} _{2}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{3}\\\mathbf {e} _{3}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{3}\end{aligned}}}$

Якобиан преобразования [ править ]

Вышеупомянутые системы линейных уравнений могут быть записаны в матричной форме с использованием соглашения Эйнштейна о суммировании как

${\displaystyle {\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}\mathbf {e} _{i}=\mathbf {b} _{k},\quad {\cfrac {\partial q^{i}}{\partial x_{k}}}\mathbf {b} _{i}=\mathbf {e} _{k}}$.

Эта матрица коэффициентов линейной системы является матрицей Якоби (и ее обратной) преобразованию. Это уравнения, которые можно использовать для преобразования декартова базиса в криволинейный и наоборот.

В трех измерениях развернутые формы этих матриц выглядят так:

${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{3}}}\\\end{bmatrix}},\quad \mathbf {J} ^{-1}={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{3}}}\\{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{3}}}\\{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}}$

В обратном преобразовании (вторая система уравнений) неизвестными являются криволинейные базисные векторы. Для любого конкретного местоположения может существовать только один и только один набор базисных векторов (иначе базис не определен в этой точке). Это условие выполняется тогда и только тогда, когда система уравнений имеет единственное решение. В линейной алгебре система линейных уравнений имеет единственное (нетривиальное) решение только в том случае, если определитель ее матрицы системы отличен от нуля:

${\displaystyle \det(\mathbf {J} ^{-1})\neq 0}$

что показывает обоснование вышеупомянутого требования относительно обратного определителя Якоби.

Обобщение до n измерений [ править ]

Формализм распространяется на любую конечную размерность следующим образом.

Рассмотрим реальный евклидовой п - мерное пространство, то есть R ^п = R × R × ... × R ( п раз) , где R является набор из действительных чисел и × обозначающую декартово произведение , которое является векторным пространством .

В координатах этого пространства может быть обозначены: х = ( х ₁ , х ₂ , ..., х _п ). Поскольку это вектор (элемент векторного пространства), его можно записать как:

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} ^{i}}$

где e ¹ = (1,0,0 ..., 0), e ² = (0,1,0 ..., 0), e ³ = (0,0,1 ..., 0) ,. .., e ⁿ = (0,0,0 ..., 1) - стандартный базисный набор векторов для пространства R ⁿ , а i = 1, 2, ... n - индекс компонентов разметки. Каждый вектор имеет ровно один компонент в каждом измерении (или «оси»), и они взаимно ортогональны ( перпендикулярны ) и нормализованы (имеют единицу величины ).

В более общем смысле, мы можем определить базисные векторы b _i так, чтобы они зависели от q = ( q ₁ , q ₂ , ..., q _n ), т.е. они менялись от точки к точке: b _i = b _i ( q ). В этом случае определить ту же точку x в терминах этого альтернативного базиса: координаты относительно этого базиса v _i также обязательно зависят от x , то есть v _i = v _i ( x ). Тогда векторv в этом пространстве относительно этих альтернативных координат и базисных векторов может быть расширен как линейная комбинация в этом базисе (что просто означает умножение каждого базисного вектора e _i на число v _i - скалярное умножение ):

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{j=1}^{n}{\bar {v}}^{j}\mathbf {b} _{j}=\sum _{j=1}^{n}{\bar {v}}^{j}(\mathbf {q} )\mathbf {b} _{j}(\mathbf {q} )}$

Векторная сумма, описывающая v в новом базисе, состоит из разных векторов, хотя сама сумма остается той же.

Преобразование координат [ править ]

С более общей и абстрактной точки зрения, криволинейная система координат просто координат пластырь на дифференцируемом многообразии Е ^п (п-мерном евклидовом пространстве ) , что является диффеоморфен к декартовых координат патча на многообразии. ^[3] Два диффеоморфных координатных пятна на дифференциальном многообразии не обязательно дифференцируемо перекрываются. С этим простым определением криволинейной системы координат все результаты, которые следуют ниже, являются просто приложениями стандартных теорем в дифференциальной топологии .

Функции преобразования таковы, что существует взаимно однозначное отношение между точками в «старых» и «новых» координатах, то есть эти функции являются взаимно однозначными и удовлетворяют следующим требованиям в своих областях :

Векторная и тензорная алгебра в трехмерных криволинейных координатах [ править ]

Примечание: ниже используется соглашение Эйнштейна о суммировании повторяющихся индексов.

Элементарная векторная и тензорная алгебра в криволинейных координатах используется в некоторой старой научной литературе по механике и физике и может быть незаменимой для понимания работ начала и середины 1900-х годов, например текста Грина и Зерны. ^[5] В этом разделе приведены некоторые полезные соотношения алгебры векторов и тензоров второго порядка в криволинейных координатах. Обозначения и содержание в основном взяты из Ogden, ^[6] Naghdi, ^[7] Simmonds, ^[2] Green and Zerna, ^[5] Basar and Weichert, ^[8] и Ciarlet. ^[9]

Тензоры в криволинейных координатах [ править ]

Тензор второго порядка можно выразить как

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=S^{ij}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S^{i}{}_{j}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=S_{i}{}^{j}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}}$

где обозначает тензорное произведение . Компоненты S ^IJ называется контравариантные компоненты, S ^я _{ямайский} в смешанной правой-ковариантной компоненте, S _я ^{ямайский} в смешанных левых-ковариантных компонентах и S _Ij на ковариантные компонентах тензора второго порядка. Компоненты тензора второго порядка связаны соотношением${\displaystyle \scriptstyle \otimes }$

${\displaystyle S^{ij}=g^{ik}S_{k}{}^{j}=g^{jk}S^{i}{}_{k}=g^{ik}g^{j\ell }S_{k\ell }}$

Метрический тензор в ортогональных криволинейных координатах [ править ]

В каждой точке, можно построить небольшой линейный элемент д х , так что квадрат длины линейного элемента есть скалярное произведение д х • д х и называется метрикой в пространстве , определяется по формуле:

${\displaystyle d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ={\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}{\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}dq^{j}dq^{k}}$.

Следующая часть приведенного выше уравнения

${\displaystyle {\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{i}}}{\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{j}}}=g_{ij}(q^{i},q^{j})=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}}$

является симметричным тензором называется фундаментальной (или метрики) тензор в евклидовом пространстве в криволинейной системе координат.

Индексы можно повышать и понижать по метрике:

${\displaystyle v^{i}=g^{ik}v_{k}}$

Связь с коэффициентами Ламе [ править ]

Определение масштабных коэффициентов h _{i с} помощью

${\displaystyle h_{i}h_{j}=g_{ij}=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}\quad \Rightarrow \quad h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}=\left|\mathbf {b} _{i}\right|=\left|{\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\right|}$

дает связь между метрическим тензором и коэффициентами Ламе, а

${\displaystyle g_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{j}}}=\left(h_{ki}\mathbf {e} _{k}\right)\cdot \left(h_{mj}\mathbf {e} _{m}\right)=h_{ki}h_{kj}}$

где h _ij - коэффициенты Ламе. Для ортогонального базиса также имеем:

${\displaystyle g=g_{11}g_{22}g_{33}=h_{1}^{2}h_{2}^{2}h_{3}^{2}\quad \Rightarrow \quad {\sqrt {g}}=h_{1}h_{2}h_{3}=J}$

Пример: полярные координаты [ править ]

Если рассматривать полярные координаты для R ² ,

${\displaystyle (x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )}$

(r, θ) - криволинейные координаты, а определитель Якоби преобразования ( r , θ) → ( r cos θ, r sin θ) равен r .

В ортогональных базисных векторов Ь _т = (сов θ, θ грех), б _θ = (-r грех θ, θ г сов). Масштабные коэффициенты h _r = 1 и h _θ = r . Фундаментальный тензор g ₁₁ = 1, g ₂₂ = r ² , g ₁₂ = g ₂₁ = 0.

Альтернативный тензор [ править ]

В ортонормированном правом базисе переменный тензор третьего порядка определяется как

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {E}}}=\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}\otimes \mathbf {e} ^{k}}$

В общем криволинейном базисе тот же тензор можно выразить как

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {E}}}={\mathcal {E}}_{ijk}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}={\mathcal {E}}^{ijk}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b} _{k}}$

Также можно показать, что

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{ijk}={\cfrac {1}{J}}\varepsilon _{ijk}={\cfrac {1}{+{\sqrt {g}}}}\varepsilon _{ijk}}$

Символы Кристоффеля [ править ]

Символы Кристоффеля первого рода${\displaystyle \Gamma _{kij}}$

${\displaystyle \mathbf {b} _{i,j}={\frac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} ^{k}\Gamma _{kij}\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i,j}=\Gamma _{kij}}$

где запятая обозначает частную производную (см. исчисление Риччи ). Чтобы выразить Γ _kij через g _ij ,

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{ij,k}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}=\mathbf {b} _{i,k}\cdot \mathbf {b} _{j}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j,k}=\Gamma _{jik}+\Gamma _{ijk}\\g_{ik,j}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}=\mathbf {b} _{i,j}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k,j}=\Gamma _{kij}+\Gamma _{ikj}\\g_{jk,i}&=(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}=\mathbf {b} _{j,i}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k,i}=\Gamma _{kji}+\Gamma _{jki}\end{aligned}}}$

С

${\displaystyle \mathbf {b} _{i,j}=\mathbf {b} _{j,i}\quad \Rightarrow \quad \Gamma _{kij}=\Gamma _{kji}}$

используя их для перестановки приведенных выше соотношений, получаем

${\displaystyle \Gamma _{kij}={\frac {1}{2}}(g_{ik,j}+g_{jk,i}-g_{ij,k})={\frac {1}{2}}[(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}+(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}-(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}]}$

Символы Кристоффеля второго рода${\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ji}}$

${\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}=g^{kl}\Gamma _{lij}=\Gamma ^{k}{}_{ji},\quad {\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} _{k}\Gamma ^{k}{}_{ij}}$

Это означает, что

${\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}\cdot \mathbf {b} ^{k}=-\mathbf {b} _{i}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{k}}{\partial q^{j}}}\quad }$с тех пор .${\displaystyle \quad {\cfrac {\partial }{\partial q^{j}}}(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} ^{k})=0}$

Другие отношения, которые следуют далее:

${\displaystyle {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{i}}{\partial q^{j}}}=-\Gamma ^{i}{}_{jk}\mathbf {b} ^{k},\quad {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} _{i}=\Gamma ^{k}{}_{ij}\mathbf {b} _{k}\otimes \mathbf {b} ^{j},\quad {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} ^{i}=-\Gamma ^{i}{}_{jk}\mathbf {b} ^{k}\otimes \mathbf {b} ^{j}}$

Векторные операции [ править ]

Векторное и тензорное исчисление в трехмерных криволинейных координатах [ править ]

Примечание: ниже используется соглашение Эйнштейна о суммировании повторяющихся индексов.

При вычислении линейных , поверхностных и объемных интегралов необходимо внести поправки . Для простоты следующее ограничивается тремя измерениями и ортогональными криволинейными координатами. Однако те же аргументы применимы и для n -мерных пространств. Когда система координат не ортогональна, в выражениях есть некоторые дополнительные члены.

Симмондс, ^[2] в своей книге о тензорном анализе , цитирует Альберт Эйнштейн говорил ^[10]

Магия этой теории вряд ли перестанет привлекать к себе любого, кто ее действительно понял; он представляет собой подлинный триумф метода абсолютного дифференциального исчисления, основанного Гауссом, Риманом, Риччи и Леви-Чивита.

Векторное и тензорное исчисление в общих криволинейных координатах используется в тензорном анализе четырехмерных криволинейных многообразий в общей теории относительности , ^[11] в механике искривленных оболочек , ^[9] при исследовании свойств инвариантности уравнений Максвелла, которые представляли интерес в метаматериалы ^{[12] [13]} и во многих других областях.

В этом разделе приведены некоторые полезные соотношения в исчислении векторов и тензоров второго порядка в криволинейных координатах. Обозначения и содержание в основном взяты из Ogden, ^[14] Simmonds, ^[2] Green and Zerna, ^[5] Basar and Weichert, ^[8] и Ciarlet. ^[9]

Пусть φ = φ ( x ) - хорошо определенное скалярное поле, v = v ( x ) - строго определенное векторное поле, а λ ₁ , λ ₂ ... - параметры координат

Геометрические элементы [ править ]

Интеграция [ править ]

Оператор	Скалярное поле	Векторное поле
Линейный интеграл	${\displaystyle \int _{C}\varphi (\mathbf {x} )ds=\int _{a}^{b}\varphi (\mathbf {x} (\lambda ))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }\right|d\lambda }$	${\displaystyle \int _{C}\mathbf {v} (\mathbf {x} )\cdot d\mathbf {s} =\int _{a}^{b}\mathbf {v} (\mathbf {x} (\lambda ))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }\right)d\lambda }$
Поверхностный интеграл	${\displaystyle \int _{S}\varphi (\mathbf {x} )dS=\iint _{T}\varphi (\mathbf {x} (\lambda _{1},\lambda _{2}))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}\right|d\lambda _{1}d\lambda _{2}}$	${\displaystyle \int _{S}\mathbf {v} (\mathbf {x} )\cdot dS=\iint _{T}\mathbf {v} (\mathbf {x} (\lambda _{1},\lambda _{2}))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}\right)d\lambda _{1}d\lambda _{2}}$
Объемный интеграл	${\displaystyle \iiint _{V}\varphi (x,y,z)dV=\iiint _{V}\chi (q_{1},q_{2},q_{3})Jdq_{1}dq_{2}dq_{3}}$	${\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {u} (x,y,z)dV=\iiint _{V}\mathbf {v} (q_{1},q_{2},q_{3})Jdq_{1}dq_{2}dq_{3}}$

Дифференциация [ править ]

Выражения для градиента, дивергенции и лапласиана могут быть непосредственно расширены до n -мерностей, однако ротор определяется только в 3D.

Векторное поле b _i касается координатной кривой q ⁱ и образует естественный базис в каждой точке кривой. Этот базис, как обсуждалось в начале статьи, также называется ковариантным криволинейным базисом. Мы также можем определить взаимный базис или контравариантный криволинейный базис, b ⁱ . Все алгебраические соотношения между базисными векторами, как обсуждалось в разделе о тензорной алгебре, применяются к естественному базису и его обратной величине в каждой точке x .

Оператор	Скалярное поле	Векторное поле	Тензорное поле 2-го порядка
Градиент	${\displaystyle \nabla \varphi ={\cfrac {1}{h_{i}}}{\partial \varphi \over \partial q^{i}}\mathbf {b} ^{i}}$	${\displaystyle \nabla \mathbf {v} ={\cfrac {1}{h_{i}^{2}}}{\partial \mathbf {v} \over \partial q^{i}}\otimes \mathbf {b} _{i}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}={\cfrac {\partial {\boldsymbol {S}}}{\partial q^{i}}}\otimes \mathbf {b} ^{i}}$
Расхождение	N / A	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} ={\cfrac {1}{\prod _{j}h_{j}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}(v^{i}\prod _{j\neq i}h_{j})}$	${\displaystyle ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}})\cdot \mathbf {a} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {S}}\cdot \mathbf {a} )}$ где a - произвольный постоянный вектор. В криволинейных координатах ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}=\left[{\cfrac {\partial S_{ij}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ki}^{l}S_{lj}-\Gamma _{kj}^{l}S_{il}\right]g^{ik}\mathbf {b} ^{j}}$
Лапласиан	${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi ={\cfrac {1}{\prod _{j}h_{j}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\cfrac {\prod _{j}h_{j}}{h_{i}^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{i}}}\right)}$
Завиток	N / A	Только для векторных полей в 3D, ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\mathbf {e} _{i}\epsilon _{ijk}h_{i}{\frac {\partial (h_{k}v_{k})}{\partial q^{j}}}}$ где это символ Леви-Чивита .${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$	См. Curl тензорного поля