Принцип Даламбера , также известный как принцип Лагранжа – Даламбера , представляет собой формулировку основных классических законов движения. Он назван в честь его первооткрывателя, французского физика и математика Жана ле Ронда д'Аламбера . Это расширение принципа виртуальной работы со статических систем на динамические . Даламбер разделяет общие силы, действующие на систему, на силы инерции (из-за движения неинерциальной системы отсчета , теперь известные как фиктивные силы ) и впечатляющие силы.(все остальные силы). Хотя принцип Даламбера формулируется по-разному, по сути, он означает, что любая система сил находится в равновесии, если приложенные силы добавляются к силам инерции. [1] Этот принцип не применяется к необратимым смещениям, таким как трение скольжения , и требуется более общее определение необратимости. [2] Принцип Даламбера является более общим, чем принцип Гамильтона, поскольку он не ограничивается голономными связями, которые зависят только от координат и времени, но не от скоростей. [3]
Формулировка принципа
Принцип гласит, что сумма разностей между силами, действующими на систему массивных частиц, и производными по времени от импульсов самой системы, проецируемых на любое виртуальное смещение, согласованное с ограничениями системы, равна нулю. [ требуется пояснение ] Таким образом, в математической записи принцип Даламбера записывается следующим образом:
где :
является целым числом, используемым для обозначения (через нижний индекс) переменной, соответствующей конкретной частице в системе, полная приложенная сила (без учета сил ограничения) на -я частица, масса -я частица, скорость -я частица, виртуальное смещение -я частица, согласующаяся с ограничениями.
Точечная нотация Ньютона используется для обозначения производной по времени. Это уравнение часто называют принципом Даламбера, но впервые оно было записано в этой вариационной форме Жозефом Луи Лагранжем . [4] Вклад Даламбера состоял в том, чтобы продемонстрировать, что во всей динамической системе силы ограничения исчезают. То есть обобщенные силы не нужно включать сдерживающие силы. Это эквивалентно несколько более громоздкому принципу наименьшего ограничения Гаусса .
Производные
Общий случай с переменной массой
В общем изложении принципа Даламбера упоминаются « производные по времени от импульсов системы». Согласно второму закону Ньютона, первая производная импульса по времени - это сила. Импульс-я масса - это произведение ее массы на скорость:
а его производная по времени равна
- .
Во многих приложениях массы постоянны, и это уравнение сводится к
- ,
которое фигурирует в приведенной выше формуле. Однако некоторые приложения включают изменение массы (например, свертывание или развертывание цепочек), и в этих случаях оба термина а также должны оставаться в настоящем, давая
Частный случай с постоянной массой
Рассмотрим закон Ньютона для системы частиц постоянной массы, . Полная сила, действующая на каждую частицу, составляет [5]
где
- полные силы, действующие на частицы системы, - силы инерции, возникающие в результате суммарных сил.
Перемещение сил инерции влево дает выражение, которое можно рассматривать как представляющее квазистатическое равновесие, но которое на самом деле представляет собой всего лишь небольшую алгебраическую манипуляцию с законом Ньютона: [5]
Учитывая виртуальную работу ,, совершаемый совокупными и инерционными силами вместе посредством произвольного виртуального смещения, , системы приводит к нулевой идентичности, так как задействованные силы в сумме равны нулю для каждой частицы. [5]
Исходное векторное уравнение можно восстановить, признав, что выражение работы должно выполняться для произвольных перемещений. Разделив общие силы на приложенные силы,, и силы связи, , дает [5]
Если предполагается, что произвольные виртуальные смещения происходят в направлениях, ортогональных силам связи (что обычно не так, поэтому этот вывод работает только для особых случаев), силы ограничения не выполняют никакой работы, . Такие смещения считаются совместимыми с ограничениями. [6] Это приводит к формулировке принципа Даламбера , который гласит, что разница приложенных сил и сил инерции для динамической системы не выполняет никакой виртуальной работы: [5]
Для статических систем также существует соответствующий принцип, называемый принципом виртуальной работы приложенных сил .
Принцип инерционных сил Даламбера
Даламбер показал, что можно преобразовать ускоряющееся твердое тело в эквивалентную статическую систему, добавив так называемую « инерционную силу » и « инерционный момент » или момент. Инерционная сила должна действовать через центр масс, а инерционный момент может действовать где угодно. Затем система может быть проанализирована точно как статическая система, подверженная действию этой «инерционной силы и момента», а также внешних сил. Преимущество состоит в том, что в эквивалентной статической системе можно брать моменты относительно любой точки (а не только центра масс). Это часто приводит к более простым вычислениям, потому что любую силу (в свою очередь) можно исключить из уравнений моментов, выбрав соответствующую точку, к которой применяется уравнение моментов (сумма моментов = ноль). Даже в курсе «Основы динамики и кинематики машин» этот принцип помогает анализировать силы, действующие на звено механизма, когда оно движется. В учебниках инженерной динамики это иногда называют принципом Даламбера .
Динамическое равновесие
Форма принципа виртуальной работы Даламбера утверждает, что система твердых тел находится в динамическом равновесии, когда виртуальная работа суммы приложенных сил и сил инерции равна нулю для любого виртуального смещения системы. Таким образом, для динамического равновесия системы из n твердых тел с m обобщенными координатами требуется, чтобы
для любого набора виртуальных перемещений . Это условие дает m уравнений:
который также можно записать как
Результатом является система m уравнений движения, которые определяют динамику системы твердого тела.
Рекомендации
- ^ Корнелиус Ланцош (1970). п. 90 . ISBN 978-0-486-65067-8.
- ^ Удвадиа, ИП; Калаба, RE (2002). «Об основах аналитической динамики» (PDF) . Intl. Journ. Нелинейная механика . 37 (6): 1079–1090. Bibcode : 2002IJNLM..37.1079U . CiteSeerX 10.1.1.174.5726 . DOI : 10.1016 / S0020-7462 (01) 00033-6 . Архивировано из оригинального (PDF) 13 июня 2010 года.
- ^ Ланцош, Корнелиус (1970). Вариационные принципы механики (4-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications Inc., стр. 92. ISBN 978-0-486-65067-8.
- ↑ Арнольд Зоммерфельд (1956), Механика: Лекции по теоретической физике , Том 1, стр. 53
- ^ а б в г д Торби, Брюс (1984). «Энергетические методы». Продвинутая динамика для инженеров . Серия HRW в машиностроении. Соединенные Штаты Америки: CBS College Publishing. ISBN 978-0-03-063366-9.
- ^ Чен, Инг-Чанг (2005). «Совершенствование механики материалов». Обучение студентов работе и методу виртуальной работы в статике: руководящая стратегия с наглядными примерами . 2005 Ежегодная конференция и выставка Американского общества инженерного образования . Проверено 24 июня 2014 года .[ постоянная мертвая ссылка ]