Закон Дарси - это уравнение, описывающее течение жидкости через пористую среду. Закон был сформулирован Генри Дарси на основе результатов экспериментов [1] по течению воды через песчаные пласты , составляющих основу гидрогеологии , отрасли наук о Земле .
Задний план
Закон Дарси был впервые экспериментально определен Дарси, но с тех пор он был выведен из уравнений Навье – Стокса с помощью методов усреднения . [2] Это аналог закона Фурье в области теплопроводности , закона Ома в области электрических сетей и закона Фика в теории диффузии .
Одно из применений закона Дарси - анализ потока воды через водоносный горизонт ; Закон Дарси вместе с уравнением сохранения массы упрощается до уравнения потока грунтовых вод , одного из основных соотношений гидрогеологии .
Моррис Маскат первым [ ссылка ] уточнил уравнение Дарси для однофазного потока, включив вязкость в уравнение Дарси для однофазной (текучей) фазы. Можно понять, что вязким флюидам труднее проникать через пористую среду, чем менее вязким флюидам. Это изменение сделало его пригодным для исследователей нефтяной промышленности. Основываясь на экспериментальных результатах его коллег Вайкоффа и Боцета, Маскат и Мерес также обобщили закон Дарси, чтобы охватить многофазный поток воды, нефти и газа в пористой среде нефтяного коллектора . Обобщенные уравнения многофазного потока, разработанные Маскатом и другими, обеспечивают аналитическую основу для разработки месторождений, которая существует по сей день.
Описание
Закон Дарси, уточненный Моррисом Маскатом , в отсутствие гравитационных сил и в однородно проницаемой среде задается простым соотношением пропорциональности между мгновенным потоком (Q = Q / A, единица измерения: (м 3 жидкости / с) или м 2 / с) через пористую среду , то проницаемость среды, динамическая вязкость жидкости, а падение давления на заданном расстоянии в виде
Это уравнение для однофазного (флюидного) потока является определяющим уравнением для абсолютной проницаемости (однофазной проницаемости).
Что касается диаграммы справа, поток , или расход на единицу площади, определяется в единицах проницаемость в единицах , площадь поперечного сечения в единицах , полное падение давления в единицах , динамическая вязкость в единицах , а также длина выборки в единицах . Некоторые из этих параметров используются в альтернативных определениях ниже. Отрицательный знак используется в определении потока в соответствии со стандартным физическим соглашением, согласно которому жидкости текут из областей высокого давления в области низкого давления. Обратите внимание, что необходимо учитывать высоту напора, если вход и выход находятся на разных уровнях. Если изменение давления отрицательное, поток будет в положительном направлении по оси x . Было несколько предложений по материальному уравнению для абсолютной проницаемости, и наиболее известным из них, вероятно, является уравнение Козени (также называемое уравнением Козени-Кармана ).
Интегральная форма закона Дарси дается:
где Q (единицы объема за время, например, м 3 / с) - общий расход . Рассматривая соотношение для статического давления жидкости ( закон Стевина ):
можно вывести представление
где ν - кинематическая вязкость . Следовательно, соответствующая гидравлическая проводимость равна:
Это количество , часто называемая потоком Дарси или скоростью Дарси, не является скоростью, с которой жидкость движется через поры. Скорость потока ( u ) связана с потоком ( q ) пористостью ( φ ) и принимает вид
Закон Дарси - это простое математическое утверждение, которое аккуратно резюмирует несколько знакомых свойств подземных вод, протекающих в водоносных горизонтах , включая:
- если на расстоянии нет градиента давления, поток не возникает (это гидростатические условия),
- если есть градиент давления, поток будет происходить от высокого давления к низкому давлению (противоположно направлению возрастающего градиента - отсюда отрицательный знак в законе Дарси),
- чем больше градиент давления (через тот же материал пласта), тем больше скорость разряда, и
- скорость истечения жидкости часто будет разной - через разные материалы пласта (или даже через один и тот же материал в другом направлении) - даже если в обоих случаях существует один и тот же градиент давления.
Графическая иллюстрация использования уравнения стационарного потока подземных вод (основанного на законе Дарси и сохранении массы) представлена при создании сетей для измерения количества подземных вод, протекающих под плотиной .
Закон Дарси действителен только для медленного вязкого течения; однако в эту категорию попадает большинство случаев стока подземных вод. Обычно любой поток с числом Рейнольдса меньше единицы явно ламинарный, и можно было бы применить закон Дарси. Экспериментальные испытания показали, что режимы течения с числами Рейнольдса до 10 все еще могут быть дарсианскими, как и в случае потока грунтовых вод. Число Рейнольдса (безразмерный параметр) для потока в пористой среде обычно выражается как
где ν представляет собой кинематическая вязкость в воде , у является сброс удельного (не скорость пор - с единицы длиной в единице времени), д 30 является представителем диаметром зерна для пористых сред (стандартный выбор D30, который является 30 % проходящего размера по результатам гранулометрического анализа с использованием сит - в единицах длины).
Вывод
Для стационарного, ползучего несжимаемого течения, т. Е. D ( ρu i )/Dt≈ 0 уравнение Навье – Стокса упрощается до уравнения Стокса , которое без учета объемного члена имеет вид:
где μ - вязкость, u i - скорость в направлении i , g i - составляющая силы тяжести в направлении i, а p - давление. Предполагая, что сила вязкого сопротивления линейна со скоростью, мы можем написать:
где φ - пористость , а k ij - тензор проницаемости второго порядка. Это дает скорость в направлении n ,
что дает закон Дарси для объемной плотности потока в направлении n ,
В изотропных пористых средах недиагональные элементы в тензоре проницаемости равны нулю, k ij = 0 для i ≠ j, а диагональные элементы идентичны, k ii = k , и общая форма получается, как показано ниже, что позволяет определить скорость потока жидкости путем решения системы уравнений в заданной области. [3]
Вышеприведенное уравнение является основным уравнением для однофазного потока жидкости в пористой среде.
Использование в нефтяной инженерии
Другой вывод из закона Дарси широко используется в нефтяной инженерии для определения потока через проницаемую среду - наиболее простой из них - для одномерного, однородного горного пласта с одной жидкой фазой и постоянной вязкостью жидкости .
Почти все нефтяные пласты имеют водную зону под нефтяной ветвью, а некоторые также имеют газовую шапку над нефтяной веткой. Когда пластовое давление падает из-за добычи нефти, вода поступает в нефтяную зону снизу, а газ течет в нефтяную зону сверху (если существует газовая шапка), и мы получаем одновременный поток и несмешивающееся перемешивание всех фаз флюида в нефтяная зона. Оператор нефтяного месторождения может также закачивать воду (и / или газ), чтобы улучшить добычу нефти. Поэтому в нефтяной промышленности используется обобщенное уравнение Дарси для многофазного потока, разработанное Маскатом и другими. Поскольку имя Дарси так широко распространено и тесно связано с потоком в пористой среде, многофазное уравнение обозначается законом Дарси для многофазного потока или обобщенным уравнением (или законом) Дарси, или просто уравнением (или законом) Дарси, или просто уравнением потока, если в контексте говорится, что текст обсуждает многофазное уравнение Маскета и др Alios. Многофазный поток в нефтяных и газовых коллекторах - обширная тема, и одна из многих статей по этой теме - закон Дарси для многофазного потока .
Использование в приготовлении кофе
В ряде работ закон Дарси использовался для моделирования физики пивоварения в горшочке для мока , в частности, как горячая вода просачивается через молотый кофе под давлением, начиная с статьи Варламова и Балестрино в 2001 году [4] и продолжая в 2007 году. статья Джанино [5], статья Наварини и др. 2008 г. [6] , а также в статье У. Кинга от 2008 года. [7] В документах будет либо приниматься постоянная проницаемость кофе для упрощения, либо измеряться изменения в процессе заваривания.
Дополнительные формы
Квадратичный закон
Для течений в пористой среде с числами Рейнольдса больше, чем примерно от 1 до 10, инерционные эффекты также могут стать значительными. Иногда к уравнению Дарси добавляют инерционный член, известный как член Форхгеймера . Этот член может объяснить нелинейное поведение разницы давлений в зависимости от данных расхода. [8]
где дополнительный член k 1 известен как инерционная проницаемость.
Течение в середине коллектора из песчаника настолько медленное, что уравнение Форххаймера обычно не требуется, но поток газа в газодобывающую скважину может быть достаточно высоким, чтобы оправдать использование уравнения Форхгеймера. В этом случае расчет показателей притока для скважины, а не ячейки сетки 3D-модели, основан на уравнении Форхгеймера. В результате в формуле характеристик притока появляется дополнительный зависящий от скорости скин-слой.
Некоторые карбонатные коллекторы имеют много трещин, и уравнение Дарси для многофазного потока обобщено, чтобы управлять как потоком в трещинах, так и потоком в матрице (то есть в традиционной пористой породе). Неровная поверхность стенок трещин и высокая скорость потока в трещинах могут оправдать использование уравнения Форхгеймера.
Поправка на газы в мелкодисперсных средах (диффузия Кнудсена или эффект Клинкенберга)
Для газового потока с небольшими характеристическими размерами (например, очень мелкий песок, нанопористые структуры и т. Д.) Взаимодействия частицы со стенкой становятся более частыми, что приводит к дополнительному трению стенки (трение Кнудсена). Для течения в этой области, где присутствует как вязкое трение , так и трение Кнудсена , необходимо использовать новую формулировку. Кнудсен представил полуэмпирическую модель потока в переходном режиме, основанную на его экспериментах с небольшими капиллярами. [9] [10] Для пористой среды уравнение Кнудсена может быть записано как [10]
где N - молярный поток, R g - газовая постоянная, T - температура, Dэфф
К- эффективный коэффициент диффузии Кнудсена пористой среды. Модель также может быть получена из основанной на первых принципах бинарной модели трения (BFM). [11] [12] Дифференциальное уравнение переходного течения в пористой среде на основе BFM имеет вид [11]
Это уравнение справедливо как для капилляров, так и для пористых сред. Терминология эффекта Кнудсена и коэффициента диффузии Кнудсена более распространена в машиностроении и химической инженерии . В геологической и нефтехимической инженерии этот эффект известен как эффект Клинкенберга . Используя определение молярного потока, приведенное выше уравнение можно переписать как
Это уравнение можно преобразовать в следующее уравнение
Сравнивая это уравнение с обычным законом Дарси, можно дать новую формулировку:
где
Это эквивалентно формулировке эффективной проницаемости, предложенной Клинкенбергом: [13]
где b известен как параметр Клинкенберга, который зависит от газа и структуры пористой среды. Это совершенно очевидно, если сравнить приведенные выше формулировки. Параметр Клинкенберга b зависит от проницаемости, коэффициента диффузии Кнудсена и вязкости (т. Е. Свойств как газа, так и пористой среды).
Закон Дарси для коротких временных масштабов
Для очень коротких временных масштабов к закону Дарси может быть добавлена производная потока по времени, что приводит к действительным решениям в очень малые моменты времени (при теплопередаче это называется модифицированной формой закона Фурье ),
где τ - очень малая постоянная времени, которая приводит к приведению этого уравнения к нормальной форме закона Дарси в «нормальные» моменты времени (> наносекунды ). Основная причина этого заключается в том, что регулярное уравнение потока грунтовых вод ( уравнение диффузии ) приводит к сингулярностям на границах постоянного напора в очень короткие времена. Эта форма является более строгой с математической точки зрения, но приводит к гиперболическому уравнению потока грунтовых вод, которое труднее решить и которое полезно только в очень короткие промежутки времени, как правило, вне сферы практического использования.
Форма Бринкмана закона Дарси
Другим расширением традиционной формы закона Дарси является термин Бринкмана, который используется для учета переходного потока между границами (введенный Бринкманом в 1949 г. [14] ),
где β - член эффективной вязкости . Этот поправочный член учитывает поток через среду, где зерна среды сами по себе являются пористыми, но их трудно использовать, и им обычно пренебрегают. Например, если пористый внеклеточный матрикс разрушается с образованием больших пор по всей матрице, термин «вязкость» применяется к большим порам, тогда как закон Дарси применяется к оставшейся неповрежденной области. Этот сценарий был рассмотрен в теоретическом и модельном исследовании. [15] В предлагаемой модели уравнение Бринкмана связано с системой уравнений реакции-диффузии-конвекции .
Действительность закона Дарси
Закон Дарси справедлив для ламинарного потока через отложения . В мелкозернистых отложениях размеры пустот невелики, поэтому течение ламинарное. Крупнозернистые отложения также ведут себя аналогичным образом, но в очень крупнозернистых отложениях поток может быть турбулентным . [16] Следовательно, закон Дарси не всегда действует в таких отложениях. Для потока через промышленные круглые трубы поток является ламинарным, когда число Рейнольдса меньше 2000, и турбулентным, когда оно больше 4000, но в некоторых отложениях было обнаружено, что поток является ламинарным, когда значение числа Рейнольдса меньше 1. . [17]
Смотрите также
- Дарсите , единица проницаемости жидкости
- Гидрогеология
- Уравнение потока грунтовых вод
- Математическая модель
- Уравнения черной нефти
Рекомендации
- ^ Дарси, Х. (1856). Les fontaines publiques de la ville de Dijon . Париж: Дальмон.
- ^ Уитакер, С. (1986). «Течение в пористой среде I: теоретический вывод закона Дарси». Транспорт в пористой среде . 1 : 3–25. DOI : 10.1007 / BF01036523 . S2CID 121904058 .
- ^ Адаптация пористой среды для контролируемого капиллярного потока Журнал науки о коллоидах и границах раздела 539 (2019) 379–387
- ↑ А. Варламов и Г. Балестрино, «La fisica di un buon caffè», Il Nuovo Saggiatore 17, 3–4, 59–66, 2001.
- ^ Джанино, Кончетто. Экспериментальный анализ итальянского кофейника "мока". Американский журнал физики (2007)
- ^ "Экспериментальное исследование экстракции кофе под давлением пара в плите кофеварки" Л. Наварини, Э. Нобиле, Ф. Пинто, А. Шери, Ф. Сугги-Ливерани
- ^ Король, Уоррен. «Физика кофеварки эспрессо». Американский журнал физики (2008)
- ^ Бежан, А. (1984). Конвекционная теплопередача . Джон Вили и сыновья.
- ^ Каннингем, РЭ; Уильямс, RJJ (1980). Диффузия в газах и пористых средах . Нью-Йорк: Пленум Пресс.
- ^ а б Carrigy, N .; Брюки, LM; Mitra, SK; Секанелл, М. (2013). «Коэффициент диффузии Кнудсена и проницаемость газодиффузионных слоев с микропористым покрытием из ПМФК для различных нагрузок политетрафторэтилена» . Журнал Электрохимического общества . 160 (2): F81–89. DOI : 10.1149 / 2.036302jes .
- ^ а б Брюки, LM; Mitra, SK; Секанелл, М. (2012). «Измерения абсолютной проницаемости и коэффициента диффузии Кнудсена в газодиффузионных слоях PEMFC и микропористых слоях». Журнал источников энергии . 206 : 153–160. DOI : 10.1016 / j.jpowsour.2012.01.099 .
- ^ Керхоф, П. (1996). «Модифицированная модель Максвелла – Стефана для переноса через инертные мембраны: бинарная модель трения» . Журнал химической инженерии и журнал биохимической инженерии . 64 (3): 319–343. DOI : 10.1016 / S0923-0467 (96) 03134-X .
- ^ Клинкенберг, LJ (1941). «Проницаемость пористых сред для жидкостей и газов». Буровая и производственная практика . Американский нефтяной институт. С. 200–213.
- ^ Бринкман, ХК (1949). «Расчет вязкой силы, оказываемой текущей жидкостью на плотный рой частиц». Прикладные научные исследования . 1 : 27–34. CiteSeerX 10.1.1.454.3769 . DOI : 10.1007 / BF02120313 .
- ^ Wertheim, Kenneth Y .; Русе, Тийна (апрель 2017 г.). «Математическая модель лимфангиогенеза в эмбрионе рыбок данио» . Вестник математической биологии . 79 (4): 693–737. DOI : 10.1007 / s11538-017-0248-7 . ISSN 1522-9602 . PMC 5501200 . PMID 28233173 .
- ^ Jin, Y .; Ут, М.-Ф .; Кузнецов А.В.; Хервиг, Х. (2 февраля 2015 г.). «Численное исследование возможности макроскопической турбулентности в пористых средах: исследование методом прямого численного моделирования». Журнал гидромеханики . 766 : 76–103. Bibcode : 2015JFM ... 766 ... 76J . DOI : 10.1017 / jfm.2015.9 .
- ^ Арора, KR (1989). Механика грунтов и фундаментостроение . Стандартные издатели.