Из Википедии, свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
«Гильберт» перенаправляется сюда. Для использования в других целях, см Гильберт (значения) .

Дэвид Гильберт
Hilbert.jpg
Дэвид Гильберт (1912)
Рожденный( 1862-01-23 )23 января 1862 г.
Кенигсберг или Веллау , провинция Пруссия в Прусском королевстве (ныне Калининград или Знаменск, Калининградская область в России )
Умер14 февраля 1943 г. (1943-02-14)(81 год)
Геттинген , нацистская Германия
НациональностьНемецкий
ОбразованиеКенигсбергский университет ( PhD )
ИзвестенТеорема Гильберта о базисе
Аксиомы
Гильберта Проблемы
Гильберта Программа
Гильберта Действие Эйнштейна – Гильберта
Гильбертово пространство
Исчисление Эпсилона
Супруг (а)Кете Йерош
ДетиФранц (р. 1893)
НаградыПремия Лобачевского (1903 г.)
Премия Бояи (1910 г.)
ForMemRS [1]
Научная карьера
ПоляМатематика , физика и философия
УчрежденияКенигсбергский
университет Геттингенского университета
ТезисОб инвариантных свойствах специальных двоичных форм, особенно сферических функций  (1885 г.)
ДокторантФердинанд фон Линдеманн [2]
ДокторантыВильгельм Аккерман
Генрих Беманн
Феликс Бернштейн
Отто Блюменталь
Энн Босворт
Вернер Boy
Ричард Курант
Haskell Curry
Макс Дена
Рудольф Фютер
Paul Funk
Курт Греллинг
Alfréd Haar
Erich Hecke
Эрл Хенрик
Эрнст Хеллингер
Wallie Гурвица
Маргарета Кан
Оливер Келлога
Хельмут Кнезер
Роберт Кениг
Эмануэль Ласкер
Клара Лобенстейн
Чарльз Макс Мейсон
Erhard Шмидт
Курт Шютте
Андреас Спайзер
Хьюго Штайнхаус
Габриэль Судан
Тейджи Такаги
Герман Вейл
Эрнст Цермело
Другие известные студентыЭдвард Каснер
Джон фон Нейман
ВлиянияИммануил Кант [3]

Давид Гильберт ( / ч ɪ л б ər т / ; [4] Немецкий: [daːvɪt hɪlbɐt] ; 23 января 1862 - 14 февраля 1943) был немецкий математик и один из самых влиятельных математиков 19 - го и начале 20 - го века. Гильберт открыл и развил широкий круг фундаментальных идей во многих областях, включая теорию инвариантов , вариационное исчисление , коммутативную алгебру , теорию алгебраических чисел , основы геометрии , спектральную теорию операторов и ее приложения кинтегральные уравнения , математическая физика и основы математики (в частности, теория доказательств ).

Гильберт принял и защитил теорию множеств и трансфинитные числа Георга Кантора . В 1900 году он представил сборник задач , положивших начало большей части математических исследований 20-го века. [5] [6]

Гильберт и его ученики внесли значительный вклад в установление строгости и разработали важные инструменты, используемые в современной математической физике. Гильберт известен как один из основоположников теории доказательств и математической логики . [7]

Жизнь [ править ]

Ранняя жизнь и образование [ править ]

Гильберт, первый из двух детей и единственным сыном Отто и Марии Терезы (Erdtmann) Гильберт, родился в провинции Пруссии , Королевства Пруссии , либо в Кенигсберге (по собственному утверждению Гильберта) или в Wehlau (известно с 1946 года , как Знаменск ) под Кенигсбергом, где работал его отец на момент его рождения. [8]

В конце 1872 года Гильберт поступил в гимназию Фридрихсколлега ( Collegium fridericianum , ту же школу, которую Иммануил Кант посещал 140 лет назад); но после тяжелого периода он перешел в (конец 1879 г.) и окончил (начало 1880 г.) более ориентированную на науку гимназию Вильгельма. [9] По окончании учебы осенью 1880 года Гильберт поступил в Кенигсбергский университет «Альбертина». В начале 1882 года Герман Минковский (на два года моложе Гильберта, а также уроженец Кенигсберга, но уехал в Берлин на три семестра) [10] вернулся в Кенигсберг и поступил в университет. Гильберт на всю жизнь подружился с застенчивым, одаренным Минковски.[11] [12]

Карьера [ править ]

В 1884 году Адольф Гурвиц прибыл из Геттингена экстраординарным профессором (т. Е. Адъюнкт-профессором). Между ними начался интенсивный и плодотворный научный обмен, и в особенности Минковский и Гильберт в разное время в своей научной карьере оказывали взаимное влияние друг на друга. Гильберта получил докторскую степень в 1885 году, с диссертацией, написанный под Фердинандом фон Lindemann , [2] под названием Убер invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere дера Kugelfunktionen ( «Об инвариантных свойств специальных бинарных форм , в частности , сферические гармонические функции») .

Гильберт оставался в Кенигсбергском университете в качестве приват-доцента (старшего преподавателя) с 1886 по 1895 год. В 1895 году в результате вмешательства от его имени Феликса Кляйна он получил должность профессора математики в Геттингенском университете . В годы правления Клейна и Гильберта Геттинген стал выдающимся учреждением в математическом мире. [13] Он оставался там до конца своей жизни.

Математический институт в Геттингене. Его новое здание, построенное на средства Фонда Рокфеллера , было открыто Гильбертом и Курантом в 1930 году.

Геттингенская школа [ править ]

Среди учеников Гильберта были Герман Вейль , чемпион по шахматам Эмануэль Ласкер , Эрнст Цермело и Карл Густав Хемпель . Джон фон Нейман был его помощником. В Геттингенском университете Гильберт был окружен кругом некоторых из самых важных математиков 20-го века, таких как Эмми Нётер и Алонзо Черч .

Среди его 69 кандидатов наук. В Геттингене было много студентов, впоследствии ставших известными математиками, в том числе (с датой защиты диссертации): Отто Блюменталь (1898 г.), Феликс Бернштейн (1901 г.), Герман Вейль (1908 г.), Ричард Курант (1910 г.), Эрих Гекке (1910 г.), Гюго. Штейнхаус (1911) и Вильгельм Аккерманн (1925). [14] Между 1902 и 1939 годами Гильберт был редактором Mathematische Annalen , ведущего математического журнала того времени.

«Хорошо, у него не хватило воображения, чтобы стать математиком».

-  Ответ Гильберта, узнав, что один из его учеников бросил учебу, чтобы изучать поэзию. [15]

Личная жизнь [ править ]

Кете Гильберт с Константином Каратеодори , до 1932 г.

В 1892 году Гильберт женился на Кете Йерош (1864–1945), дочери кенигсбергского купца, откровенной молодой леди с независимостью ума, не уступающей [Гильберту] ». [16] В то время как в Кенигсберге у них родился единственный ребенок, Франц Гильберт (1893–1969). Франц на протяжении всей своей жизни страдал от невыявленного психического заболевания. Его низкий интеллект был ужасным разочарованием для его отца, и это несчастье стало проблемой для математиков и студентов в Геттингене [17].

Гильберт считал математика Германа Минковского своим «лучшим и самым верным другом». [18]

Гильберт крестился и воспитывал кальвиниста в Прусской евангелической церкви . [а] Позже он оставил Церковь и стал агностиком . [b] Он также утверждал, что математическая истина не зависит от существования Бога или других априорных предположений. [c] [d] Когда Галилео Галилея критиковали за то, что он не отстаивал свои убеждения в отношении гелиоцентрической теории , Гильберт возразил: «Но [Галилей] не был идиотом. Только идиот мог поверить, что научная истина требует мученичества; это может быть необходимым в религии, но научные результаты проявят себя в свое время ». [e]

Спустя годы [ править ]

Примерно в 1925 году у Гильберта развилась злокачественная анемия - неизлечимая в то время недостаточность витаминов, основным симптомом которой является истощение; его помощник Юджин Вигнер описал его как подверженного «огромной усталости» и того, что он «казался довольно старым», и что даже после того, как в конечном итоге ему поставили диагноз и вылечили, он «вряд ли был ученым после 1925 года, и уж точно не Гильбертом». [19]

Гильберт дожил до того, как в 1933 году нацисты очистили многих видных преподавателей Геттингенского университета [20]. Среди изгнанных были Герман Вейль (занявший кресло Гильберта, когда он вышел на пенсию в 1930 году), Эмми Нётер и Эдмунд Ландау . Пауль Бернейс , которому пришлось покинуть Германию, сотрудничал с Гильбертом в области математической логики и в соавторстве с ним написал важную книгу Grundlagen der Mathematik (которая в конечном итоге вышла в двух томах, в 1934 и 1939 годах). Это продолжение книги Гильберта- Аккермана « Принципы математической логики».с 1928 г. Преемником Германа Вейля стал Гельмут Хассе .

Примерно через год Гильберт посетил банкет и сидел рядом с новым министром образования Бернхардом Рустом . Руст спросил, действительно ли « Математический институт так сильно пострадал из-за отъезда евреев». Гильберт ответил: «Пострадал? Его больше не существует, не так ли!» [21] [22]

Смерть [ править ]

Могила Гильберта:
Wir müssen wissen
Wir werden wissen

К моменту смерти Гильберта в 1943 году нацисты почти полностью переоборудовали университет, поскольку многие из бывших преподавателей были либо евреями, либо женаты на евреях. На похоронах Гильберта присутствовало менее дюжины человек, из которых только двое были академиками, в том числе Арнольд Зоммерфельд , физик-теоретик, а также уроженец Кенигсберга. [23] Новости о его смерти стали известны всему миру только через шесть месяцев после его смерти. [ необходима цитата ]

Эпитафия на его надгробии в Геттингене состоит из знаменитых строк, которые он произнес в конце своего пенсионного обращения к Обществу немецких ученых и врачей 8 сентября 1930 года. Эти слова были даны в ответ на латинское изречение: « Ignoramus et ignorabimus » или «Не знаем, не узнаем»: [24]

Wir müssen wissen.
Wir werden wissen.

На английском:

Мы должны знать.
Мы узнаем.

За день до того, как Гильберт произнес эти фразы на ежегодном собрании Общества немецких ученых и врачей в 1930 году, Курт Гёдель - в дискуссии за круглым столом во время конференции по эпистемологии, проводимой совместно с собраниями Общества - предварительно объявил первое выражение своей теоремы о неполноте. . [f] Теоремы Гёделя о неполноте показывают, что даже элементарные аксиоматические системы, такие как арифметика Пеано , либо противоречат друг другу, либо содержат логические утверждения, которые невозможно доказать или опровергнуть.

Вклад в математику и физику [ править ]

Гильберт решает проблему Гордана [ править ]

Первая работа Гильберта по инвариантным функциям привела его к демонстрации в 1888 году своей знаменитой теоремы конечности . Двадцатью годами ранее Пол Гордан продемонстрировал теорему о конечности образующих для двоичных форм, используя сложный вычислительный подход. Попытки обобщить его метод на функции с более чем двумя переменными потерпели неудачу из-за огромной сложности вычислений. Чтобы решить то, что в некоторых кругах стало известно как проблема Гордана , Гильберт понял, что необходимо пойти совершенно другим путем. В результате он продемонстрировал базисную теорему Гильберта , показав существование конечного набора образующих для инвариантов квантов.в любом количестве переменных, но в абстрактной форме. То есть, демонстрируя существование такого множества, это не было конструктивным доказательством - он не отображал «объект» - а, скорее, было доказательством существования [25] и опирался на использование закона исключенного третьего в бесконечное расширение.

Гильберт отправил свои результаты в Mathematische Annalen . Гордан, эксперт по теории инвариантов в « Mathematische Annalen» , не смог оценить революционный характер теоремы Гильберта и отклонил статью, критикуя изложение, поскольку оно было недостаточно полным. Его комментарий был:

Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie.
( Это не математика. Это теология. ) [26]

Кляйн , с другой стороны, признал важность работы и гарантировал, что она будет опубликована без каких-либо изменений. Вдохновленный Кляйном, Гильберт расширил свой метод во второй статье, предоставив оценки максимальной степени минимального набора образующих, и снова отправил его в Annalen . Прочитав рукопись, Кляйн написал ему:

Без сомнения, это самая важная работа по общей алгебре, которую когда-либо публиковал Annalen . [27]

Позже, после того, как универсальность метода Гильберта была признана, сам Гордан сказал:

Я убедился, что даже богословие имеет свои достоинства. [28]

Несмотря на все его успехи, характер его доказательства создал больше проблем, чем Гильберт мог себе представить. Хотя Кронекер и признал, Гильберт позже ответил на аналогичную критику других о том, что «многие различные конструкции объединены одной фундаментальной идеей» - другими словами (цитируя Рейда): «Посредством доказательства существования Гильберт смог получить строительство"; «доказательство» (то есть символы на странице) было «объектом». [28] Не все были убеждены. Хотя Кронекер вскоре умрет, его конструктивистская философия продолжится у молодого Брауэра и его развивающегося интуициониста."школа", к большому мучению Гильберта в его последние годы. [29] Действительно, Гильберт потерял своего «одаренного ученика» Вейля из- за интуиционизма - «Гильберт был обеспокоен увлечением своего бывшего ученика идеями Брауэра, которые пробудили в Гильберте память о Кронекере». [30] Брауэр, интуиционист, особенно возражал против использования Закона исключенного среднего над бесконечными множествами (как его использовал Гильберт). Гильберт ответил:

Взять у математика принцип исключенного среднего ... это то же самое, что ... запретить боксеру использовать свои кулаки. [31]

Аксиоматизация геометрии [ править ]

Основная статья: аксиомы Гильберта

Текст Grundlagen der Geometrie (тр .: Основы геометрии ), опубликованный Гильбертом в 1899 году, предлагает формальный набор, называемый аксиомами Гильберта, заменяющий традиционные аксиомы Евклида . Они избегают слабых мест, выявленных у Евклида , работы которого в то время все еще использовались как учебники. Трудно определить аксиомы, используемые Гильбертом, без ссылки на историю публикации Grundlagen, поскольку Гильберт несколько раз менял и модифицировал их. За оригинальной монографией вскоре последовал французский перевод, в который Гильберт добавил V.2, аксиому полноты. Английский перевод, санкционированный Гильбертом, был сделан Э. Дж. Таунсендом и защищен авторским правом в 1902 г. [32][33] Этот перевод включает изменения, сделанные во французском переводе, и поэтому считается переводом 2-го издания. Гильберт продолжал вносить изменения в текст, и появилось несколько изданий на немецком языке. 7-е издание было последним, появившимся при жизни Гильберта. За 7-м изданием последовали новые, но основной текст практически не редактировался. [грамм]

Подход Гильберта ознаменовал переход к современному аксиоматическому методу . В этом отношении Гильберта предвосхитили работы Морица Паша 1882 года. Аксиомы не воспринимаются как самоочевидные истины. Геометрия может относиться к вещам , о которых у нас есть мощная интуиция, но нет необходимости придавать какое-либо явное значение неопределенным концепциям. Такие элементы, как точка , линия , плоскость и другие, могут быть заменены, как, как сообщается, Гильберт сказал Шенфлису и Кеттеру , столами, стульями, стаканами пива и другими подобными предметами. [34] Обсуждаются их определенные отношения.

Гильберта первый перечисляет неопределенные понятия: точка, линия, плоскость, лежащая на (соотношение между точками и линиями, точками и самолетов, а также линий и плоскостей), от промежуточной, конгруэнции пар точек ( отрезков линии ), и сравнения из углов . Аксиомы объединяют плоскую геометрию и твердую геометрию Евклида в единую систему.

23 проблемы [ править ]

Основная статья: проблемы Гильберта

Гильберт выдвинул наиболее влиятельный список из 23 нерешенных проблем на Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Это обычно считается наиболее успешным и глубоко продуманным сборником открытых проблем, когда-либо созданным отдельным математиком. [ кем? ]

Переработав основы классической геометрии, Гильберт мог экстраполировать на остальную математику. Однако его подход отличался от более позднего «фундаменталиста» Рассела-Уайтхеда или «энциклопедиста» Николя Бурбаки и от его современника Джузеппе Пеано . Математическое сообщество в целом могло участвовать в решении задач, которые он определил как важнейшие аспекты областей математики, которые он считал ключевыми.

Задача была запущена в виде доклада «Проблемы математики», представленного в ходе Второго Международного конгресса математиков, проходившего в Париже. Введение в речь, которую произнес Гильберт, гласило:

Кто из нас не был бы счастлив приоткрыть завесу, за которой скрыто будущее; смотреть на грядущее развитие нашей науки и на секреты ее развития в грядущие века? К каким целям будет стремиться дух будущих поколений математиков? Какие методы, какие новые факты откроет новое столетие обширное и богатое поле математической мысли? [35]

Он представил на съезде менее половины проблем, которые были опубликованы в актах съезда. В последующей публикации он расширил панораму и пришел к формулировке ныне канонических 23 проблем Гильберта. См. Также двадцать четвертую проблему Гильберта . Полный текст важен, поскольку толкование вопросов все еще может стать предметом неизбежных дебатов, когда бы ни спросили, сколько из них было решено.

Некоторые из них были решены в короткие сроки. Другие обсуждались на протяжении всего ХХ века, а некоторые из них теперь считаются неприемлемо открытыми и закрываются. Некоторые даже по сей день остаются проблемой для математиков.

Формализм [ править ]

В отчете, ставшем стандартом к середине века, набор задач Гильберта также был своего рода манифестом, открывшим путь для развития школы формалистов , одной из трех основных школ математики 20 века. Согласно формалисту, математика - это манипулирование символами в соответствии с согласованными формальными правилами. Следовательно, это автономная деятельность мысли. Однако есть основания сомневаться в том, что собственные взгляды Гильберта были упрощенно-формалистическими в этом смысле.

Программа Гильберта [ править ]

Основная статья: программа Гильберта

В 1920 году он открыто предложил исследовательский проект (в метаматематике , как его тогда называли), который стал известен как программа Гильберта. Он хотел, чтобы математика строилась на прочной и полной логической основе. Он считал, что в принципе это можно сделать, продемонстрировав следующее:

  1. вся математика следует из правильно выбранной конечной системы аксиом ; и
  2. что некоторая такая система аксиом доказуемо согласована с помощью таких средств, как эпсилон-исчисление .

Похоже, что у него были как технические, так и философские причины для формулирования этого предложения. Это подтверждало его неприязнь к тому, что стало известно как ignorabimus , все еще активно обсуждаемым в его время в немецкой мысли, и восходит к этой формулировке к Эмилю дю Буа-Реймону .

Эта программа до сих пор узнаваема в самой популярной философии математики , где ее обычно называют формализмом . Например, группа Бурбаки приняла его разбавленную и выборочную версию как адекватную требованиям их двойных проектов: (а) написания энциклопедических основополагающих работ и (б) поддержки аксиоматического метода в качестве инструмента исследования. Этот подход оказался успешным и оказал влияние на работы Гильберта в области алгебры и функционального анализа, но не смог так же затронуть его интересы в области физики и логики.

Гильберт писал в 1919 году:

Мы ни в каком смысле не говорим здесь о произволе. Математика не похожа на игру, задачи которой определяются произвольно установленными правилами. Скорее, это концептуальная система, обладающая внутренней необходимостью, которая может быть только такой, а никак иначе. [36]

Гильберт опубликовал свои взгляды на основы математики в 2-томном труде Grundlagen der Mathematik .

Работа Гёделя [ править ]

Гильберт и математики, которые работали с ним на его предприятии, были привержены этому проекту. Его попытка поддержать аксиоматизированную математику определенными принципами, которые могли бы устранить теоретические неопределенности, закончилась неудачей.

Гёдель продемонстрировал, что любая непротиворечивая формальная система, которая была достаточно всеобъемлющей, чтобы включать, по крайней мере, арифметику, не может продемонстрировать свою полноту с помощью собственных аксиом. В 1931 году его теорема о неполноте показала, что грандиозный план Гильберта невозможен, как было сказано. Второй пункт никаким разумным образом не может быть объединен с первым, пока система аксиом действительно финитна .

Тем не менее, последующие достижения теории доказательств, по крайней мере, прояснили последовательность, поскольку она относится к теориям, представляющим центральный интерес для математиков. Работа Гильберта положила начало логике этого курса разъяснения; Потребность в понимании работы Гёделя затем привела к развитию теории рекурсии, а затем математической логики как автономной дисциплины в 1930-х годах. Основа для более поздней теоретической информатики в работах Алонзо Чёрча и Алана Тьюринга также выросла непосредственно из этих «дебатов».

Функциональный анализ [ править ]

Примерно в 1909 году Гильберт посвятил себя изучению дифференциальных и интегральных уравнений ; его работа имела прямые последствия для важных частей современного функционального анализа. Для проведения этих исследований Гильберт ввел понятие бесконечномерного евклидова пространства , позже названного гильбертовым пространством . Его работа в этой части анализа послужила основой для важных вкладов в математику физики в следующие два десятилетия, хотя и в неожиданном направлении. Позже Стефан Банах расширил эту концепцию, определив банаховы пространства . Гильбертовы пространства - важный класс объектов в области функционального анализа , особенноспектральная теория самосопряженных линейных операторов, выросшая вокруг нее в ХХ веке.

Физика [ править ]

До 1912 года Гильберт был почти исключительно «чистым» математиком. Планируя поездку из Бонна, где он был погружен в изучение физики, его коллега-математик и друг Герман Минковский пошутил, что ему пришлось провести 10 дней в карантине, прежде чем он сможет посетить Гильберта. Фактически, Минковский, кажется, ответственен за большинство исследований Гильберта по физике до 1912 года, включая их совместный семинар по этому вопросу в 1905 году.

В 1912 году, через три года после смерти друга, Гильберт почти полностью сосредоточился на этой теме. Он устроил себе «репетитора по физике». [37] Он начал изучать кинетическую теорию газа и перешел к теории элементарного излучения и молекулярной теории вещества. Даже после начала войны в 1914 году он продолжал семинары и занятия, на которых внимательно следили за работами Альберта Эйнштейна и других.

К 1907 году Эйнштейн сформулировал основы теории гравитации, но затем почти 8 лет боролся с запутанной проблемой - привести теорию в окончательную форму. [38] К началу лета 1915 года интерес Гильберта к физике сосредоточился на общей теории относительности , и он пригласил Эйнштейна в Геттинген, чтобы прочесть неделю лекций по этой теме. [39] Эйнштейн был встречен в Геттингене с энтузиазмом. [40] Летом Эйнштейн узнал, что Гильберт также работал над уравнениями поля, и удвоил свои усилия. В ноябре 1915 года Эйнштейн опубликовал несколько статей, кульминацией которых стало издание «Полевые уравнения гравитации» (см. «Полевые уравнения Эйнштейна» ). [час]Почти одновременно Дэвид Гильберт опубликовал «Основы физики», аксиоматический вывод уравнений поля (см. Действие Эйнштейна – Гильберта ). Гильберт полностью доверял Эйнштейну как создателю теории, и ни один публичный спор о приоритете уравнений поля никогда не возникал между этими двумя людьми в течение их жизни. [i] Больше видеть в приоритете .

Кроме того, работа Гильберта предвосхитила и помогла некоторым достижениям в математической формулировке квантовой механики . Его работа была одним из ключевых аспектов Вейль и Джона фон Неймана «работать с по математической эквивалентности Вернер Гейзенберг » s матричной механики и Эрвина Шредингера «s волнового уравнения и его тезка гильбертово пространство играет важную роль в квантовой теории. В 1926 году фон Нейман показал, что, если бы квантовые состояния понимались как векторы в гильбертовом пространстве, они соответствовали бы как теории волновых функций Шредингера, так и матрицам Гейзенберга. [j]

На протяжении всего этого погружения в физику Гильберт работал над тем, чтобы придать строгость математике физики. Хотя физики сильно зависят от высшей математики, физики, как правило, «небрежны» с ней. Для такого «чистого» математика, как Гильберт, это было уродливо и трудно понять. Когда он начал понимать физику и то, как физики используют математику, он разработал последовательную математическую теорию того, что он обнаружил, - что наиболее важно в области интегральных уравнений . Когда его коллега Ричард Курант написал ставший уже классическим « Methoden der Mathematischen Physik» [ Методы математической физики] включая некоторые идеи Гильберта, он добавил имя Гильберта как автора, хотя Гильберт непосредственно не участвовал в написании. Гильберт сказал, что «физика слишком сложна для физиков», имея в виду, что необходимая математика обычно им недоступна; книга Куранта-Гильберта облегчила им задачу.

Теория чисел [ править ]

Гильберт объединил область алгебраической теории чисел в своем трактате 1897 г. Zahlbericht (буквально «отчет о числах»). Он также решил важную проблему теории чисел, сформулированную Варингом в 1770 году. Как и в случае с теоремой конечности , он использовал доказательство существования, которое показывает, что проблемы должны быть решены, а не предоставлять механизм для получения ответов. [41] Тогда у него было немного больше, чтобы публиковать на эту тему; но появление модульных форм Гильберта в диссертации студента означает, что его имя в дальнейшем связано с важной областью.

Он высказал ряд гипотез по теории полей классов . Понятия были весьма влиятельными, и его собственный вклад живет в названиях поля классов Гильберта и в символа Гильберта в локальной теории полей классов . Результаты были в основном подтверждены к 1930 году, после работы Тейджи Такаги . [k]

Гильберт не работал в основных областях аналитической теории чисел , но его имя стало известно благодаря гипотезе Гильберта – Полиа по анекдотическим причинам.

Работает [ править ]

Его собрание сочинений ( Gesammelte Abhandlungen ) издавалось несколько раз. Первоначальные версии его статей содержали «множество технических ошибок разной степени»; [42], когда сборник был впервые опубликован, ошибки были исправлены, и было обнаружено, что это можно сделать без серьезных изменений в формулировках теорем, за одним исключением - заявленным доказательством гипотезы континуума . [43] [44] Тем не менее, ошибки были настолько многочисленными и значительными, что Ольге Таусски-Тодд потребовалось три года, чтобы внести исправления. [44]

См. Также [ править ]

Концепции [ править ]

  • Список вещей, названных в честь Дэвида Гильберта
  • Основы геометрии
  • C * -модуль Гильберта
  • Куб Гильберта
  • Кривая Гильберта
  • Матрица Гильберта
  • Метрика Гильберта
  • Критерий Гильберта-Мамфорда
  • Число Гильберта
  • Кольцо гильберта
  • Ряд Гильберта – Пуанкаре
  • Ряд Гильберта и многочлен Гильберта
  • Спектр Гильберта
  • Система гильберта
  • Преобразование Гильберта
  • Арифметика концов Гильберта
  • Парадокс Гильберта в Гранд Отеле
  • Оператор Гильберта – Шмидта
  • Гипотеза Гильберта – Смита.

Теоремы [ править ]

  • Теорема Гильберта – Берча
  • Теорема Гильберта о неприводимости
  • Nullstellensatz Гильберта
  • Теорема Гильберта (дифференциальная геометрия)
  • Теорема Гильберта 90
  • Теорема Гильберта о сизигиях
  • Теорема Гильберта – Шпейзера

Другое [ править ]

  • Противоречие Брауэра-Гильберта
  • Геометрия и воображение
  • Спор о приоритете относительности

Сноски [ править ]

  1. ^ В Hilberts был, к этому времени, покинул протестантскую церковь реформатскойв котором они были крещены и поженились. - Рид 1996, стр.91.
  2. ^ Дэвид Гильберт казался агностиком и не имел ничего общего с собственно теологией или даже религией. Констанс Рид рассказывает историю на эту тему:

    Гильберты к этому времени [около 1902 года] покинули реформатскую протестантскую церковь, в которой они крестились и поженились. В Геттингене рассказали, что, когда [сын Давида Гильберта] Франц пошел в школу, он не мог ответить на вопрос: «Какая ты религия?» (1970, стр.91)

    В гамбургском обращении 1927 года Гильберт утверждал: «математика - это наука без предпосылок (die Mathematik ist eine voraussetzungslose Wissenschaft)» и «чтобы основать ее, мне не нужен добрый Бог ([z] u ihrer Begründung brauche ich weder den lieben Gott ) »(1928, с. 85; ван Хейеноорт, 1967, с. 479). Однако от Mathematische Probleme (1900) до Naturerkennen und Logik (1930) он вложил свою квазирелигиозную веру в человеческий дух и силу чистой мысли с ее любимым ребенком - математикой. Он был глубоко убежден, что любую математическую проблему можно решить с помощью чистого разума: как в математике, так и в любой части естествознания (через математику) не было «невежества» (Hilbert, 1900, S. 262; 1930, S. 963; Ewald). , 1996, с. 1102, 1165).Вот почему поиск внутренней абсолютной основы для математики превратился в дело жизни Гильберта. Он никогда не отказывался от этой должности, и символично, что его слова «wir müssen wissen, wir werden wissen» («мы должны знать, мы будем знать») из его адреса в Кенигсберге 1930 года были выгравированы на его надгробии. Здесь мы встречаем призрак ушедшего богословия (чтобы изменить слова Джорджа Беркли), поскольку абсолютизировать человеческое познание - значит молчаливо отождествлять его с божественным. -ибо абсолютизировать человеческое познание - значит молчаливо отождествлять его с божественным. -ибо абсолютизировать человеческое познание - значит молчаливо отождествлять его с божественным. -Шапошников, Владислав (2016). «Богословские основы современной философии математики. Часть II: Поиски автономных оснований» . Исследования по логике, грамматике и риторике . 44 (1): 147–168. DOI : 10,1515 / slgr-2016-0009 .
  3. ^ «Математика - это наука без предпосылок. Чтобы основать ее, мне не нужен Бог, как это делает Кронекер, или предположение об особой способности нашего понимания, настроенной на принцип математической индукции, как это делает Пуанкаре или изначальная интуиция Брауэра, или, наконец, как это делают Рассел и Уайтхед, аксиомы бесконечности, сводимости или полноты, которые на самом деле являются действительными, содержательными предположениями, которые не могут быть компенсированы доказательствами непротиворечивости ». Дэвид Гильберт, Die Grundlagen der Mathematik , программа Гильберта, 22C: 096, Университет Айовы .
  4. ^ Майкл Р. Мэтьюз (2009). Наука, мировоззрение и образование . Springer. п. 129. ISBN 9789048127795. Как известно, Гильберт отверг Бога Леопольда Кронекера за решение проблемы основ математики.
  5. ^ Констанс Рид; Герман Вейль (1970). Гильберта . Springer-Verlag. п. 92 . ISBN 9780387049991. Возможно, гости будут обсуждать суд над Галилеем, и кто-то обвинит Галилея в том, что он не отстаивает свои убеждения. «Но он не был идиотом», - возражал Гильберт. «Только идиот может поверить в то, что научная истина требует мученичества; это может быть необходимо в религии, но научные результаты со временем проявят себя».
  6. ^ "Конференция по эпистемологии точных наук проходила в течение трех дней, с 5 по 7 сентября" (Dawson 1997: 68). «Он ... проводился одновременно с и непосредственно перед девяносто первой ежегодной встречей Общества немецких ученых и врачей ... и шестой Ассамблеей немецких физиков и математиков ... Доклад Гёделя состоялся в субботу. , 6 сентября [1930], с 3 до 3:20 дня, а в воскресенье встреча завершилась обсуждением за круглым столом обращений первого дня. Во время последнего мероприятия, без предупреждения и почти небрежно, Гедель тихо объявил, что " можно даже привести примеры предложений (и на самом деле предложений типа Гольдбаха или Ферма), которые, хотя и истинны по содержанию, недоказуемы в формальной системе классической математики [153] "(Доусон: 69)" ... Так случилось, что сам Гильберт присутствовал в Кенигсберге, хотя, очевидно, не на Конференции по эпистемологии. На следующий день после круглого стола он выступил со вступительной речью перед Обществом немецких ученых и врачей - своей знаменитой лекцией Naturerkennen und Logik (Логика и познание природы), в конце которой заявил: «Для математика нет Ignorabimus, и, на мой взгляд, совсем не для естествознания. ... Истинная причина, по которой [никому] не удалось найти неразрешимую проблему, на мой взгляд, заключается в том, что нетнеразрешимая проблема. В отличие от глупых Игнорабимов, наше кредо утверждает: «Мы должны знать, мы будем знать» [159] »(Доусон: 71). Статья Гёделя была получена 17 ноября 1930 г. (см. Reid p. 197, van Heijenoort 1976: 592). ) и опубликован 25 марта 1931 г. (Dawson 1997: 74). Но Гёдель говорил об этом заранее ... «Резюме было представлено в октябре 1930 г. Венской академии наук Хансом Ханом » (van Heijenoort: 592 ); этот реферат и полный текст статьи опубликованы в van Heijenoort: 583ff.
  7. ^ Независимо и одновременно 19-летний американский студент по имени Роберт Ли Мур опубликовал эквивалентный набор аксиом. Некоторые из аксиом совпадают, в то время как некоторые из аксиом в системе Мура являются теоремами Гильберта и наоборот. [ необходима цитата ]
  8. ^ Со временем связывать уравнения гравитационного поля с именем Гильберта стало все реже и реже. Заметным исключением является П. Джордан (Schwerkraft und Weltall, Braunschweig, Vieweg, 1952), назвавший уравнения гравитации в вакууме уравнениями Эйнштейна – Гильберта. ( Лео Корри, Дэвид Гильберт и аксиоматизация физики , стр. 437)
  9. ^ С 1971 г. велись оживленные и научные дискуссии о том, кто из двух мужчин первым представил ныне принятую форму уравнений поля. «Гильберт открыто признал и часто заявлял в лекциях, что великая идея принадлежит Эйнштейну:« Каждый мальчик на улицах Геттингена понимает в четырехмерной геометрии больше, чем Эйнштейн », - однажды заметил он.« Тем не менее, несмотря на это, Эйнштейн понимал. работа, а не математики ». (Reid 1996, стр. 141–142, также Isaacson 2007: 222 со ссылкой на Торна, стр. 119).
  10. ↑ В 1926 году, через год после того, как Макс Борн и Вернер Гейзенберг сформулировали квантовую теорию матричной механикой, математик Джон фон Нейман стал помощником Гильберта в Геттингене. Когда фон Нейман ушел в 1932 году, книга фон Неймана о математических основах квантовой механики, основанная на математике Гильберта, была опубликована под названием Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik . См.: Норман Макрэ (1999) Джон фон Нейман: научный гений, который первым изобрел современный компьютер, теорию игр, ядерное сдерживание и многое другое (перепечатано Американским математическим обществом) и Рид (1996).
  11. ^ Эта работа сделала Такаги первым японским математиком международного уровня.

Цитаты [ править ]

  1. ^ Вейль, Х. (1944). «Дэвид Гильберт. 1862–1943». Уведомления о некрологе членов Королевского общества . 4 (13): 547–553. DOI : 10.1098 / RSBM.1944.0006 . S2CID 161435959 . 
  2. ^ а б Дэвид Гильберт в проекте « Математическая генеалогия»
  3. ^ Ричард Зак, "Программа Гильберта" , Стэнфордская энциклопедия философии.
  4. ^ "Гильберт" . Полный словарь Рэндом Хауса Вебстера .
  5. ^ Джойс, Дэвид. «Математические проблемы Дэвида Гильберта» . Университет Кларка . Проверено 15 января 2021 года .
  6. ^ Гильберт, Дэвид. «Математические задачи» . Проверено 15 января 2021 года .
  7. ↑ Зак, Ричард (31 июля 2003 г.). «Программа Гильберта» . Стэнфордская энциклопедия философии . Проверено 23 марта 2009 года .
  8. Перейти ↑ Reid 1996, pp. 1-2; также на стр. 8, Рид отмечает, что существует некоторая двусмысленность относительно того, где именно родился Гильберт. Сам Гильберт заявил, что родился в Кенигсберге.
  9. Перейти ↑ Reid 1996, pp. 4–7.
  10. Перейти ↑ Reid 1996, p. 11.
  11. Перейти ↑ Reid 1996, p. 12.
  12. ^ Вейл, Герман (2012), «Дэвид Гильберт и его математическая работа», в Питере Пешиче (ред.), Уровни бесконечности / Избранные труды по математике и философии , Дувр, стр. 94, ISBN 978-0-486-48903-2
  13. ^ Сузуки, Джефф (2009), Математика в историческом контексте , Математическая ассоциация Америки, стр. 342, ISBN 978-0883855706
  14. ^ "Проект математической генеалогии - Дэвид Гильберт" . Проверено 7 июля 2007 года .
  15. ^ Дэвид Дж. Дарлинг (2004). Универсальная книга математики . Джон Вили и сыновья . п. 151. ISBN. 978-0-471-27047-8.
  16. Перейти ↑ Reid 1996, p. 36.
  17. Перейти ↑ Reid 1996, p. 139.
  18. Перейти ↑ Reid 1996, p. 121.
  19. ^ 1992 (как сказал Эндрю Сантон). Воспоминания Юджина П. Вигнера . Пленум. ISBN 0-306-44326-0 
  20. ^ " " Позор "в Геттингене" . (Сосланы коллеги Гильберта)
  21. ^ Эккарт Мензлер-Тротт: проблема Гентценса. Mathematische Logik im nationalsozialistischen Deutschland. , Birkhäuser, 2001, ISBN 3-764-36574-9 , Birkhäuser; Auflage: 2001 стр. 142. 
  22. ^ Хайо Г. Мейер: Tragisches Schicksal. Das deutsche Judentum und die Wirkung Historischer Kräfte: Eine Übung in angewandter Geschichtsphilosophie , Frank & Timme, 2008, ISBN 3-865-96174-6 , стр. 202. 
  23. Перейти ↑ Reid 1996, p. 213.
  24. Перейти ↑ Reid 1996, p. 192
  25. ↑ Констанс Рид 1996, стр. 36–37.
  26. Перейти ↑ Reid 1996, p. 34.
  27. ^ Роу, стр. 195
  28. ^ а б Рид 1996, стр. 37.
  29. ^ ср. Рейд, 1996, стр. 148–149.
  30. Перейти ↑ Reid 1996, p. 148.
  31. Перейти ↑ Reid 1996, p. 150.
  32. ^ Гильберт 1950
  33. ^ GB Мэтьюз (1909) Основы геометрии из природы 80: 394,5 (# 2066)
  34. ↑ Отто Блюменталь (1935). Дэвид Гильберт (ред.). Lebensgeschichte . Gesammelte Abhandlungen. 3 . Юлиус Спрингер. С. 388–429. Архивировано из оригинала 4 марта 2016 года . Проверено 6 сентября 2018 года . Здесь: с.402-403
  35. ^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано 30 мая 2009 года . Проверено 11 сентября 2012 года . CS1 maint: архивная копия как заголовок ( ссылка ) CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка ), заархивировано с [www.seas.harvard.edu/courses/cs121/handouts/Hilbert.pdf]
  36. ↑ Hilbert, D. (1919–20), Natur und Mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919–1920 in G \ "ottingen. Nach der Ausarbeitung von Paul Bernays (отредактировано и с введением на английском языке Дэвидом Э. Роу), Базель, Бирх \ "аузер (1992).
  37. Перейти ↑ Reid 1996, p. 129.
  38. Перейти ↑ Isaacson 2007: 218
  39. ^ Sauer 1999, Folsing 1998, Айзексон 2007: 212
  40. Перейти ↑ Isaacson 2007: 213
  41. Перейти ↑ Reid 1996, p. 114
  42. ^ Reid, chap.13
  43. ^ Page 284 ° F в: Вильфрид Sieg (2013). Программы Гильберта и не только . Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780195372229.
  44. ^ a b Рота Г.-К. (1997), « Десять уроков, которые я хотел бы получить », Notices of AMS , 44: 22-25.

Источники [ править ]

Первичная литература в английском переводе [ править ]

  • Эвальд, Уильям Б., изд. (1996). От Канта до Гильберта: Справочник по основам математики . Оксфорд, Великобритания: Издательство Оксфордского университета.
    • 1918. «Аксиоматическая мысль», 1114–1115.
    • 1922. «Новое основание математики: первое сообщение», 1115–1133.
    • 1923. «Логические основы математики», 1134–1147.
    • 1930. «Логика и познание природы», 1157–1165.
    • 1931. «Основание элементарной теории чисел», 1148–1156.
    • 1904. «Об основах логики и арифметики», 129–138.
    • 1925. «О бесконечном», 367–392.
    • 1927. «Основы математики» с комментарием Вейля и Приложением Бернейса , 464–489.
  • ван Хейеноорт, Жан (1967). От Фреге до Гёделя: справочник по математической логике, 1879–1931 . Издательство Гарвардского университета.
  • Гильберт, Дэвид (1950) [1902]. Основы геометрии [Grundlagen der Geometrie] (PDF) . Перевод Townsend, EJ (2-е изд.). Ла Саль, Иллинойс: Издательство Open Court.
  • Гильберт, Дэвид (1990) [1971]. Основы геометрии [Grundlagen der Geometrie] . Перевод Лео Унгер (2-е изд. На английском). Ла Саль, Иллинойс: Издательство Open Court. ISBN 978-0-87548-164-7. переведено с 10-го немецкого издания
  • Гильберт, Дэвид ; Кон-Фоссен, Стефан (1999). Геометрия и воображение . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-1998-2. Доступный набор лекций, изначально предназначенный для жителей Геттингена.
  • Гильберт, Дэвид (2004). Халлетт, Майкл; Майер, Ульрих (ред.). Лекции Дэвида Гильберта по основам математики и физики, 1891–1933 . Берлин и Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64373-9.

Дополнительная литература [ править ]

  • Бертран, Габриэль (20 декабря 1943b), «Распределение» , Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (на французском языке), Париж, 217 : 625–640., доступный на Gallica . «Обращение» Габриэля Бертрана от 20 декабря 1943 года во Французской академии: он дает биографические очерки жизней недавно умерших членов, включая Питера Зеемана , Давида Гильберта и Жоржа Жиро .
  • Боттаццини Умберто, 2003. Il flauto di Hilbert. Storia della matematica . UTET , ISBN 88-7750-852-3 
  • Корри, Л., Ренн, Дж., И Стачел, Дж., 1997, «Запоздалое решение в споре о приоритете Гильберта-Эйнштейна», Science 278 : nn-nn.
  • Корри, Лео (2004). Давид Гильберт и аксиоматизация физики (1898–1918): от Grundlagen der Geometrie к Grundlagen der Physik . Springer. ISBN 9048167191.
  • Доусон, Джон В. Младший 1997. Логические дилеммы: жизнь и работа Курта Гёделя . Уэллсли М.А.: А.К. Питерс. ISBN 1-56881-256-6 . 
  • Фолсинг, Альбрехт, 1998. Альберт Эйнштейн . Пингвин.
  • Граттан-Гиннесс, Айвор , 2000. В поисках математических корней 1870–1940 . Princeton Univ. Нажмите.
  • Грей, Джереми , 2000. Проблема Гильберта . ISBN 0-19-850651-1 
  • Манкосу, Паоло (1998). От Брауэра до Гильберта, Дебаты об основах математики в 1920-е годы . Oxford Univ. Нажмите. ISBN 978-0-19-509631-6.
  • Мехра, Джагдиш , 1974. Эйнштейн, Гильберт и теория гравитации . Рейдел.
  • Пьерджиоргио Одифредди , 2003. Геометрическое дивертисмент - от Евклида и Гильберта . Боллати Борингиери , ISBN 88-339-5714-4 . Четкое изложение «ошибок» Евклида и решений, представленных в Grundlagen der Geometrie , со ссылкой на неевклидову геометрию . 
  • Рид, Констанс, 1996. Hilbert , Springer , ISBN 0-387-94674-8 . Полная англоязычная биография Гильберта. 
  • Роу, Делавэр (1989). «Клейн, Гильберт и Геттингенская математическая традиция». Осирис . 5 : 186–213. DOI : 10.1086 / 368687 . S2CID  121068952 .
  • Зауэр, Тилман (1999). «Относительность открытия: первая заметка Гильберта об основах физики». Arch. Hist. Exact Sci . 53 : 529–75. arXiv : физика / 9811050 . Bibcode : 1998физика..11050S .
  • Зиг, Вильфрид и Равалья, Марк, 2005, "Grundlagen der Mathematik" в Grattan-Guinness, I. , ed., Landmark Writings in Western Mathematics . Эльзевир : 981-99. (на английском)
  • Торн, Кип , 1995. Черные дыры и искажения времени: возмутительное наследие Эйнштейна , WW Norton & Company; Репринтное издание. ISBN 0-393-31276-3 . 

Внешние ссылки [ править ]

  • Проект Гильберта Бернейса
  • Решение 23 проблем Гильберта
  • ICMM 2014, посвященный памяти Д. Гильберта
  • Работы Дэвида Гильберта в Project Gutenberg
  • Работы Дэвида Гильберта или о нем в Internet Archive
  • Работы Дэвида Хилберта в LibriVox (аудиокниги, являющиеся общественным достоянием)
  • Речь Гильберта по радио, записанная в Кенигсберге 1930 (на немецком языке) , с английским переводом
  • Wolfram MathWorld - Константа Гильберта
  • Дэвид Гильберт в проекте « Математическая генеалогия»
  • О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Дэвид Гилберт" , архив истории математики MacTutor , Сент-Эндрюсский университет.
  • «От проблем Гильберта к будущему» , лекция профессора Робина Уилсона, Колледж Грешем , 27 февраля 2008 г. (доступна в текстовом, аудио и видео форматах).
  • Газетные вырезки из газет о Давида Гильберта в 20 веке Пресс Архивы в ZBW