метрика де Ситтера – Шварцшильда

В общей теории относительности решение де Ситтера – Шварцшильда описывает черную дыру в причинном пятне пространства де Ситтера . В отличие от черной дыры с плоским пространством, существует самая большая из возможных черных дыр де Ситтера - пространство- время Нариаи . Предел Нариай не имеет сингулярностей , космологические горизонты и горизонты черной дыры имеют одинаковую площадь, и они могут быть сопоставлены друг другу с помощью дискретной симметрии отражения в любом причинном пятне. ^{[1] [2] [3]}

Введение [ править ]

В общей теории относительности пространство-время может иметь горизонты событий черной дыры, а также космологические горизонты . Решение де Ситтера – Шварцшильда - простейшее решение, в котором есть и то, и другое.

Метрика [ править ]

Метрика любого сферически-симметричного решения в форме Шварцшильда :

${\displaystyle ds^{2}=-f(r)dt^{2}+{dr^{2} \over f(r)}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})\,}$

Уравнения Эйнштейна вакуума дают линейное уравнение для ƒ ( r ), которое имеет решения:

${\displaystyle f(r)=1-2a/r\,}$

${\displaystyle f(r)=1-br^{2}\,}$

Первый - это решение с нулевой энергией напряжения, описывающее черную дыру в пустом пространстве-времени, второе (с положительным b ) описывает пространство де Ситтера с энергией-напряжением положительной космологической постоянной величины 3 b . Наложение двух решений дает решение де Ситтера – Шварцшильда:

${\displaystyle f(r)=1-{\frac {2a}{r}}-br^{2}\,}$

Два параметра a и b дают массу черной дыры и космологическую постоянную соответственно. В  измерениях d + 1 обратный степенной спад в части черной дыры составляет d  - 2. В измерениях 2 + 1, где показатель степени равен нулю, аналогичное решение начинается с пространства де Ситтера 2 + 1, вырезает клин, и склеивает две стороны клина вместе, чтобы образовалось коническое пространство .

Уравнение геодезии

${\displaystyle g_{aj}{\ddot {x}}^{j}+\left(\partial _{i}g_{aj}-{\frac {1}{2}}\partial _{a}g_{ij}\right){\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{i}=0\,}$

дает

${\displaystyle {\ddot {r}}+{\frac {1}{2}}{\frac {-f'(r)}{f(r)}}{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}f(r)f'(r){\dot {t}}^{2}-rf(r){\dot {\theta }}-rf(r){\text{sin}}^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}=0}$

для радиального и

${\displaystyle {\ddot {t}}+{\frac {1}{f(r)}}f'(r){\dot {t}}{\dot {r}}=0}$

для временной составляющей.

Свойства горизонта [ править ]

Пространство де Ситтера - простейшее решение уравнения Эйнштейна с положительной космологической постоянной . Он сферически симметричен, имеет космологический горизонт, окружающий любого наблюдателя, и описывает надувающуюся Вселенную . Решение Шварцшильда - это простейшее сферически-симметричное решение уравнений Эйнштейна с нулевой космологической постоянной, и оно описывает горизонт событий черной дыры в пустом пространстве. Пространство-время де Ситтера-Шварцшильда представляет собой комбинацию этих двух и описывает горизонт черной дыры со сферическим центром во вселенной де Ситтера. Наблюдатель, который не упал в черную дыру и который все еще может видеть черную дыру, несмотря на инфляцию, зажат между двумя горизонтами.

Возникает естественный вопрос: являются ли эти два горизонта объектами разных типов или они принципиально одинаковы. Классически два типа горизонта выглядят по-разному. Горизонт черной дыры - это горизонт будущего , вещи могут входить внутрь, но не выходить наружу. Космологический горизонт в космологии типа Большого взрыва - это горизонт прошлого , вещи появляются, но ничего не происходит.

Но в полуклассической трактовке космологический горизонт де Ситтера можно рассматривать как поглощающий или излучающий, в зависимости от точки зрения. Точно так же для черной дыры, которая существует уже долгое время, горизонт можно рассматривать как излучающий или поглощающий, в зависимости от того, с точки зрения ли вы падающей материи или исходящего излучения Хокинга . Хокинг утверждал, основываясь на термодинамике, что прошлый горизонт белой дыры фактически физически такой же, как будущий горизонт черной дыры , так что прошлые и будущие горизонты физически идентичны. Это было развито Сасскиндом в дополнительности черных дыр., который утверждает, что любые внутренние части раствора черной дыры, как в прошлой, так и в будущей интерпретации горизонта, могут быть голографически связаны посредством унитарного изменения базиса с квантово-механическим описанием самого горизонта.

Решение Нариаи - это предел самой большой черной дыры в пространстве, которое де Ситтер находится на больших расстояниях, оно имеет два горизонта, космологический горизонт де Ситтера и горизонт черной дыры Шварцшильда. Для черных дыр малой массы они очень разные - в центре черной дыры есть сингулярность, и за космологическим горизонтом сингулярности нет. Но предел Нариа предполагает увеличение и увеличение черной дыры до тех пор, пока ее горизонт событий не достигнет той же площади, что и космологический горизонт де Ситтера. В этот момент пространство-время становится регулярным, сингулярность черной дыры уходит в бесконечность, и два горизонта связаны пространственно-временной симметрией.

В пределе Нариай можно поменять местами черную дыру и горизонт де Ситтера, просто поменяв знак координаты z. Когда есть дополнительная плотность материи, решение можно представить как сферическую вселенную Эйнштейна с двумя противоположными черными дырами. Какая бы черная дыра ни стала больше, она становится космологическим горизонтом.

Решение Nariai [ править ]

Этот раздел может сбивать с толку или непонятно читателям . Помогите, пожалуйста, прояснить раздел . На странице обсуждения может быть обсуждение этого вопроса . ( Февраль 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Начиная с де Ситтера – Шварцшильда:

${\displaystyle ds^{2}=-f(r)\,dt^{2}+{dr^{2} \over f(r)}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})\,}$

с участием

${\displaystyle f(r)=1-{2a \over r}-br^{2}\,}$

Два параметра a и b дают массу черной дыры и космологическую постоянную соответственно. В более высоких измерениях степенной закон для части черной дыры быстрее.

Когда мало, ƒ ( г ) имеет две нулей в положительных значениях г , которые являются расположением черной дыры и космологического горизонта соответственно. По мере увеличения параметра a при неизменной космологической постоянной два положительных нуля сближаются. При некотором значении a они сталкиваются.

Приближаясь к этому значению a , черная дыра и космологические горизонты имеют примерно одинаковое значение r . Но расстояние между ними не стремится к нулю, потому что ƒ ( r ) очень мало между двумя нулями, и квадратный корень его обратной величины интегрируется до конечного значения. Если два нуля находятся в точках R  +  ε и R  - ε, взятие предела малого ε при изменении масштаба r для удаления зависимости ε дает решение Нариаи.

Форма ƒ вблизи почти двойного нуля в терминах новой координаты u, заданной формулой r  =  R  +  u, имеет следующий вид:

${\displaystyle f(r)={u^{2}-\epsilon ^{2} \over R^{2}}\,}$

Метрика причинного пятна между двумя горизонтами сводится к

${\displaystyle ds^{2}=-(R^{2}-z^{2})\,dt^{2}+{dz^{2} \over (R^{2}-z^{2})}+R^{2}\,d\Omega ^{2}\,}$

которая является метрикой . Эта форма является локальной для наблюдателя, зажатого между черной дырой и космологическим горизонтом, которые обнаруживают свое присутствие как два горизонта в точках z  = - R и z  =  R соответственно.${\displaystyle dS_{2}\times S_{2}}$

Координата z может быть заменена глобальной координатой для 1 + 1-мерной части пространства де Ситтера, и тогда метрика может быть записана как:

${\displaystyle dS^{2}=-dt^{2}+\cosh ^{2}t\,dx^{2}+R^{2}\,d\Omega ^{2}\,}$

В этих глобальных координатах изотропия пространства де Ситтера вызывает сдвиги изометрий координаты x , так что можно отождествить x с x  +  A и превратить пространственное измерение в круг. Постоянный радиус круга экспоненциально расширяется в будущее и прошлое, и это первоначальная форма Нариая.

Вращение одного из горизонтов в пространстве Нариай заставляет другой горизонт вращаться в противоположном направлении. Это проявление принципа Маха в замкнутых каузальных пятнах, если космологический горизонт включен как «материя», как его симметричный двойник, черная дыра.

Температура Хокинга [ править ]

Температуру малого и большого горизонта в системе де Ситтера – Шварцшильда можно рассчитать как период в мнимом времени решения или, что эквивалентно, как поверхностную гравитацию вблизи горизонта. Температура меньшей черной дыры относительно выше, поэтому тепловой поток идет от меньшего горизонта к большему. Величину, которая представляет собой температуру черной дыры, трудно определить, потому что нет асимптотически плоского пространства, относительно которого можно было бы ее измерить.

Кривизна [ править ]

Ненулевые компоненты тензора кривизны Риччи для метрики де Ситтера – Шварцшильда равны

${\displaystyle R_{tt}={\frac {1}{2}}f(r)\left(2{\frac {f'(r)}{r}}+f''(r)\right)\,}$

${\displaystyle R_{rr}=-{\frac {2f'(r)+rf''(r)}{2rf(r)}}\,}$

${\displaystyle R_{\theta \theta }=1-f(r)-rf'(r)\,}$

${\displaystyle R_{\phi \phi }=-\sin ^{2}(\theta )\left(-1+f(r)+rf'(r)\right)\,}$

и скаляр кривизны Риччи

${\displaystyle R={\frac {2-2f(r)-4rf'(r)-r^{2}f''(r)}{r^{2}}}\,}$

См. Также [ править ]

• пространство де Ситтера
• Анти-де Ситтер пространство
• Вселенная де Ситтера
• AdS / CFT корреспонденция

Ссылки [ править ]