Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Десятичной системе цифра (также называется базовой десять позиционная система счисления , а иногда называют десятеричный / д я н ər я / [1] или decanary ) является стандартной системой для обозначения целых и нецелых чисел . Это расширение индийско-арабской системы счисления на нецелые числа . [2] Способ обозначения чисел в десятичной системе часто называют десятичной системой счисления . [3]

Десятичная цифра (также часто просто десятичные или, менее правильно, десятичное число ), как правило , относится к обозначениям числа в десятичной системе счисления. Десятичные числа могут иногда определяться десятичным разделителем (обычно «.» Или «,» как в 25.9703 или 3,1415 ). [4] [5] Десятичное число может также относиться конкретно к цифрам после десятичного разделителя, например, в « 3.14 - приближение π к двум десятичным знакам ».

Числа, которые могут быть представлены в десятичной системе, являются десятичными дробями . То есть дроби вида a / 10 n , где a - целое число, а n - неотрицательное целое число .

Десятичная система была расширена до бесконечных десятичных знаков для представления любого действительного числа за счет использования бесконечной последовательности цифр после десятичного разделителя (см. Десятичное представление ). В этом контексте десятичные числа с конечным числом ненулевых цифр после десятичного разделителя иногда называют завершающими десятичными знаками . Повторение десятичное бесконечное десятичное , что через какое - то место, повторяется до бесконечности ту же последовательность цифр (например, +5,123144144144144 ... = 5,123 144 ). [6] Бесконечная десятичная дробь представляет собой рациональное число , частное двух целых чисел, если и только если это повторяющееся десятичное число или конечное число ненулевых цифр.

Происхождение [ править ]

Десять пальцев на двух руках, возможное происхождение десятичного счета

Многие системы счисления древних цивилизаций используют десять и его силы для представления чисел, возможно потому, что на двух руках десять пальцев, и люди начали считать, используя свои пальцы. Примерами являются цифры Брахми , греческие цифры , еврейские цифры , римские цифры и китайские цифры . В этих старых системах счисления было трудно представить очень большие числа, и только лучшие математики могли умножать или делить большие числа. Эти трудности были полностью решены с введением индийско-арабской системы счисления для представления целых чисел.. Эта система была расширена для представления некоторых нецелых чисел, называемых десятичными дробями или десятичными числами , для формирования десятичной системы счисления .

Десятичное представление [ править ]

Для записи чисел в десятичной системе используется десять десятичных цифр , десятичный знак и, для отрицательных чисел , знак минус «-». Десятичные цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; [7] десятичным разделителем является точка " . " Во многих странах, [4] [8] но также запятая " , " в других странах. [5]

Для представления неотрицательного числа десятичное число состоит из

  • либо (конечная) последовательность цифр (например, «2017»), где вся последовательность представляет собой целое число,
  • или десятичный знак, разделяющий две последовательности цифр (например, "20.70828")
.

Если m > 0 , то есть если первая последовательность содержит по крайней мере две цифры, обычно предполагается, что первая цифра a m не равна нулю. В некоторых случаях может быть полезно иметь один или несколько нулей слева; это не меняет значение, представленное десятичной дробью: например, 3,14 = 03,14 = 003,14 . Аналогично, если последняя цифра справа от десятичной метки равна нулю, то есть если b n = 0, ее можно удалить; и наоборот, конечные нули могут быть добавлены после десятичного знака без изменения представленного числа; [примечание 1] например, 15 = 15,0 = 15,00 и 5,2 = 5,20 = 5,200 .

Для представляющего отрицательного числа , знак минуса ставится перед в м .

Цифра представляет собой число

.

Целая часть или часть из десятичной цифры означает целое число записывается слева от десятичного разделителя (смотрите также усечение ). Для неотрицательного десятичного числа это наибольшее целое число, которое не больше десятичного. Часть от десятичного разделителя справа - это дробная часть , которая равна разнице между числом и его целой частью.

Когда целая часть числа равна нулю, это может случиться, как правило, при вычислениях , что целая часть не записывается (например, 0,1234 вместо 0,1234 ). В обычном письме этого обычно избегают из-за риска путаницы между десятичным знаком и другими знаками препинания.

Короче говоря, вклад каждой цифры в значение числа зависит от его положения в цифре. То есть десятичная система является позиционной системой счисления .

Десятичные дроби [ править ]

Десятичные дроби (иногда называемые десятичными числами , особенно в условиях , включающих явные дроби) являются рациональными числами , которые могут быть выражены в виде дроби , чей знаменатель является силой десять. [9] Например, десятичные дроби представляют собой дроби8/10, 1489/100, 24/100000, +1618/1000 и +314159/100000, и поэтому являются десятичными числами.

В более общем смысле десятичная дробь с n цифрами после разделителя представляет собой дробь со знаменателем 10 n , числитель которой является целым числом, полученным путем удаления разделителя.

Отсюда следует, что число является десятичной дробью тогда и только тогда, когда оно имеет конечное десятичное представление.

Выраженные в виде полностью сокращенной дроби , десятичные числа - это те числа, знаменатель которых является произведением степени 2 и степени 5. Таким образом, наименьшие знаменатели десятичных чисел равны

Приближение действительных чисел [ править ]

Десятичные числа не позволяют точно представить все действительные числа , например действительное число π . Тем не менее, они позволяют аппроксимировать каждое действительное число с любой желаемой точностью, например, десятичная дробь 3,14159 приближается к действительному π , меньше чем 10 −5 ; поэтому десятичные дроби широко используются в науке , технике и повседневной жизни.

Точнее, для каждого действительного числа x и любого положительного целого числа n существует два десятичных знака L и u с не более чем n цифрами после десятичного знака, такие что Lxu и ( u - L ) = 10 - n .

Числа очень часто получаются в результате измерения . Поскольку измерения подвержены неопределенности измерения с известной верхней границей , результат измерения хорошо представлен десятичной дробью с n цифрами после десятичного знака, как только абсолютная ошибка измерения ограничена сверху значением 10 - n.. На практике результаты измерений часто приводятся с определенным количеством цифр после десятичной точки, которые указывают границы погрешности. Например, хотя 0,080 и 0,08 обозначают одно и то же число, десятичная цифра 0,080 предполагает измерение с ошибкой менее 0,001, а цифра 0,08 указывает на абсолютную ошибку, ограниченную 0,01. В обоих случаях истинное значение измеряемой величины может составлять, например, 0,0803 или 0,0796 (см. Также значащие цифры ).

Бесконечное десятичное разложение [ править ]

Для действительного числа x и целого числа n ≥ 0 пусть [ x ] n обозначает (конечное) десятичное разложение наибольшего числа, которое не больше x, которое имеет ровно n цифр после десятичного знака. Пусть d i обозначает последнюю цифру [ x ] i . Несложно увидеть, что [ x ] n может быть получено добавлением d n справа от [ x ] n −1 . Таким образом, у человека есть

[ х ] п = [ х ] 0 . d 1 d 2 ... d n −1 d n ,

а разность [ x ] n −1 и [ x ] n составляет

,

который либо равен 0, если d n = 0 , либо становится сколь угодно малым, когда n стремится к бесконечности. Согласно определению предела , x - это предел [ x ] n, когда n стремится к бесконечности . Это записывается как или

х = [ х ] 0 . д 1 д 2 ... д н ... ,

который называется бесконечное расширение десятичной из х .

И наоборот, для любого целого числа [ x ] 0 и любой последовательности цифр (бесконечное) выражение [ x ] 0 . d 1 d 2 ... d n ... представляет собой бесконечное десятичное разложение действительного числа x . Это расширение уникально, если ни все d n равны 9, ни все d n равны 0 для достаточно большого n (для всех n больше некоторого натурального числа N ).

Если все d n для n > N равны 9 и [ x ] n = [ x ] 0 . d 1 d 2 ... d n , предел последовательности - это десятичная дробь, полученная заменой последней цифры, которая не является 9, то есть: d N , на d N + 1 и заменой всех последующих 9 на 0 ( см. 0.999 ... ).

Любая такая десятичная дробь, то есть: d n = 0 для n > N , может быть преобразована в ее эквивалентное бесконечное десятичное представление путем замены d N на d N - 1 и замены всех последующих 0 на 9 (см. 0.999 ... ).

Таким образом, каждое действительное число, не являющееся десятичной дробью, имеет уникальное бесконечное десятичное расширение. Каждая десятичная дробь имеет ровно два бесконечных десятичных разложения, одно из которых содержит только нули после некоторого места, что получается из вышеприведенного определения [ x ] n , а другое, содержащее только 9 после некоторого места, которое получается путем определения [ x ] n как самое большое число, которое меньше , чем х , имея в точности п цифр после десятичного знака.

Рациональные числа [ править ]

Деление в столбик позволяет вычислить бесконечное десятичное разложение рационального числа . Если рациональное число является десятичной дробью , деление в конце концов прекращается, и получается десятичное число, которое можно продолжить до бесконечности, добавив бесконечное количество нулей. Если рациональное число не является десятичной дробью, деление может продолжаться бесконечно. Однако, поскольку все последующие остатки меньше делителя, существует только конечное число возможных остатков, и после некоторого места одна и та же последовательность цифр должна повторяться бесконечно в частном. То есть есть повторяющаяся десятичная дробь . Например,

1/81 год = 0. 012345679 012 ... (с неограниченно повторяющейся группой 012345679).

Верно и обратное: если в какой-то момент десятичного представления числа одна и та же последовательность цифр начинает повторяться бесконечно, число является рациональным.

или, разделив числитель и знаменатель на 6, 692/1665.

Десятичное вычисление [ править ]

Схема самой ранней известной в мире таблицы умножения ( около  305 г. до н.э. ) периода Воюющих царств

Большинство современных компьютерных аппаратных и программных систем обычно используют двоичное представление внутри (хотя многие ранние компьютеры, такие как ENIAC или IBM 650 , использовали десятичное представление внутри). [10] Для внешнего использования специалистами по компьютерам это двоичное представление иногда представляется в соответствующих восьмеричных или шестнадцатеричных системах.

Однако для большинства целей двоичные значения преобразуются в эквивалентные десятичные значения или из них для представления или ввода от человека; компьютерные программы по умолчанию выражают литералы в десятичном виде. (Например, 123.1 записывается как таковая в компьютерной программе, хотя многие компьютерные языки не могут точно закодировать это число.)

И компьютерное оборудование, и программное обеспечение также используют внутренние представления, которые фактически являются десятичными для хранения десятичных значений и выполнения арифметических операций. Часто эта арифметика выполняется с данными, которые закодированы с использованием некоторого варианта двоичного десятичного числа , [11] [12], особенно в реализациях баз данных, но используются и другие десятичные представления (включая десятичные числа с плавающей запятой, такие как в новых версиях Стандарт IEEE 754 для арифметики с плавающей запятой ). [13]

Десятичная арифметика используется в компьютерах, поэтому десятичные дробные результаты сложения (или вычитания) значений с фиксированной длиной их дробной части всегда вычисляются с той же точностью. Это особенно важно для финансовых расчетов, например, когда для целей бухгалтерского учета требуются целые числа, кратные наименьшей денежной единице. Это невозможно в двоичной системе, потому что отрицательные степени не имеют конечного двоичного дробного представления; и вообще невозможно для умножения (или деления). [14] [15] См. Арифметика произвольной точности для точных вычислений.

История [ править ]

Самая ранняя десятичная таблица умножения в мире была сделана из бамбуковых прутьев и датируется 305 годом до нашей эры, во время периода Сражающихся царств в Китае.

Многие древние культуры исчисляли числами, основанными на десяти, иногда спорят из-за того, что человеческие руки обычно имели десять пальцев / цифр. [16] Стандартизированные веса, используемые в цивилизации долины Инда ( ок.  3300–1300 гг. До н . Э. ), Основывались на соотношениях: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20 , 50, 100, 200 и 500, а их стандартный правитель - правитель Мохенджо-даро - был разделен на десять равных частей. [17] [18] [19] Египетские иероглифы , в доказательство примерно с 3000 г. до н.э., используется чисто десятичной системе, [20] как это сделал Критянин иероглифы ( с.  1625-1500 до н.э. ) из минойцевцифры которого близки к египетской модели. [21] [22] Десятичная система была передана последовательным культурам Греции бронзового века , включая линейное письмо A (ок. 18 век до н. Э. - 1450 г. до н. Э.) И линейное письмо B (ок. 1375−1200 гг. До н. Э.) - систему счисления В классической Греции также использовались степени десяти, включая римские цифры , промежуточное основание 5. [23] Примечательно, что эрудит Архимед (ок. 287–212 г. до н. э.) изобрел десятичную позиционную систему в своем « Счетчике песка», основанном на 10 8. [23], а затем возглавил немецкого математикаКарла Фридриха Гаусса оплакивать, каких высот наука достигла бы в его дни, если бы Архимед полностью осознал потенциал своего гениального открытия. [24] Хеттские иероглифы (с 15 века до нашей эры) также были строго десятичными. [25]

Некоторые нематематические древние тексты, такие как Веды , датируемые 1900-1700 гг. До н.э., используют десятичные дроби и математические десятичные дроби. [26]

Египетские иератические цифры, цифры греческого алфавита, цифры еврейского алфавита, римские цифры, китайские цифры и ранние индийские цифры брахми - все это непозиционные десятичные системы и требовали большого количества символов. Например, египетские цифры использовали разные символы от 10, от 20 до 90, 100, от 200 до 900, 1000, 2000, 3000, 4000, до 10 000. [27] Самой ранней позиционной десятичной системой в мире было китайское стержневое исчисление . [28]

Самая первая в мире позиционная десятичная система.
Вертикальная форма верхнего
ряда. Горизонтальная форма нижнего ряда.

История десятичных дробей [ править ]

счетный стержень десятичная дробь 1/7

Десятичные дроби были впервые разработаны и использованы китайцами в конце 4 века до н.э. [29], а затем распространились на Ближний Восток, а оттуда в Европу. [28] [30] Письменные китайские десятичные дроби были непозиционными. [30] Однако подсчет фракций стержней был позиционным. [28]

Цинь Цзюшао в своей книге « Математический трактат в девяти разделах» (1247 [31] ) обозначил 0,96644 как

, смысл
096644

Дж. Леннарт Берггрен отмечает, что позиционные десятичные дроби впервые появляются в книге арабского математика Абул-Хасана аль-Уклидиси, написанной в X веке. [32] Еврейский математик Иммануил Бонфилс использовал десятичные дроби около 1350 года, опережая Симона Стевина , но не разработал никаких обозначений для их представления. [33] Персидский математик Джамшид аль-Каши утверждал, что сам открыл десятичные дроби в 15 веке. [32] Аль-Хорезмиввел дробь в исламские страны в начале 9 века; китайский автор утверждал, что его представление дробей было точной копией традиционной китайской математической дроби из Сунцзи Суаньцзин . [28] Эта форма дроби с числителем вверху и знаменателем внизу без горизонтальной черты также использовалась аль-Уклидиси и аль-Каши в его работе «Арифметический ключ». [28] [34]

Предшественник современной европейской десятичной системы счисления был введен Симоном Стевином в 16 веке. [35]

Естественные языки [ править ]

В Индии появился метод выражения всех возможных натуральных чисел с помощью набора из десяти символов. В некоторых индийских языках используется простая десятичная система. Во многих индоарийских и дравидийских языках числа от 10 до 20 выражаются в виде регулярного прибавления к 10. [36]

В венгерском языке также используется простая десятичная система. Все числа от 10 до 20 образуются регулярно (например, 11 выражается как «tizenegy» буквально «один на десять»), как и числа от 20 до 100 (23 как «huszonhárom» = «три на двадцать»).

Непосредственная система десятичного ранга со словом для каждого заказа (10, 100, 1000, 10000), и в котором 11 выражаются в виде десять-один и 23 как два-десять-три , и 89,345 выражаются в виде- (десять тысяч)9 (тысячи)3 (сто)4 (десятки)5 встречается на китайском языке , а также на вьетнамском языке с некоторыми отклонениями. Японский , корейский и тайскийимпортировали китайскую десятичную систему. Во многих других языках с десятичной системой чисел есть специальные слова для чисел от 10 до 20 и декад. Например, в английском языке 11 - это «одиннадцать», а не «десять-один» или «один-подросток».

В языках инков, таких как кечуа и аймара, есть почти прямая десятичная система, в которой 11 выражается как десять с одним, а 23 как два-десять с тремя .

Некоторые психологи предполагают, что неправильные английские названия цифр могут затруднять счет детей. [37]

Другие базы [ править ]

В некоторых культурах используются или использовались другие системы исчисления.

  • В доколумбовых мезоамериканских культурах, таких как майя, использовалась система оснований 20 (возможно, основанная на использовании всех двадцати пальцев рук и ног ).
  • Язык юки в Калифорнии и языки памя [38] в Мексике имеют восьмеричную систему (основание 8) , потому что говорящие считают, используя промежутки между пальцами, а не сами пальцы. [39]
  • Существование недесятичной основы в самых ранних следах германских языков подтверждается наличием слов и глосс, означающих, что счет ведется в десятичной системе счисления (родственные «десятичному счету» или «двадцатому разряду»); этого можно было бы ожидать, если бы нормальный счет не был десятичным, и необычным, если бы он был. [40] [41] Там, где эта система подсчета известна, она основана на «длинной сотне» = 120 и «длинной тысяче», равной 1200. Такие описания, как «длинный», появляются только после «маленькой сотни» из 100. появился с христианами. Введение Гордона в древнескандинавский язык с. 293, дает числовые имена, принадлежащие этой системе. Выражение, родственное слову «сто восемьдесят», переводится как 200, а родственное слово - как «двести».переводится как 240. Goodareподробно описывает использование длинной сотни в Шотландии в средние века, приводя такие примеры, как вычисления, где перенос подразумевает i C (то есть сто) как 120 и т. д. То, что население в целом не испугалось, встретив такие числа, предполагает достаточно распространенное использование . Также можно избежать сотен подобных чисел, используя промежуточные единицы, такие как камни и фунты, а не длинный счет фунтов. Гудэр приводит примеры чисел, таких как оценка vii, где можно избежать сотни, используя расширенные оценки. Есть также статья У.Х. Стивенсона «Длинная сотня и ее использование в Англии». [42] [43]
  • Многие или все чумашанские языки изначально использовали систему счета по основанию 4 , в которой названия чисел были структурированы в соответствии с числами, кратными 4 и 16 . [44]
  • Многие языки [45] Применение пятеричный (основание-5) системы счисления, в том числе Gumatj , Nunggubuyu , [46] Kuurn Копани Нут [47] и Saraveca . Из них Gumatj является единственным истинным известным языком 5–25, в котором 25 - это высшая группа из 5.
  • Некоторые нигерийцы используют двенадцатеричную систему счисления. [48] Так же поступали некоторые небольшие общины в Индии и Непале, о чем свидетельствуют их языки. [49]
  • Хули язык из Папуа - Новой Гвинеи , как сообщается, основанием 15 числа. [50] Ngui означает 15, ngui ki означает 15 × 2 = 30, а ngui ngui означает 15 × 15 = 225.
  • Umbu-Ungu , также известный как Kakoli, как сообщается, основанием 24 числа. [51] Токапу означает 24, токапу талу означает 24 × 2 = 48, а токапу токапу означает 24 × 24 = 576.
  • Сообщается, что в нгити используется система счисления с основанием 32 и циклами с основанием 4. [45]
  • Ndom язык из Папуа - Новой Гвинеи , как сообщается, основанием 6 цифр. [52] Mer означает 6, mer an thef означает 6 × 2 = 12, nif означает 36, а nif thef означает 36 × 2 = 72.

См. Также [ править ]

  • Алгоризм
  • Десятичное число с двоичным кодом (BCD)
  • Десятичный компьютер
  • Десятичное время
  • Десятичное представление
  • Десятичный разделитель
  • Плотно упакованная десятичная дробь (DPD)
  • Десятичная классификация Дьюи (DDC)
  • Двенадцатеричный
  • Восьмеричный
  • Научная нотация
  • Последовательный десятичный
  • Префикс SI

Заметки [ править ]

  1. ^ Иногда дополнительные нули используются для указания точности измерения. Например, «15,00 м» может означать, что ошибка измерения составляет менее одного сантиметра (0,01 м), а «15 м» может означать, что длина составляет примерно пятнадцать метров, а ошибка может превышать 10 сантиметров.

Ссылки [ править ]

  1. ^ "денарий" . Оксфордский словарь английского языка (Интернет-изд.). Издательство Оксфордского университета. (Требуется подписка или членство в учреждении-участнике .)
  2. ^ История арифметики , Луи Чарльз Карпински , 200 стр., Rand McNally & Company, 1925.
  3. ^ Lam Lay Yong & Ang Tian Se (2004) Мимолетные шаги. Прослеживание концепции арифметики и алгебры в Древнем Китае , переработанное издание, World Scientific, Сингапур.
  4. ^ a b «Сборник математических символов» . Математическое хранилище . 2020-03-01 . Проверено 22 августа 2020 .
  5. ^ a b Вайсштейн, Эрик В. «Десятичная точка» . mathworld.wolfram.com . Проверено 22 августа 2020 .
  6. ^ Уздечка (Overline) в 5.123 144 указываетчто «144» последовательность повторяетсябесконечности, т.е.5,123 144 144 144 144 ... .
  7. ^ В некоторых странах, например в арабоязычных ,для цифр используютсядругие глифы.
  8. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Десятичный» . mathworld.wolfram.com . Проверено 22 августа 2020 .
  9. ^ «Десятичная дробь» . Энциклопедия математики . Проверено 18 июня 2013 .
  10. ^ «Пальцы или кулаки? (Выбор десятичного или двоичного представления)», Вернер Бухгольц , Сообщения ACM , Vol. 2 # 12, стр. 3–11, ACM Press, декабрь 1959 г.
  11. ^ Шмид, Герман (1983) [1974]. Десятичные вычисления (1 (переиздание) изд.). Малабар, Флорида: Издательство Роберта Кригера. ISBN 0-89874-318-4.
  12. ^ Шмид, Герман (1974). Десятичное вычисление (1-е изд.). Бингемтон, Нью-Йорк: John Wiley & Sons . ISBN 0-471-76180-X.
  13. ^ Десятичные числа с плавающей запятой: алгоритм для компьютеров , Коулишоу, Майк Ф. , Слушания 16-го симпозиума IEEE по компьютерной арифметике , ISBN 0-7695-1894-X , стр. 104–11, IEEE Comp. Soc., 2003 г. 
  14. ^ Десятичная арифметика - FAQ
  15. ^ Десятичные числа с плавающей запятой: алгоритм для компьютеров , Cowlishaw , MF, Proceedings 16-го симпозиума IEEE по компьютерной арифметике ( ARITH 16 ), ISBN 0-7695-1894-X , стр. 104–11, IEEE Comp. Soc., Июнь 2003 г. 
  16. Перейти ↑ Dantzig, Tobias (1954), Number / The Language of Science (4-е изд.), The Free Press (Macmillan Publishing Co.), стр. 12, ISBN 0-02-906990-4
  17. ^ Сержан, Bernard (1997), Genèse де l'Inde (на французском языке), Париж: Payot, стр. 113, ISBN 2-228-89116-9 
  18. ^ Коппа, А .; и другие. (2006). «Ранняя неолитическая традиция стоматологии: кремневые наконечники были удивительно эффективны для сверления зубной эмали у доисторических людей». Природа . 440 (7085): 755–56. Bibcode : 2006Natur.440..755C . DOI : 10.1038 / 440755a . PMID 16598247 . 
  19. ^ Bisht, RS (1982), "Раскопки в Banawali: 1974-77", в POSSEHL, Грегори Л. (ред.), Harappan Цивилизация: Современник Perspective , НьюДели: Oxford и IBH Publishing Co., стр. 113- 24
  20. ^ Жорж Ифра: От единицы до нуля. Универсальная история чисел , Penguin Books, 1988, ISBN 0-14-009919-0 , стр. 200–13 (египетские цифры) 
  21. ^ Грэм Флегг: Числа: их история и значение, Courier Dover Publications, 2002, ISBN 978-0-486-42165-0 , стр. 50 
  22. ^ Жорж Ифра: От единицы до нуля. Универсальная история чисел , Penguin Books, 1988, ISBN 0-14-009919-0 , стр. 213–18 (критские цифры) 
  23. ^ a b «Греческие числа» . Проверено 21 июля 2019 .
  24. ^ Menninger, Карл : Zahlwort und Ziffer. Eine Kulturgeschichte der Zahl , Vandenhoeck und Ruprecht, 3-е. изд., 1979, ISBN 3-525-40725-4 , стр. 150–53 
  25. ^ Жорж Ифра: От единицы до нуля. Универсальная история чисел , Penguin Books, 1988, ISBN 0-14-009919-0 , стр. 218f. (Хеттская иероглифическая система) 
  26. ^ (Атхарва Веда 5.15, 1–11)
  27. ^ Лам Лэй Йонг и др. Мимолетные шаги с. 137–39.
  28. ^ a b c d e Лам Лэй Йонг , «Развитие индуистско-арабской и традиционной китайской арифметики», « Китайская наука» , 1996 г., стр. 38, обозначения Курта Фогеля
  29. ^ "Древние бамбуковые планки для расчета занесены в книгу мировых рекордов" . Институт археологии Китайской академии общественных наук . Дата обращения 10 мая 2017 .
  30. ^ а б Джозеф Нидхэм (1959). «Десятичная система». Наука и цивилизация в Китае, Том III, Математика и науки о небесах и Земле . Издательство Кембриджского университета.
  31. ^ Жан-Клод Марцлофф, История китайской математики, Springer 1997 ISBN 3-540-33782-2 
  32. ^ a b Берггрен, Дж. Леннарт (2007). «Математика в средневековом исламе». В Каце, Виктор Дж. (Ред.). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник . Издательство Принстонского университета. п. 530. ISBN 978-0-691-11485-9.
  33. ^ Гандз, С .: Изобретение десятичных дробей и применение экспоненциального исчисления Иммануилом Бонфилсом из Тараскона (ок. 1350 г.), Исида 25 (1936), 16–45.
  34. ^ Lay Yong, Lam . «Китайский генезис, переписывающий историю нашей системы счисления». Архив истории точных наук . 38 : 101–08.
  35. BL van der Waerden (1985). История алгебры. От Хорезми до Эмми Нётер . Берлин: Springer-Verlag.
  36. ^ "Индийские цифры" . Древнеиндийская математика . Проверено 22 мая 2015 .
  37. ^ Азар, Бет (1999). «Английские слова могут помешать развитию математических навыков» . Монитор Американской психологической ассоциации . 30 (4). Архивировано из оригинала на 2007-10-21.
  38. Перейти ↑ Avelino, Heriberto (2006). «Типология систем счисления Пейма и пределы Мезоамерики как лингвистической области» (PDF) . Лингвистическая типология . 10 (1): 41–60. DOI : 10,1515 / LINGTY.2006.002 .
  39. ^ Марсия Ашер . «Этноматематика: мультикультурный взгляд на математические идеи». Журнал математики колледжа. JSTOR 2686959 . 
  40. ^ МакКлин, RJ (июль 1958), "Наблюдение над германскими позициями", немецкая Жизнь и письмо , 11 (4): 293-99, DOI : 10.1111 / j.1468-0483.1958.tb00018.x , некоторые из германских языков Похоже, что видны следы древнего смешения десятичной дроби с десятичной системой..
  41. ^ Voyles, Джозеф (октябрь 1987), "Кардинальные позиции в пре-и прото-германском", Журнал английской и германской филологии , 86 (4): 487-95, JSTOR 27709904 .
  42. ^ Стивенсон, WH (1890). «Длинная сотня и ее использование в Англии». Археологическое обозрение . Декабрь 1889: 313–22.
  43. ^ Пул, Реджинальд Лейн (2006). Казна в двенадцатом веке: лекции Форда доставленных в Оксфордском университете в Michaelmas перспективе, 1911 . Кларк, Нью-Джерси: Обмен юридической книги. ISBN 1-58477-658-7. OCLC  76960942 .
  44. ^ Существует сохранившийся список числовых слов языка Венуреньо до 32, записанный испанским священником ок. 1819. «Чумашанские цифры» Мэдисон С. Билер, в « Математике коренных американцев» , под редакцией Майкла П. Клосса (1986), ISBN 0-292-75531-7 . 
  45. ^ а б Хаммарстрём, Харальд (17 мая 2007 г.). «Редкости в системах счисления». Ин Вольгемут, Ян; Cysouw, Майкл (ред.). Переосмысление универсалий: как раритеты влияют на лингвистическую теорию (PDF) . Эмпирические подходы к языковой типологии. 45 . Берлин: Mouton de Gruyter (опубликовано в 2010 г.). Архивировано 19 августа 2007 года из оригинального (PDF) .
  46. ^ Харрис, Джон (1982). Харгрейв, Сюзанна (ред.). «Факты и заблуждения аборигенных систем счисления» (PDF) . Работа Статьи по SIL-AAB серии B . 8 : 153–81. Архивировано из оригинального (PDF) 31 августа 2007 года.
  47. ^ Доусон, Дж. " Австралийские аборигены: языки и обычаи нескольких племен аборигенов в Западном округе Виктории" (1881 г.), стр. Xcviii.
  48. ^ Matsushita, Сюдзи (1998). Десятичное и двенадцатеричное: взаимодействие двух систем счисления . 2-е заседание AFLANG, октябрь 1998 г., Токио. Архивировано из оригинала на 2008-10-05 . Проверено 29 мая 2011 .
  49. ^ Mazaudon, Martine (2002). «Принципы строительства на языке тибето-бирманских языков». Во Франсуа, Жак (ред.). La Pluralité (PDF) . Левен: Петерс. С. 91–119. ISBN  90-429-1295-2.
  50. ^ Cheetham, Брайан (1978). «Счет и число в хули» . Журнал образования Папуа-Новой Гвинеи . 14 : 16–35. Архивировано из оригинала на 2007-09-28.
  51. ^ Бауэрс, Нэнси; Лепи, Пундиа (1975). "Системы исчисления долины Каугель" (PDF) . Журнал полинезийского общества . 84 (3): 309–24. Архивировано из оригинального (PDF) 04.06.2011.
  52. Оуэнс, Кей (2001), «Работа Глендона Лина по системам подсчета в Папуа-Новой Гвинее и Океании» , журнал исследований в области математического образования , 13 (1): 47–71, Bibcode : 2001MEdRJ..13 ... 47O , doi : 10.1007 / BF03217098 , архивировано из оригинала 26.09.2015