Степени свободы (механика)

В физике , в степени свободы ( DOF ) в виде механической системы является число независимых параметров , определяющих конфигурацию или состояние. Это важно при анализе систем тел в машиностроении , строительстве , аэрокосмической технике , робототехнике и других областях.

Положение отдельного вагона (двигателя), движущегося по рельсовому пути, имеет одну степень свободы, поскольку положение вагона определяется расстоянием по рельсовому пути. Поезд из жестких вагонов, соединенных шарнирами с двигателем, по-прежнему имеет только одну степень свободы, потому что положение вагонов за двигателем ограничивается формой пути.

Автомобиль с очень жесткой подвеской можно рассматривать как твердое тело, движущееся по плоскости (плоскому двухмерному пространству). Это тело имеет три независимые степени свободы, состоящие из двух составляющих поступательного движения и одного угла поворота. Занос или занос - хороший пример трех независимых степеней свободы автомобиля.

Положение и ориентация твердого тела в пространстве определяется тремя компонентами перемещения и тремя компонентами вращения , что означает, что оно имеет шесть степеней свободы.

Метод точного ограничения механического проектирования управляет степенями свободы, чтобы не ограничивать или чрезмерно ограничивать устройство. ^[1]

Движения и размеры [ править ]

Положение n- мерного твердого тела определяется жестким преобразованием [ T ] = [ A ,  d ], где d - это n- мерный перенос, а A - матрица вращения n  ×  n , которая имеет n степеней трансляции свободы и n ( n  - 1) / 2 вращательных степеней свободы. Число вращательных степеней свободы зависит от размерности группы вращения  SO (n) .

Нежесткое или деформируемое тело можно рассматривать как совокупность множества мельчайших частиц (бесконечное количество степеней свободы), это часто аппроксимируется системой конечных степеней свободы. Когда основной целью исследования является движение, связанное с большими смещениями (например, для анализа движения спутников), деформируемое тело можно аппроксимировать как твердое тело (или даже частицу), чтобы упростить анализ.

Степень свободы системы можно рассматривать как минимальное количество координат, необходимых для задания конфигурации. Применяя это определение, мы имеем:

1. Для одиночной частицы на плоскости две координаты определяют ее местоположение, поэтому она имеет две степени свободы;
2. Одна частица в космосе требует трех координат, поэтому она имеет три степени свободы;
3. Две частицы в космосе имеют в сумме шесть степеней свободы;
4. Если две частицы в космосе вынуждены поддерживать постоянное расстояние друг от друга, например, в случае двухатомной молекулы, то шесть координат должны удовлетворять одному уравнению связи, определяемому формулой расстояния. Это уменьшает степень свободы системы до пяти, потому что формула расстояния может использоваться для решения оставшейся координаты, когда указаны другие пять.

Степени свободы твердого тела [ править ]

Шесть степеней свободы движения корабля

Степени свободы отношения для самолета

Шесть степеней свободы (6 степеней свободы) [ править ]

Мнемоника для запоминания названий углов

Один твердое тело имеет не более шесть степеней свободы (6 DOF) 3T3R , состоящий из трех переводов 3T и трех вращений 3R .

См. Также углы Эйлера .

Например, движение корабля в море имеет шесть степеней свободы твердого тела и описывается как: ^[2]

Перевод и поворот:

1. Перемещение вверх и вниз (подъем / подъем);
2. Движение влево и вправо (раскачивание / покачивание);
3. Движение вперед и назад (ходьба / помпаж);
4. Поворачивается влево и вправо ( рыскание );
5. Наклоны вперед и назад ( качка );
6. Поворачивается из стороны в сторону ( качение ).

Например, траектория самолета в полете имеет три степени свободы, а его положение вдоль траектории имеет три степени свободы, всего шесть степеней свободы.

Низкая мобильность [ править ]

См. Также: Параллельный манипулятор

Физические ограничения могут ограничивать количество степеней свободы одного твердого тела. Например, блок, скользящий по плоскому столу, имеет 3 степени свободы 2T1R, состоящие из двух перемещений 2T и 1 поворота 1R . Робот позиционирования XYZ, такой как SCARA, имеет мобильность на 3 степени свободы 3T ниже.

Формула мобильности [ править ]

Формула подвижности подсчитывает количество параметров, которые определяют конфигурацию набора твердых тел, которые ограничены соединениями, соединяющими эти тела. ^{[3] [4]}

Рассмотрим систему из n твердых тел, движущихся в пространстве, с 6 n степенями свободы, измеренными относительно неподвижной системы отсчета. Чтобы подсчитать степени свободы этой системы, включите неподвижное тело в подсчет тел, чтобы подвижность не зависела от выбора тела, образующего неподвижный каркас. Тогда степень свободы неограниченной системы N  =  n  + 1 равна

${\ Displaystyle М = 6n = 6 (N-1), \!}$

потому что неподвижное тело имеет нулевые степени свободы относительно самого себя.

Суставы, соединяющие тела в этой системе, устраняют степени свободы и уменьшают подвижность. В частности, петли и ползунки накладывают пять ограничений и, следовательно, устраняют пять степеней свободы. Удобно определить количество ограничений c, которые налагает сустав, в терминах свободы сустава f , где c  = 6 -  f . В случае шарнира или каретки, которые являются шарнирами с одной степенью свободы, f  = 1 и, следовательно, c  = 6 - 1 = 5.

В результате подвижность системы, состоящей из n подвижных звеньев и j соединений, каждое со свободой f _i , i  = 1, ..., j, определяется выражением

${\ displaystyle M = 6n- \ sum _ {i = 1} ^ {j} \ (6-f_ {i}) = 6 (N-1-j) + \ sum _ {i = 1} ^ {j} \ f_ {i}}$

Напомним, что N включает фиксированную ссылку.

Есть два важных частных случая: (i) простая открытая цепь и (ii) простая замкнутая цепь. Одиночная открытая цепь состоит из n подвижных звеньев, соединенных между собой n стыками, причем один конец соединен с заземляющим звеном. Таким образом, в этом случае N  =  j  + 1 и подвижность цепи равна

${\ Displaystyle М = \ сумма _ {я = 1} ^ {j} \ f_ {я}}$

Для простой замкнутой цепи n подвижных звеньев соединены встык с помощью n  + 1 соединения, так что два конца соединены с заземляющим звеном, образуя петлю. В этом случае N  =  j и подвижность цепи равна

${\ Displaystyle М = \ сумма _ {я = 1} ^ {j} \ f_ {я} -6}$

Примером простой открытой цепи является серийный робот-манипулятор. Эти робототехнические системы состоят из серии звеньев, соединенных шестью поворотными или призматическими соединениями с одной степенью свободы, поэтому система имеет шесть степеней свободы.

Примером простой замкнутой цепи является пространственная четырехзвенная связь RSSR. Сумма свободы этих сочленений равна восьми, поэтому подвижность рычажного механизма равна двум, где одна из степеней свободы - это вращение муфты вокруг линии, соединяющей два S-сочленения.

Плоское и сферическое движение [ править ]

Обычной практикой является проектирование системы рычагов таким образом, чтобы движение всех тел ограничивалось параллельными плоскостями, чтобы сформировать так называемое плоское соединение . Также возможно сконструировать систему сцепления так, чтобы все тела двигались по концентрическим сферам, образуя сферическую связь . В обоих случаях степени свободы звеньев в каждой системе теперь равны трем, а не шести, а ограничения, налагаемые суставами, теперь равны c  = 3 -  f .

В этом случае формула подвижности имеет вид

${\ displaystyle M = 3 (N-1-j) + \ sum _ {i = 1} ^ {j} \ f_ {i},}$

и особые случаи становятся

• плоская или сферическая простая открытая цепь,

${\ Displaystyle М = \ сумма _ {я = 1} ^ {j} \ f_ {я},}$

• плоская или сферическая простая замкнутая цепь,

${\ displaystyle M = \ sum _ {i = 1} ^ {j} \ f_ {i} -3.}$

Примером плоской простой замкнутой цепи является плоская четырехзвенная связь , которая представляет собой четырехзвенную петлю с четырьмя шарнирами с одной степенью свободы и, следовательно, имеет подвижность  M  = 1.

Системы тел [ править ]

Система с несколькими телами будет иметь комбинированную степень свободы, которая является суммой степеней свободы тел без внутренних ограничений, которые они могут иметь на относительное движение. Механизм или связь , содержащая ряд соединенных жестких тел может иметь более степеней свободы для одного твердого тела. Здесь термин « степени свободы» используется для описания количества параметров, необходимых для определения пространственной позиции связи. Он также определяется в контексте пространства конфигурации, пространства задач и рабочего пространства робота.

Особым типом рычажного механизма является открытая кинематическая цепь , в которой набор жестких звеньев соединяется в соединениях ; шарнир может иметь одну степень свободы (шарнир / скольжение) или две (цилиндрические). Такие цепочки обычно встречаются в робототехнике , биомеханике , а также в спутниках и других космических конструкциях. Считается, что человеческая рука имеет семь степеней свободы. Плечо обеспечивает тангаж, рыскание и крен, локоть - тангаж, а запястье - тангаж, рыскание и крен. Чтобы переместить руку в любую точку пространства, потребуется всего 3 из этих движений, но у людей не будет возможности хватать предметы под разными углами или направлениями. Робот (или объект), у которого есть механизмы для управления всеми 6 физическими степенями свободы, называется голономным.. Объект с меньшим количеством контролируемых степеней свободы, чем общее количество степеней свободы, называется неголономным, а объект с более контролируемыми степенями свободы, чем общая глубина резкости (например, человеческая рука), считается избыточным. Хотя имейте в виду, что в руке человека это не является лишним, потому что две степени свободы; запястье и плечо, представляющие одно и то же движение; кувыркаются, снабжают друг друга, поскольку они не могут сделать все 360. Степень свободы подобна различным движениям, которые можно совершить.

В мобильной робототехнике робот, похожий на автомобиль, может достигать любого положения и ориентации в двухмерном пространстве, поэтому для описания его позы требуется 3 степени свободы, но в любой момент вы можете перемещать его только путем движения вперед и угла поворота. Таким образом, он имеет две контрольные степени свободы и три репрезентативной степени свободы; т.е. он неголономный. Самолет с неподвижным крылом с 3–4 управляющими степенями свободы (движение вперед, крен, тангаж и, в ограниченной степени, рыскание) в трехмерном пространстве также неголономен, поскольку он не может двигаться прямо вверх / вниз или лево право.

Краткое изложение формул и методов вычисления степеней свободы механических систем было дано Пеннестри, Кавасче и Вита. ^[5]

Электротехника [ править ]

В электрических инженерных степенях свободы часто используются для описания количества направлений , в которых фазированная антенной решетке антенна может образовывать либо балки или NULLS . Он равен на единицу меньше, чем количество элементов, содержащихся в массиве, поскольку один элемент используется в качестве эталона, к которому могут применяться конструктивные или деструктивные помехи с использованием каждого из оставшихся антенных элементов. Практика использования радара и практика связи, при этом управление лучом более распространено для радарных приложений, а нулевое управление более распространено для подавления помех в линиях связи.

См. Также [ править ]

• Карданный замок
• Кинематика
• Кинематическая пара

Ссылки [ править ]