В общей топологии подмножествоиз топологического пространства называется плотным в себе [1] [2] или переполненном [3] [4] , еслине имеет изолированной точки . Эквивалентно, плотно в себе, если каждая точка является предельной точкой из. Таким образом плотно в себе тогда и только тогда, когда , где это производное множество из.
Плотное в себе замкнутое множество называется совершенным множеством . (Другими словами, совершенное множество - это замкнутое множество без изолированной точки.)
Понятие плотного множества не связано с плотностью в себе . Иногда это может сбивать с толку, поскольку «X плотно в X» (всегда верно) не то же самое, что «X плотно в себе» (нет изолированной точки).
Примеры
Простым примером множества, которое плотно в себе, но не замкнуто (и, следовательно, не является совершенным множеством), является подмножество иррациональных чисел (рассматриваемое как подмножество действительных чисел ). Это множество плотно в себе, потому что каждая окрестность иррационального числа содержит хотя бы одно иррациональное число . С другой стороны, множество иррациональных чисел не замкнуто, потому что каждое рациональное число лежит в его замкнутости . По тем же причинам множество рациональных чисел (также рассматриваемых как подмножество действительных чисел ) также плотно само по себе, но не замкнуто.
Приведенные выше примеры, иррациональные числа и рациональные числа, также являются плотными множествами в своем топологическом пространстве, а именно. В качестве примера, плотного в себе, но не плотного в своем топологическом пространстве, рассмотрим. Этот набор не плотен в но плотно в себе.
Характеристики
- Объединение любого семейства плотных в себе подмножеств пространства X плотно в себе. [5]
- Каждое открытое подмножество пространства "плотно в себе" плотно в себе. [6]
- Каждое плотное подмножество T 1- пространства , плотного в себе, плотно в себе. [7] Обратите внимание, что для этого требуется, чтобы пространство было T 1 ; например в космосес недискретной топологией множество плотно, но не само по себе.
- В топологическом пространстве замыкание самого плотного множества является совершенным множеством. [8]
Смотрите также
Заметки
- ^ Стин и Зеебах, стр. 6
- ^ Энгелькинг, стр. 25
- ^ http://www.topo.auburn.edu/tp/reprints/v21/tp21008.pdf
- ^ https://www.researchgate.net/publication/228597275_a-Scattered_spaces_II
- ^ Энгелькинг, 1.7.10, стр. 59
- ^ Kuratowski, стр. 78
- ^ Kuratowski, стр. 78
- ^ Kuratowski, стр. 77
Рекомендации
- Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Heldermann Verlag, Берлин. ISBN 3-88538-006-4.
- Куратовский, К. (1966). Топология Vol. Я . Академическая пресса. ISBN 012429202X.
- Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур младший (1978). Контрпримеры в топологии ( переиздание Dover 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3. Руководство по ремонту 0507446 .
Эта статья включает в себя материал из Dense на сайте PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .