В математике , цифровая теория Морса [1] [2] представляет собой цифровую адаптация континуум теории Морса для скалярных данных объема . Это не о Сэмюэл Морзе «s азбуки Морзе длинных и коротких щелчков или тонов , используемых в ручной электродуговой телеграфии. Термин был впервые обнародован DB Karron на основе работы JL Cox и DB Karron.
Основная полезность цифровой теории Морса заключается в том, что она служит теоретической основой для изоповерхностей (разновидность подмногообразия вложенного многообразия ) и перпендикулярных линий тока в цифровом контексте. Предполагаемое основное применение ДМТ - это быстрая полуавтоматическая сегментация объектов, таких как органы и анатомические структуры, из стопок медицинских изображений, таких как полученные с помощью трехмерной компьютерной томографии с использованием технологий КТ или МРТ.
DMT Tree [ править ]
ДМТ дерево представляет собой цифровой вариант графа Риба графа или контура дерева, показывающий взаимосвязь и возможность подключения одного isovalued определяется объект к другому. Как правило, это вложенные объекты, один внутри другого, устанавливающие отношения родитель-потомок, или два объекта, стоящих отдельно друг от друга с одноранговыми отношениями.
Существенное понимание теории Морса можно дать в небольшой притче.
Мысленный эксперимент с аквариумом [ править ]
Мысленный эксперимент с аквариумом: подсчет островов при изменении уровня воды
Основная идея непрерывной теории Морса может быть интуитивно понятна с помощью мысленного эксперимента. Рассмотрим прямоугольный стеклянный аквариум. В этот резервуар мы насыпаем небольшое количество песка, так что у нас есть два плавно наклонных небольших холма, один выше другого. Теперь мы заполняем этот резервуар водой до краев. Теперь мы начинаем подсчет количества островных объектов, поскольку мы очень медленно опорожняем резервуар.
Наше первоначальное наблюдение состоит в том, что на нашей сцене танка нет островных элементов. Когда уровень воды падает, мы наблюдаем, как уровень воды совпадает с пиком самого высокого песчаного холма. Затем мы наблюдаем за поведением воды на критической вершине холма. Мы видим вырожденный контур точечного острова с нулевой площадью, нулевым периметром и бесконечной кривизной. Исчезающее небольшое изменение уровня воды, и этот точечный контур расширяется до крошечного острова. Теперь мы увеличиваем количество объектов нашего острова на +1. Продолжаем сливать воду из емкости. Затем мы наблюдаем создание второго острова на вершине второго небольшого холма. Мы снова увеличиваем количество объектов нашего острова на +1 до двух объектов. В нашем маленьком море есть два островных объекта. По мере того как мы продолжаем медленно понижать уровень воды в нашем маленьком морском аквариуме.Теперь мы наблюдаем, как контуры двух островов постепенно расширяются и растут по направлению друг к другу. Когда уровень воды достигает уровня критической седловой точки между двумя холмами, контуры острова соприкасаются точно в седловой точке. Мы замечаем, что счетчик объектов уменьшается на –1, чтобы получить общее количество островов, равное единице. Существенной особенностью этой рубрики является то, что мынужно только подсчитать пики и проходы, чтобы провести инвентаризацию всех островов в нашем море или объектов на нашей сцене. Этот подход работает даже тогда, когда мы увеличиваем сложность сцены.
Мы можем использовать ту же идею для перечисления пиков, ям и критичностей прохождения в очень сложном архипелаге островных объектов в любом масштабе или любом диапазоне масштабов, включая шум в любом масштабе размера.
Взаимосвязь между объектами острова может быть
- Сверстники : два острова, которые на более низком уровне воды «сливаются» в одну общую родительскую.
- Родитель : остров, который разделяется на два дочерних острова на более высоком уровне воды.
- Потомство : остров, имеющий особенность родительского острова, как описано выше.
Цифровая теория Морзе связывает пики, ямы и перерывы с родителями, сверстниками и потомками. Это дает симпатичную мнемонику: PPP → ppp.
Поскольку топология не заботится о геометрии или размерности (напрямую), комплексные оптимизации в бесконечномерных гильбертовых пространствах поддаются такому анализу.
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Cox, J .; Каррон, ДБ; Фердоус, Н. (2003). «Организация топологической зоны скалярных объемных данных». Журнал математической визуализации и зрения . 18 (2): 95–117. DOI : 10,1023 / A: 1022113114311 .
- ^ Цифровая теория Морса для скалярных объемных данных, заархивированная 24 января 2009 г. на Wayback Machine . DIMACS 2003. [1]
- Санджай Рана (2004). Топологические структуры данных для поверхностей . Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0470851517.
