Размерный анализ

В технике и науке , размерный анализ представляет собой анализ отношений между различными физическими величинами путем определения их базовых величин (например, длины , массы , времени и электрического заряда ) и единицы измерения (например, миль против километров, или фунтов против килограммы) и отслеживание этих размеров по мере выполнения расчетов или сравнений. Преобразование единиц из одной пространственной единицы к другому часто проще в пределах метрики или SIсистемы, чем в других, за счет штатной 10-базы во всех единицах. Анализ размерностей, или, более конкретно, метод меток фактора , также известный как метод единичного фактора , является широко используемым методом для таких преобразований с использованием правил алгебры . ^{[1] [2] [3]}

Соизмеримые физические величины имеют одинаковый вид и размерность, и их можно напрямую сравнивать друг с другом, даже если они изначально выражены в разных единицах измерения, например ярдах и метрах, фунтах (масса) и килограммах, секундах и годах. . Несоизмеримые физические величины бывают разных видов и имеют разные размеры, и их нельзя напрямую сравнивать друг с другом, независимо от того, в каких единицах они изначально выражены, например, в метрах и килограммах, секундах и килограммах, метрах и секундах. Например, бессмысленно спрашивать, больше ли килограмм часа.

Любой физический смысл уравнения или неравенства , должны иметь одинаковые размеры по его левой и правой стороны, свойство известного как размерной однородности . Проверка на однородность размеров - обычное применение анализа размеров, служащее проверкой достоверности полученных уравнений и расчетов. Он также служит руководством и ограничением при выводе уравнений, которые могут описывать физическую систему в отсутствие более строгого вывода.

Понятие физического измерения и анализа размерностей было введено Джозефом Фурье в 1822 г. ^[4]

Конкретные числа и основные единицы [ править ]

Многие параметры и измерения в физических и технических науках выражаются конкретным числом - числовой величиной и соответствующей единицей измерения. Часто количество выражается через несколько других величин; например, скорость - это комбинация длины и времени, например 60 километров в час или 1,4 километра в секунду. Сложные отношения с «на» выражаются делением , например 60 км / 1 ч. Другие отношения могут включать умножение (часто показываемое центрированной точкой или сопоставление ), степени (например, м ² для квадратных метров) или их комбинации.

Набор основных единиц для системы измерения - это традиционно выбранный набор единиц, ни одна из которых не может быть выражена как комбинация других и через которые могут быть выражены все остальные единицы системы. ^[5] Например, единицы длины и времени обычно выбираются в качестве основных единиц. Однако единицы объема могут быть разложены на базовые единицы длины (м ³ ), поэтому они считаются производными или составными единицами.

Иногда названия единиц скрывают тот факт, что они производные единицы. Например, ньютон (Н) - это единица силы , в которой единицы массы (кг) умножены на единицы ускорения (м⋅с ⁻² ). Ньютон определяется как 1 Н = 1 кг⋅м⋅с ⁻² .

Проценты и производные [ править ]

Проценты - это безразмерные величины, поскольку они представляют собой отношения двух величин с одинаковыми размерностями. Другими словами, знак% можно читать как «сотые», поскольку 1% = 1/100 .

Взяв производную по величине, в знаменателе прибавляется размерность переменной, по которой производится дифференцирование. Таким образом:

• позиция ( x ) имеет размер L (длина);
• производная положения по времени ( dx / dt , скорость ) имеет размерность LT ^{-1 -} длина от позиции, время из-за градиента;
• вторая производная ( d ² x / dt ² = d ( dx / dt ) / dt , ускорение ) имеет размерность LT ⁻² .

В экономике различают запасы и потоки : у запаса есть единицы «единиц» (скажем, виджеты или доллары), в то время как поток является производной от акции и имеет единицы «единицы / время» (скажем, доллары / год).

В некоторых случаях размерные величины выражаются безразмерными величинами или процентами путем исключения некоторых измерений. Например, отношение долга к ВВП обычно выражается в процентах: общая сумма непогашенного долга (размер валюты), деленная на годовой ВВП (измерение валюты), - но можно утверждать, что при сравнении запаса с потоком годовой ВВП должен иметь измерения валюта / время (например, доллары / год), и, таким образом, отношение долга к ВВП должно иметь единицы лет, что указывает на то, что отношение долга к ВВП - это количество лет, необходимое для постоянного ВВП для выплаты долга, если весь ВВП тратится на долг, а в остальном долг остается неизменным.

Коэффициент преобразования [ править ]

В размерном анализе коэффициент, который преобразует одну единицу измерения в другую без изменения количества, называется коэффициентом преобразования . Например, кПа и бар являются единицами измерения давления, а 100 кПа = 1 бар . Правила алгебры позволяют разделить обе части уравнения одним и тем же выражением, так что это эквивалентно 100 кПа / 1 бар = 1 . Поскольку любое количество можно умножить на 1, не меняя его, выражение « 100 кПа / 1 бар » можно использовать для преобразования из бара в кПа путем умножения его на количество, которое необходимо преобразовать, включая единицы. Например, 5 бар × 100 кПа / 1 бар = 500 кПа, потому что 5 × 100/1 = 500 , и бар / бар компенсируется, поэтому 5 бар = 500 кПа..

Размерная однородность [ править ]

Самым основным правилом размерного анализа является размерная однородность. ^[6]

Только соизмеримые величины (физические величины, имеющие одинаковую размерность) могут сравниваться , приравниваться , складываться или вычитаться .

Однако измерения образуют абелеву группу при умножении, поэтому:

Можно брать коэффициенты из несоизмеримых величин (величины с различными размерами), и умножить или разделить их.

Например, нет смысла спрашивать, является ли 1 час больше, одинаковым или меньше 1 километра, поскольку они имеют разные размеры, или добавлять 1 час к 1 километру. Тем не менее, имеет смысл спросить, является ли 1 миля большим, одинаковым или менее 1 километра, являющегося одним и тем же измерением физической величины, даже если единицы измерения разные. С другой стороны, если объект преодолевает 100 км за 2 часа, можно разделить их и сделать вывод, что средняя скорость объекта была 50 км / ч.

Правило подразумевает, что в физически значимом выражении можно складывать, вычитать или сравнивать только количества одного измерения. Например, если m _man , m _rat и L _man обозначают, соответственно, массу некоторого человека, массу крысы и длину этого человека, однородное по размерам выражение m _man + m _rat имеет смысл, но неоднородное выражение m _man + L _man бессмысленно. Тем не менее, м _{человек} / L ² _{человека}Это хорошо. Таким образом, размерный анализ может использоваться как проверка корректности физических уравнений: две стороны любого уравнения должны быть соизмеримы или иметь одинаковые размеры.

Это подразумевает, что большинство математических функций, особенно трансцендентные функции , должны иметь безразмерную величину, чистое число в качестве аргумента и в результате должны возвращать безразмерное число. Это ясно, потому что многие трансцендентные функции могут быть выражены в виде бесконечного степенного ряда с безразмерными коэффициентами.

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots }$

Все степени x должны иметь одинаковую размерность, чтобы члены были соизмеримыми. Но если x не безразмерен, то разные степени x будут иметь разные несоизмеримые размеры. Однако степенные функции, включая корневые функции, могут иметь размерный аргумент и возвращать результат, имеющий размерность, которая является той же степенью, примененной к измерению аргумента. Это связано с тем, что степенные функции и корневые функции, грубо говоря, просто выражение умножения величин.

Даже когда две физические величины имеют одинаковые размеры, тем не менее, может быть бессмысленно сравнивать или складывать их. Например, хотя крутящий момент и энергия имеют размерность L ² M T ⁻² , они являются фундаментально разными физическими величинами.

Чтобы сравнить, сложить или вычесть количества с одинаковыми размерами, но выраженными в разных единицах, стандартная процедура сначала преобразует их в одинаковые единицы. Например, чтобы сравнить 32 метра с 35 ярдами , используйте 1 ярд = 0,9144 м, чтобы преобразовать 35 ярдов в 32,004 м.

Связанный с этим принцип заключается в том, что любой физический закон, точно описывающий реальный мир, не должен зависеть от единиц измерения физических переменных. ^[7] Например, законы движения Ньютона должны выполняться независимо от того, измеряется ли расстояние в милях или километрах. Этот принцип приводит к форме, которую должны принимать коэффициенты преобразования между единицами измерения одного и того же размера: умножение на простую константу. Это также гарантирует эквивалентность; например, если два здания имеют одинаковую высоту в футах, то они должны быть одинаковой высоты в метрах.

Метод метки фактора для преобразования единиц [ править ]

Метод метки множителя представляет собой последовательное применение коэффициентов преобразования, выраженных в виде дробей и упорядоченных таким образом, что любая единица измерения, встречающаяся как в числителе, так и в знаменателе любой из дробей, может быть сокращена до тех пор, пока не будет получен только желаемый набор единиц измерения. Например, 10 миль в час можно преобразовать в метры в секунду , используя последовательность коэффициентов преобразования, как показано ниже:

${\displaystyle {\frac {10\ {\cancel {\text{mile}}}}{1\ {\cancel {\text{hour}}}}}\times {\frac {1609.344{\text{ meter}}}{1\ {\cancel {\text{mile}}}}}\times {\frac {1\ {\cancel {\text{hour}}}}{3600{\text{ second}}}}=4.4704\ {\frac {\text{meter}}{\text{second}}}.}$

Каждый коэффициент преобразования выбирается на основе соотношения между одной из исходных единиц и одной из требуемых единиц (или некоторой промежуточной единицей), прежде чем будет изменен для создания коэффициента, который отменяет исходную единицу. Например, так как «миля» является числителем в исходной дроби, а «миля» должна быть знаменателем в коэффициенте преобразования. Разделив обе части уравнения на 1 милю, получаем , что при упрощении дает безразмерный результат . Умножение любой величины (физической или нет) на безразмерную единицу не меняет эту величину. Как только это и коэффициент пересчета для секунд в час были умножены на исходную дробь, чтобы отменить единицы мили и час${\displaystyle 1\ {\text{mile}}=1609.344\ {\text{meter}}}$${\displaystyle {\frac {1\ {\text{mile}}}{1\ {\text{mile}}}}={\frac {1609.344\ {\text{meter}}}{1\ {\text{mile}}}}}$${\displaystyle 1={\frac {1609.344\ {\text{meter}}}{1\ {\text{mile}}}}}$, 10 миль в час преобразуется в 4,4704 метра в секунду.

В качестве более сложного , например, концентрация из оксидов азота (т.е. ) в дымовом газе с промышленной печи может быть преобразован в массовый расход потока , выраженный в граммах в час (т.е., г / час) с помощью следующей информации , как показано ниже: NO x {\displaystyle \color {Blue}{\ce {NO}}_{x}} ${\displaystyle {\ce {NO}}_{x}}$

Концентрация NO _x

= 10 частей на миллион по объему = 10 частей на миллион по объему = 10 объемов / 10 ⁶ объемов

NO _x молярная масса

= 46 кг / кмоль = 46 г / моль

Расход дымовых газов

= 20 кубометров в минуту = 20 м ³ / мин

Дымовой газ выходит из печи при температуре 0 ° C и абсолютном давлении 101,325 кПа.

Молярный объем газа при 0 ° C и температуре 101,325 кПа составляет 22,414 м ³ / кмоль .

${\displaystyle {\frac {1000\ {\ce {g\ NO}}_{x}}{1{\cancel {{\ce {kg\ NO}}_{x}}}}}\times {\frac {46\ {\cancel {{\ce {kg\ NO}}_{x}}}}{1\ {\cancel {{\ce {kmol\ NO}}_{x}}}}}\times {\frac {1\ {\cancel {{\ce {kmol\ NO}}_{x}}}}{22.414\ {\cancel {{\ce {m}}^{3}\ {\ce {NO}}_{x}}}}}\times {\frac {10\ {\cancel {{\ce {m}}^{3}\ {\ce {NO}}_{x}}}}{10^{6}\ {\cancel {{\ce {m}}^{3}\ {\ce {gas}}}}}}\times {\frac {20\ {\cancel {{\ce {m}}^{3}\ {\ce {gas}}}}}{1\ {\cancel {\ce {minute}}}}}\times {\frac {60\ {\cancel {\ce {minute}}}}{1\ {\ce {hour}}}}=24.63\ {\frac {{\ce {g\ NO}}_{x}}{\ce {hour}}}}$

После исключения любых размерных единиц, которые появляются как в числителях, так и в знаменателях фракций в приведенном выше уравнении, концентрация NO _x 10 ppm _v преобразуется в массовый расход 24,63 грамма в час.

Проверка формул, включающих размеры [ править ]

Метод метки фактора также может использоваться в любом математическом уравнении, чтобы проверить, совпадают ли размерные единицы в левой части уравнения с размерными единицами в правой части уравнения. Наличие одинаковых единиц измерения на обеих сторонах уравнения не гарантирует, что уравнение является правильным, но наличие разных единиц на двух сторонах (если выражено в единицах измерения) уравнения означает, что уравнение неверно.

Например, проверьте уравнение Универсального закона газа для PV = nRT , когда:

• давление P в паскалях (Па)
• объем V в кубических метрах (м ³ )
• количество вещества n выражается в молях (моль)
• универсальная газовая постоянная закон R является 8,3145 Pa⋅m ³ / (mol⋅K)
• температура T в кельвинах (K)

${\displaystyle {\ce {Pa.m^3}}={\frac {\cancel {{\ce {mol}}}}{1}}\times {\frac {{\ce {Pa.m^3}}}{{\cancel {{\ce {mol}}}}\ {\cancel {{\ce {K}}}}}}\times {\frac {\cancel {{\ce {K}}}}{1}}}$

Как можно видеть, когда единицы измерения, указанные в числителе и знаменателе правой части уравнения, исключены, обе части уравнения имеют одинаковые единицы измерения. Анализ размеров можно использовать как инструмент для построения уравнений, связывающих не связанные физико-химические свойства. Уравнения могут выявить ранее неизвестные или упускаемые из виду свойства материи в форме оставшихся измерений - регуляторов размеров, - которым затем можно придать физическое значение. Важно отметить, что такие «математические манипуляции» не лишены прецедентов и значительного научного значения. Действительно, постоянная Планка, фундаментальная постоянная Вселенной,был «открыт» как чисто математическая абстракция или представление, построенное на уравнении Рэлея-Джинса для предотвращения ультрафиолетовой катастрофы. Это было присвоено и достигло своего квантово-физического значения либо в тандеме, либо после математической размерной корректировки - не ранее.

Ограничения [ править ]

Метод «фактор-метка» может преобразовывать только единицы величин, для которых единицы находятся в линейной зависимости, пересекающейся на 0. ( Шкала отношения в типологии Стивенса). Большинство единиц соответствуют этой парадигме. Примером, для которого его нельзя использовать, является преобразование между градусами Цельсия и кельвинами (или градусами Фаренгейта ). Между градусами Цельсия и Кельвинами существует постоянная разница, а не постоянное соотношение, в то время как между градусами Цельсия и градусами Фаренгейта нет ни постоянной разницы, ни постоянного отношения. Однако между ними существует аффинное преобразование ( а не линейное преобразование ).${\displaystyle x\mapsto ax+b}$ ${\displaystyle x\mapsto ax}$

Например, температура замерзания воды составляет 0 ° C и 32 ° F, а изменение на 5 ° C соответствует изменению на 9 ° F. Таким образом, чтобы преобразовать единицы Фаренгейта в единицы Цельсия, нужно вычесть 32 ° F (смещение от исходной точки), разделить на 9 ° F и умножить на 5 ° C (масштабировать по отношению единиц) и добавить 0 ° C (смещение от исходной точки). Обращение к нему дает формулу для получения количества в единицах Цельсия из единиц Фаренгейта; можно было бы начать с эквивалентности между 100 ° C и 212 ° F, хотя это привело бы к той же формуле в конце.

Следовательно, чтобы преобразовать числовое значение величины температуры T [F] в градусах Фаренгейта в численное значение величины T [C] в градусах Цельсия, можно использовать эту формулу:

Т [С] = ( Т [F] - 32) × 5/9.

Чтобы преобразовать T [C] в градусах Цельсия в T [F] в градусах Фаренгейта, можно использовать следующую формулу:

Т [F] = ( Т [C] × 9/5) + 32.

Приложения [ править ]

Анализ размерностей чаще всего используется в физике и химии - и в их математике - но находит некоторые применения и за пределами этих областей.

Математика [ править ]

Простое применение анализа размерностей к математике - вычисление формы объема n- шара (твердый шар в n измерениях) или площади его поверхности, n- сферы : будучи n- мерной фигурой, объем масштабируется, как в то время как площадь поверхности, будучи -мерной, масштабируется как Таким образом, объем n- шара в терминах радиуса является некоторой константой. Определение константы требует более сложной математики, но форму можно вывести и проверить путем анализа размеров один.${\displaystyle x^{n},}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle x^{n-1}.}$${\displaystyle C_{n}r^{n},}$${\displaystyle C_{n}.}$

Финансы, экономика и бухгалтерский учет [ править ]

В финансах, экономике и бухгалтерском учете размерный анализ чаще всего упоминается в терминах различия между запасами и потоками . В более общем плане размерный анализ используется для интерпретации различных финансовых коэффициентов , экономических коэффициентов и коэффициентов бухгалтерского учета.

• Например, коэффициент P / E имеет измерения времени (единицы лет) и может быть интерпретирован как «годы заработка для получения заплаченной цены».
• В экономике отношение долга к ВВП также измеряется в годах (долг - в денежных единицах, ВВП - в денежных единицах в год).
• В финансовом анализе некоторые типы дюрации облигаций также имеют измерение времени (единицы лет) и могут быть интерпретированы как «годы до точки баланса между выплатой процентов и номинальным погашением».
• Скорость движения денег выражается в единицах 1 / год (ВВП / денежная масса имеет денежные единицы в год по сравнению с валютой): как часто денежная единица обращается в год.
• Процентные ставки часто выражаются в процентах, но более правильно - в процентах годовых, которые имеют размерность 1 / год.

Механика жидкости [ править ]

В механике жидкостей анализ размеров выполняется для получения безразмерных пи-членов или групп. Согласно принципам размерного анализа, любой прототип может быть описан серией этих терминов или групп, которые описывают поведение системы. Используя подходящие члены Пи или группы, можно разработать аналогичный набор членов Пи для модели, имеющей такие же размерные отношения. ^[8] Другими словами, термины «пи» позволяют быстро разработать модель, представляющую определенный прототип. Общие безразмерные группы в механике жидкости включают:

• Число Рейнольдса (Re), как правило, важно для всех типов жидкостей:

  ${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho \,ud}{\mu }}}$.

• Число Фруда (Fr), моделирующее течение со свободной поверхностью:

  ${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {g\,L}}}.}$

• Число Эйлера (Eu), используемое в задачах, в которых представляет интерес давление:

  ${\displaystyle \mathrm {Eu} ={\frac {\Delta p}{\rho u^{2}}}.}$

• Число Маха (Ma), важно в высокоскоростных потоках, где скорость приближается к местной скорости звука или превышает ее:

  ${\displaystyle \mathrm {Ma} ={\frac {u}{c}},}$где: c - местная скорость звука.

История [ править ]

Истоки размерного анализа оспариваются историками. ^{[9] [10]}

Первое письменное приложение размерного анализа было приписано статье Франсуа Давье в Туринской академии наук. Учителем Давье был мастер Лагранж . Его фундаментальные труды содержатся в Акте Академии от 1799 г. ^[10]

Это привело к выводу, что значимые законы должны быть однородными уравнениями в различных единицах измерения, результат, который в конечном итоге был формализован в π-теореме Бакингема . Симеон Пуассон также рассмотрел ту же проблему закона параллелограмма Давье в его трактатах 1811 и 1833 годов (том I, стр. 39). ^[11] Во втором издании 1833 года Пуассон явно вводит термин размерность вместо однородности Давье .

В 1822 году известный наполеоновский ученый Джозеф Фурье внес первый заслуженный важный вклад ^[12], основанный на идее о том, что физические законы, подобные F = ma, должны быть независимыми от единиц, используемых для измерения физических переменных.

Максвелл сыграл важную роль в установлении современного использования размерного анализа, выделив массу, длину и время как фундаментальные единицы, в то время как другие единицы назывались производными. ^[13] Хотя Максвелл определил длину, время и массу как «три фундаментальные единицы», он также отметил, что гравитационная масса может быть получена из длины и времени, приняв форму закона всемирного тяготения Ньютона, в которой гравитационная постоянная G равна принято за единицу, тем самым определяя M = L ³ T ⁻² . ^[14] Принимая форму закона Кулона, в которой постоянная Кулона k _eпринята за единицу, Максвелл затем определил, что размеры электростатической единицы заряда были Q = L ^3/2 M ^1/2 T ⁻¹ , ^[15] что после подстановки его M = L ³ T ⁻² уравнения для массы , приводит к заряду, имеющему те же размеры, что и масса, а именно. Q = L ³ T ⁻² .

Анализ размерностей также используется для установления отношений между физическими величинами, которые участвуют в конкретном явлении, которое нужно понять и охарактеризовать. Впервые он был использован ( Pesic 2005 ) таким образом в 1872 году лордом Рэли , который пытался понять, почему небо голубое. Рэлей впервые опубликовал эту технику в своей книге 1877 года «Теория звука» . ^[16]

Первоначальное значение слова « измерение» в « Теории Шалера» Фурье было числовым значением показателей основных единиц. Например, считалось, что ускорение имеет размерность 1 по отношению к единице длины и размерность -2 по отношению к единице времени. ^[17] Это было немного изменено Максвеллом, который сказал, что размеры ускорения равны LT ⁻² , а не только экспоненты. ^[18]

Математическая формулировка [ править ]

Теорема Бакингема π описывает, как каждое физически значимое уравнение, включающее n переменных, может быть эквивалентно переписано как уравнение с n - m безразмерными параметрами, где m - ранг размерной матрицы. Более того, что наиболее важно, он предоставляет метод вычисления этих безразмерных параметров на основе заданных переменных.

Уравнение размерности может иметь размеры, уменьшенные или исключенные путем обезразмеривания , которое начинается с анализа размеров и включает масштабирование величин по характерным единицам системы или естественным единицам природы. Это дает представление об основных свойствах системы, как показано в примерах ниже.

Определение [ править ]

Размерность физической величины может быть выражена как произведение основных физических величин, таких как длина , масса и время , каждое из которых возведено в рациональную степень . Измерение физической величины является более фундаментальным , чем какой - то масштабной единица , используемой для экспрессии этого количества физической величины. Например, масса - это измерение, а килограмм - это конкретная единица измерения, выбранная для выражения количества массы. За исключением натуральных единиц , выбор шкалы является культурным и произвольным.

Есть много возможных вариантов основных физических размеров. Стандарт SI рекомендует использовать следующие размеры и соответствующие символы: длина (L), масса (M), время (T), электрический ток (I), абсолютная температура (Θ), количество вещества (N) и сила света. (Дж). Обычно символы пишутся римским шрифтом без засечек . ^[19] Математически размерность величины Q определяется выражением

${\displaystyle {\text{dim}}~{Q}={\mathsf {L}}^{a}{\mathsf {M}}^{b}{\mathsf {T}}^{c}{\mathsf {I}}^{d}{\mathsf {\Theta }}^{e}{\mathsf {N}}^{f}{\mathsf {J}}^{g}}$

где a , b , c , d , e , f , g - показатели размерности. Другие физические величины могут быть определены как базовые, если они образуют линейно независимую основу . Например, можно заменить размерность электрического тока (I) в базисе СИ на размерность электрического заряда (Q), поскольку Q = IT.

Например, размерность физической величины скорости v равна

${\displaystyle {\text{dim}}~v={\frac {\text{length}}{\text{time}}}={\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {LT}}^{-1}}$

а размерность физической величины сила F равна

${\displaystyle {\text{dim}}~F={\text{mass}}\times {\text{acceleration}}={\text{mass}}\times {\frac {\text{length}}{{\text{time}}^{2}}}={\frac {\mathsf {ML}}{{\mathsf {T}}^{2}}}={\mathsf {MLT}}^{-2}}$

Единица измерения, выбранная для выражения физической величины, и ее размер - взаимосвязанные, но не идентичные понятия. Единицы физической величины определены условно и связаны с некоторым стандартом; например, длина может выражаться в метрах, футах, дюймах, милях или микрометрах; но любая длина всегда имеет размер L, независимо от того, какие единицы длины выбраны для ее выражения. Две разные единицы одной и той же физической величины имеют коэффициенты пересчета, которые связывают их. Например, 1  в = 2,54  см ; в этом случае (2,54 см / дюйм) - это коэффициент преобразования, который сам по себе безразмерен. Следовательно, умножение на этот коэффициент преобразования не меняет размерностей физической величины.

Есть также физики, которые ставят под сомнение само существование несовместимых фундаментальных измерений физических величин ^[20], хотя это не отменяет полезности анализа размерностей.

Математические свойства [ править ]

Измерения, которые могут быть сформированы из данного набора основных физических измерений, таких как M, L и T, образуют абелеву группу : тождество записывается как 1; L ⁰ = 1 , и обратное к L равно 1 / L или L ^-1 . L, возведенный в любую рациональную степень p, является членом группы, имеющей обратную L ^{- p} или 1 / L ^p . Операция группы - умножение с обычными правилами работы с показателями ( L ⁿ × L ^m = L ^{n + m} ).

Эта группа может быть описана как векторное пространство над рациональными числами, с, например, размерным символом M ⁱ L ^j T ^k, соответствующим вектору ( i , j , k ) . Когда физические измеряемые величины (будь они с одинаковыми или разными размерами) умножаются или делятся друг на друга, их размерные единицы аналогичным образом умножаются или делятся; это соответствует сложению или вычитанию в векторном пространстве. Когда измеримые величины возводятся в рациональную степень, то же самое происходит с размерными символами, прикрепленными к этим величинам; это соответствует скалярному умножению в векторном пространстве.

Основа такого векторного пространства размерных символов называется набором базовых величин , а все другие векторы называются производными единицами. Как и в любом векторном пространстве, можно выбрать разные основы , что дает разные системы единиц (например, выбор того , будет ли единица для заряда производной от единицы для тока, или наоборот).

Групповая идентичность 1, размерность безразмерных величин, соответствует началу координат в этом векторном пространстве.

Набор единиц физических величин, участвующих в задаче, соответствует набору векторов (или матрице). Дефектности описывают некоторое число (например, м ) пути , в которых эти векторы могут быть объединены для получения нулевого вектора. Они соответствуют получению (из измерений) ряда безразмерных величин, {π ₁ , ..., π _m }. (Фактически, эти способы полностью охватывают нулевое подпространство другого другого пространства степеней измерений.) Можно выразить все возможные способы умножения (и возведения в степень ) измеренных величин для получения чего-либо с теми же единицами, что и некоторая производная величина X в общем виде

${\displaystyle X=\prod _{i=1}^{m}(\pi _{i})^{k_{i}}\,.}$

Следовательно, всевозможные соизмеримые уравнения физики системы можно переписать в виде

${\displaystyle f(\pi _{1},\pi _{2},...,\pi _{m})=0\,.}$

Знание этого ограничения может стать мощным инструментом для получения нового представления о системе.

Механика [ править ]

Измерение физических величин, представляющих интерес в механике, может быть выражено в терминах базовых измерений M, L и T - они образуют 3-мерное векторное пространство. Это не единственный допустимый выбор базовых размеров, но он наиболее часто используется. Например, можно выбрать силу, длину и массу в качестве базовых размеров (как некоторые сделали) с соответствующими размерами F, L, M; это соответствует другой основе, и можно переходить между этими представлениями путем изменения основы . Таким образом, выбор базового набора размеров является условным, что дает большую пользу и удобство. Выбор базовых размеров не совсем произвольный, потому что они должны составлять основу : они должны охватывать пространство и бытьлинейно независимый .

Например, F, L, M образуют набор фундаментальных измерений, потому что они образуют основу, эквивалентную M, L, T: первое может быть выражено как [F = ML / T ² ], L, M, а последнее может быть выражено как M, L, [T = (ML / F) ^1/2 ].

С другой стороны, длина, скорость и время (L, V, T) не образуют набор основных измерений для механики по двум причинам:

• Невозможно получить массу - или что-то производное от нее, например силу - без введения другого базового измерения (таким образом, они не охватывают пространство ).
• Скорость, выражаемая через длину и время (V = L / T), является избыточной (набор не является линейно независимым ).

Другие области физики и химии [ править ]

В зависимости от области физики может оказаться выгодным выбрать тот или иной расширенный набор размерных символов. Например, в электромагнетизме может быть полезно использовать размеры M, L, T и Q, где Q представляет собой размер электрического заряда . В термодинамике базовый набор размеров часто расширяется, чтобы включить измерение температуры temperature. В химии количество вещества (количество молекул, деленное на постоянную Авогадро , ≈6,02 × 10 ²³  моль ^-1 ) также определяется как базовый размер N. При взаимодействии релятивистской плазмы с мощными лазерными импульсами безразмерный параметр релятивистского подобия , связанный со свойствами симметрии бесстолкновительного уравнения Власова , строится на основе плазменной, электронной и критической плотностей в дополнение к электромагнитному векторному потенциалу. Выбор размеров или даже количества измерений, которые будут использоваться в различных областях физики, в некоторой степени произвольный, но согласованность в использовании и простота связи являются общими и необходимыми характеристиками.

Полиномы и трансцендентные функции [ править ]

Скалярные аргументы для трансцендентных функций, таких как экспоненциальные , тригонометрические и логарифмические функции, или для неоднородных многочленов , должны быть безразмерными величинами . (Примечание: это требование несколько ослаблено в описанном ниже ориентационном анализе Сиано, в котором квадрат определенных размерных величин безразмерен.)

В то время как большинство математических тождеств о безразмерных числах просто переводятся в размерные величины, следует проявлять осторожность с логарифмами отношений: тождество log (a / b) = log a - log b, где логарифм берется с любым основанием, выполняется для безразмерных чисел а и Ь, но оно не выполнено , если а и Ь одномерно, потому что в этом случае левая сторона хорошо определена , но правая рука не.

Точно так же, в то время как можно вычислять мономы ( x ⁿ ) размерных величин, нельзя оценивать многочлены смешанной степени с безразмерными коэффициентами на размерных величинах: для x ² выражение (3 m) ²  = 9 m ² имеет смысл (как площадь ), тогда как для x ²  +  x выражение (3 m) ²  + 3 m = 9 m ²  + 3 m не имеет смысла.

Однако полиномы смешанной степени могут иметь смысл, если коэффициенты являются подходящим образом выбранными физическими величинами, которые не являются безразмерными. Например,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot \left(-9.8\ {\frac {\text{meter}}{{\text{second}}^{2}}}\right)\cdot t^{2}+\left(500\ {\frac {\text{meter}}{\text{second}}}\right)\cdot t.}$

Это высота, на которую объект поднимается за время  t, если ускорение свободного падения составляет 9,8 метра в секунду в секунду, а начальная скорость подъема составляет 500 метров в секунду. T не обязательно должно быть в секундах . Например, предположим, что t  = 0,01 минуты. Тогда первый член будет

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}\cdot \left(-9.8\ {\frac {\text{meter}}{{\text{second}}^{2}}}\right)\cdot (0.01{\text{ minute}})^{2}\\[10pt]={}&{\frac {1}{2}}\cdot -9.8\cdot \left(0.01^{2}\right)\left({\frac {\text{minute}}{\text{second}}}\right)^{2}\cdot {\text{meter}}\\[10pt]={}&{\frac {1}{2}}\cdot -9.8\cdot \left(0.01^{2}\right)\cdot 60^{2}\cdot {\text{meter}}.\end{aligned}}}$

Включение единиц [ править ]

Значение размерной физической величины Z записывается как произведение единицы [ Z ] в пределах измерения и безразмерного числового коэффициента n . ^[21]

${\displaystyle Z=n\times [Z]=n[Z]}$

Когда величины с одинаковыми размерами складываются, вычитаются или сравниваются, их удобно выражать в согласованных единицах, чтобы числовые значения этих величин можно было напрямую складывать или вычитать. Но, по идее, нет проблем с добавлением количеств одного размера, выраженных в разных единицах. Например, 1 метр, добавленный к 1 футу, - это длина, но нельзя получить эту длину простым сложением 1 и 1. Необходим коэффициент преобразования , который представляет собой отношение величин с одинаковыми размерами и равен безразмерной единице:

${\displaystyle 1\ {\mbox{ft}}=0.3048\ {\mbox{m}}\ }$ идентичен ${\displaystyle 1={\frac {0.3048\ {\mbox{m}}}{1\ {\mbox{ft}}}}.\ }$

Коэффициент идентичен безразмерному 1, поэтому умножение на этот коэффициент преобразования ничего не меняет. Затем при добавлении двух величин одинаковой размерности, но выраженных в разных единицах, соответствующий коэффициент преобразования, который по существу является безразмерным 1, используется для преобразования величин в идентичные единицы, чтобы их числовые значения можно было складывать или вычитать.${\displaystyle 0.3048\ {\frac {\mbox{m}}{\mbox{ft}}}}$

Только таким образом имеет смысл говорить о добавлении одинаковых количеств различных единиц.

Положение против смещения [ править ]

Некоторые обсуждения размерного анализа неявно описывают все величины как математические векторы. (В математике скаляры считаются особым случаем векторов; ^{[ необходима цитата ]} векторы могут добавляться или вычитаться из других векторов, а также, в частности, умножаться или делиться на скаляры. Если вектор используется для определения положения, это предполагает неявная точка отсчета: происхождение . Хотя это полезно и часто вполне адекватно, позволяя выявить многие важные ошибки, оно может не смоделировать определенные аспекты физики. Более строгий подход требует различения между положением и смещением (или моментом в время в зависимости от продолжительности или абсолютная температура в зависимости от изменения температуры).

Рассмотрим точки на линии, каждая из которых имеет положение относительно данного начала, и расстояния между ними. Позиции и смещения имеют единицы длины, но их значение не является взаимозаменяемым:

• добавление двух смещений должно привести к новому смещению (десять шагов, затем двадцать шагов - тридцать шагов вперед),
• добавление смещения к позиции должно дать новую позицию (пройдя один квартал по улице от перекрестка, вы попадете на следующий перекресток),
• вычитание двух позиций должно дать смещение,
• но нельзя складывать две позиции.

Это иллюстрирует тонкое различие между аффинными величинами (моделируемыми аффинным пространством , например положением) и векторными величинами (теми, которые моделируются векторным пространством , например смещением).

• Векторные величины могут быть добавлены друг к другу, давая новую векторную величину, и векторная величина может быть добавлена ​​к подходящей аффинной величине (векторное пространство действует на аффинное пространство), давая новую аффинную величину.
• Аффинные количества не могут быть добавлены, но могут быть вычтены, давая относительные количества, которые являются векторами, и эти относительные различия затем могут быть добавлены друг к другу или к аффинному количеству.

Соответственно, позиции имеют размерность аффинной длины, а смещения - размерность вектора . Чтобы присвоить число аффинной единице, нужно не только выбрать единицу измерения, но и точку отсчета , в то время как для присвоения числа векторной единице требуется только единица измерения.

Таким образом, некоторые физические величины лучше моделируются векторными величинами, в то время как другие, как правило, требуют аффинного представления, и различие отражается в их размерном анализе.

Это различие особенно важно в случае температуры, для которой числовое значение абсолютного нуля не является началом 0 в некоторых шкалах. Для абсолютного нуля

−273,15 ° C ≘ 0 K = 0 ° R ≘ −459,67 ° F,

где символ ≘ означает соответствует , поскольку, хотя эти значения на соответствующих температурных шкалах соответствуют, они представляют различные величины таким же образом, как расстояния от различных начальных точек до одной и той же конечной точки являются различными величинами и, как правило, не могут быть приравнены.

Для разницы температур,

1 K = 1 ° C ≠ 1 ° F = 1 ° R.

(Здесь ° R относится к шкале Ренкина , а не к шкале Реомюра ). Преобразование единиц измерения разницы температур - это просто умножение, например, на 1 ° F / 1 K (хотя это соотношение не является постоянным значением). Но поскольку некоторые из этих шкал имеют происхождение, не соответствующее абсолютному нулю, переход от одной шкалы температуры к другой требует учета этого. В результате простой размерный анализ может привести к ошибкам, если неясно, означает ли 1 K абсолютную температуру, равную -272,15 ° C, или разницу температур, равную 1 ° C.

Ориентация и система отсчета [ править ]

Аналогично проблеме точки отсчета является проблема ориентации: смещение в 2 или 3 измерениях - это не просто длина, а длина вместе с направлением . (Эта проблема не возникает в одном измерении, или, скорее, эквивалентна различию между положительным и отрицательным.) Таким образом, для сравнения или объединения двухмерных величин в многомерном пространстве также необходима ориентация: их нужно сравнивать в систему отсчета .

Это приводит к расширениям, обсуждаемым ниже, а именно к ориентированным измерениям Хантли и ориентационному анализу Сиано.

Примеры [ править ]

Простой пример: период гармонического осциллятора [ править ]

Каков период колебаний T массы m, прикрепленной к идеальной линейной пружине с жесткостью пружины k, подвешенной под действием силы тяжести с силой g ? Этот период является решением для T некоторого безразмерного уравнения в переменных T , m , k и g . Четыре величины имеют следующие размеры: T [T]; м [М]; k [M / T ² ]; и g [L / T ² ]. Из них мы можем составить только одно безразмерное произведение степеней выбранных нами переменных, =${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle T^{2}k/m}$ [T ² · M / T ² / M = 1] , и положив некоторую безразмерную константу C, получаем искомое безразмерное уравнение. Безразмерное произведение степеней переменных иногда называют безразмерной группой переменных; здесь термин «группа» означает «совокупность», а не математическую группу . Их также часто называют безразмерными числами .${\displaystyle G_{1}=C}$

Обратите внимание, что переменная g не встречается в группе. Легко видеть, что невозможно сформировать безразмерное произведение степеней, которое объединяет g с k , m и T , потому что g - единственная величина, которая включает размерность L. Это означает, что в этой задаче g не имеет значения. Анализ размерностей может иногда привести к сильным утверждениям о несоответствии некоторых величин в проблеме или необходимости дополнительных параметров. Если мы выбрали достаточно переменных для правильного описания проблемы, то из этого аргумента мы можем сделать вывод, что период массы на пружине не зависит от g.: то же самое и на Земле, и на Луне. Уравнение, демонстрирующее существование произведения степеней для нашей задачи, может быть записано совершенно эквивалентным образом:, для некоторой безразмерной константы κ (равной из исходного безразмерного уравнения).${\displaystyle T=\kappa {\sqrt {\tfrac {m}{k}}}}$${\displaystyle {\sqrt {C}}}$

Столкнувшись со случаем, когда анализ измерений отклоняет переменную ( здесь g ), которую интуитивно ожидает отнести к физическому описанию ситуации, другая возможность состоит в том, что отклоненная переменная на самом деле имеет значение, но что некоторая другая релевантная переменная была опущено, что может в сочетании с отклоненной переменной образовать безразмерную величину. Однако здесь дело обстоит иначе.

Когда анализ размерностей дает только одну безразмерную группу, как здесь, неизвестных функций нет, и решение называется «полным», хотя оно все еще может включать неизвестные безразмерные константы, такие как κ .

Более сложный пример: энергия вибрирующей проволоки [ править ]

Рассмотрим случай вибрирующей проволоки длиной л (L) вибрирующей с амплитудой A (L). Проволока имеет линейную плотность ρ (M / L) и находится под натяжением s (ML / T ² ), и мы хотим знать энергию E (ML ² / T ² ) в проволоке. Пусть π ₁ и π ₂ - два безразмерных произведения степеней выбранных переменных, заданных формулой

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}&={\frac {E}{As}}\\\pi _{2}&={\frac {\ell }{A}}.\end{aligned}}}$

Не учитывается линейная плотность проволоки. Две найденные группы можно объединить в эквивалентную форму в виде уравнения

${\displaystyle F\left({\frac {E}{As}},{\frac {\ell }{A}}\right)=0,}$

где F - некоторая неизвестная функция, или, что то же самое, как

${\displaystyle E=Asf\left({\frac {\ell }{A}}\right),}$

где f - другая неизвестная функция. Здесь неизвестная функция означает, что наше решение теперь неполное, но анализ размеров дал нам кое-что, что, возможно, не было очевидным: энергия пропорциональна первой степени напряжения. Исключая дальнейший аналитический анализ, мы могли бы перейти к экспериментам по обнаружению формы неизвестной функции f . Но наши эксперименты проще, чем при отсутствии размерного анализа. Мы бы ничего не сделали, чтобы убедиться, что энергия пропорциональна напряжению. Или , возможно , мы могли бы предположить , что энергия пропорциональна л , и поэтому сделать вывод , что E = ℓs. Становится очевидной сила анализа размеров как помощи в экспериментах и ​​формировании гипотез.

Сила анализа размерностей действительно становится очевидной, когда он применяется к ситуациям, в отличие от приведенных выше, которые являются более сложными, набор задействованных переменных не очевиден, а лежащие в основе уравнения безнадежно сложны. Рассмотрим, например, небольшой камешек, лежащий на дне реки. Если река течет достаточно быстро, она фактически поднимет гальку и заставит ее течь вместе с водой. При какой критической скорости это произойдет? Разобраться в предполагаемых переменных не так просто, как раньше. Но анализ размеров может быть мощным подспорьем в понимании подобных проблем и обычно является самым первым инструментом, который применяется к сложным задачам, в которых лежащие в основе уравнения и ограничения плохо поняты. В таких случаях ответ может зависеть от безразмерного числанапример, число Рейнольдса , которое можно интерпретировать с помощью анализа размеров.

Третий пример: спрос против емкости для вращающегося диска [ править ]

Рассмотрим случай тонкого твердого вращающегося диска с параллельными сторонами осевой толщины t (L) и радиуса R (L). Диск имеет плотность ρ (M / L ³ ), вращается с угловой скоростью ω (T ⁻¹ ), что приводит к напряжению S (ML ⁻¹ T ⁻²) в материале. Существует теоретическое линейно-упругое решение этой проблемы, данное Ламе, когда диск тонкий относительно его радиуса, грани диска могут свободно перемещаться в осевом направлении, и определяющие соотношения плоских напряжений можно считать действительными. По мере того, как диск становится толще относительно радиуса, решение для плоских напряжений разрушается. Если диск удерживается в осевом направлении на его свободных гранях, возникает состояние плоской деформации. Однако, если это не так, то состояние напряжения может быть определено только с учетом трехмерной упругости, и для этого случая нет известного теоретического решения. Таким образом, инженер может быть заинтересован в установлении связи между пятью переменными. Анализ размерностей для этого случая приводит к следующим (5 - 3 = 2) безразмерным группам:

спрос / мощность = ρR ² ω ² / S

толщина / радиус или соотношение сторон = t / R

Путем использования численных экспериментов с использованием, например, метода конечных элементов , характер взаимосвязи между двумя безразмерными группами может быть получен, как показано на рисунке. Поскольку эта проблема затрагивает только две безразмерные группы, полная картина представлена ​​на едином графике, и ее можно использовать в качестве расчетной / оценочной таблицы для вращающихся дисков ^[22]

Расширения [ править ]

Расширение Хантли: направленные измерения и количество материи [ править ]

Хантли ( Huntley 1967 ) указал, что анализ размерностей может стать более мощным, открыв новые независимые измерения в рассматриваемых величинах, тем самым повысив ранг размерной матрицы. Он представил два подхода к этому:${\displaystyle m}$

• Величины компонентов вектора следует считать размерно независимыми. Например, вместо недифференцированного измерения длины L мы можем иметь L _x, представляющий размер в x-направлении и так далее. Это требование в конечном итоге проистекает из требования, чтобы каждый компонент физически значимого уравнения (скаляр, вектор или тензор) был согласован по размерам.
• Массу как меру количества вещества следует считать размерно независимой от массы как меры инерции.

В качестве примера полезности первого подхода предположим, что мы хотим вычислить расстояние, которое проходит пушечное ядро при выстреле с вертикальной составляющей скорости и горизонтальной составляющей скорости , предполагая, что оно выстреливается по плоской поверхности. Предполагая , что нет использования направленных длины, количество интереса затем , как размеры, LT ^-1 , R , пройденное расстояние, имеющего размер L, и г нисходящую ускорения силы тяжести, с размерностью LT ^-2 .${\displaystyle V_{\mathrm {y} }}$${\displaystyle V_{\mathrm {x} }}$${\displaystyle V_{\mathrm {x} }}$${\displaystyle V_{\mathrm {y} }}$

Используя эти четыре величины, мы можем сделать вывод, что уравнение для диапазона R можно записать:

${\displaystyle R\propto V_{\text{x}}^{a}\,V_{\text{y}}^{b}\,g^{c}.\,}$

Или размерно

${\displaystyle {\mathsf {L}}=\left({\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}\right)^{a+b}\left({\frac {\mathsf {L}}{{\mathsf {T}}^{2}}}\right)^{c}\,}$

из которого мы можем вывести это и , что оставляет один показатель неопределенным. Этого следовало ожидать, поскольку у нас есть два фундаментальных измерения L и T и четыре параметра с одним уравнением.${\displaystyle a+b+c=1}$${\displaystyle a+b+2c=0}$

Если, однако, мы используем ориентированные размеры по длине, то они будут иметь размеры как L _x T ⁻¹ , как L _y T ⁻¹ , R как L _x и g как L _y T ⁻² . Уравнение размеров принимает следующий вид:${\displaystyle V_{\mathrm {x} }}$${\displaystyle V_{\mathrm {y} }}$

${\displaystyle {\mathsf {L}}_{\mathrm {x} }=\left({\frac {{\mathsf {L}}_{\mathrm {x} }}{\mathsf {T}}}\right)^{a}\left({\frac {{\mathsf {L}}_{\mathrm {y} }}{\mathsf {T}}}\right)^{b}\left({\frac {{\mathsf {L}}_{\mathrm {y} }}{{\mathsf {T}}^{2}}}\right)^{c}}$

и мы можем решить полностью как , так и . Очевидно увеличение дедуктивной способности за счет использования ориентированных размеров длины.${\displaystyle a=1}$${\displaystyle b=1}$${\displaystyle c=-1}$

В своем втором подходе Хантли считает, что иногда полезно (например, в механике жидкости и термодинамике) различать массу как меру инерции (инертную массу) и массу как меру количества вещества. Количество материи определяется Хантли как количество (а), пропорциональное инертной массе, но (б) не имеющее инерционных свойств. Никаких дополнительных ограничений к его определению не добавляется.

Например, рассмотрим вывод закона Пуазейля . Мы хотим найти скорость массового расхода вязкой жидкости через круглую трубу. Не делая различий между инерционной и значительной массой, мы можем выбрать в качестве соответствующих переменных

• ${\displaystyle {\dot {m}}}$массовый расход размером MT ⁻¹
• ${\displaystyle p_{\text{x}}}$градиент давления вдоль трубы размером ML ⁻² T ⁻²
• ρ плотность размером ML ⁻³
• η динамическая вязкость жидкости размером ML ⁻¹ T ⁻¹
• r радиус трубы размером L

Есть три основных переменных , так что выше пяти уравнений даст две безразмерные переменные , которые мы можем предпринять , чтобы быть и мы можем выразить одномерное уравнение в виде${\displaystyle \pi _{1}={\dot {m}}/\eta r}$${\displaystyle \pi _{2}=p_{\mathrm {x} }\rho r^{5}/{\dot {m}}^{2}}$

${\displaystyle C=\pi _{1}\pi _{2}^{a}=\left({\frac {\dot {m}}{\eta r}}\right)\left({\frac {p_{\mathrm {x} }\rho r^{5}}{{\dot {m}}^{2}}}\right)^{a}}$

где C и a - неопределенные константы. Если мы проведем различие между инертной массой с размером и количеством материи с размером , то массовый расход и плотность будут использовать количество вещества в качестве параметра массы, а градиент давления и коэффициент вязкости будут использовать инерционную массу. Теперь у нас есть четыре основных параметра и одна безразмерная постоянная, так что уравнение размерности может быть записано:${\displaystyle M_{\text{i}}}$${\displaystyle M_{\text{m}}}$

${\displaystyle C={\frac {p_{\mathrm {x} }\rho r^{4}}{\eta {\dot {m}}}}}$

где теперь только C - неопределенная константа (найденная равной с помощью методов, не относящихся к анализу размерностей). Это уравнение может быть решено относительно массового расхода, чтобы получить закон Пуазейля .${\displaystyle \pi /8}$

Признание Хантли количества материи в качестве независимого количественного измерения, очевидно, успешно в тех задачах, где это применимо, но его определение количества материи открыто для интерпретации, поскольку ему не хватает специфичности, помимо двух требований (а) и (б). постулированный для этого. Для данного вещества количество вещества в системе СИ, выраженное в единице моля , действительно удовлетворяет двум требованиям Хантли в качестве меры количества материи и может использоваться в качестве количества вещества в любой задаче анализа измерений, где применима концепция Хантли.

Однако концепция направленных размеров длины Хантли имеет некоторые серьезные ограничения:

• Он плохо справляется с векторными уравнениями, включающими кросс-произведение ,
• также он плохо справляется с использованием углов в качестве физических переменных.

Также часто бывает довольно сложно назначить символы L, L _x , L _y , L _z , физическим переменным, вовлеченным в интересующую проблему. Он вызывает процедуру, которая включает «симметрию» физической проблемы. Это часто очень трудно применить надежно: неясно, в каких частях проблемы задействуется понятие «симметрия». Силы действуют на симметрию физического тела, или на точки, линии или области, к которым прилагаются силы? Что, если несколько тел имеют разную симметрию?

Рассмотрим сферический пузырь, прикрепленный к цилиндрической трубе, где требуется, чтобы скорость потока воздуха была функцией разницы давлений в двух частях. Каковы расширенные измерения Huntley вязкости воздуха, содержащегося в соединенных частях? Каковы расширенные размеры давления двух частей? Они такие же или разные? Эти трудности являются причиной ограниченного применения ориентированных размеров длины Хантли к реальным задачам.

Расширение Сиано: ориентационный анализ [ править ]

Углы принято считать безразмерными величинами. В качестве примера снова рассмотрим задачу о снаряде, в которой точечная масса запускается из начала координат ( x , y ) = (0, 0) со скоростью v и углом θ над осью x , при этом сила тяжести направлена ​​вдоль отрицательная ось y . Желательно найти диапазон R , в котором масса возвращается к оси x . Обычный анализ даст безразмерную переменную π = R g / v ², но не дает представления о взаимосвязи между R и θ .

Сиано ( 1985-I , 1985-II ) предложил заменить ориентированные измерения Хантли использованием ориентировочных символов 1 _x  1 _y  1 _z для обозначения векторных направлений и неориентирующего символа 1 ₀ . Таким образом, L _x Хантли становится L 1 _x, где L указывает размер длины, а 1 _x определяет ориентацию. Далее Сиано показывает, что у ориентационных символов есть своя собственная алгебра. Наряду с требованием 1 _i ⁻¹ = 1 _i, следующая таблица умножения для символов ориентации результатов:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}&\mathbf {1_{0}} &\mathbf {1_{\text{x}}} &\mathbf {1_{\text{y}}} &\mathbf {1_{\text{z}}} \\\hline \mathbf {1_{0}} &1_{0}&1_{\text{x}}&1_{\text{y}}&1_{\text{z}}\\\mathbf {1_{\text{x}}} &1_{\text{x}}&1_{0}&1_{\text{z}}&1_{\text{y}}\\\mathbf {1_{\text{y}}} &1_{\text{y}}&1_{\text{z}}&1_{0}&1_{\text{x}}\\\mathbf {1_{\text{z}}} &1_{\text{z}}&1_{\text{y}}&1_{\text{x}}&1_{0}\end{array}}}$

Обратите внимание, что ориентационные символы образуют группу ( четырехгруппа Клейна или «Viergruppe»). В этой системе скаляры всегда имеют ту же ориентацию, что и единичный элемент, независимо от «симметрии задачи». Физические величины, которые являются векторами, имеют ожидаемую ориентацию: сила или скорость в z-направлении имеют ориентацию 1 _z . В качестве углов рассмотрим угол θ , лежащий в плоскости z. Сформируйте прямоугольный треугольник в плоскости z с одним из острых углов θ . Тогда сторона прямоугольного треугольника, примыкающая к углу, имеет ориентацию 1 _x, а противоположная сторона имеет ориентацию 1 _y . Поскольку (используя ~для обозначения ориентационной эквивалентности) tan ( θ ) = θ  + ... ~ 1 _y / 1 _x, мы заключаем, что угол в плоскости xy должен иметь ориентацию 1 _y / 1 _x = 1 _z , что не является необоснованным. Аналогичные рассуждения приводят к выводу, что sin ( θ ) имеет ориентацию 1 _z, а cos ( θ ) - ориентацию 1 ₀ . Они разные, поэтому можно сделать вывод (правильно), например, что не существует решений физических уравнений, которые имеют вид a cos ( θ) + b sin ( θ ) , где a и b - вещественные скаляры. Обратите внимание, что такое выражение, как размерное противоречие, поскольку это частный случай формулы суммы углов и должно быть правильно записано:${\displaystyle \sin(\theta +\pi /2)=\cos(\theta )}$

${\displaystyle \sin \left(a\,1_{\text{z}}+b\,1_{\text{z}}\right)=\sin \left(a\,1_{\text{z}})\cos(b\,1_{\text{z}}\right)+\sin \left(b\,1_{\text{z}})\cos(a\,1_{\text{z}}\right),}$

который для и дает . Сиано различает геометрические углы, которые имеют ориентацию в трехмерном пространстве, и фазовые углы, связанные с основанными на времени колебаниями, которые не имеют пространственной ориентации, т.е. ориентация фазового угла .${\displaystyle a=\theta }$${\displaystyle b=\pi /2}$${\displaystyle \sin(\theta \,1_{\text{z}}+[\pi /2]\,1_{\text{z}})=1_{\text{z}}\cos(\theta \,1_{\text{z}})}$${\displaystyle 1_{0}}$

Присвоение ориентационных символов физическим величинам и требование, чтобы физические уравнения были ориентационно однородными, могут фактически использоваться способом, аналогичным анализу размеров, для получения немного дополнительной информации о приемлемых решениях физических проблем. В этом подходе задают размерное уравнение и решают его, насколько это возможно. Если наименьшая степень физической переменной является дробной, обе стороны решения возводятся в такую ​​степень, чтобы все степени были целыми. Это придает ему «нормальную форму». Затем решается ориентационное уравнение, чтобы дать более ограничительное условие для неизвестных степеней ориентационных символов, достигая решения, которое является более полным, чем то, которое дает только анализ размерностей.Часто добавляется информация о том, что одна из степеней определенной переменной четная или нечетная.

Например, для задачи о снаряде, используя символы ориентации, θ , находящийся в плоскости xy, будет иметь размер 1 _z, а дальность полета снаряда R будет иметь вид:

${\displaystyle R=g^{a}\,v^{b}\,\theta ^{c}{\text{ which means }}{\mathsf {L}}\,1_{\mathrm {x} }\sim \left({\frac {{\mathsf {L}}\,1_{\text{y}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}\right)^{a}\left({\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}\right)^{b}\,1_{\mathsf {z}}^{c}.\,}$

Размерная однородность теперь правильно дает a = −1 и b = 2 , а ориентационная однородность требует этого . Другими словами, это c должно быть нечетным целым числом. Фактически, требуемая функция теты будет sin ( θ ) cos ( θ ), которая представляет собой ряд, состоящий из нечетных степеней θ .${\displaystyle 1_{x}/(1_{y}^{a}1_{z}^{c})=1_{z}^{c+1}=1}$

Видно, что ряды Тейлора sin ( θ ) и cos ( θ ) являются ориентационно однородными с использованием приведенной выше таблицы умножения, в то время как выражения вроде cos ( θ ) + sin ( θ ) и exp ( θ ) не являются и являются (правильно ) считается нефизическим.

Ориентационный анализ Сиано совместим с традиционным представлением об угловых величинах как безразмерных, и в рамках ориентационного анализа радиан все еще может считаться безразмерной единицей. Ориентационный анализ количественного уравнения выполняется отдельно от обычного размерного анализа, давая информацию, которая дополняет размерный анализ.

Безразмерные концепции [ править ]

Константы [ править ]

Безразмерные константы, которые возникают в полученных результатах, таких как C в задаче закона Пуазейля и в проблемах с пружиной, обсуждавшихся выше, происходят из более подробного анализа лежащих в основе физики и часто возникают в результате интегрирования некоторых дифференциальных уравнений. Сам размерный анализ мало что может сказать об этих константах, но полезно знать, что они очень часто имеют величину порядка единицы. Это наблюдение может позволить кому-то иногда проводить " обратные " вычисления относительно интересующего явления и, следовательно, иметь возможность более эффективно планировать эксперименты для его измерения или определения его важности и т. Д.${\displaystyle \kappa }$

Формализмы [ править ]

Парадоксально, но размерный анализ может быть полезным инструментом, даже если все параметры лежащей в основе теории безразмерны, например, модели решетки, такие как модель Изинга, могут быть использованы для изучения фазовых переходов и критических явлений. Такие модели можно сформулировать и в чисто безразмерном виде. По мере того, как мы приближаемся к критической точке все ближе и ближе, расстояние, на котором коррелируются переменные в решеточной модели (так называемая длина корреляции ), становится все больше и больше. Теперь корреляционная длина является релевантным масштабом длины, связанным с критическими явлениями, поэтому можно, например, предположить на «размерных основаниях», что неаналитическая часть свободной энергии на узел решетки должна быть там, где - размер решетки.${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \sim 1/\xi ^{d}}$${\displaystyle d}$

Утверждалось некоторыми физиками, например, MJ Дафф , ^{[20] [23]} , что законы физики являются по своей сути безразмерная. Тот факт, что мы приписали несовместимые размеры Длине, Времени и Массе, согласно этой точке зрения, является всего лишь условием, вытекающим из того факта, что до появления современной физики не было возможности связать массу, длина и время друг к другу. Три независимых размерных константы: c , ħ и G в фундаментальных уравнениях физики должны тогда рассматриваться как простые коэффициенты преобразования для преобразования массы, времени и длины друг в друга.

Так же, как и в случае критических свойств решетчатых моделей, можно восстановить результаты размерного анализа в соответствующем пределе масштабирования; например, размерный анализ в механике может быть получен вставив константу H , C и G (но теперь мы можем рассматривать их как безразмерные) и требуя , чтобы невырожденная соотношение между величинами существует в пределе , и . В задачах, связанных с гравитационным полем, следует выбирать последний предел, чтобы поле оставалось конечным.${\displaystyle c\rightarrow \infty }$${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$${\displaystyle G\rightarrow 0}$

Эквивалентность измерений [ править ]

Ниже приведены таблицы часто встречающихся в физике выражений, связанных с измерениями энергии, импульса и силы. ^{[24] [25] [26]}

Единицы СИ [ править ]

Энергия, E ML 2 Тл −2	Выражение	Номенклатура
Механический	${\displaystyle Fd}$	F = сила , d = расстояние
	${\displaystyle S/t\equiv Pt}$	S = действие , t = время , P = мощность
	${\displaystyle mv^{2}\equiv pv\equiv p^{2}/m}$	m = масса , v = скорость , p = импульс
	${\displaystyle I\omega ^{2}\equiv L\omega \equiv L^{2}/I}$	L = угловой момент , I = момент инерции , ω = угловая скорость
Идеальные газы	${\displaystyle pV\equiv NT}$	p = давление, объем , T = температура N = количество вещества
Волны	${\displaystyle IAt\equiv SAt}$	I = интенсивность волны , S = вектор Пойнтинга
Электромагнитный	${\displaystyle q\phi }$	q = электрический заряд , ϕ = электрический потенциал (для изменений это напряжение )
	${\displaystyle \varepsilon E^{2}V\equiv B^{2}V/\mu }$	E = электрическое поле , B = магнитное поле , ε = диэлектрическая проницаемость , μ = проницаемость , V = трехмерный объем
	${\displaystyle pE\equiv mB\equiv IAB}$	p = электрический дипольный момент , m = магнитный момент, A = площадь (ограниченная токовой петлей), I = электрический ток в петле

Импульс, p MLT −1	Выражение	Номенклатура
Механический	${\displaystyle mv\equiv Ft}$	m = масса, v = скорость, F = сила, t = время
	${\displaystyle S/r\equiv L/r}$	S = действие, L = угловой момент, r = перемещение
Термический	${\displaystyle m{\sqrt {\left\langle v^{2}\right\rangle }}}$	${\displaystyle {\sqrt {\left\langle v^{2}\right\rangle }}}$= среднеквадратичная скорость , m = масса (молекулы)
Волны	${\displaystyle \rho Vv}$	ρ = плотность , V = объем , v = фазовая скорость
Электромагнитный	${\displaystyle qA}$	A = магнитный векторный потенциал

Сила, F MLT −2	Выражение	Номенклатура
Механический	${\displaystyle ma\equiv p/t}$	m = масса, a = ускорение
Термический	${\displaystyle T\delta S/\delta r}$	S = энтропия, T = температура, r = смещение (см. Энтропийную силу )
Электромагнитный	${\displaystyle Eq\equiv Bqv}$	E = электрическое поле, B = магнитное поле, v = скорость, q = заряд

Натуральные единицы [ править ]

Если c = ħ = 1 , где c - скорость света, а ħ - приведенная постоянная Планка , и выбрана подходящая фиксированная единица энергии, то все величины длины L , массы M и времени T могут быть выражены (размерно) как мощность энергии E , потому что длину, массу и время можно выразить с помощью скорости v , действия S и энергии E : ^[26]

${\displaystyle M={\frac {E}{v^{2}}},\quad L={\frac {Sv}{E}},\quad t={\frac {S}{E}}}$

хотя скорость и действие безразмерны ( v = c = 1 и S = ħ = 1 ), поэтому единственная оставшаяся величина с размерностью - это энергия. По степеням габаритов:

${\displaystyle {\mathsf {E}}^{n}={\mathsf {M}}^{p}{\mathsf {L}}^{q}{\mathsf {T}}^{r}={\mathsf {E}}^{p-q-r}}$

Это особенно полезно в физике элементарных частиц и физике высоких энергий, и в этом случае единицей энергии является электрон-вольт (эВ). В этой системе очень просто сделать размерные проверки и оценки.

Однако, если задействованы электрические заряды и токи, необходимо установить еще одну единицу для электрического заряда, обычно это заряд электрона e, хотя возможны и другие варианты.

См. Также [ править ]

• Теорема Букингема π
• Безразмерные числа в механике жидкости
• Оценка Ферми - используется для обучения анализу размеров
• Метод Рэлея размерного анализа
• Similitude (модель) - приложение размерного анализа
• Система измерения

Связанные области математики [ править ]

• Ковариация и контравариантность векторов
• Внешняя алгебра
• Геометрическая алгебра
• Количественный расчет

Языки программирования [ править ]

Размерная корректность как часть проверки типов изучается с 1977 года. ^[27] Реализации для Ada ^[28] и C ++ ^[29] были описаны в 1985 и 1988 годах. В тезисе Кеннеди 1996 года описывается реализация в Standard ML , ^[30] и позже в F # . ^[31] Существуют реализации для Haskell , ^[32] OCaml , ^[33] и Rust , ^[34] Python, ^[35] и средство проверки кода для Fortran . ^[36]
Тезис Гриффиоена 2019 года расширил тезис КеннедиСистема типов Хиндли – Милнера для поддержки матриц Харта. ^{[37] [38]}

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Баренблатт, Г.И. (1996), Масштабирование, самоподобие и промежуточная асимптотика , Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43522-2
• Bhaskar, R .; Nigam, Индиго (1990), "Физика Качественное Использование анализа размерностей", Искусственный интеллект , 45 (1-2): 73-111, DOI : 10,1016 / 0004-3702 (90) 90038-2
• Bhaskar, R .; Нигам, Анил (1991), «Качественные объяснения образования красных гигантов», The Astrophysical Journal , 372 : 592–6, Bibcode : 1991ApJ ... 372..592B , doi : 10.1086 / 170003
• Буше; Алвес (1960), «Безразмерные числа», Chemical Engineering Progress , 55 : 55–64
• Бриджмен, П. В. (1922), Анализ размерностей , издательство Йельского университета, ISBN 978-0-548-91029-0
• Бакингем, Эдгар (1914), «О физически подобных системах: иллюстрации использования размерного анализа» , Physical Review , 4 (4): 345–376, Bibcode : 1914PhRv .... 4..345B , doi : 10.1103 / PhysRev.4.345 , ЛВП : 10338.dmlcz / 101743
• Дробот, С. (1953-1954), "Об основах анализа размерностей" (PDF) , Studia Mathematica , 14 : 84-99, DOI : 10,4064 / см-14-1-84-99
• Гиббингс, Дж. К. (2011), Анализ размерностей , Springer, ISBN 978-1-84996-316-9
• Харт, Джордж У. (1994), "Теория размерных матриц" , в Льюисе, Джоне Г. (ред.), Труды пятой конференции SIAM по прикладной линейной алгебре , SIAM, стр. 186–190, ISBN 978-0-89871-336-7Как постскриптум
• Харт, Джордж У. (1995), Многомерный анализ: алгебры и системы для науки и техники , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94417-3
• Huntley, HE (1967), Dimensional Analysis , Dover, LOC 67-17978.
• Клинкенберг, А. (1955), "Размерные системы и системы единиц в физике со специальной ссылкой на химическую инженерию: Часть I. Принципы, в соответствии с которыми построены размерные системы и системы единиц", Химическая инженерия , 4 (3) : 130-140, 167-177, DOI : 10,1016 / 0009-2509 (55) 80004-8
• Лангхаар, Генри Л. (1951), Анализ размерностей и теория моделей , Wiley, ISBN 978-0-88275-682-0
• Мендес, П.Ф .; Ордоньес, Ф. (сентябрь 2005 г.), «Законы масштабирования на основе статистических данных и размерного анализа», Журнал прикладной механики , 72 (5): 648–657, Bibcode : 2005JAM .... 72..648M , CiteSeerX  10.1.1.422 0,610 , DOI : 10,1115 / 1,1943434
• Муди, Л.Ф. (1944), "Факторы трения для потока в трубе", Сделки Американского общества инженеров-механиков , 66 (671)
• Мерфи, Н.Ф. (1949), "Анализ размерностей", Бюллетень Политехнического института Вирджинии , 42 (6)
• Перри, JH; и другие. (1944), «Стандартная система номенклатуры для операций химической инженерии», Сделки Американского института инженеров-химиков , 40 (251)
• Пешич, Питер (2005), Небо в бутылке , MIT Press, стр.  227–8 , ISBN 978-0-262-16234-0
• Петти, GW (2001), "Автоматизированный расчет и проверка согласованности физических размеров и единиц в научных программах", программное обеспечение - практика и опыт , 31 (11): 1067-76, DOI : 10.1002 / spe.401 , S2CID  206506776
• Портер, Альфред В. (1933), Метод измерений (3-е изд.), Метуэн
• JW Strutt (3-й барон Рэлей) (1915), "Принцип подобия", Nature , 95 (2368): 66–8, Bibcode : 1915Natur..95 ... 66R , doi : 10.1038 / 095066c0
• Сиано~d, Дональд (1985), "ориентационная анализ - Дополнение к размерному анализу - I", журнал Институт Франклина , 320 (6): 267-283, DOI : 10,1016 / 0016-0032 (85) 90031-6
• Siano, Дональд (1985), "ориентационная анализ, Тензор Анализ и Групповые свойства СИ дополнительных единиц - II", журнал Института Франклина , 320 (6): 285-302, DOI : 10.1016 / 0016-0032 (85 ) 90032-8
• Silberberg, IH; МакКетта, Дж. Дж. Младший (1953), "Обучение использованию размерного анализа", Petroleum Refiner , 32 (4): 5, (5): 147, (6): 101, (7): 129
• Ван Дрист, Э. Р. (март 1946 г.), "Анализ размеров и представление данных в задачах потока жидкости", Журнал прикладной механики , 68 (A – 34)
• Уитни, H. (1968), "Математика физических величин, части I и II", American Mathematical Monthly , 75 (2): 115-138, 227-256, DOI : 10,2307 / 2315883 , JSTOR  2315883
• Vignaux, GA (1992), Erickson, Gary J .; Нойдорфер, Пол О. (ред.), Анализ размерностей в моделировании данных , Kluwer Academic, ISBN 978-0-7923-2031-9
• Каспшак, Вацлав; Лысик, Бертольд; Рыбачук, Марек (1990), Анализ размерностей в идентификации математических моделей , World Scientific, ISBN 978-981-02-0304-7

Внешние ссылки [ править ]

В Wikibook Fluid Mechanics есть страница по теме: Анализ размеров

Викискладе есть медиафайлы, связанные с размерным анализом .

• Список размеров для различных физических величин
• Онлайн-калькулятор Unicalc Live выполняет преобразование единиц измерения путем анализа размеров
• Реализация C ++ анализа измерений во время компиляции в библиотеках с открытым исходным кодом Boost
• Пи-теорема Бэкингема
• Калькулятор количественной системы для преобразования единиц измерения на основе размерного подхода
• Единицы, количества и фундаментальные константы проектируют карты анализа размеров
• Боули, Роджер (2009). «[] Размерный анализ» . Шестьдесят символов . Brady Харан для Ноттингемского университета .
• Дюрейссе, Дэвид (2019). Введение в анализ размерностей (лекция). INSA Lyon.

Конвертация единиц [ править ]

• Онлайн-калькулятор Unicalc Live выполняет преобразование единиц измерения путем анализа размеров
• Обзор математических навыков
• Учебник Агентства по охране окружающей среды США
• Обсуждение единиц
• Краткое руководство по преобразованию единиц измерения
• Отмена урока по модулям
• Глава 11: Поведение химического состава газов : концепции и применение , Независимый школьный округ Дентон
• Преобразования и формулы моделирования воздушной дисперсии
• www.gnu.org/software/units бесплатная программа, очень практичная