Уравнение Дирака в алгебре физического пространства

Уравнение Дирака , как релятивистское уравнение, описывающее частицы со спином 1/2 в квантовой механике , может быть записано в терминах алгебры физического пространства (APS), которая является случаем алгебры Клиффорда или геометрической алгебры , основанной на использование паравекторов .

Уравнение Дирака в APS, включая электромагнитное взаимодействие, читается как

${\ displaystyle i {\ bar {\ partial}} \ Psi \ mathbf {e} _ {3} + e {\ bar {A}} \ Psi = m {\ bar {\ Psi}} ^ {\ dagger}}$

Другая форма уравнения Дирака в терминах алгебры пространства-времени была дана ранее Дэвидом Хестенесом .

В общем, уравнение Дирака в формализме геометрической алгебры имеет то преимущество, что обеспечивает прямую геометрическую интерпретацию.

Связь со стандартной формой [ править ]

Спинорная можно записать в нулевой основе,

${\ displaystyle \ Psi = \ psi _ {11} P_ {3} - \ psi _ {12} P_ {3} \ mathbf {e} _ {1} + \ psi _ {21} \ mathbf {e} _ { 1} P_ {3} + \ psi _ {22} {\ bar {P}} _ {3},}$

такое, что представление спинора через матрицы Паули имеет вид

${\displaystyle \Psi \rightarrow {\begin{pmatrix}\psi _{11}&\psi _{12}\\\psi _{21}&\psi _{22}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\bar {\Psi }}^{\dagger }\rightarrow {\begin{pmatrix}\psi _{22}^{*}&-\psi _{21}^{*}\\-\psi _{12}^{*}&\psi _{11}^{*}\end{pmatrix}}}$

Стандартная форма уравнения Дирака может быть восстановлена ​​путем разложения спинора на его правую и левую спинорные компоненты, которые извлекаются с помощью проектора

${\displaystyle P_{3}={\frac {1}{2}}(1+\mathbf {e} _{3}),}$

такой, что

${\displaystyle \Psi _{L}={\bar {\Psi }}^{\dagger }P_{3}}$

${\displaystyle \Psi _{R}=\Psi P_{3}^{}}$

со следующим матричным представлением

${\displaystyle \Psi _{L}\rightarrow {\begin{pmatrix}\psi _{22}^{*}&0\\-\psi _{12}^{*}&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \Psi _{R}\rightarrow {\begin{pmatrix}\psi _{11}&0\\\psi _{21}&0\end{pmatrix}}}$

Уравнение Дирака также можно записать как

${\displaystyle i\partial {\bar {\Psi }}^{\dagger }\mathbf {e} _{3}+eA{\bar {\Psi }}^{\dagger }=m\Psi }$

Без электромагнитного взаимодействия следующее уравнение получается из двух эквивалентных форм уравнения Дирака

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&i{\bar {\partial }}\\i\partial &0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\bar {\Psi }}^{\dagger }P_{3}\\\Psi P_{3}\end{pmatrix}}=m{\begin{pmatrix}{\bar {\Psi }}^{\dagger }P_{3}\\\Psi P_{3}\end{pmatrix}}}$

чтобы

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&i\partial _{0}+i\nabla \\i\partial _{0}-i\nabla &0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Psi _{L}\\\Psi _{R}\end{pmatrix}}=m{\begin{pmatrix}\Psi _{L}\\\Psi _{R}\end{pmatrix}}}$

или в матричном представлении

${\displaystyle i\left({\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\partial _{0}+{\begin{pmatrix}0&\sigma \\-\sigma &0\end{pmatrix}}\cdot \nabla \right){\begin{pmatrix}\psi _{L}\\\psi _{R}\end{pmatrix}}=m{\begin{pmatrix}\psi _{L}\\\psi _{R}\end{pmatrix}},}$

где второй столбец правого и левого спиноров можно отбросить, определив киральные спиноры с одним столбцом как

${\displaystyle \psi _{L}\rightarrow {\begin{pmatrix}\psi _{22}^{*}\\-\psi _{12}^{*}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \psi _{R}\rightarrow {\begin{pmatrix}\psi _{11}\\\psi _{21}\end{pmatrix}}}$

Стандартная релятивистская ковариантная форма уравнения Дирака в представлении Вейля может быть легко идентифицирована так , что${\displaystyle i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =m\psi ,}$

${\displaystyle \psi _{=}{\begin{pmatrix}\psi _{22}^{*}\\-\psi _{12}^{*}\\\psi _{11}\\\psi _{21}\end{pmatrix}}}$

Для двух спиноров и в APS и их соответствующих спиноров в стандартной форме как и можно проверить следующее тождество${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi ^{\dagger }\gamma ^{0}\psi =\langle {\bar {\Phi }}\Psi +({\bar {\Psi }}\Phi )^{\dagger }\rangle _{S}}$,

такой, что

${\displaystyle \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}\psi =2\langle {\bar {\Psi }}\Psi \rangle _{SR}}$

Электромагнитный датчик [ править ]

Уравнение Дирака инвариантно относительно глобального правого вращения, примененного к спинору типа

${\displaystyle \Psi \rightarrow \Psi ^{\prime }=\Psi R_{0}}$

так что кинетический член уравнения Дирака преобразуется как

${\displaystyle i{\bar {\partial }}\Psi \mathbf {e} _{3}\rightarrow i{\bar {\partial }}\Psi R_{0}\mathbf {e} _{3}R_{0}^{\dagger }R_{0}=(i{\bar {\partial }}\Psi \mathbf {e} _{3}^{\prime })R_{0},}$

где мы идентифицируем следующий поворот

${\displaystyle \mathbf {e} _{3}\rightarrow \mathbf {e} _{3}^{\prime }=R_{0}\mathbf {e} _{3}R_{0}^{\dagger }}$

Массовый член преобразуется как

${\displaystyle m{\overline {\Psi ^{\dagger }}}\rightarrow m{\overline {(\Psi R_{0})^{\dagger }}}=m{\overline {\Psi ^{\dagger }}}R_{0},}$

так что мы можем проверить инвариантность формы уравнения Дирака. Более требовательное требование состоит в том, чтобы уравнение Дирака было инвариантным относительно локального калибровочного преобразования типа${\displaystyle R=\exp(-ie\chi \mathbf {e} _{3})}$

В этом случае кинетический член преобразуется как

${\displaystyle i{\bar {\partial }}\Psi \mathbf {e} _{3}\rightarrow (i{\bar {\partial }}\Psi )R\mathbf {e} _{3}+(e{\bar {\partial }}\chi )\Psi R}$,

так что левая часть уравнения Дирака преобразуется ковариантно как

${\displaystyle i{\bar {\partial }}\Psi \mathbf {e} _{3}-e{\bar {A}}\Psi \rightarrow (i{\bar {\partial }}\Psi R\mathbf {e} _{3}R^{\dagger }-e{\overline {(A+\partial \chi )}}\Psi )R,}$

где мы определяем необходимость выполнения преобразования электромагнитного датчика. Массовый член трансформируется, как в случае с глобальным вращением, поэтому форма уравнения Дирака остается неизменной.

Текущий [ править ]

Сила тока определяется как

${\displaystyle J=\Psi \Psi ^{\dagger },}$

которое удовлетворяет уравнению неразрывности

${\displaystyle \left\langle {\bar {\partial }}J\right\rangle _{S}=0}$

Уравнение Дирака второго порядка [ править ]

Применение уравнения Дирака к самому себе приводит к уравнению Дирака второго порядка

${\displaystyle (-\partial {\bar {\partial }}+A{\bar {A}})\Psi -i(2e\left\langle A{\bar {\partial }}\right\rangle _{S}+eF)\Psi \mathbf {e} _{3}=m^{2}\Psi }$

Бесплатные решения для частиц [ править ]

Положительные энергетические решения [ править ]

Решение для свободной частицы с импульсом и положительной энергией :${\displaystyle p=p^{0}+\mathbf {p} }$${\displaystyle p^{0}>0}$

${\displaystyle \Psi ={\sqrt {\frac {p}{m}}}R(0)\exp(-i\left\langle p{\bar {x}}\right\rangle _{S}\mathbf {e} _{3}).}$

Это решение унимодулярное

${\displaystyle \Psi {\bar {\Psi }}=1}$

и ток напоминает классическую собственную скорость

${\displaystyle u={\frac {p}{m}}}$

${\displaystyle J=\Psi {\Psi }^{\dagger }={\frac {p}{m}}}$

Решения с отрицательной энергией [ править ]

Решение для свободной частицы с отрицательной энергией и импульсом есть${\displaystyle p=-|p^{0}|-\mathbf {p} =-p^{\prime }}$

${\displaystyle \Psi =i{\sqrt {\frac {p^{\prime }}{m}}}R(0)\exp(i\left\langle p^{\prime }{\bar {x}}\right\rangle _{S}\mathbf {e} _{3}),}$

Это решение анти-унимодулярное

${\displaystyle \Psi {\bar {\Psi }}=-1}$

и ток напоминает классическую собственную скорость ${\displaystyle u={\frac {p}{m}}}$

${\displaystyle J=\Psi {\Psi }^{\dagger }=-{\frac {p}{m}},}$

но с замечательной особенностью: «время бежит вспять»

${\displaystyle {\frac {dt}{d\tau }}=\left\langle {\frac {p}{m}}\right\rangle _{S}<0}$

Лагранжиан Дирака [ править ]

Лагранжиан Дирака равен

${\displaystyle L=\langle i\partial {\bar {\Psi }}^{\dagger }\mathbf {e} _{3}{\bar {\Psi }}-eA{\bar {\Psi }}^{\dagger }{\bar {\Psi }}-m\Psi {\bar {\Psi }}\rangle _{S}}$

См. Также [ править ]

• Паравектор
• Алгебра физического пространства
• Геометрическая алгебра
• Двухчастичные уравнения Дирака

Ссылки [ править ]

Учебники [ править ]

• Бейлис, Уильям (2002). Электродинамика: современный геометрический подход (2-е изд.). Birkhäuser. ISBN  0-8176-4025-8
• У. Е. Бейлис, редактор, Клиффордская (геометрическая) алгебра с приложениями к физике, математике и инженерии , Биркхойзер, Бостон, 1996. ISBN 0-8176-3868-7 

Статьи [ править ]

• Бейлис, WE (1 марта 1992 г.). «Классические собственные спины и уравнение Дирака». Physical Review . Американское физическое общество (APS). 45 (7): 4293–4302. DOI : 10.1103 / physreva.45.4293 . ISSN  1050-2947 .
• Гестен, Дэвид (1975). «Наблюдаемые, операторы и комплексные числа в теории Дирака». Журнал математической физики . Издательство AIP. 16 (3): 556–572. DOI : 10.1063 / 1.522554 . ISSN  0022-2488 .