Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Диск с окружностью (C) черным, диаметром (D) голубым, радиусом (R) красным и центром (O) пурпурным.

В геометрии , A диск (также пишется диск ) [1] является область в плоскости , ограниченной окружностью . Диск называется замкнутым, если он содержит окружность, составляющую его границу, и открытым, если его нет. [2]

Формулы [ править ]

В декартовой системе координат , то открытый круг центра и радиуса R дается формулой [1]

в то время как замкнутый диск того же центра и радиуса имеет вид

Область закрытого или открытого диска радиуса R является π R 2 (см область диска ). [3]

Свойства [ править ]

Диск имеет круговую симметрию . [4]

Открытый диск и закрытый диск не являются топологически эквивалентными (то есть они не гомеоморфны ), поскольку они имеют разные топологические свойства друг от друга. Например, каждый закрытый диск компактен, тогда как каждый открытый диск не компактен. [5] Однако с точки зрения алгебраической топологии у них много общих свойств: оба они стягиваемы [6] и поэтому гомотопически эквивалентны одной точке. Это означает , что их основные группы тривиальны, и все гомологии тривиальны , кроме 0 - й один, изоморфная Z . Эйлерова характеристикаточки (а значит, и замкнутого или открытого диска) равно 1. [7]

Каждое непрерывное отображение замкнутого диска в себя имеет по крайней мере одну фиксированную точку (мы не требуем, чтобы отображение было биективным или даже сюръективным ); это случай n = 2 теоремы Брауэра о неподвижной точке . [8] Утверждение неверно для открытого диска: [9]

Рассмотрим, например, функцию, которая отображает каждую точку открытого единичного диска в другую точку открытого единичного диска справа от данной. Но для замкнутого единичного диска он фиксирует каждую точку на полукруге.

См. Также [ править ]

  • Единичный диск , диск с радиусом один
  • Кольцо (математика) , область между двумя концентрическими кругами
  • Болл (математика) , обычный термин для трехмерного аналога диска
  • Дисковая алгебра , пространство функций на диске
  • Ортоцентроидный диск , содержащий определенные центры треугольника

Ссылки [ править ]

  1. ^ а б Клэпхэм, Кристофер; Николсон, Джеймс (2014), Краткий Оксфордский математический словарь , Oxford University Press, стр. 138, ISBN 9780199679591.
  2. ^ Арнольд, BH (2013), Интуитивные концепции в элементарной топологии , Dover Книги по математике, Courier Dover Publications, стр. 58, ISBN 9780486275765.
  3. ^ Ротман, Джозеф Дж. (2013), Путешествие в математику: Введение в доказательства , Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, стр. 44, ISBN 9780486151687.
  4. ^ Альтманн, Саймон Л. (1992). Иконки и симметрии . Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780198555995. диск круговой симметрии.
  5. ^ Модлин, Тим (2014), Новые основы физической геометрии: теория линейных структур , Oxford University Press, стр. 339, ISBN 9780191004551.
  6. ^ Коэн, Дэниел Э. (1989), Комбинаторная теория групп: топологический подход , Студенческие тексты Лондонского математического общества, 14 , Cambridge University Press, стр. 79, ISBN 9780521349369.
  7. ^ В более высоких измерениях эйлерова характеристика замкнутого шара остается равной +1, но эйлерова характеристика открытого шара равна +1 для четномерных шаров и −1 для нечетномерных шаров. См. Klain, Daniel A .; Рота, Джан-Карло (1997), Введение в геометрическую вероятность , Lezioni Lincee, Cambridge University Press, стр. 46–50..
  8. ^ Арнольд (2013) , стр. 132.
  9. Перейти ↑ Arnold (2013) , Ex. 1, стр. 135.