В алгебраической геометрии , делители являются обобщением коразмерности -1 подмногообразиям алгебраических многообразий . Две различные обобщения в общем пользовании, дивизоры и Weil делители (названный в честь Пьера Картье и Вейль по David Mumford ). Оба они в конечном итоге происходят из понятия делимости в полях целых чисел и алгебраических чисел .
Фон состоит в том, что подмногообразия коразмерности 1 понимаются гораздо лучше, чем подмногообразия более высокой коразмерности. Это происходит как глобальным, так и локальным образом. Глобально каждое подмногообразие проективного пространства коразмерности 1 определяется обращением в нуль одного однородного многочлена ; напротив, подмногообразие коразмерности r не обязательно может быть определено только r уравнениями, когда r больше 1. (То есть не каждое подмногообразие проективного пространства является полным пересечением .) Локально каждое подмногообразие коразмерности 1 гладкого многообразияможно определить одним уравнением в окрестности каждой точки. Опять же, аналогичное утверждение неверно для подмногообразий более высокой коразмерности. В результате этого хорошего свойства большая часть алгебраической геометрии изучает произвольное многообразие, анализируя его подмногообразия коразмерности 1 и соответствующие линейные расслоения .
На особых многообразиях это хорошее свойство может не работать, и поэтому нужно различать подмногообразия коразмерности 1 и многообразия, которые могут быть локально определены одним уравнением. Первые являются дивизорами Вейля, а вторые - дивизорами Картье. Топологически дивизоры Вейля играют роль классов гомологий , а дивизоры Картье представляют классы когомологий . Для гладкого многообразия (или, в более общем смысле, регулярной схемы ) результат, аналогичный двойственности Пуанкаре, говорит, что дивизоры Вейля и Картье - одно и то же.
Название «делитель» восходит к работам Дедекинда и Вебера , которые показали важность дедекиндовских областей для изучения алгебраических кривых . [1] Группа дивизоров на кривой ( свободная абелева группа, порожденная всеми дивизорами) тесно связана с группой дробных идеалов дедекиндовской области.
Алгебраический цикл является более высокой Коразмерностью обобщением делителя; по определению дивизор Вейля - это цикл коразмерности 1.
Дивизоры на римановой поверхности
Риманова поверхность представляет собой 1-мерное комплексное многообразие , и поэтому его Коразмерность-1 подмногообразия имеют размерность 0. Группа делителей на компактной римановой поверхности X есть свободная абелева группа по точкам X .
Эквивалентно дивизор на компактной римановой поверхности X - это конечная линейная комбинация точек X с целыми коэффициентами. Степень дивизора на X есть сумма его коэффициентов.
Для любой ненулевой мероморфной функции f на X можно определить порядок обращения в нуль функции f в точке p в X , ord p ( f ). Это целое число, отрицательное, если у f есть полюс в точке p . Дивизор ненулевой мероморфной функции f на компактной римановой поверхности X определяется как
что является конечной суммой. Дивизоры вида ( f ) также называются главными делителями . Поскольку ( fg ) = ( f ) + ( g ), множество главных дивизоров является подгруппой группы дивизоров. Два дивизора, различающиеся главным делителем, называются линейно эквивалентными .
На компактной римановой поверхности степень главного дивизора равна нулю; то есть количество нулей мероморфной функции равно количеству полюсов, считаемых с кратностью. В результате степень корректно определена на классах линейной эквивалентности дивизоров.
Учитывая дивизор D на компактной римановой поверхности X , важно изучить комплексное векторное пространство мероморфных функций на X с полюсами, не более чем заданными D , называемое H 0 ( X , O ( D )) или пространство сечений линейное расслоение , связанное с D . Степень D многое говорит о размерности этого векторного пространства. Например, если D имеет отрицательную степень, то это векторное пространство равно нулю (потому что мероморфная функция не может иметь больше нулей, чем полюсов). Если D имеет положительную степень, то размерность H 0 ( X , O ( mD )) линейно растет по m при достаточно большом m . Теорема Римана-Роха является более точным утверждением в этом направлении. С другой стороны, точное измерение H 0 ( X , O ( D )) для делителей D низкой степени является тонким, а не полностью определяется степенью D . В этих размерах отражены отличительные черты компактной римановой поверхности.
Одним из ключевых дивизоров на компактной римановой поверхности является канонический дивизор . Чтобы определить его, сначала нужно определить дивизор ненулевой мероморфной 1-формы, как указано выше. Поскольку пространство мероморфных 1-форм является 1-мерным векторным пространством над полем мероморфных функций, любые две ненулевые мероморфные 1-формы дают линейно эквивалентные дивизоры. Любой делитель в этом линейном классе эквивалентности называется каноническим делителем из X , K X . Рода г из X может быть считан из канонического делителя , а именно: К Й имеет степень 2 г - 2. ключа трихотомия среди компактных римановой поверхность X , является ли канонический делителем отрицательной степени (так Х имеют рода нуль), нулевую степень (род один) или положительная степень (род не менее 2). Например, это определяет, есть ли у X кэлерова метрика с положительной кривизной , нулевой кривизной или отрицательной кривизной. Канонический дивизор имеет отрицательную степень тогда и только тогда, когда X изоморфен сфере Римана CP 1 .
Дивизоры Вейля
Пусть X - целая локально нетерова схема . Простой делитель или неприводимый делитель на X является интегралом замкнутой подсхемы Z из коразмерности 1 в X . Weil делитель на X представляет собой формальную сумму более простых делителей Z из X ,
где коллекция локально конечно. Если X квазикомпактно, локальная конечность эквивалентнабудучи конечным. Группа всех дивизоров Вейля обозначается Div ( X ) . Вейля делитель D является эффективным , если все коэффициенты неотрицательны. Пишут D ≥ D ′, если разность D - D ′ эффективна.
Например, дивизор на алгебраической кривой над полем - это формальная сумма конечного числа замкнутых точек. Делитель на Spec Z является формальной суммой простых чисел с целыми коэффициентами и , следовательно , соответствует ненулевому дробному идеалу в Q . Аналогичная характеризация верна для дивизоров нагде K - числовое поле.
Если Z ⊂ X - простой делитель, то локальное кольцоимеет измерение Крулля один. Еслине равен нулю, то порядок обращения в нуль на F вдоль Z , написанной Ord Z ( F ) , является длиной отЭта длина конечна [2] и аддитивна по отношению к умножению, то есть ord Z ( fg ) = ord Z ( f ) + ord Z ( g ) . [3] Если k ( X ) - поле рациональных функций на X , то любой ненулевой f ∈ k ( X ) можно записать как частное g / h , где g и h находятся ви порядок обращения в нуль функции f определяется как ord Z ( g ) - ord Z ( h ) . [4] При таком определении, порядок нуля является функция Ord Z : к ( Х ) × → Z . Если X является нормальным , то локальное кольцо- кольцо дискретной оценки , а функция ord Z - соответствующая оценка. Для ненулевой рациональной функции F на X , то главным Вейль делитель , связанный с F определяется как Вейль делитель
Можно показать, что эта сумма локально конечна и, следовательно, действительно определяет дивизор Вейля. Главный дивизор Вейля, связанный с f , также обозначается ( f ) . Если f - регулярная функция, то ее главный дивизор Вейля эффективен, но в общем случае это неверно. Из аддитивности порядка исчезающей функции следует, что
Следовательно, div является гомоморфизмом и, в частности, его образ является подгруппой группы всех дивизоров Вейля.
Пусть X - нормальная интегральная нётерова схема. Каждый дивизор Вейля D определяет когерентный пучок на X . Конкретно его можно определить как подпучок пучка рациональных функций [5]
То есть ненулевая рациональная функция f является частьюнад U тогда и только тогда, когда для любого простого делителя Z, пересекающего U ,
где п Z представляет коэффициент Z в D . Если D - главный, а значит, D - делитель рациональной функции g , то существует изоморфизм
поскольку является эффективным делителем, поэтому это регулярные благодаря нормальности X . Наоборот, если изоморфен как -модуль, то D главный. Отсюда следует, что D является локально главным тогда и только тогда, когдаобратима; то есть линейный пучок.
Если D - эффективный дивизор, который соответствует подсхеме X (например, D может быть редуцированным делителем или простым делителем), то пучок идеалов подсхемы D равенЭто приводит к часто используемой короткой точной последовательности,
Пучок когомологий этой последовательности показывает , чтосодержит информацию о регулярных функциях на ли D являются ограничением регулярных функций на X .
Также есть включение пучков
Это обеспечивает канонический элемент а именно, образ глобальной секции 1. Это называется каноническим сечением и может быть обозначена с D . В то время как каноническая секция - это образ нигде не исчезающей рациональной функции, ее образ вобращается в нуль вдоль D , так как функции перехода равны нулю вдоль D . Когда D представляет собой гладкий дивизор Картье, коядро вышеуказанного включения может быть идентифицировано; см. ниже делители # Картье .
Предположим, что X - нормальная целочисленная разделенная схема конечного типа над полем. Пусть D - дивизор Вейля. потомявляется рефлексивным пучком ранга один , и поскольку определяется как пучок это дробный идеальный пучок (см. ниже). И наоборот, каждый рефлексивный пучок ранга один соответствует дивизору Вейля: пучок может быть ограничен до регулярного многоугольника, где он становится свободным и, таким образом, соответствует дивизору Картье (опять же, см. Ниже), и поскольку сингулярное многоугольник имеет коразмерность не менее во-вторых, замыкание дивизора Картье является дивизором Вейля.
Группа классов делителей
Группа классов дивизоров Вейля Cl ( X ) является факторгруппой Div ( X ) по подгруппе всех главных дивизоров Вейля. Два дивизора называются линейно эквивалентными, если их разность является главной, поэтому группа классов дивизоров - это группа дивизоров по модулю линейной эквивалентности. Для многообразия X размерности n над полем группа классов дивизоров является группой Чжоу ; а именно, Cl ( X ) - группа Чжоу CH n −1 ( X ) ( n −1) -мерных циклов.
Пусть Z замкнутое подмножество X . Если Z неприводимо коразмерности один, то Cl ( X - Z ) изоморфна фактор - группе Cl ( X ) по классу Z . Если Z имеет коразмерность не менее 2 в X , то ограничение Cl ( X ) → Cl ( X - Z ) является изоморфизмом. [6] (Эти факты являются частными случаями последовательности локализации для групп Чжоу.)
На нормальной интегральной нётеровой схеме X два дивизора Вейля D , E линейно эквивалентны тогда и только тогда, когда а также изоморфны как -модули. Классы изоморфизма рефлексивных пучков на X образуют моноид с произведением, заданным как рефлексивная оболочка тензорного произведения. потомопределяет изоморфизм моноидного из класса делителя группы Вейля X в моноид классов изоморфизма ранга один рефлексивных пучки на X .
Примеры
- Пусть k - поле, а n - натуральное число. Поскольку кольцо многочленов k [ x 1 , ..., x n ] является единственной областью факторизации, группа классов дивизоров аффинного пространства A n над k равна нулю. [7] Так как проективное пространство Р п над к минус гиперплоскость Н изоморфна А п , следует , что класс делителя группа Р п порождается классом H . Оттуда, это просто проверить , что Cl ( Р н ), на самом деле изоморфен целые числа Z , порожденной H . Конкретно это означает, что каждое подмногообразие коразмерности 1 в P n определяется обращением в нуль единственного однородного многочлена.
- Пусть X - алгебраическая кривая над полем k . Каждая замкнутая точка р в X имеет вид Spec E для некоторого конечного поля расширения Е от к , а степень из р определяется быть степень из Е над к . Расширение этого по линейности дает представление о степени для делителя на X . Если X - проективная кривая над k , то делитель ненулевой рациональной функции f на X имеет нулевую степень. [8] В результате, для проективной кривой X , то степень дает гомоморфизм град: Cl ( X ) → Z .
- Для проективной линии P 1 над полем к , степень дает изоморфизм Cl ( Р 1 ) ≅ Z . Для любой гладкой проективной кривой X с к - рациональной точке , степень гомоморфизм сюръективен, а ядро изоморфно группе K -точек на якобиев многообразие из X , который представляет собой абелево многообразие размерности , равное роду X . Отсюда, например, следует, что группа классов дивизоров комплексной эллиптической кривой является несчетной абелевой группой.
- Обобщая предыдущий пример: для любого гладкого проективного многообразия X над полем k такое, что X имеет k -рациональную точку, группа классов дивизоров Cl ( X ) является расширением конечно порожденной абелевой группы , группы Нерона – Севери , по формуле группа k -точек связной групповой схемы [9] Для k нулевой характеристики-абелево многообразие, то многообразие Пикара из X .
- Для R кольца целых одного числового поля , группа классов дивизоров Cl ( R ): = Cl (Spec R ) также называют идеальную группу классов из R . Это конечная абелева группа. Понимание идеальных групп классов - центральная цель алгебраической теории чисел .
- Пусть X - квадратный конус размерности 2, определяемый уравнением xy = z 2 в аффинном 3-пространстве над полем. Тогда прямая D в X, определяемая как x = z = 0, не является главной на X вблизи начала координат. Обратите внимание, что D можно определить как набор с помощью одного уравнения на X , а именно x = 0; но функция х на X обращается в нуль порядка 2 вдоль D , и поэтому мы только находим , что 2 D Картье (как определено ниже) на X . В самом деле, группа классов дивизоров Cl ( X ) изоморфна циклической группе Z / 2, сгенерированного по классу D . [10]
- Пусть X - квадратный конус размерности 3, определяемый уравнением xy = zw в аффинном 4-пространстве над полем. Тогда плоскость D в X, определенная как x = z = 0, не может быть определена в X одним уравнением около начала координат, даже как набор. Отсюда следует, что D не является Q-Картье на X ; то есть никакое положительное кратное D не является Картье. В самом деле, группа классов дивизоров Cl ( X ) изоморфны целые числа Z , порожденный классом D . [11]
Канонический делитель
Пусть X - нормальное многообразие над совершенным полем . Гладкой локус U из X есть открытое подмножество, дополнение которого имеет коразмерность по крайней мере , 2. Пусть J : U → X отображение , вложение, то гомоморфизм ограничения:
является изоморфизмом, так как X - U имеет коразмерность по крайней мере , 2 в X . Например, можно использовать этот изоморфизм , чтобы определить канонический делитель К X из X : это делитель Вейля (до линейной эквивалентности) , соответствующие линий пучка дифференциальных форм на верхнюю ступень U . Эквивалентно связкана X - пучок прямых изображений где п есть размерность X .
Пример : Пусть X = P n - проективное n -пространство с однородными координатами x 0 , ..., x n . Пусть U = { x 0 ≠ 0}. Тогда U изоморфно аффинному n -пространству с координатами y i = x i / x 0 . Позволять
Тогда ω - рациональная дифференциальная форма на U ; таким образом, это рациональный разделкоторый имеет простые полюсы вдоль Z i = { x i = 0}, i = 1, ..., n . Переключение на другую аффинную карту меняет только знак ω, и поэтому мы видим, что ω также имеет простой полюс вдоль Z 0 . Таким образом, дивизор ω равен
и его класс дивизоров
где [ H ] = [ Z i ], i = 0, ..., n . (См. Также последовательность Эйлера .)
Делители Картье
Пусть X - целая нётерова схема. Тогда X имеет пучок рациональных функций Все регулярные функции являются рациональными функциями, что приводит к короткой точной последовательности
Картие делитель на X представляет собой глобальное сечение Эквивалентное описание состоит в том, что дивизор Картье - это набор где это открытая обложка это раздел на а также на с точностью до умножения на сечение
Дивизоры Картье также имеют теоретико-пучковое описание. Дробный идеал пучок является суб--модуль Дробная пучок идеалов J является обратимым , если для каждого х в X , существует открытая окрестность U от х , на котором сужение J на U равно где и продукт принимается Каждый дивизор Картье определяет обратимый пучок дробных идеалов, используя описание дивизора Картье как совокупности и наоборот, обратимые дробные пучки идеалов определяют дивизоры Картье. Если дивизор Картье обозначается D , то соответствующий дробный пучок идеалов обозначается O ( D ) или L ( D ).
По указанной выше точной последовательности существует точная последовательность групп когомологий пучков :
Дивизор Картье называется главным, если он находится в образе гомоморфизмато есть, если он является делителем рациональной функции на X . Два дивизора Картье линейно эквивалентны, если их разность является основной. Каждое линейное расслоение L на X на целой нётеровой схеме является классом некоторого дивизора Картье. В результате точная последовательность выше отождествляет группу Пикара линейных расслоений на целой нётеровой схеме X с группой дивизоров Картье по модулю линейной эквивалентности. В более общем случае это справедливо для редуцированных нётеровых схем или квазипроективных схем над нётеровым кольцом [12], но в общем случае может не работать (даже для собственных схем над C ), что снижает интерес к дивизорам Картье в полной общности. [13]
Предположим, что D - эффективный дивизор Картье. Тогда есть короткая точная последовательность
Эта последовательность получена из короткой точной последовательности , относящейся структурные пучки X и D и идеальный пучок D . Поскольку D является дивизором Картье, O ( D ) локально свободен, и, следовательно, тензорное преобразование этой последовательности с помощью O ( D ) дает другую короткую точную последовательность, указанную выше. Когда D является гладким, O D ( D ) является нормальным расслоением D в X .
Сравнение дивизоров Вейля и дивизоров Картье
Дивизор Вейля D называется Картье тогда и только тогда, когда пучок O ( D ) обратим. Когда это происходит, O ( D ) (с его вложением в M X ) является линейным расслоением, связанным с дивизором Картье. Точнее, если O ( D ) обратимо, то существует открытое покрытие { U i } такое, что O ( D ) ограничивается тривиальным расслоением на каждом открытом множестве. Для каждого U i выберите изоморфизм Образ под этим отображением находится часть O ( D ) на U i . Поскольку O ( D ) определяется как подпучок пучка рациональных функций, образ 1 можно отождествить с некоторой рациональной функцией f i . Коллекциятогда является дивизором Картье. Это хорошо определено, поскольку использовались только варианты покрытия и изоморфизма, ни один из которых не изменял дивизор Картье. Этот дивизор Картье можно использовать для создания пучка, который для отличия мы обозначим как L ( D ). Существует изоморфизм O ( D ) с L ( D ), определяемый работой над открытым покрытием { U i }. Ключевой факт, который необходимо проверить здесь, - это то, что функции перехода O ( D ) и L ( D ) совместимы, и это сводится к тому, что все эти функции имеют вид
В обратном направлении делитель Картье на интегральной нётеровой схеме X естественным образом определяет дивизор Вейля на X , применяяфункциям f i на открытых множествах U i .
Если X нормален, дивизор Картье определяется ассоциированным дивизором Вейля, а дивизор Вейля является дивизором Картье тогда и только тогда, когда он является локально главным.
Нётерова схема X называется факториальной, если все локальные кольца X являются уникальными областями факторизации . [5] (Некоторые авторы говорят «локально факториально».) В частности, каждая регулярная схема факториальна. [14] На факториальной схеме X каждый дивизор Вейля D является локально главным, поэтому O ( D ) всегда является линейным расслоением. [7] Однако в общем случае дивизор Вейля на нормальной схеме не обязательно должен быть локально главным; см. примеры квадратичных конусов выше.
Эффективные делители Картье
Эффективные дивизоры Картье - это те, которые соответствуют идеальным пучкам. Фактически, теория эффективных дивизоров Картье может быть развита без каких-либо ссылок на пучки рациональных функций или дробные пучки идеалов.
Пусть X - схема. Эффективный дивизор Картье на X является идеальным пучок I , который является обратимым и таким образом, что для каждой точки х в X , стебель я х является главным. Это эквивалентно потребовать , чтобы вокруг каждого х , существует открытое аффинное подмножество U = Spec таким образом, что U ∩ D = Spec / ( е ) , где е не является делителем нуля в А . Сумма двух эффективных дивизоров Картье соответствует умножению пучков идеалов.
Есть хорошая теория семейств эффективных дивизоров Картье. Пусть φ: X → S - морфизм. Относительно эффективный дивизор Картье для X над S представляет собой эффективный дивизор Картье D на X , который является плоским над S . Из-за предположения о плоскостности для каждогоесть откат D ки этот откат является эффективным делителем Картье. В частности, это верно для слоев φ.
Функциональность
Пусть φ: X → Y - морфизм целых локально нётеровых схем. Часто - но не всегда - возможно использовать φ для переноса делителя D из одной схемы в другую. Возможно ли это, зависит от того, является ли делитель дивизором Вейля или Картье, нужно ли переместить дивизор из X в Y или наоборот, и какими дополнительными свойствами может обладать φ.
Если Z - простой дивизор Вейля на X , тоявляется замкнутой неприводимой подсхемой Y . В зависимости от φ он может быть или не быть простым делителем Вейля. Например, если φ - раздутие точки на плоскости, а Z - исключительный дивизор, то ее образ не является дивизором Вейля. Поэтому ф * Z определяется какесли эта подсхема является простым делителем и определена как делитель нуля в противном случае. Расширение этого за счет линейности в предположении, что X квазикомпактно, определит гомоморфизм Div ( X ) → Div ( Y ), называемый pushforward . (Если X не является квазикомпактным, то прямой перевод может не быть локально конечной суммой.) Это частный случай прямого распространения на группах Чжоу.
Если Z является делителем Картье, то в мягких условиях на ф есть прообраз φ * Z . Теоретически пучков, когда есть обратное отображение φ −1 M Y → M X , то это обратное движение может быть использовано для определения обратного образа дивизоров Картье. Что касается локальных секций, откат определяется как . Откат всегда определяется, если φ является доминирующим, но не может быть определен в целом. Например, если X = Z и φ - включение Z в Y , то φ * Z не определено, потому что соответствующие локальные сечения будут всюду равны нулю. (Однако определяется откат соответствующего линейного пучка.)
Если φ плоский, то определен откат дивизоров Вейля. В этом случае возврат Z равен φ * Z = φ −1 ( Z ) . Плоскостность φ гарантирует, что прообраз Z по- прежнему имеет коразмерность один. Это может потерпеть неудачу для морфизмов, которые не являются плоскими, например, для небольшого сжатия .
Первый класс Черна
Для целочисленной нётеровой схемы X естественный гомоморфизм группы дивизоров Картье на группу дивизоров Вейля дает гомоморфизм
известен как первый класс Черна . [15] Первый класс Черна инъективен, если X нормален, и изоморфизм, если X факториален (как определено выше). В частности, дивизоры Картье можно отождествить с дивизорами Вейля на любой регулярной схеме, и поэтому первый класс Черна является изоморфизмом для регулярного X.
Явно первый класс Черна можно определить следующим образом. Для линейного расслоения L на интегральной схеме нётеровой X , пусть с ненулевой рациональной участок L (то есть, раздел на некотором непустом открытом подмножестве L ), которая существует на локальной тривиальности L . Определим дивизор ( ы ) Вейля на X по аналогии с дивизором рациональной функции. Тогда первый класс Черна L может быть определен как делитель ( ы ). Изменение рационального раздела сек изменений этот делитель с линейной эквивалентности, так как ( фс ) = ( п ) + ( ы ) для ненулевой рациональной функции F и отлична от нуля рациональное сечение ы из L . Таким образом, элемент c 1 ( L ) в Cl ( X ) определен правильно.
Для комплексного многообразия X размерности n , не обязательно гладкого или собственного над C , существует естественный гомоморфизм, отображение цикла , из группы классов дивизоров в гомологии Бореля – Мура :
Последняя группа определяется с помощью пространства X ( C ) комплексных точек X с его классической (евклидовой) топологией. Точно так же группа Пикара отображается в интегральные когомологии первым классом Черна в топологическом смысле:
Два гомоморфизма связаны коммутативной диаграммой , в которой правое вертикальное отображение является конечным произведением с фундаментальным классом X в гомологиях Бореля – Мура:
Для X, гладкого над C , оба вертикальных отображения являются изоморфизмами.
Глобальные сечения линейных пучков и линейных систем
Дивизор Картье эффективен, если его локальные определяющие функции f i регулярны (а не только рациональные функции). В этом случае дивизор Картье можно отождествить с замкнутой подсхемой коразмерности 1 в X , подсхемой, локально определенной как f i = 0. Дивизор Картье D линейно эквивалентен эффективному дивизору тогда и только тогда, когда связанное с ним линейное расслоение O ( D ) имеет ненулевое глобальное сечение s ; то D линейно эквивалентен геометрическому множеству нулей s .
Пусть X - проективное многообразие над полем k . Тогда умножение глобального сечения O ( D ) на ненулевой скаляр в k не меняет его нулевое геометрическое место. В результате проективного пространства прямых в к -векторному пространству глобальных сечений Н 0 ( Х , О ( Г )) может быть идентифицирован с помощью набора эффективных делителей линейно эквивалентных D , называется полная линейная системой из D . Проективное линейное подпространство этого проективного пространства называется линейной системой дивизоров .
Одна из причин изучения пространства глобальных сечений линейного расслоения - понять возможные отображения данной разновидности в проективное пространство. Это существенно для классификации алгебраических многообразий. Явно морфизм из многообразия X в проективное пространство P n над полем k определяет линейное расслоение L на X , обратный образ стандартного линейного расслоения O (1) на P n . Более того, L имеет n +1 секций, базовое множество которых (пересечение их нулевых множеств) пусто. И наоборот, любое линейное расслоение L с n +1 глобальными секциями, общее базовое множество которых пусто, определяет морфизм X → P n . [16] Эти наблюдения приводят к нескольким понятиям положительности для дивизоров Картье (или линейных расслоений), таких как обильные дивизоры и nef-дивизоры . [17]
Для делителя D на проективное многообразие X над полем к , то к -векторному пространству Н 0 ( Х , О ( Г )) имеет конечную размерность. Теорема Римана – Роха - это фундаментальный инструмент для вычисления размерности этого векторного пространства, когда X - проективная кривая. Последовательные обобщения, то теорема Хирцебрух-Римана-Роха и теорема Гротендика-Римана-Роха , дает некоторую информацию о размерности H 0 ( X , O ( D )) для проективного многообразия X любой размерности над полем.
Поскольку канонический дивизор внутренне связан с многообразием, ключевую роль в классификации многообразий играют отображения в проективное пространство, задаваемые K X и его положительными кратными. Размерность Кодаиры из X является одним из ключевых бирациональным инвариант, измерение роста векторных пространств Н 0 ( Х , мК Х ) ( что означает H 0 ( X , O ( мК X ))) как м возрастает. Размерность Кодаира делит все n -мерные многообразия на n +2 классов, которые (очень грубо) переходят от положительной кривизны к отрицательной.
Q-делители
Пусть X - нормальное многообразие. A (Weil) Q -дивизор - это конечная формальная линейная комбинация неприводимых подмногообразий коразмерности 1 в X с рациональными коэффициентами. ( Аналогично определяется R -дивизор.) Q- Дивизор эффективен, если коэффициенты неотрицательны. Q -divisor D является Q-Картье , если мД является дивизором Картье для некоторого натурального т . Если X гладко, то каждый Q -дивизор является Q- Картье.
Если
является Q -дивизором, то его округление вниз является делителем
где - наибольшее целое число, меньшее или равное a . Связка тогда определяется как
Теорема Гротендика – Лефшеца о гиперплоскости
Из теоремы Лефшеца о гиперплоскости следует, что для гладкого комплексного проективного многообразия X размерности не менее 4 и гладкого обильного дивизора Y в X ограничение Pic ( X ) → Pic ( Y ) является изоморфизмом. Например, если Y - гладкое многообразие с полным пересечением размерности не менее 3 в комплексном проективном пространстве, то группа Пикара Y изоморфна Z , порожденная ограничением линейного расслоения O (1) на проективное пространство.
Гротендик обобщил теорему Лефшеца в нескольких направлениях, включая произвольные базовые поля, особые многообразия и результаты о локальных кольцах, а не о проективных многообразиях. В частности, если R является локальным кольцом полного пересечения, факториальным в коразмерности не более 3 (например, если нерегулярное множество R имеет коразмерность не менее 4), то R является единственной областью факторизации (и, следовательно, любой Вейль дивизор на Spec ( R ) есть Картье). [18] Граница размерности здесь оптимальна, как показано выше на примере трехмерного квадратичного конуса.
Заметки
- ↑ Dieudonné (1985), раздел VI.6.
- ^ Проект стеков, тег 00PF.
- ^ Stacks Project, тег 02MC.
- ^ Stacks Project, тег 02MD.
- ^ a b Коллар (2013), Обозначение 1.2.
- ^ Хартсхорн (1977), Предложение II.6.5.
- ^ a b Хартсхорн (1977), предложение II.6.2.
- ^ Stacks Project, тег 02RS.
- ^ Клейман (2005), теоремы 2.5 и 5.4, замечание 6.19.
- ^ Хартсхорн (1977), пример II.6.5.2.
- ^ Hartshorne (1977), упражнения II.6.5.
- ^ Гротендик, EGA IV, часть 4, предложение 21.3.4, Corollaire 21.3.5.
- ^ Lazarsfeld (2004), пример 1.1.6.
- ^ Stacks Project, тег 0AFW.
- ^ Для многообразия X над полем классы Черна любого векторного расслоения на X действуют посредством заглавного произведения на группах Чжоу X , и гомоморфизм здесь может быть описан как L ↦ c 1 ( L ) ∩ [ X ].
- ^ Хартсхорн (1977), теорема II.7.1.
- ^ Лазарсфельд (2004), глава 1.
- ^ Гротендик, SGA 2, Corollaire XI.3.14.
Рекомендации
- Дьедонне, Жан (1985), История алгебраической геометрии , Серия Математики Уодсворта, переведенная Джудит Д. Салли , Бельмонт, Калифорния: Международная группа Уодсворта, ISBN 0-534-03723-2, Руководство по ремонту 0780183
- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 32 : 5–361. DOI : 10.1007 / bf02732123 . Руководство по ремонту 0238860 .
- Гротендик, Александр ; Рейно, Michèle (2005) [1968], Ласло, Ив , (ред.) Cohomologie локали де faisceaux cohérents и др théorèmes де Лефшец locaux и др globaux (SGA 2) , Документы Mathématiques, 4 , Париж: Société Mathematique де Франс , Arxiv : математика / 0511279 , Bibcode : 2005math ..... 11279G , ISBN 978-2-85629-169-6, MR 2171939
- Раздел II.6 Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике, 52 , Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag , ISBN 0-387-90244-9, MR 0463157
- Клейман, Стивен (2005), «Схема Пикара», Фундаментальная алгебраическая геометрия , Math. Surveys Monogr., 123 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 235–321, arXiv : math / 0504020 , Bibcode : 2005math ...... 4020K , MR 2223410
- Коллар, Янош (2013), Особенности программы минимальных моделей , Cambridge University Press , ISBN 978-1-107-03534-8, Руководство по ремонту 3057950
- Лазарсфельд, Роберт (2004), Положительность в алгебраической геометрии , 1 , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-22533-1, Руководство по ремонту 2095471
Внешние ссылки
- Авторы проекта Stacks, проект Stacks