Скалярное произведение

В математике , то скалярное произведение или скалярное произведение ^{[примечание 1]} является алгебраической операцией , которая принимает два равной длину последовательности чисел (обычно координаты векторов ), и возвращает одно число. В евклидовой геометрии широко используется скалярное произведение декартовых координат двух векторов . Его часто называют « внутренним продуктом» (или реже проекционным продуктом ) евклидова пространства, хотя это не единственный внутренний продукт, который может быть определен в евклидовом пространстве (подробнее см. « Пространство внутреннего продукта» ).

Алгебраически скалярное произведение - это сумма произведений соответствующих записей двух последовательностей чисел. Геометрически это произведение евклидовых величин двух векторов и косинуса угла между ними. Эти определения эквивалентны при использовании декартовых координат. В современной геометрии , евклидовы пространства часто определяются с помощью векторных пространств . В этом случае скалярное произведение используется для определения длин (длина вектора - это квадратный корень из скалярного произведения самого вектора) и углов (косинус угла двух векторов является частным их скалярного произведения на произведение их длин).

Название «скалярный продукт» происходит от точки «  ·  », которая часто используется для обозначения этой операции; ^{[1] [2]} альтернативное название «скалярное произведение» подчеркивает, что результатом является скаляр , а не вектор , как в случае векторного произведения в трехмерном пространстве.

Определение [ править ]

Скалярное произведение может быть определено алгебраически или геометрически. Геометрическое определение основано на понятиях угла и расстояния (величины векторов). Эквивалентность этих двух определений зависит от наличия декартовой системы координат для евклидова пространства.

В современных представлениях евклидовой геометрии точки пространства определяются в терминах их декартовых координат , а само евклидово пространство обычно отождествляется с реальным координатным пространством R ⁿ . В таком представлении понятия длины и углов определяются посредством скалярного произведения. Длина вектора определяется как квадратный корень из скалярного произведения самого вектора, а косинус (неориентированного) угла двух векторов длины один определяется как их скалярное произведение. Таким образом, эквивалентность двух определений скалярного произведения является частью эквивалентности классической и современной формулировок евклидовой геометрии.

Алгебраическое определение [ править ]

Скалярное произведение двух векторов a = [ a ₁ , a ₂ ,…, a _n ] и b = [ b ₁ , b ₂ ,…, b _n ] определяется как: ^[3]

${\displaystyle \mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} =\sum _{i=1}^{n}{\color {red}a}_{i}{\color {blue}b}_{i}={\color {red}a}_{1}{\color {blue}b}_{1}+{\color {red}a}_{2}{\color {blue}b}_{2}+\cdots +{\color {red}a}_{n}{\color {blue}b}_{n}}$

где Σ обозначает суммирование и п есть размерность в векторном пространстве . Например, в трехмерном пространстве скалярное произведение векторов [1, 3, −5] и [4, −2, −1] равно:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ [{\color {red}1,3,-5}]\cdot [{\color {blue}4,-2,-1}]&=({\color {red}1}\times {\color {blue}4})+({\color {red}3}\times {\color {blue}-2})+({\color {red}-5}\times {\color {blue}-1})\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}}$

Если векторы идентифицируются с матрицами-строками , скалярное произведение также может быть записано как матричное произведение

${\displaystyle \mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} =\mathbf {\color {red}a} \mathbf {\color {blue}b} ^{\mathsf {T}},}$

где обозначает транспонирование о .${\displaystyle \mathbf {\color {blue}b} ^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle \mathbf {\color {blue}b} }$

Выражая приведенный выше пример таким образом, матрица 1 × 3 ( вектор-строка ) умножается на матрицу 3 × 1 ( вектор-столбец ), чтобы получить матрицу 1 × 1, которая идентифицируется своим уникальным элементом:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\color {red}1&\color {red}3&\color {red}-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\color {blue}4\\\color {blue}-2\\\color {blue}-1\end{bmatrix}}=\color {purple}3}$.

Геометрическое определение [ править ]

В евклидовом пространстве , А евклидова вектор представляет собой геометрический объект , который обладает как величину , так и направление. Вектор можно представить в виде стрелки. Его величина - это его длина, а его направление - это направление, на которое указывает стрелка. Величина вектора a обозначается . Скалярное произведение двух евклидовых векторов a и b определяется формулой ^{[4] [5] [2]}${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|}$

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\ \|\mathbf {b} \|\cos \theta ,}$

где θ - угол между a и b .

В частности, если векторы и Ь являются ортогональными (то есть, их угол π / 2 или 90 °), то , откуда следует , что${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2}}=0}$

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0.}$

С другой стороны, если они сонаправлены, то угол между ними равен нулю с и${\displaystyle \cos 0=1}$

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|}$

Это означает, что скалярное произведение вектора a на себя равно

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\left\|\mathbf {a} \right\|^{2},}$

который дает

${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }},}$

формула евклидовой длины вектора.

Скалярная проекция и первые свойства [ править ]

Проекции скалярная (или скалярная компонента) евклидова вектора а в направлении евклидова вектора Ь дается

${\displaystyle a_{b}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,}$

где θ - угол между a и b .

С точки зрения геометрического определения скалярного произведения это можно переписать

${\displaystyle a_{b}=\mathbf {a} \cdot {\widehat {\mathbf {b} }},}$

где - единичный вектор в направлении b .${\displaystyle {\widehat {\mathbf {b} }}=\mathbf {b} /\left\|\mathbf {b} \right\|}$

Таким образом, скалярный продукт геометрически характеризуется формулой ^[6]

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{b}\left\|\mathbf {b} \right\|=b_{a}\left\|\mathbf {a} \right\|.}$

Скалярное произведение, определяемое таким образом, однородно при масштабировании по каждой переменной, что означает, что для любого скаляра α ,

${\displaystyle (\alpha \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\alpha (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\alpha \mathbf {b} ).}$

Он также удовлетворяет закону распределения , что означает, что

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .}$

Эти свойства можно резюмировать, сказав, что скалярное произведение представляет собой билинейную форму . Более того, эта билинейная форма положительно определена , что означает, что она никогда не бывает отрицательной и равна нулю тогда и только тогда, когда - нулевой вектор.${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {0} }$

Таким образом, скалярное произведение эквивалентно умножению нормы (длины) b на норму проекции a на b .

Эквивалентность определений [ править ]

Если e ₁ , ..., e _n - стандартные базисные векторы в R ⁿ , то мы можем написать

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=[a_{1},\dots ,a_{n}]=\sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\\\mathbf {b} &=[b_{1},\dots ,b_{n}]=\sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}.\end{aligned}}}$

Векторы e _i являются ортонормированным базисом , что означает, что они имеют единичную длину и расположены под прямым углом друг к другу. Следовательно, поскольку эти векторы имеют единичную длину

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=1}$

и поскольку они образуют прямые углы друг с другом, если i ≠ j ,

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0.}$

Таким образом, в целом можно сказать, что:

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}.}$

Где δ _ij - дельта Кронекера .

Также по геометрическому определению для любого вектора e _i и вектора a отметим

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {e} _{i}\right\|\cos \theta _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta _{i}=a_{i},}$

где a _i - составляющая вектора a в направлении e _i . Последний шаг в равенстве видно из рисунка.

Теперь применение дистрибутивности геометрической версии скалярного произведения дает

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})=\sum _{i}b_{i}a_{i}=\sum _{i}a_{i}b_{i},}$

что и есть алгебраическое определение скалярного произведения. Таким образом, геометрическое скалярное произведение равно алгебраическому скалярному произведению.

Свойства [ править ]

Скалярное произведение удовлетворяет следующим свойствам, если a , b и c - действительные векторы, а r - скаляр . ^{[3] [4]}

1. Коммутативный :

   ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} ,}$

   которое следует из определения ( θ - угол между a и b ): ^[7]

   ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta =\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} .}$

2. Дистрибутивное сложение над вектором:

   ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .}$

3. Билинейный :

   ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (r\mathbf {b} +\mathbf {c} )=r(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} ).}$

4. Скалярное умножение :

   ${\displaystyle (c_{1}\mathbf {a} )\cdot (c_{2}\mathbf {b} )=c_{1}c_{2}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ).}$

5. Не ассоциативно, потому что скалярное произведение между скаляром ( a ⋅ b ) и вектором ( c ) не определено, что означает, что выражения, участвующие в ассоциативном свойстве, ( a ⋅ b ) ⋅ c или a ⋅ ( b ⋅ c ) оба плохо определены. ^[8] Однако обратите внимание, что ранее упомянутое свойство скалярного умножения иногда называют «законом ассоциации для скалярного и скалярного произведения» ^[9], или можно сказать, что «скалярное произведение ассоциативно относительно скалярного умножения», потому что c ( a ⋅ б ) = ( в а ) ⋅б = а ⋅ ( с б ). ^[10]
6. Ортогональный :

   Два ненулевых векторов а и Ь являются ортогональными , если и только если ⋅ б = 0 .

7. Без отмены :

   В отличие от умножения обычных чисел, где, если ab = ac , то b всегда равно c, если a не равно нулю, скалярное произведение не подчиняется закону отмены :

   Если a ⋅ b = a ⋅ c и a ≠ 0 , то мы можем записать: a ⋅ ( b - c ) = 0 по закону распределения ; результат выше говорит, что это просто означает, что a перпендикулярно ( b - c ) , что по-прежнему допускает ( b - c ) ≠ 0 , и, следовательно, допускает b ≠ c .

8. Правило продукта :

   Если a и b - (векторнозначные) дифференцируемые функции , то производная ( обозначенная штрихом ′) функции a ⋅ b задается по правилу ( a ⋅ b ) ′ = a ′ ⋅ b + a ⋅ b ′ .

Применение к закону косинусов [ править ]

Учитывая два вектора a и b, разделенных углом θ (см. Изображение справа), они образуют треугольник с третьей стороной c = a - b . Точечный продукт этого с самим собой:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\color {gold}c} \cdot \mathbf {\color {gold}c} &=(\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\cdot (\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\\&=\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {red}a} +\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {blue}b} \\&={\color {red}a}^{2}-\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +{\color {blue}b}^{2}\\&={\color {red}a}^{2}-2\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +{\color {blue}b}^{2}\\{\color {gold}c}^{2}&={\color {red}a}^{2}+{\color {blue}b}^{2}-2{\color {red}a}{\color {blue}b}\cos {\color {purple}\theta }\\\end{aligned}}}$

что является законом косинусов .

Тройной продукт [ править ]

Есть две тернарные операции: скалярное произведение и перекрестное произведение .

Смешанное произведение трех векторов определяется как

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).}$

Его значение является определителем матрицы, столбцы которой являются декартовыми координатами трех векторов. Это объем со знаком параллелепипеда, определяемый тремя векторами.

Вектор тройное произведение определяется ^{[3] [4]}

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ).}$

Эту идентичность, также известную как формула Лагранжа , можно запомнить как «BAC минус CAB», имея в виду, какие векторы соединены точками. У этой формулы есть приложения для упрощения векторных вычислений в физике .

Физика [ править ]

В физике , векторная величина является скаляром в физическом смысле (то есть, физическая величина не зависит от системы координат), выраженный в виде продукта в виде числового значения и физическая единицей , а не просто номер. Скалярное произведение также является скаляром в этом смысле, задаваемым формулой, независимо от системы координат. Например: ^{[11] [12]}

• Механическая работа - это скалярное произведение векторов силы и смещения ,
• Мощность - это скалярное произведение силы и скорости .

Обобщения [ править ]

Сложные векторы [ править ]

Для векторов со сложными элементами использование данного определения скалярного произведения приведет к совершенно другим свойствам. Например, скалярное произведение вектора с самим собой было бы произвольным комплексным числом и могло бы быть нулевым, если бы вектор не был нулевым вектором (такие векторы называются изотропными ); это, в свою очередь, будет иметь последствия для таких понятий, как длина и угол. Такие свойства, как положительно определенная норма, могут быть сохранены за счет отказа от симметричных и билинейных свойств скалярного произведения с помощью альтернативного определения ^{[13] [3]}

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum {{\overline {a_{i}}}\,b_{i}},}$

где это комплексно сопряженное из . Это также может быть выражено в терминах сопряженного транспонирования (обозначается надстрочным индексом H ):${\displaystyle {\overline {a_{i}}}}$${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{H}\mathbf {b} .}$

где векторы предполагались представленными как векторы-строки. Тогда скалярное произведение любого вектора на себя является неотрицательным действительным числом, и оно не равно нулю, за исключением нулевого вектора. Однако это скалярное произведение, таким образом, является полуторалинейным, а не билинейным: оно сопряжено линейно и не линейно по a , а скалярное произведение не является симметричным, поскольку

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\overline {\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} }}.}$

Угол между двумя комплексными векторами тогда определяется как

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\operatorname {Re} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}{\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$

Тем не менее, этот тип скалярного произведения полезен и ведет к понятиям эрмитовой формы и общих пространств внутреннего произведения . Самостоятельное скалярное произведение комплексного вектора - это обобщение абсолютного квадрата комплексного скаляра.${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }$

Внутренний продукт [ править ]

Скалярное произведение обобщает скалярное произведение на абстрактные векторных пространства над полем из скаляров , будучи либо полем действительных чисел или поле комплексных чисел . Это, как правило , обозначается с помощью угловых скобок от . ^[1]${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \left\langle \mathbf {a} \,,\mathbf {b} \right\rangle }$

Внутреннее произведение двух векторов над полем комплексных чисел, как правило, является комплексным числом и является полуторалинейным, а не билинейным. Внутреннее пространство продукта - это нормированное векторное пространство , а внутреннее произведение вектора на себя является действительным и положительно определенным.

Функции [ править ]

Скалярное произведение определяется для векторов, которые имеют конечное количество элементов . Таким образом , эти векторы можно рассматривать как дискретные функции : а длина- п вектор у есть, то, функция с доменом { K ∈ ℕ | 1 ≤ K ≤ N } , и у _я это обозначение для образа I с помощью функции / вектор u .

Это понятие можно обобщить на непрерывные функции : так же, как внутреннее произведение векторов использует сумму по соответствующим компонентам, внутреннее произведение функций определяется как интеграл по некоторому интервалу a ≤ x ≤ b (также обозначается [ a , b ] ) : ^[3]

${\displaystyle \left\langle u,v\right\rangle =\int _{a}^{b}u(x)v(x)dx}$

Дальнейшее обобщение на комплексные функции ψ ( x ) и χ ( x ) по аналогии с комплексным скалярным произведением выше дает ^[3]

${\displaystyle \left\langle \psi ,\chi \right\rangle =\int _{a}^{b}\psi (x){\overline {\chi (x)}}dx.}$

Функция веса [ править ]

Внутренние продукты могут иметь весовую функцию (т. Е. Функцию, которая взвешивает каждый член внутреннего продукта со значением). Явно внутренний продукт функций и относительно весовой функции равен${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle v(x)}$${\displaystyle r(x)>0}$

${\displaystyle \left\langle u,v\right\rangle =\int _{a}^{b}r(x)u(x)v(x)dx.}$

Диадики и матрицы [ править ]

Матрицы имеют внутреннее произведение Фробениуса , которое аналогично векторному внутреннему произведению. Он определяется как сумма произведений соответствующих компонентов двух матриц A и B, имеющих одинаковый размер:

${\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}{\overline {B_{ij}}}=\mathrm {tr} (\mathbf {B} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} )=\mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathrm {H} }).}$

${\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}=\mathrm {tr} (\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} )=\mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathrm {T} })=\mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {B} )=\mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }).}$ (Для реальных матриц)

Для диадики определены скалярное произведение и «двойное» скалярное произведение, их определения см. В разделе « Диадика» § Продукт диадики и диадики .

Тензоры [ править ]

Внутреннее произведение между тензором порядка n и тензором порядка m - это тензор порядка n + m - 2 , подробности см. В разделе « Сжатие тензор» .

Вычисление [ править ]

Алгоритмы [ править ]

Простой алгоритм вычисления скалярного произведения векторов с плавающей запятой может иметь катастрофическое сокращение . Чтобы избежать этого, используются такие подходы, как алгоритм суммирования Кахана .

Библиотеки [ править ]

Функция скалярного произведения включена в уровень 1 BLAS .

См. Также [ править ]

• Неравенство Коши – Шварца
• Перекрестный продукт
• Точечное произведение графа
• Евклидова норма , квадратный корень из собственного скалярного произведения
• Умножение матриц
• Метрический тензор
• Умножение векторов
• Внешний продукт

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме скалярного продукта .

• «Внутренний продукт» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Объяснение скалярного произведения, в том числе со сложными векторами
• "Точечный продукт" Брюса Торренса, Демонстрационный проект Вольфрама , 2007 г.