Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Спираль Дойля типа (8,16), напечатанная в 1911 году в журнале Popular Science как иллюстрация филлотаксиса . [1] Один из его спиральных рукавов заштрихован.
Локсодромная последовательность Кокстера касательных окружностей , спираль Дойля типа (1,3)

В математике окружности упаковки , спираль Doyle является модель непересекающихся окружностей на плоскости, каждая касательная к шести другим. Последовательности окружностей, соединенных друг с другом через противоположные точки касания, лежат на логарифмических спиралях (или, в вырожденных случаях, кругах или прямых), имеющих, как правило, три различные формы спиралей.

Эти паттерны названы в честь математика Питера Дж. Дойла, который внес важный вклад в их математическое построение в конце 1980-х или начале 1990-х годов. [2] Однако их изучение филлотаксиса (математики роста растений) датируется началом 20 века. [3] [1]

Параметризация [ править ]

Точная форма любой спирали Дойля может быть параметризована парой натуральных чисел, описывающих количество спиральных рукавов для каждого из трех способов группировки кругов по их противоположным точкам касания. Если количество оружия двух из трех типов спирального рукава является и , с и меньше , чем оружием третьего типа, то количество оружия третьего типа обязательно . Как частные случаи этой формулы, когда руки третьего типа вырождаются в окружности, а их бесконечно много. И когда два типа рук с меньшим количеством копий являются зеркальными отражениями друг друга, а руки скопии вырождаются в прямые. Например, на рисунке показан на рисунке, существует восемь спиральные ветви с одной и той же формой , как и затененной рука, еще восемь спиральных рукавами с зеркалом отражения формы, и шестнадцать радиальных линий окружностей, так что эта спираль может быть параметрироваться , . [4]

В качестве альтернативы спираль Дойля может быть параметризована парой действительных чисел и описывать относительные размеры кругов. Питер Дойль заметил , что, когда единичный круг окружен из шести других окружностей с радиусами , , , , , и , затем эти шесть прилегающих кругов закрыть , чтобы сформировать кольцо взаимно касательных окружностей, все касательные к центральной единичной окружности. [2] Затем спираль Дойля может быть построена с использованием тех же относительных радиусов для колец из шести кругов, окружающих каждый ранее построенный круг. Образовавшаяся система кругов замыкается сама на себя, образуя непересекающуюся спираль Дойля кругов на плоскости только для некоторых специальных пар чисел и, который можно найти с помощью целочисленных параметров и числовым поиском. Когда не одна из этих специальных пар, результирующая система кругов по-прежнему состоит из спиральных рукавов, которые все обвивают центральную точку, но с углом поворота вокруг этой центральной точки, который не является целой долей , что приводит к их нелокальному перекрытию. . Два реальных параметра также можно объединить в одно комплексное число , интерпретируя плоскость, в которой нарисованы круги, как комплексную плоскость . [4] Параметры, связанные со спиралью Дойля, должны быть алгебраическими числами . [5]

Особые случаи [ править ]

Упаковка гексагональных кругов , вырожденный случай спирали Дойля с параметрами.
Два концентрических кольца из девяти кругов в окне розы из Сент - Олбанс собора , [6] часть (9,9) Doyle спирали

Локсодромная последовательность касательных окружностей Кокстера представляет собой спираль Дойля с параметрами и или с и , где обозначает золотое сечение . Внутри единственного спирального рукава максимальной кривизны круги образуют последовательность, радиусы которой являются степенями , в которой каждые четыре последовательных круга в последовательности являются касательными. [7]

Стандартная гексагональная упаковка плоскости единичными окружностями также может быть интерпретирована как вырожденный частный случай спирали Дойля, случай, полученный с использованием параметров . В отличие от других спиралей Дойля, у нее нет центральной предельной точки. [4]

Приложения [ править ]

Спирали Дойля образуют дискретный аналог экспоненциальной функции [4]. Спирали касательных окружностей использовались для изучения клейновых групп . [8]

Спирали касательных окружностей, часто с числами рукавов Фибоначчи , использовались для моделирования филлотаксиса , спиралевидных паттернов роста, характерных для определенных видов растений, начиная с работы Геррита ван Итерсона в 1907 году. [3] В этом приложении - единственная спираль. кругов можно назвать парастихией, а параметры и спирали Дойля - числами парастихи . Разница также в парастихическом числе (если оно не равно нулю), количестве парастихий третьего типа. Когда два парастихических числа иявляются либо последовательными числами Фибоначчи, либо числами Фибоначчи, которые находятся на один шаг друг от друга в последовательности чисел Фибоначчи, тогда третье парастихическое число также будет числом Фибоначчи. [9] Для моделирования роста растений таким образом можно также использовать спиральные упаковки касательных окружностей на поверхностях, отличных от плоскости, включая цилиндры и конусы . [10]

Спиральные упаковки кругов также изучались как декоративный мотив в архитектурном дизайне . [6]

Уникальность и связанные с ней закономерности [ править ]

Спиральные узоры не-Дойля, полученные путем размещения единичных окружностей с одинаковым угловым смещением на спирали Ферма ; центральное изображение с угловым смещением золотого сечения

Спирали Дойля (и гексагональная упаковка плоскости) - единственные возможные «когерентные гексагональные упаковки кругов» в плоскости, где «когерентный» означает, что никакие два круга не перекрываются, а «гексагональный» означает, что каждый круг касается шести других, которые окружите его кольцом касательных окружностей. [4] Применение преобразования Мёбиуса к спирали Дойля может создать связанный образец непересекающихся касательных окружностей, каждая из которых касается шести других, с образцом двойной спирали, в котором связанные последовательности кругов выходят из одной центральной точки в другую. Другой; однако некоторые круги в этом шаблоне не будут окружены шестью соседними кругами. [7] [8]

Возможны дополнительные шаблоны с шестью кругами, окружающими каждый внутренний круг, но покрывающими только частичное подмножество плоскости и с кругами на границе этой области, не полностью окруженными другими кругами. [11] Также возможно сформировать спиральные узоры из касательных окружностей, локальная структура которых напоминает квадратную сетку, а не гексагональную сетку, или непрерывно преобразовывать эти узоры в упаковки Дойля или наоборот. [9] Однако пространство реализаций локально-квадратных спиральных упаковок бесконечномерно, в отличие от спиралей Дойля, которые могут быть определены только постоянным числом параметров. [12]

Также возможно описать спиралевидные системы перекрывающихся кругов, которые покрывают плоскость, а не непересекающихся кругов, которые заполняют плоскость, причем каждая точка плоскости покрывается не более чем двумя кругами, за исключением точек, где три круга встречаются под углами, и с каждым кругом, окруженным шестью другими. У них много общих свойств со спиралями Дойля. [13]

Спираль Дойля, в которой центры окружностей лежат на логарифмических спиралях, а их радиусы увеличиваются геометрически пропорционально их расстоянию от центральной предельной точки, следует отличать от другого спирального узора непересекающихся, но не касательных единичных окружностей , также напоминающих определенные формы. роста растений, таких как семенные головки подсолнечника . Этот другой узор может быть получен путем размещения центров единичных окружностей на спирали Ферма с соответствующим масштабом , на угловом смещении друг от друга относительно центра спирали, где опять же есть золотое сечение. [14] [15] Подробнее см . Спираль Ферма § Золотое сечение и золотой угол .

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b Эмч, Арнольд (ноябрь 1911 г.), «Математика и инженерия в природе» , Popular Science Monthly , 79 : 450–458
  2. ^ a b Описание Дойлем шести радиусов кольца дисков, окружающих центральный диск в этих спиралях, похоже, не было опубликовано; это цитируется как «устное сообщение» Картером Итиэлем; Родин, Burt (1992), "Обратная задача для круговой упаковки и конформного отображения", Труды Американского математического общества , 334 (2): 861-875, DOI : 10,2307 / 2154486 , MR 1081937 и описан без цитирования как наблюдение Дойла в Beardon, Dubejko & Stephenson (1994).
  3. ^ a b Жан, Роджер В. (май 1983 г.), «Вводный обзор: математическое моделирование в филлотаксисе: современное состояние», Mathematical Biosciences , 64 (1): 1-27, DOI : 10.1016 / 0025-5564 (83 ) 90025-1
  4. ^ a b c d e Бирдон, Алан Ф .; Дубейко, Томаш; Стефенсон, Кеннет (1994), "Спиральная шестигранный круг упаковка в плоскости", Geometriae Dedicata , 49 (1): 39-70, DOI : 10.1007 / BF01263534 , МР 1261573 
  5. Перейти ↑ Stephenson, Kenneth (2005), Introduction to Circle Packing: Theory of Discrete Analytic Functions , Cambridge University Press, Cambridge, p. 326 , ISBN 978-0-521-82356-2, MR  2131318
  6. ^ a b Фернандес-Кабо, MC (июнь 2017 г.), «Касательные круги на плоскости с использованием переменного компаса», Journal of Architectural Engineering , 23 (2): 04017001, doi : 10.1061 / (asce) ae.1943-5568.0000233
  7. ^ Б Косетер, ИМП (1968), "локсодромическая последовательность касательных сфер", Aequationes Mathematicae , 1 : 104-121, DOI : 10.1007 / BF01817563 , МР 0235456  CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
  8. ^ a b Райт, Дэвид Дж. (2006), «В поисках куспида», в Мински, Яир; Сакума, Макото ; Series, Кэролайн (ред.), Пространства клейновых групп , Серия лекций Лондонского математического общества, 329 , Cambridge University Press, стр. 301–336, MR 2258756 
  9. ^ a b Rothen, F .; Кох, А.-Дж. (1989), "Филлотаксис или свойства спиральных решеток, II: Упаковка кругов вдоль логарифмических спиралей" , Журналь де Physique , 50 (13): 1603-1621, DOI : 10.1051 / jphys: 0198900500130160300
  10. ^ Эриксон, РО (1983), «Геометрия филлотаксиса» , в Дейле, Дж. Э .; Милторп, Флорида (ред.), Рост и функционирование листьев: материалы симпозиума, проведенного перед тринадцатым Международным ботаническим конгрессом в Сиднейском университете 18–20 августа 1981 г. , Cambridge University Press, стр. 53–88
  11. ^ Бобенко, Александр I .; Хоффманн, Тим (2001), "Конформно-симметричные упаковки кругов: обобщение спиралей Дойля" , Experimental Mathematics , 10 (1): 141–150, MR 1822860 
  12. ^ Шрамм, Одед (1997), "узоры Круг с комбинаторикой квадратной сетки", Duke математический журнал , 86 (2): 347-389, DOI : 10,1215 / S0012-7094-97-08611-7 , MR 1430437  CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
  13. ^ Бобенко, Александр I .; Хоффманн, Тим (2003), «Гексагональные окружности и интегрируемые системы: модели с постоянными углами», Duke Mathematical Journal , 116 (3): 525–566, arXiv : math / 0109018 , doi : 10.1215 / S0012-7094-03- 11635-X , Руководство по ремонту 1958097 
  14. ^ Пиковер, Clifford A. (июль 1992), "Об эстетике инверсии и соприкосновения", Визуальный Компьютер , 8 (4): 233-240, DOI : 10.1007 / bf01900658 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
  15. ^ Vogel, Helmut (июнь 1979), "Лучший способ построить подсолнечника голову", Математическая Biosciences , 44 (3-4): 179-189, DOI : 10.1016 / 0025-5564 (79) 90080-4

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Сатклифф, Алан (2008), «Анимированные спиральные круглые упаковки Дойла» , в Sarhangi, Reza; Секин, Карло Х. (ред.), Бриджес Леуварден: математика, музыка, искусство, архитектура, культура , Лондон: Tarquin Publications, стр. 131–138, ISBN 9780966520194
  • Ямагиши, Ёсиказу; Sushida, Takamichi (апрель 2017), "Спиральные уплотнения диска", Physica D: Нелинейные явления , 345 : 1-10, DOI : 10.1016 / j.physd.2016.12.003

Внешние ссылки [ править ]

  • Исследователь спирали Дойла , Робин Хьюстон