Это хорошая статья. Для получения дополнительной информации нажмите здесь.
Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
График уравнения y = 1 / x . Здесь e - уникальное число, большее 1, что делает заштрихованную область равной 1.

Число e , также известное как число Эйлера , представляет собой математическую константу, приблизительно равную 2,71828, и ее можно характеризовать многими способами. Это основание из натурального логарифма . [1] [2] [3] Это предел из (1 + 1 / п ) п а п стремится к бесконечности, выражение , которое возникает при изучении сложных процентов . Его также можно вычислить как сумму бесконечного ряда [4] [5]

Это также уникальное положительное число a такое, что график функции y = a x имеет наклон 1 при x = 0 . [6]

(Естественная) экспоненциальная функция f ( x ) = e x - это единственная функция, которая равна своей производной с начальным значением f (0) = 1 (и, следовательно, можно определить e как f (1) ). Натуральный логарифм или логарифм по основанию e - это функция, обратная естественной экспоненциальной функции. Натуральный логарифм числа k > 1 может быть определен непосредственно как площадь под кривой y = 1 / x между x = 1 иx = k , и в этом случае e - это значение k, для которого эта область равна единице (см. изображение). Существуют различные другие характеристики .

e иногда называют числом Эйлера в честь швейцарского математика Леонарда Эйлера (не путать с γ , константой Эйлера – Маскерони , которую иногда называют просто константой Эйлера ) или константой Напьера . [5] Однако, как говорят , выбор Эйлера символа e был сохранен в его честь. [7] Константа была обнаружена швейцарским математиком Якобом Бернулли при изучении сложных процентов. [8] [9]

Число e имеет огромное значение в математике [10] наряду с 0, 1, π и i . Все пять из этих чисел играют важную и повторяющуюся роль в математике, и эти пять констант появляются в одной формулировке тождества Эйлера . Подобно постоянная П , е является иррациональным (то есть, она не может быть представлена в виде отношения целых чисел) и трансцендентальной (то есть, это не является корень из любых ненулевого многочлена с рациональными коэффициентами). [5] С точностью до 50 знаков после запятой значение e равно:

2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 ... (последовательность A001113 в OEIS ).

История [ править ]

Первые упоминания о константе были опубликованы в 1618 году в таблице приложения к работе Джона Напьера по логарифмам . [9] Однако он не содержал саму константу, а просто список логарифмов, вычисленных из константы. Предполагается, что таблица была написана Уильямом Отредом .

Открытие самой константы приписывают Якобу Бернулли в 1683 году [11] [12], который попытался найти значение следующего выражения (которое равно e ):

Первое известное использование константы, представленной буквой b , было в переписке Готфрида Лейбница с Христианом Гюйгенсом в 1690 и 1691 годах. Леонард Эйлер ввел букву e в качестве основы для натуральных логарифмов, написав в письме Кристиану Гольдбаху 25 января Ноябрь 1731 года. [13] [14] Эйлер начал использовать букву е для обозначения константы в 1727 или 1728 году в неопубликованной статье о взрывных силах в пушках, [15] в то время как первое появление e в публикации было в Euler's Mechanica (1736). [16]Хотя некоторые исследователи использовали букву c в последующие годы, буква e была более распространенной и со временем стала стандартной. [ необходима цитата ]

В математике принято набирать константу курсивом как « е »; ISO 80000-2 : 2009 Стандарт рекомендует наборные константы в вертикальном стиле, но это не было подтверждено научным сообществом. [ необходима цитата ]

Приложения [ править ]

Сложные проценты [ править ]

Влияние получения 20% годовых на первоначальные инвестиции в размере 1000 долларов США при различной частоте начисления сложных процентов

Якоб Бернулли открыл эту константу в 1683 году, изучая вопрос о сложных процентах: [9]

Счет начинается с $ 1,00 и выплачивается 100% годовых. Если проценты зачисляются один раз в конце года, стоимость счета на конец года будет составлять 2 доллара США. Что произойдет, если проценты начисляются и начисляются чаще в течение года?

Если проценты начисляются дважды в год, процентная ставка за каждые 6 месяцев будет составлять 50%, поэтому начальный 1 доллар умножается на 1,5 дважды, что дает 1,00 доллара × 1,5 2 = 2,25 доллара в конце года. Компаундирования квартальные дает $ 1,00 × 1,25 4 = $ 2,4414 ... и компаундирования ежемесячно дает $ 1,00 × (1 + 1/12) 12 = $ 2,613035 ... Если есть п компаундирования интервалов, интерес для каждого интервала будет 100% / л , и стоимость на конец года составит $ 1,00 ×  (1 + 1 / n ) n .

Бернулли заметил, что эта последовательность приближается к пределу ( интересующей силе ) с большим n и, следовательно, меньшими интервалами сложения. Еженедельное начисление ( n = 52 ) дает 2,692597 долларов США ..., а ежедневное начисление сложных процентов ( n = 365 ) дает 2,714567 долларов США ... (примерно на два цента больше). Предел увеличения n - это число, которое стало известно как e . То есть при непрерывном начислении процентов сумма на счете достигнет 2,7182818 $ ...

В более общем смысле, счет, который начинается с 1 доллара и предлагает годовую процентную ставку R , через t лет будет приносить e Rt долларов с непрерывным начислением сложных процентов .

(Обратите внимание, что R - десятичный эквивалент процентной ставки, выраженной в процентах , поэтому для 5% -ной ставки R = 5/100 = 0,05 .)

Испытания Бернулли [ править ]

Графики вероятности P из не наблюдающих независимых событий каждый из вероятности 1 / п после п испытаний Бернулли, и 1 - Р   против п  ; можно заметить, что по мере увеличения n вероятность того, что случайное событие 1 / n никогда не появится после n попыток, быстро сходится к 1 / e .

Само число e также имеет приложения в теории вероятностей , но это явно не связано с экспоненциальным ростом. Предположим, что игрок играет в игровой автомат, который дает выплату с вероятностью один из n, и играет на нем n раз. Тогда для больших n вероятность того, что игрок проиграет каждую ставку, составляет примерно 1 / e . Для n = 20 это уже примерно 1 / 2,79.

Это пример судебного процесса Бернулли . Каждый раз, когда игрок играет в игровые автоматы, шанс на выигрыш составляет один из n . Игра n раз моделируется биномиальным распределением , которое тесно связано с биномиальной теоремой и треугольником Паскаля . Вероятность выигрыша k раз из n попыток равна:

В частности, вероятность нулевого выигрыша ( k = 0 ) равна

Предел приведенного выше выражения, когда n стремится к бесконечности, равен 1 / e .

Стандартное нормальное распределение [ править ]

Нормальное распределение с нулевым средним и единичным стандартным отклонением известно как стандартное нормальное распределение , заданное функцией плотности вероятности.

Ограничение единичной дисперсии (и, следовательно, также единичного стандартного отклонения) приводит к 1/2в экспоненте, а ограничение на единицу общей площади под кривой приводит к множителю . [доказательство] Эта функция симметрична относительно x = 0 , где она достигает своего максимального значения , и имеет точки перегиба при x = ± 1 .

Психологические расстройства [ править ]

Другое применение e , также частично обнаруженное Якобом Бернулли вместе с Пьером Ремоном де Монмортом , заключается в проблеме психических расстройств , также известной как проблема проверки шляпы : [17] n гостей приглашают на вечеринку, и у дверей Все гости проверяют свои шляпы у дворецкого, который, в свою очередь, складывает шляпы в n ящиков, на каждой из которых написано имя одного гостя. Но дворецкий не спросил, как называются гости, и поэтому складывает шляпы в коробки, выбранные наугад. Задача де Монморта состоит в том, чтобы определить вероятность того, что ни одна из шляп не попадет в нужную коробку. Эта вероятность, обозначаемая как:

Поскольку количество гостей n стремится к бесконечности, p n приближается к 1 / e . Кроме того, количество способов размещения шляп в ящиках так, чтобы ни одна из шляп не оказалась в правом ящике, равно n ! / E (округляется до ближайшего целого числа для каждого положительного  n ). [18]

Проблемы оптимального планирования [ править ]

Палка длины L разбивается на n равных частей. Тогда значение n, которое максимизирует произведение длин, равно [19]

или же

Заявленный результат следует из того, что максимальное значение достигается при ( проблема Штейнера , обсуждается ниже ). Количество - это мера информации, полученной из события, происходящего с вероятностью , поэтому, по сути, такое же оптимальное разделение появляется в задачах оптимального планирования, таких как проблема секретаря .

Асимптотика [ править ]

Число e естественно возникает в связи со многими проблемами, связанными с асимптотикой . Примером может служить формула Стирлинга для асимптотики в функции факториала , в которых оба числа е и л появляются:

Как следствие,

В исчислении [ править ]

Графики функций xa x показаны для a = 2 (пунктир), a = e (синий) и a = 4 (пунктир). Все они проходят через точку (0,1) , но красная линия (имеющая наклон 1 ) касается только точки e x .
Значение функции натурального логарифма для аргумента e , т.е. ln e , равно 1.

Основная мотивация для введения числа e , особенно в исчислении , заключается в выполнении дифференциального и интегрального исчисления с экспоненциальными функциями и логарифмами . [20] Общая экспоненциальная функция y = a x имеет производную, задаваемую пределом :

Предел в скобках справа не зависит от переменной x . Его значение оказывается логарифмом от a до основания e . Таким образом, когда значение устанавливается на е , этот предел равен к 1 , и поэтому один приходит к следующему простое тождество:

Следовательно, экспоненциальная функция с основанием e особенно подходит для вычислений. Выбор e (в отличие от другого числа в качестве основания экспоненциальной функции) значительно упрощает вычисления с использованием производных.

Другая мотивация исходит из рассмотрения производной по основанию - логарифма (т.е. log a x ), [21] для  x > 0 :

где сделана замена u = h / x . Основание - логарифм числа e равен 1, если a равно e . Так символически

Логарифм с этим специальным основанием называется натуральным логарифмом и обозначается как ln ; он хорошо ведет себя при дифференцировании, так как нет неопределенного предела для проведения расчетов.

Таким образом, есть два способа выбора таких специальных номеров: a . Один из способов - установить производную экспоненциальной функции a x равной a x и найти a . Другой способ заключается в установлении производной от основания к логарифму 1 / х и решить для . В каждом случае приходит к удобному выбору базы для проведения расчетов. Оказывается, эти два решения для a на самом деле одно и то же : число e .

Альтернативные характеристики [ править ]

Пять цветных областей имеют равную площадь и определяют единицы гиперболического угла вдоль гиперболы.

Возможны и другие характеристики e : одна - как предел последовательности , другая - как сумма бесконечного ряда, а третьи полагаются на интегральное исчисление . До сих пор были введены следующие два (эквивалентных) свойства:

  1. Число e - это уникальное положительное действительное число такое, что .
  2. Число e - это уникальное положительное действительное число такое, что .

Можно доказать, что следующие четыре характеристики эквивалентны :

  1. Число е - это предел

    По аналогии:

  2. Число е - это сумма бесконечного ряда
    где п ! является факториала из п . (По соглашению .)
  3. Число e - это уникальное положительное действительное число такое, что
  4. Если f ( t ) - экспоненциальная функция , то величина является константой, иногда называемой постоянной времени (она обратна константе экспоненциального роста или постоянной спада ). Постоянная времени является время, необходимое для экспоненциальной функции увеличения на коэффициент е : .

Свойства [ править ]

Исчисление [ править ]

Как и в мотивации, экспоненциальная функция e x важна отчасти потому, что это единственная нетривиальная функция, которая является собственной производной (с точностью до умножения на константу):

и, следовательно, его собственная первообразная :

Неравенства [ править ]

Экспоненциальные функции y = 2 x и y = 4 x пересекают график y = x + 1 соответственно при x = 1 и x = -1/2 . Число e - это уникальное основание, такое что y = e x пересекается только в x = 0 . Мы можем заключить, что e лежит между 2 и 4.

Число e - это уникальное действительное число такое, что

для всех положительных x . [22]

Также имеем неравенство

для всех действительных x с равенством тогда и только тогда, когда x = 0 . Кроме того, e - единственное основание экспоненты, для которой неравенство a xx + 1 выполняется для всех x . [23] Это предельный случай неравенства Бернулли .

Экспоненциальные функции [ править ]

Глобальный максимум из хх имеет место при х = е .

Задача Штейнера просит найти глобальный максимум для функции

Этот максимум происходит именно при x = e .

Значение этого максимума составляет 1,4446 6786 1009 7661 3365 ... (с точностью до 20 знаков после запятой).

Для доказательства неравенство , оцененное сверху, дает упрощение . Итак, для всех положительных x . [24]

Точно так же x = 1 / e - это место, где происходит глобальный минимум для функции

определен для положительного x . В более общем плане для функции

глобальный максимум для положительного x происходит при x = 1 / e для любого n <0 ; а глобальный минимум происходит при x = e −1 / n для любого n > 0 .

Бесконечная тетрация

или же

сходится тогда и только тогда, когда e - exe 1 / e (или приблизительно между 0,0660 и 1,4447), в соответствии с теоремой Леонарда Эйлера . [25]

Теория чисел [ править ]

Реальное число е является иррациональным . Эйлер доказал это, показав, что его разложение в простую цепную дробь бесконечно. [26] (См. Также доказательство Фурье , что e иррационально .)

Кроме того, по теореме Линдемана-Вейерштрасса , е является трансцендентным , а это означает , что он не является решением любого непостоянного полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами. Это было первое число, трансцендентное которого было доказано, но не было специально построено для этой цели (сравните с числом Лиувилля ); доказательство было дано Чарльзом Эрмитом в 1873 году.

Предполагается, что e является нормальным , что означает, что, когда e выражается в любой базе, возможные цифры в этой базе равномерно распределены (встречаются с равной вероятностью в любой последовательности заданной длины).

Комплексные числа [ править ]

Экспоненциальная функция е х может быть записана в виде ряда Тейлора

Поскольку этот ряд сходится для каждого комплексного значения x , он обычно используется для расширения определения e x на комплексные числа. Это вместе с рядом Тейлора для sin и cos x позволяет вывести формулу Эйлера :

которое выполняется для любого комплексного x . Частным случаем с x = π является тождество Эйлера :

откуда следует, что в главной ветви логарифма

Кроме того, используя законы возведения в степень,

что является формулой де Муавра .

Выражение

иногда называют цис ( х ) .

Выражения sin x и cos x в терминах экспоненциальной функции могут быть выведены:

Дифференциальные уравнения [ править ]

Семейство функций

где C - любое действительное число, - решение дифференциального уравнения

Представления [ править ]

Число e можно представить различными способами: бесконечным рядом , бесконечным произведением , непрерывной дробью или пределом последовательности . Два из этих представлений, часто используемых во вводных курсах по исчислению , являются пределом

приведено выше, а серия

полученное путем оценки при х = 1 , указанной выше степенной ряд представление е х .

Реже встречается непрерывная дробь

[27] [28]

который написан выглядит как

Эта непрерывная дробь для e сходится в три раза быстрее: [ цитата ]

Было доказано множество других представлений e в виде серий, последовательностей, цепных дробей и бесконечных произведений .

Стохастические представления [ править ]

Помимо точных аналитических выражений для представления e , существуют стохастические методы оценки e . Один из таких подходов начинается с бесконечной последовательности независимых случайных величин X 1 , X 2 ..., взятых из равномерного распределения на [0, 1]. Пусть V будет наименьшим числом n такое, что сумма первых n наблюдений превышает 1:

Тогда ожидаемое значение из V является е : Е ( В ) = е . [29] [30]

Известные цифры [ править ]

Количество известных цифр e существенно увеличилось за последние десятилетия. Это связано как с увеличением производительности компьютеров, так и с улучшениями алгоритмов. [31] [32]

Примерно с 2010 года распространение современных высокоскоростных настольных компьютеров сделало возможным для большинства любителей вычислять триллионы цифр е за приемлемое время. В настоящее время он насчитывает 31 415 926 535 897 цифр. [40]

В компьютерной культуре [ править ]

В период становления интернет-культуры отдельные лица и организации иногда отдавали дань уважения числу e .

В одном из первых примеров компьютерный ученый Дональд Кнут позволил номерам версий своей программы Metafont приблизиться к e . Версии 2, 2.7, 2.71, 2.718 и так далее. [41]

В другом случае, при IPO для Google в 2004 году, вместо типичной круглой суммы денег компания объявила о своем намерении привлечь 2 718 281 828 долларов США , что составляет е миллиарда долларов, округленных до ближайшего доллара.

Google также отвечал за рекламный щит [42], который появился в самом сердце Кремниевой долины , а затем в Кембридже, штат Массачусетс ; Сиэтл, Вашингтон ; и Остин, штат Техас . Он гласил: «{первое 10-значное простое число в последовательных цифрах e } .com». Первое 10-значное простое число в e - это 7427466391, которое начинается с 99-й цифры. [43]Решение этой проблемы и посещение рекламируемого (ныне несуществующего) веб-сайта привело к еще более сложной проблеме, которая заключалась в нахождении пятого члена в последовательности 7182818284, 8182845904, 8747135266, 7427466391. Оказалось, что последовательность состоит из 10- цифры числа, состоящие из последовательных цифр e , сумма цифр которых составляет 49. Пятый член в последовательности - 5966290435, который начинается со 127-й цифры. [44] Решение этой второй проблемы привело, наконец, к веб-странице Google Labs, на которой посетителю было предложено отправить резюме. [45]

Примечания [ править ]

  1. ^ "Сборник математических символов" . Математическое хранилище . 2020-03-01 . Проверено 10 августа 2020 .
  2. ^ Swokowski, граф Уильям (1979). Исчисление с аналитической геометрией (иллюстрировано ред.). Тейлор и Фрэнсис. п. 370. ISBN 978-0-87150-268-1. Выписка со страницы 370
  3. ^ "е - число Эйлера" . www.mathsisfun.com . Проверено 10 августа 2020 .
  4. ^ Энциклопедический математический словарь 142.D
  5. ^ a b c Вайсштейн, Эрик В. "е" . mathworld.wolfram.com . Проверено 10 августа 2020 .
  6. ^ Марсден, Джерролд; Вайнштейн, Алан (1985). Исчисление I (2-е изд.). Springer. п. 319. ISBN 0-387-90974-5.
  7. ^ Сондоу, Джонатан. "е" . Wolfram Mathworld . Wolfram Research . Проверено 10 мая 2011 года .
  8. ^ Пиковер, Клиффорд А. (2009). Книга по математике: от Пифагора до 57-го измерения, 250 вех в истории математики (иллюстрированное изд.). Издательство Стерлинг. п. 166. ISBN. 978-1-4027-5796-9. Выдержка страницы 166
  9. ^ а б в О'Коннор, JJ; Робертсон, Э. Ф. «Число е » . MacTutor История математики.
  10. ^ Говард Уитли Eves (1969). Введение в историю математики . Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN 978-0-03-029558-4.
  11. ^ a b Якоб Бернулли рассмотрел интересующую проблему непрерывного сложения процентов, что привело к выражению ряда для e . См .: Якоб Бернулли (1690) «Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi в Ephem. Gall. A. 1685» (Некоторые вопросы об интересе, с решением проблемы об азартных играх, предложенные в Journal des Savants ( Ephemerides Eruditorum Gallicanæ ), год (anno) 1685. **), Acta eruditorum , стр. 219–23. На странице 222 Бернулли задает вопрос: "Alterius naturæ hoc Problema est: Quæritur, si creditor aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut singulis momentis pars пропорциональный usuræ annuæ sorti annumeretur; Quantum ipsi finito anno debeatur?" (Это проблема другого типа: вопрос в том, что если какой-то кредитор вложит [некоторую] сумму денег [под] проценты, пусть она накапливается, чтобы [в] каждый момент [он] должен был получать []] пропорциональная часть [его] годового процента; сколько ему будет причитаться [в] конце [] года?) Бернулли строит степенной ряд для вычисления ответа, а затем пишет: «… quæ nostra serie [математическое выражение для геометрическая серия] и т. д. major est.… si a = b , debebitur plu quam 2½ a & minus quam 3 a ."(… Который наш ряд [геометрический ряд] больше [чем].… Если a = b , [кредитор] будет должен более 2½ a и менее 3 a .) Если a = b , геометрический ряд сокращается до ряд для a × e , поэтому 2.5 < e <3. (** Это ссылка на проблему, которую поставил Якоб Бернулли и которая опубликована в Journal des Sçavans 1685 года внизу страницы 314. )
  12. ^ Карл Бойер; Ута Мерцбах (1991). История математики (2-е изд.). Вайли. п. 419 .
  13. ^ Lettre XV. Euler à Goldbach, датированный 25 ноября 1731 г. в: PH Fuss, ed., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle … (Математическое и физическое соответствие некоторых известных геометров XVIII века), vol. 1, (Санкт-Петербург, Россия: 1843), с. 56–60, см. Особенно с. 58. С п. 58: «… (e denotat hic numerum, cujus logarithmus hyperbolicus est = 1),…» (… (e обозначает то число, гиперболический [т.е. натуральный] логарифм которого равен 1)…)
  14. ^ Реммерт, Рейнхольд (1991). Теория комплексных функций . Springer-Verlag . п. 136. ISBN. 978-0-387-97195-7.
  15. Эйлер, « Медитация в экспериментах», «Взрывное мученичество», институт .
  16. ^ Леонард Эйлер, Mechanica, sive Motus scientia analytice exposita (Санкт-Петербург (Петрополи), Россия: Академия наук, 1736), т. 1, глава 2, следствие 11, п. 171, с. 68. Со страницы 68: Erit enim seu ubi e denotat numerum, cuius logarithmus hyperbolicus est 1. (Таким образом, это [т.е. c , скорость] будетили, где e обозначает число, гиперболический [т.е. натуральный] логарифм которого равен 1 .)
  17. ^ Гринстед, CM и Снелл, JL Введение в теорию вероятностей (опубликовано в Интернете на сайте GFDL ), стр. 85.
  18. Перейти ↑ Knuth (1997) The Art of Computer Programming Volume I, Addison-Wesley, p. 183 ISBN 0-201-03801-3 . 
  19. ^ Стивен Финч (2003). Математические константы . Издательство Кембриджского университета. п. 14 .
  20. ^ Клайн, М. (1998) Исчисление: интуитивный и физический подход , раздел 12.3 «Производные функции логарифмических функций». , стр. 337 и далее, Courier Dover Publications, 1998, ISBN 0-486-40453-6 
  21. ^ Это подход, принятый Клайном (1998).
  22. ^ Дорри, Генрих (1965). 100 великих задач элементарной математики . Дувр. С. 44–48.
  23. ^ Стандартное упражнение по исчислению с использованием теоремы о среднем значении ; см., например, Апостол (1967) Calculus , §6.17.41.
  24. ^ Дорри, Генрих (1965). 100 великих задач элементарной математики . Дувр. п. 359.
  25. ^ Эйлер, Л. "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus." Acta Acad. Научный. Петрополь. 2 , 29–51, 1783. Перепечатано в Euler, L. Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Algebraicae Commentationes . Лейпциг, Германия: Teubner, стр. 350–369, 1921 г. ( факсимиле )
  26. ^ Сандифер, Ed (февраль 2006). «Как это сделал Эйлер: кто доказал, что е иррационально?» (PDF) . MAA Online. Архивировано из оригинального (PDF) 23 февраля 2014 года . Проверено 18 июня 2010 .
  27. ^ Hofstadter, DR, "Флюидные концепции и творческие аналогии: компьютерные модели фундаментальных механизмов мысли" Основные книги (1995) ISBN 0-7139-9155-0 
  28. ^ (последовательность A003417 в OEIS )
  29. ^ Рассел, KG (1991) Оценка значения e с помощью моделирования The American Statistician, Vol. 45, No. 1. (февраль 1991 г.), стр. 66–68.
  30. ^ Динов, И.Д. (2007) Оценка e с использованием моделирования SOCR, Практическая деятельность SOCR (получено 26 декабря 2007 г.).
  31. ^ Себах, П. и Гурдон, X .; Константа e и ее вычисление
  32. ^ Гурдон, X .; Сообщил о больших вычислениях с PiFast
  33. ^ Роджер Котс (1714) «Логометрия», Философские труды Лондонского королевского общества , 29 (338): 5–45; особенно см. нижнюю часть страницы 10. Со страницы 10: «Porro eadem ratio est inter 2,718281828459 & c et 1,…» (Кроме того, тем же способом соотношение находится между 2,718281828459… и 1,…)
  34. ^ Леонард Эйлер, Introductio in Analysin Infinitorum (Лозанна, Швейцария: Marc Michel Bousquet & Co., 1748), том 1, стр. 90.
  35. ^ Уильям Шанкс, Вклад в математику , ... (Лондон, Англия: Г. Белл, 1853), стр. 89.
  36. ^ Уильям Шэнкс (1871) «О числовых значениях e , log e 2, log e 3, log e 5 и log e 10, а также о числовом значении M - модуля общей системы логарифмов, все до 205 десятичные дроби, Труды Лондонского Королевского Общества , 20  : 27–29.
  37. Дж. Маркус Бурман (октябрь 1884 г.) «Вычисление основания Напериана», Математический журнал , 1 (12): 204–205.
  38. ^ Дэниэл Шэнкс и Джон Ренч (1962). «Расчет числа Пи с точностью до 100 000 десятичных знаков» (PDF) . Математика вычислений . 16 (77): 76–99 (78). DOI : 10.2307 / 2003813 . JSTOR 2003813 . Мы вычислили е на 7090-100 265D с помощью очевидной программы  
  39. Возняк, Стив (июнь 1981 г.). «Невозможная мечта: вычисление e до 116 000 мест с помощью персонального компьютера» . БАЙТ . п. 392 . Проверено 18 октября 2013 года .
  40. ^ Александр Йи. "е" .
  41. ^ Кнут, Дональд (1990-10-03). «Будущее TeX и Metafont» (PDF) . TeX Mag . 5 (1): 145 . Проверено 17 февраля 2017 .
  42. ^ Первое 10-значное простое число в последовательных цифрах e } . Мозговые теги. Проверено 24 февраля 2012.
  43. ^ Kazmierczak, Marcus (2004-07-29). «Рекламный щит Google» . mkaz.com . Проверено 9 июня 2007 .
  44. ^ Первое 10-значное простое число в e . Изучите Портлендское сообщество. Проверено 9 декабря 2020.
  45. ^ Ши, Андреа. «Google увлекает соискателей работы математической головоломкой» . NPR . Проверено 9 июня 2007 .

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Маор, Эли; e : История числа , ISBN 0-691-05854-7 
  • Комментарий к сноске 10 книги Prime Obsession для другого стохастического представления
  • Маккартин, Брайан Дж. (2006). «е: Мастер всего» (PDF) . Математический интеллект . 28 (2): 10–21. DOI : 10.1007 / bf02987150 .

Внешние ссылки [ править ]

  • Число е до 1 миллиона мест и 2 и 5 миллионов мест
  • e Приближение  - Wolfram MathWorld
  • Самые ранние случаи использования символов для констант 13 января 2008 г.
  • "История е " Робина Уилсона из Грешем-колледжа , 28 февраля 2007 г. (доступно для загрузки аудио и видео)
  • e Поисковая система 2 миллиарда доступных для поиска цифр e , π и2