Часть цикла статей о |
математическая константа e |
---|
Характеристики |
Приложения |
Определение e |
Люди |
похожие темы |
Число e , также известное как число Эйлера , представляет собой математическую константу, приблизительно равную 2,71828, и ее можно характеризовать многими способами. Это основание из натурального логарифма . [1] [2] [3] Это предел из (1 + 1 / п ) п а п стремится к бесконечности, выражение , которое возникает при изучении сложных процентов . Его также можно вычислить как сумму бесконечного ряда [4] [5]
Это также уникальное положительное число a такое, что график функции y = a x имеет наклон 1 при x = 0 . [6]
(Естественная) экспоненциальная функция f ( x ) = e x - это единственная функция, которая равна своей производной с начальным значением f (0) = 1 (и, следовательно, можно определить e как f (1) ). Натуральный логарифм или логарифм по основанию e - это функция, обратная естественной экспоненциальной функции. Натуральный логарифм числа k > 1 может быть определен непосредственно как площадь под кривой y = 1 / x между x = 1 иx = k , и в этом случае e - это значение k, для которого эта область равна единице (см. изображение). Существуют различные другие характеристики .
e иногда называют числом Эйлера в честь швейцарского математика Леонарда Эйлера (не путать с γ , константой Эйлера – Маскерони , которую иногда называют просто константой Эйлера ) или константой Напьера . [5] Однако, как говорят , выбор Эйлера символа e был сохранен в его честь. [7] Константа была обнаружена швейцарским математиком Якобом Бернулли при изучении сложных процентов. [8] [9]
Число e имеет огромное значение в математике [10] наряду с 0, 1, π и i . Все пять из этих чисел играют важную и повторяющуюся роль в математике, и эти пять констант появляются в одной формулировке тождества Эйлера . Подобно постоянная П , е является иррациональным (то есть, она не может быть представлена в виде отношения целых чисел) и трансцендентальной (то есть, это не является корень из любых ненулевого многочлена с рациональными коэффициентами). [5] С точностью до 50 знаков после запятой значение e равно:
История [ править ]
Первые упоминания о константе были опубликованы в 1618 году в таблице приложения к работе Джона Напьера по логарифмам . [9] Однако он не содержал саму константу, а просто список логарифмов, вычисленных из константы. Предполагается, что таблица была написана Уильямом Отредом .
Открытие самой константы приписывают Якобу Бернулли в 1683 году [11] [12], который попытался найти значение следующего выражения (которое равно e ):
Первое известное использование константы, представленной буквой b , было в переписке Готфрида Лейбница с Христианом Гюйгенсом в 1690 и 1691 годах. Леонард Эйлер ввел букву e в качестве основы для натуральных логарифмов, написав в письме Кристиану Гольдбаху 25 января Ноябрь 1731 года. [13] [14] Эйлер начал использовать букву е для обозначения константы в 1727 или 1728 году в неопубликованной статье о взрывных силах в пушках, [15] в то время как первое появление e в публикации было в Euler's Mechanica (1736). [16]Хотя некоторые исследователи использовали букву c в последующие годы, буква e была более распространенной и со временем стала стандартной. [ необходима цитата ]
В математике принято набирать константу курсивом как « е »; ISO 80000-2 : 2009 Стандарт рекомендует наборные константы в вертикальном стиле, но это не было подтверждено научным сообществом. [ необходима цитата ]
Приложения [ править ]
Сложные проценты [ править ]
Якоб Бернулли открыл эту константу в 1683 году, изучая вопрос о сложных процентах: [9]
Счет начинается с $ 1,00 и выплачивается 100% годовых. Если проценты зачисляются один раз в конце года, стоимость счета на конец года будет составлять 2 доллара США. Что произойдет, если проценты начисляются и начисляются чаще в течение года?
Если проценты начисляются дважды в год, процентная ставка за каждые 6 месяцев будет составлять 50%, поэтому начальный 1 доллар умножается на 1,5 дважды, что дает 1,00 доллара × 1,5 2 = 2,25 доллара в конце года. Компаундирования квартальные дает $ 1,00 × 1,25 4 = $ 2,4414 ... и компаундирования ежемесячно дает $ 1,00 × (1 + 1/12) 12 = $ 2,613035 ... Если есть п компаундирования интервалов, интерес для каждого интервала будет 100% / л , и стоимость на конец года составит $ 1,00 × (1 + 1 / n ) n .
Бернулли заметил, что эта последовательность приближается к пределу ( интересующей силе ) с большим n и, следовательно, меньшими интервалами сложения. Еженедельное начисление ( n = 52 ) дает 2,692597 долларов США ..., а ежедневное начисление сложных процентов ( n = 365 ) дает 2,714567 долларов США ... (примерно на два цента больше). Предел увеличения n - это число, которое стало известно как e . То есть при непрерывном начислении процентов сумма на счете достигнет 2,7182818 $ ...
В более общем смысле, счет, который начинается с 1 доллара и предлагает годовую процентную ставку R , через t лет будет приносить e Rt долларов с непрерывным начислением сложных процентов .
(Обратите внимание, что R - десятичный эквивалент процентной ставки, выраженной в процентах , поэтому для 5% -ной ставки R = 5/100 = 0,05 .)
Испытания Бернулли [ править ]
Само число e также имеет приложения в теории вероятностей , но это явно не связано с экспоненциальным ростом. Предположим, что игрок играет в игровой автомат, который дает выплату с вероятностью один из n, и играет на нем n раз. Тогда для больших n вероятность того, что игрок проиграет каждую ставку, составляет примерно 1 / e . Для n = 20 это уже примерно 1 / 2,79.
Это пример судебного процесса Бернулли . Каждый раз, когда игрок играет в игровые автоматы, шанс на выигрыш составляет один из n . Игра n раз моделируется биномиальным распределением , которое тесно связано с биномиальной теоремой и треугольником Паскаля . Вероятность выигрыша k раз из n попыток равна:
В частности, вероятность нулевого выигрыша ( k = 0 ) равна
Предел приведенного выше выражения, когда n стремится к бесконечности, равен 1 / e .
Стандартное нормальное распределение [ править ]
Нормальное распределение с нулевым средним и единичным стандартным отклонением известно как стандартное нормальное распределение , заданное функцией плотности вероятности.
Ограничение единичной дисперсии (и, следовательно, также единичного стандартного отклонения) приводит к 1/2в экспоненте, а ограничение на единицу общей площади под кривой приводит к множителю . [доказательство] Эта функция симметрична относительно x = 0 , где она достигает своего максимального значения , и имеет точки перегиба при x = ± 1 .
Психологические расстройства [ править ]
Другое применение e , также частично обнаруженное Якобом Бернулли вместе с Пьером Ремоном де Монмортом , заключается в проблеме психических расстройств , также известной как проблема проверки шляпы : [17] n гостей приглашают на вечеринку, и у дверей Все гости проверяют свои шляпы у дворецкого, который, в свою очередь, складывает шляпы в n ящиков, на каждой из которых написано имя одного гостя. Но дворецкий не спросил, как называются гости, и поэтому складывает шляпы в коробки, выбранные наугад. Задача де Монморта состоит в том, чтобы определить вероятность того, что ни одна из шляп не попадет в нужную коробку. Эта вероятность, обозначаемая как:
Поскольку количество гостей n стремится к бесконечности, p n приближается к 1 / e . Кроме того, количество способов размещения шляп в ящиках так, чтобы ни одна из шляп не оказалась в правом ящике, равно n ! / E (округляется до ближайшего целого числа для каждого положительного n ). [18]
Проблемы оптимального планирования [ править ]
Палка длины L разбивается на n равных частей. Тогда значение n, которое максимизирует произведение длин, равно [19]
- или же
Заявленный результат следует из того, что максимальное значение достигается при ( проблема Штейнера , обсуждается ниже ). Количество - это мера информации, полученной из события, происходящего с вероятностью , поэтому, по сути, такое же оптимальное разделение появляется в задачах оптимального планирования, таких как проблема секретаря .
Асимптотика [ править ]
Число e естественно возникает в связи со многими проблемами, связанными с асимптотикой . Примером может служить формула Стирлинга для асимптотики в функции факториала , в которых оба числа е и л появляются:
Как следствие,
В исчислении [ править ]
Основная мотивация для введения числа e , особенно в исчислении , заключается в выполнении дифференциального и интегрального исчисления с экспоненциальными функциями и логарифмами . [20] Общая экспоненциальная функция y = a x имеет производную, задаваемую пределом :
Предел в скобках справа не зависит от переменной x . Его значение оказывается логарифмом от a до основания e . Таким образом, когда значение устанавливается на е , этот предел равен к 1 , и поэтому один приходит к следующему простое тождество:
Следовательно, экспоненциальная функция с основанием e особенно подходит для вычислений. Выбор e (в отличие от другого числа в качестве основания экспоненциальной функции) значительно упрощает вычисления с использованием производных.
Другая мотивация исходит из рассмотрения производной по основанию - логарифма (т.е. log a x ), [21] для x > 0 :
где сделана замена u = h / x . Основание - логарифм числа e равен 1, если a равно e . Так символически
Логарифм с этим специальным основанием называется натуральным логарифмом и обозначается как ln ; он хорошо ведет себя при дифференцировании, так как нет неопределенного предела для проведения расчетов.
Таким образом, есть два способа выбора таких специальных номеров: a . Один из способов - установить производную экспоненциальной функции a x равной a x и найти a . Другой способ заключается в установлении производной от основания к логарифму 1 / х и решить для . В каждом случае приходит к удобному выбору базы для проведения расчетов. Оказывается, эти два решения для a на самом деле одно и то же : число e .
Альтернативные характеристики [ править ]
Возможны и другие характеристики e : одна - как предел последовательности , другая - как сумма бесконечного ряда, а третьи полагаются на интегральное исчисление . До сих пор были введены следующие два (эквивалентных) свойства:
- Число e - это уникальное положительное действительное число такое, что .
- Число e - это уникальное положительное действительное число такое, что .
Можно доказать, что следующие четыре характеристики эквивалентны :
- Число е - это предел
По аналогии:
- Число е - это сумма бесконечного ряда
- где п ! является факториала из п . (По соглашению .)
- Число e - это уникальное положительное действительное число такое, что
- Если f ( t ) - экспоненциальная функция , то величина является константой, иногда называемой постоянной времени (она обратна константе экспоненциального роста или постоянной спада ). Постоянная времени является время, необходимое для экспоненциальной функции увеличения на коэффициент е : .
Свойства [ править ]
Исчисление [ править ]
Как и в мотивации, экспоненциальная функция e x важна отчасти потому, что это единственная нетривиальная функция, которая является собственной производной (с точностью до умножения на константу):
и, следовательно, его собственная первообразная :
Неравенства [ править ]
Число e - это уникальное действительное число такое, что
для всех положительных x . [22]
Также имеем неравенство
для всех действительных x с равенством тогда и только тогда, когда x = 0 . Кроме того, e - единственное основание экспоненты, для которой неравенство a x ≥ x + 1 выполняется для всех x . [23] Это предельный случай неравенства Бернулли .
Экспоненциальные функции [ править ]
Задача Штейнера просит найти глобальный максимум для функции
Этот максимум происходит именно при x = e .
Значение этого максимума составляет 1,4446 6786 1009 7661 3365 ... (с точностью до 20 знаков после запятой).
Для доказательства неравенство , оцененное сверху, дает упрощение . Итак, для всех положительных x . [24]
Точно так же x = 1 / e - это место, где происходит глобальный минимум для функции
определен для положительного x . В более общем плане для функции
глобальный максимум для положительного x происходит при x = 1 / e для любого n <0 ; а глобальный минимум происходит при x = e −1 / n для любого n > 0 .
Бесконечная тетрация
- или же
сходится тогда и только тогда, когда e - e ≤ x ≤ e 1 / e (или приблизительно между 0,0660 и 1,4447), в соответствии с теоремой Леонарда Эйлера . [25]
Теория чисел [ править ]
Реальное число е является иррациональным . Эйлер доказал это, показав, что его разложение в простую цепную дробь бесконечно. [26] (См. Также доказательство Фурье , что e иррационально .)
Кроме того, по теореме Линдемана-Вейерштрасса , е является трансцендентным , а это означает , что он не является решением любого непостоянного полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами. Это было первое число, трансцендентное которого было доказано, но не было специально построено для этой цели (сравните с числом Лиувилля ); доказательство было дано Чарльзом Эрмитом в 1873 году.
Предполагается, что e является нормальным , что означает, что, когда e выражается в любой базе, возможные цифры в этой базе равномерно распределены (встречаются с равной вероятностью в любой последовательности заданной длины).
Комплексные числа [ править ]
Экспоненциальная функция е х может быть записана в виде ряда Тейлора
Поскольку этот ряд сходится для каждого комплексного значения x , он обычно используется для расширения определения e x на комплексные числа. Это вместе с рядом Тейлора для sin и cos x позволяет вывести формулу Эйлера :
которое выполняется для любого комплексного x . Частным случаем с x = π является тождество Эйлера :
откуда следует, что в главной ветви логарифма
Кроме того, используя законы возведения в степень,
что является формулой де Муавра .
Выражение
иногда называют цис ( х ) .
Выражения sin x и cos x в терминах экспоненциальной функции могут быть выведены:
Дифференциальные уравнения [ править ]
Семейство функций
где C - любое действительное число, - решение дифференциального уравнения
Представления [ править ]
Число e можно представить различными способами: бесконечным рядом , бесконечным произведением , непрерывной дробью или пределом последовательности . Два из этих представлений, часто используемых во вводных курсах по исчислению , являются пределом
приведено выше, а серия
полученное путем оценки при х = 1 , указанной выше степенной ряд представление е х .
Реже встречается непрерывная дробь
- [27] [28]
который написан выглядит как
Эта непрерывная дробь для e сходится в три раза быстрее: [ цитата ]
Было доказано множество других представлений e в виде серий, последовательностей, цепных дробей и бесконечных произведений .
Стохастические представления [ править ]
Помимо точных аналитических выражений для представления e , существуют стохастические методы оценки e . Один из таких подходов начинается с бесконечной последовательности независимых случайных величин X 1 , X 2 ..., взятых из равномерного распределения на [0, 1]. Пусть V будет наименьшим числом n такое, что сумма первых n наблюдений превышает 1:
Тогда ожидаемое значение из V является е : Е ( В ) = е . [29] [30]
Известные цифры [ править ]
Количество известных цифр e существенно увеличилось за последние десятилетия. Это связано как с увеличением производительности компьютеров, так и с улучшениями алгоритмов. [31] [32]
Дата | Десятичные цифры | Вычисление выполнено |
---|---|---|
1690 | 1 | Джейкоб Бернулли [11] |
1714 г. | 13 | Роджер Котс [33] |
1748 | 23 | Леонард Эйлер [34] |
1853 г. | 137 | Уильям Шэнкс [35] |
1871 г. | 205 | Уильям Шанкс [36] |
1884 г. | 346 | Дж. Маркус Бурман [37] |
1949 г. | 2010 | Джон фон Нейман (на ENIAC ) |
1961 г. | 100 265 | Дэниел Шэнкс и Джон Ренч [38] |
1978 г. | 116 000 | Стив Возняк о Apple II [39] |
Примерно с 2010 года распространение современных высокоскоростных настольных компьютеров сделало возможным для большинства любителей вычислять триллионы цифр е за приемлемое время. В настоящее время он насчитывает 31 415 926 535 897 цифр. [40]
В компьютерной культуре [ править ]
В период становления интернет-культуры отдельные лица и организации иногда отдавали дань уважения числу e .
В одном из первых примеров компьютерный ученый Дональд Кнут позволил номерам версий своей программы Metafont приблизиться к e . Версии 2, 2.7, 2.71, 2.718 и так далее. [41]
В другом случае, при IPO для Google в 2004 году, вместо типичной круглой суммы денег компания объявила о своем намерении привлечь 2 718 281 828 долларов США , что составляет е миллиарда долларов, округленных до ближайшего доллара.
Google также отвечал за рекламный щит [42], который появился в самом сердце Кремниевой долины , а затем в Кембридже, штат Массачусетс ; Сиэтл, Вашингтон ; и Остин, штат Техас . Он гласил: «{первое 10-значное простое число в последовательных цифрах e } .com». Первое 10-значное простое число в e - это 7427466391, которое начинается с 99-й цифры. [43]Решение этой проблемы и посещение рекламируемого (ныне несуществующего) веб-сайта привело к еще более сложной проблеме, которая заключалась в нахождении пятого члена в последовательности 7182818284, 8182845904, 8747135266, 7427466391. Оказалось, что последовательность состоит из 10- цифры числа, состоящие из последовательных цифр e , сумма цифр которых составляет 49. Пятый член в последовательности - 5966290435, который начинается со 127-й цифры. [44] Решение этой второй проблемы привело, наконец, к веб-странице Google Labs, на которой посетителю было предложено отправить резюме. [45]
Примечания [ править ]
- ^ "Сборник математических символов" . Математическое хранилище . 2020-03-01 . Проверено 10 августа 2020 .
- ^ Swokowski, граф Уильям (1979). Исчисление с аналитической геометрией (иллюстрировано ред.). Тейлор и Фрэнсис. п. 370. ISBN 978-0-87150-268-1. Выписка со страницы 370
- ^ "е - число Эйлера" . www.mathsisfun.com . Проверено 10 августа 2020 .
- ^ Энциклопедический математический словарь 142.D
- ^ a b c Вайсштейн, Эрик В. "е" . mathworld.wolfram.com . Проверено 10 августа 2020 .
- ^ Марсден, Джерролд; Вайнштейн, Алан (1985). Исчисление I (2-е изд.). Springer. п. 319. ISBN 0-387-90974-5.
- ^ Сондоу, Джонатан. "е" . Wolfram Mathworld . Wolfram Research . Проверено 10 мая 2011 года .
- ^ Пиковер, Клиффорд А. (2009). Книга по математике: от Пифагора до 57-го измерения, 250 вех в истории математики (иллюстрированное изд.). Издательство Стерлинг. п. 166. ISBN. 978-1-4027-5796-9. Выдержка страницы 166
- ^ а б в О'Коннор, JJ; Робертсон, Э. Ф. «Число е » . MacTutor История математики.
- ^ Говард Уитли Eves (1969). Введение в историю математики . Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN 978-0-03-029558-4.
- ^ a b Якоб Бернулли рассмотрел интересующую проблему непрерывного сложения процентов, что привело к выражению ряда для e . См .: Якоб Бернулли (1690) «Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi в Ephem. Gall. A. 1685» (Некоторые вопросы об интересе, с решением проблемы об азартных играх, предложенные в Journal des Savants ( Ephemerides Eruditorum Gallicanæ ), год (anno) 1685. **), Acta eruditorum , стр. 219–23. На странице 222 Бернулли задает вопрос: "Alterius naturæ hoc Problema est: Quæritur, si creditor aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut singulis momentis pars пропорциональный usuræ annuæ sorti annumeretur; Quantum ipsi finito anno debeatur?" (Это проблема другого типа: вопрос в том, что если какой-то кредитор вложит [некоторую] сумму денег [под] проценты, пусть она накапливается, чтобы [в] каждый момент [он] должен был получать []] пропорциональная часть [его] годового процента; сколько ему будет причитаться [в] конце [] года?) Бернулли строит степенной ряд для вычисления ответа, а затем пишет: «… quæ nostra serie [математическое выражение для геометрическая серия] и т. д. major est.… si a = b , debebitur plu quam 2½ a & minus quam 3 a ."(… Который наш ряд [геометрический ряд] больше [чем].… Если a = b , [кредитор] будет должен более 2½ a и менее 3 a .) Если a = b , геометрический ряд сокращается до ряд для a × e , поэтому 2.5 < e <3. (** Это ссылка на проблему, которую поставил Якоб Бернулли и которая опубликована в Journal des Sçavans 1685 года внизу страницы 314. )
- ^ Карл Бойер; Ута Мерцбах (1991). История математики (2-е изд.). Вайли. п. 419 .
- ^ Lettre XV. Euler à Goldbach, датированный 25 ноября 1731 г. в: PH Fuss, ed., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle … (Математическое и физическое соответствие некоторых известных геометров XVIII века), vol. 1, (Санкт-Петербург, Россия: 1843), с. 56–60, см. Особенно с. 58. С п. 58: «… (e denotat hic numerum, cujus logarithmus hyperbolicus est = 1),…» (… (e обозначает то число, гиперболический [т.е. натуральный] логарифм которого равен 1)…)
- ^ Реммерт, Рейнхольд (1991). Теория комплексных функций . Springer-Verlag . п. 136. ISBN. 978-0-387-97195-7.
- ↑ Эйлер, « Медитация в экспериментах», «Взрывное мученичество», институт .
- ^ Леонард Эйлер, Mechanica, sive Motus scientia analytice exposita (Санкт-Петербург (Петрополи), Россия: Академия наук, 1736), т. 1, глава 2, следствие 11, п. 171, с. 68. Со страницы 68: Erit enim seu ubi e denotat numerum, cuius logarithmus hyperbolicus est 1. (Таким образом, это [т.е. c , скорость] будетили, где e обозначает число, гиперболический [т.е. натуральный] логарифм которого равен 1 .)
- ^ Гринстед, CM и Снелл, JL Введение в теорию вероятностей (опубликовано в Интернете на сайте GFDL ), стр. 85.
- Перейти ↑ Knuth (1997) The Art of Computer Programming Volume I, Addison-Wesley, p. 183 ISBN 0-201-03801-3 .
- ^ Стивен Финч (2003). Математические константы . Издательство Кембриджского университета. п. 14 .
- ^ Клайн, М. (1998) Исчисление: интуитивный и физический подход , раздел 12.3 «Производные функции логарифмических функций». , стр. 337 и далее, Courier Dover Publications, 1998, ISBN 0-486-40453-6
- ^ Это подход, принятый Клайном (1998).
- ^ Дорри, Генрих (1965). 100 великих задач элементарной математики . Дувр. С. 44–48.
- ^ Стандартное упражнение по исчислению с использованием теоремы о среднем значении ; см., например, Апостол (1967) Calculus , §6.17.41.
- ^ Дорри, Генрих (1965). 100 великих задач элементарной математики . Дувр. п. 359.
- ^ Эйлер, Л. "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus." Acta Acad. Научный. Петрополь. 2 , 29–51, 1783. Перепечатано в Euler, L. Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Algebraicae Commentationes . Лейпциг, Германия: Teubner, стр. 350–369, 1921 г. ( факсимиле )
- ^ Сандифер, Ed (февраль 2006). «Как это сделал Эйлер: кто доказал, что е иррационально?» (PDF) . MAA Online. Архивировано из оригинального (PDF) 23 февраля 2014 года . Проверено 18 июня 2010 .
- ^ Hofstadter, DR, "Флюидные концепции и творческие аналогии: компьютерные модели фундаментальных механизмов мысли" Основные книги (1995) ISBN 0-7139-9155-0
- ^ (последовательность A003417 в OEIS )
- ^ Рассел, KG (1991) Оценка значения e с помощью моделирования The American Statistician, Vol. 45, No. 1. (февраль 1991 г.), стр. 66–68.
- ^ Динов, И.Д. (2007) Оценка e с использованием моделирования SOCR, Практическая деятельность SOCR (получено 26 декабря 2007 г.).
- ^ Себах, П. и Гурдон, X .; Константа e и ее вычисление
- ^ Гурдон, X .; Сообщил о больших вычислениях с PiFast
- ^ Роджер Котс (1714) «Логометрия», Философские труды Лондонского королевского общества , 29 (338): 5–45; особенно см. нижнюю часть страницы 10. Со страницы 10: «Porro eadem ratio est inter 2,718281828459 & c et 1,…» (Кроме того, тем же способом соотношение находится между 2,718281828459… и 1,…)
- ^ Леонард Эйлер, Introductio in Analysin Infinitorum (Лозанна, Швейцария: Marc Michel Bousquet & Co., 1748), том 1, стр. 90.
- ^ Уильям Шанкс, Вклад в математику , ... (Лондон, Англия: Г. Белл, 1853), стр. 89.
- ^ Уильям Шэнкс (1871) «О числовых значениях e , log e 2, log e 3, log e 5 и log e 10, а также о числовом значении M - модуля общей системы логарифмов, все до 205 десятичные дроби, Труды Лондонского Королевского Общества , 20 : 27–29.
- ↑ Дж. Маркус Бурман (октябрь 1884 г.) «Вычисление основания Напериана», Математический журнал , 1 (12): 204–205.
- ^ Дэниэл Шэнкс и Джон Ренч (1962). «Расчет числа Пи с точностью до 100 000 десятичных знаков» (PDF) . Математика вычислений . 16 (77): 76–99 (78). DOI : 10.2307 / 2003813 . JSTOR 2003813 .
Мы вычислили е на 7090-100 265D с помощью очевидной программы
- ↑ Возняк, Стив (июнь 1981 г.). «Невозможная мечта: вычисление e до 116 000 мест с помощью персонального компьютера» . БАЙТ . п. 392 . Проверено 18 октября 2013 года .
- ^ Александр Йи. "е" .
- ^ Кнут, Дональд (1990-10-03). «Будущее TeX и Metafont» (PDF) . TeX Mag . 5 (1): 145 . Проверено 17 февраля 2017 .
- ^ Первое 10-значное простое число в последовательных цифрах e } . Мозговые теги. Проверено 24 февраля 2012.
- ^ Kazmierczak, Marcus (2004-07-29). «Рекламный щит Google» . mkaz.com . Проверено 9 июня 2007 .
- ^ Первое 10-значное простое число в e . Изучите Портлендское сообщество. Проверено 9 декабря 2020.
- ^ Ши, Андреа. «Google увлекает соискателей работы математической головоломкой» . NPR . Проверено 9 июня 2007 .
Дальнейшее чтение [ править ]
- Маор, Эли; e : История числа , ISBN 0-691-05854-7
- Комментарий к сноске 10 книги Prime Obsession для другого стохастического представления
- Маккартин, Брайан Дж. (2006). «е: Мастер всего» (PDF) . Математический интеллект . 28 (2): 10–21. DOI : 10.1007 / bf02987150 .
Внешние ссылки [ править ]
Викискладе есть медиафайлы, связанные с E (математической константой) . |
В Викицитаторе есть цитаты, связанные с: E (математическая константа) |
- Число е до 1 миллиона мест и 2 и 5 миллионов мест
- e Приближение - Wolfram MathWorld
- Самые ранние случаи использования символов для констант 13 января 2008 г.
- "История е " Робина Уилсона из Грешем-колледжа , 28 февраля 2007 г. (доступно для загрузки аудио и видео)
- e Поисковая система 2 миллиарда доступных для поиска цифр e , π и √ 2