Радиус Земли

Радиус Земли
Поперечное сечение недр Земли
Общая информация
Система единиц	астрономия , геофизика
Единица	расстояние
Символ	R ⊕  или ,${\ displaystyle R_ {E}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\mathrm {eE} }^{\mathrm {N} }}$
Конверсии
1 R ⊕ дюйм ...	... равно ...
Базовая единица СИ	6,3781 × 10 6  м [1]
Метрическая система	От 6,357 до 6,378 км
Английские единицы	От 3,950 до 3,963 миль

Геодезия
Основы Геодезия Геодинамика Геоматика История
Концепции Географическое расстояние Геоид Фигура Земли ( радиус Земли и окружность Земли ) Геодезические данные Геодезический Географическая система координат Горизонтальное представление положения Широта  / Долгота Проекция карты Справочный эллипсоид Спутниковая геодезия Система пространственной привязки Пространственные отношения
Технологии Global Nav. Сидел. Системы (GNSS) Global Pos. Система (GPS) ГЛОНАСС (Россия) BeiDou (BDS) (Китай) Галилео (Европа) NAVIC (Индия) Квази-Зенит Сб. Sys. (QZSS) (Япония) Дискретная глобальная сетка и геокодирование
Стандарты (история) НГВД 29 Датум уровня моря 1929 г. OSGB36 Картографическая служба Великобритании, 1936 г. СК-42 Система Координат 1942 года ED50 Европейский датум 1950 г. SAD69 Южноамериканский датум 1969 г. GRS 80 Геодезическая справочная система 1980 г. ISO 6709 Координаты географической точки. 1983 г. NAD 83 Североамериканский датум 1983 г. WGS 84 Мировая геодезическая система 1984 НАВД 88 Северная Америка, вертикальная система отсчета 1988 г. ETRS89 Европейское наземное оборудование Ref. Sys. 1989 г. GCJ-02 Китайский запутанный датум 2002 Geo URI Интернет-ссылка на точку 2010 Международная наземная система отсчета Идентификатор системы пространственной привязки (SRID) Универсальная поперечная проекция Меркатора (UTM)
v т е

Радиус Земли - это расстояние от центра Земли до точки на ее поверхности. Его значение колеблется от почти максимального 6378 км (3963 миль) на экваторе до почти минимального 6357 км (3950 миль) на любом полюсе . Номинальный радиус Земли иногда используются в качестве единицы измерения в астрономии и геофизике , обозначаемой в астрономии символа R _⊕ . В других контекстах это обозначается или иногда${\displaystyle R_{E}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\mathrm {eE} }^{\mathrm {N} }}$. Раннее определение метра, такое, что расстояние от экватора до полюса по окружности составляет 10 000 км, дает радиус примерно 6367 км, что близко к полпути между минимумом и максимумом. Однако лучшим «средним» обычно считается 6 371 км с вариацией 0,3% (+/- 10 км) по следующим причинам.

Земля - ​​не идеальная сфера, а приблизительно сплюснутый сфероид (эллипс, вращающийся вокруг своей малой оси) с большим радиусом на экваторе, чем на полюсах. Когда указан только один радиус, Международный астрономический союз (МАС) предпочитает, чтобы это был экваториальный радиус. ^[1] Международный союз геодезии и геофизики (МСГГ) рекомендует три значения: среднее арифметическое (R ₁ ) радиусов , измеренной в двух точках экватора и полюса; аутичный радиус, который представляет собой радиус сферы с такой же площадью поверхности (R ₂ ); и объемный радиус, который представляет собой радиус сферы, имеющей тот же объем, что и эллипсоид (R ₃). ^[2] Все три значения составляют около 6 371 км (3 959 миль).

Есть много других способов определить и измерить радиус Земли. Некоторые представлены ниже. Некоторые определения дают значения за пределами диапазона между полярным радиусом и экваториальным радиусом, потому что они включают локальную или геоидальную топологию или потому, что они зависят от абстрактных геометрических соображений.

Введение [ править ]

Вращение Земли , изменения внутренней плотности и внешние приливные силы заставляют ее форму систематически отклоняться от идеальной сферы. ^[a] Местная топография увеличивает дисперсию, в результате чего поверхность становится очень сложной. Наши описания земной поверхности должны быть проще, чем реальность, чтобы их можно было подобрать. Следовательно, мы создаем модели, приближающие характеристики поверхности Земли, обычно полагаясь на простейшую модель, которая соответствует потребностям.

Каждая из широко используемых моделей включает в себя некоторое понятие геометрического радиуса . Строго говоря, сферы - единственные твердые тела, у которых есть радиус, но более широкое употребление термина радиус распространено во многих областях, включая те, которые имеют дело с моделями Земли. Ниже приводится частичный список моделей земной поверхности в порядке от точного к более приблизительному:

• Реальная поверхность Земли
• Геоид , определяется средним уровнем моря в каждой точке на реальную поверхности ^[Ь]
• Сфероид , называемый также эллипсоидом вращения, геоцентрическая модель всей Земли, или еще геодезический для региональной работы ^[с]
• сфера

В случае геоида и эллипсоидов фиксированное расстояние от любой точки модели до указанного центра называется «радиусом Земли» или «радиусом Земли в этой точке» . ^[d] Также принято называть любой средний радиус сферической модели «радиусом Земли» . С другой стороны, при рассмотрении реальной поверхности Земли упоминание «радиуса» редко, поскольку в этом, как правило, нет практической необходимости. Скорее, полезно иметь высоту над или под уровнем моря.

Независимо от модели, любой радиус находится между полярным минимумом около 6357 км и экваториальным максимумом около 6378 км (от 3950 до 3963 миль). Следовательно, Земля отклоняется от идеальной сферы всего на треть процента, что поддерживает сферическую модель в большинстве контекстов и оправдывает термин «радиус Земли». Хотя конкретные значения различаются, концепции в этой статье распространяются на любую крупную планету .

Физика деформации Земли [ править ]

Вращение планеты приводит к тому, что она приближается к сплющенному эллипсоиду / сфероиду с выпуклостью на экваторе и уплощением на Северном и Южном полюсах , так что экваториальный радиус a больше полярного радиуса b примерно на aq . Константа сжатия q определяется выражением

${\displaystyle q={\frac {a^{3}\omega ^{2}}{GM}}\,,}$

где ω - угловая частота , G - гравитационная постоянная , M - масса планеты. ^[e] Для Земли1/q≈ 289 , что близко к измеренному обратному уплощению 1/ж≈ 298,257 . Вдобавок выпуклость на экваторе медленно меняется. Выпуклость уменьшалась, но с 1998 года выпуклость увеличилась, возможно, из-за перераспределения массы океана через течения. ^[4]

Изменение плотности и толщины земной коры вызывает изменение силы тяжести по поверхности и во времени, так что средний уровень моря отличается от эллипсоида. Эта разница представляет собой высоту геоида , положительную выше или вне эллипсоида, отрицательную ниже или внутри. Изменение высоты геоида составляет менее 110 м (360 футов) на Земле. Высота геоида может резко измениться из-за землетрясений (например, Суматра-Андаманское землетрясение ) или уменьшения ледяных масс (например, в Гренландии ). ^[5]

Не все деформации происходят внутри Земли. Гравитационное притяжение Луны или Солнца может привести к тому, что поверхность Земли в данной точке изменится на десятые доли метра в течение почти 12-часового периода (см. Земной прилив ).

Радиус и местные условия [ править ]

Учитывая местные и переходные влияния на высоту поверхности, значение, определенное ниже, основаны на модели «общее назначение», уточнены в глобальном масштабе точно, насколько это возможно в пределах 5 м (16 футов) от опорного эллипсоида высоты, и в пределах 100 м (330 футов) среднего уровня моря (без учета высоты геоида).

Кроме того, радиус можно оценить по кривизне Земли в точке. Как и у тора , кривизна в точке будет наибольшей (самой плотной) в одном направлении (север-юг на Земле) и самой маленькой (самой плоской) перпендикулярно (восток-запад). Соответствующий радиус кривизны зависит от местоположения и направления измерения от этой точки. Как следствие, расстояние до истинного горизонта на экваторе немного короче в направлении север-юг, чем в направлении восток-запад.

Таким образом, местные вариации ландшафта не позволяют определить единственный «точный» радиус. Можно только принять идеализированную модель. Со времени оценки Эратосфена было создано множество моделей. Исторически эти модели основывались на региональной топографии, давая наилучший опорный эллипсоид для исследуемой территории. По мере того как спутниковое дистанционное зондирование и особенно Глобальная система определения местоположения приобрели важность, были разработаны настоящие глобальные модели, которые, хотя и не столь точны для региональных исследований, но лучше всего соответствуют Земле в целом.

Фиксированный радиус [ править ]

Следующие радиусы получены из стандартного эллипсоида Всемирной геодезической системы 1984 ( WGS-84 ). ^[6] Стандартный эллипсоид представляет собой идеализированную поверхность, и измерения Земли, используемые для ее расчета, имеют погрешность ± 2 м. ^[7] как в экваториальном, так и в полярном измерениях. Дополнительные расхождения, вызванные орографическими вариациями в определенных местах, могут быть значительными. При определении положения наблюдаемого местоположения использование более точных значений радиусов WGS-84 может не дать соответствующего улучшения точности .

Значение экваториального радиуса определено с точностью до 0,1 м в WGS-84. Значение полярного радиуса в этом разделе было округлено до ближайших 0,1 м, что, как ожидается, будет подходящим для большинства применений. Обратитесь к эллипсоиду WGS-84, если требуется более точное значение его полярного радиуса.

Символ названного радиуса используется в формулах в этой статье.

Экваториальный радиус [ править ]

Экваториальный радиус Земли a , или большая полуось , - это расстояние от ее центра до экватора, равное 6 378,1370 км (3 963,1906 миль). ^[8] Экваториальный радиус часто используется для сравнения Земли с другими планетами .

Полярный радиус [ править ]

Полярный радиус Земли b , или малая полуось , - это расстояние от ее центра до Северного и Южного полюсов, равное 6 356,7523 км (3 949 9028 миль).

Радиусы в зависимости от местоположения[ редактировать ]

Геоцентрический радиус [ править ]

Расстояние от центра Земли до точки на поверхности сфероида на геодезической широте φ составляет:

${\displaystyle R(\varphi )={\sqrt {\frac {(a^{2}\cos \varphi )^{2}+(b^{2}\sin \varphi )^{2}}{(a\cos \varphi )^{2}+(b\sin \varphi )^{2}}}}}$

где a и b - соответственно экваториальный радиус и полярный радиус.

Геофизические крайности [ править ]

• Максимум: Вершина Чимборасо находится в 6384,4 км (3967,1 миль) от центра Земли.
• Минимум: Дно Северного Ледовитого океана составляет около 6,352.8 км (3,947.4 мили) от центра Земли. ^[9]

Радиусы кривизны[ редактировать ]

Основные разделы [ править ]

Различают два основных радиуса кривизны : по меридиональному и прямовертикальному нормальным участкам . Кривизны являются корнями уравнения (125) в: ^[10]

${\displaystyle (EG-F^{2})\,\kappa ^{2}-(eG+gE-2fF)\,\kappa +(eg-f^{2})=0=\det(A-\kappa \,B),}$

где в первой фундаментальной форме для поверхности (уравнение (112) в ^[10] ):

${\displaystyle ds^{2}=\sum _{ij}a_{ij}dw^{i}dw^{j}=E\,d\varphi ^{2}+2F\,d\varphi \,d\lambda +G\,d\lambda ^{2},}$

E, F и G - элементы метрического тензора :

${\displaystyle A=a_{ij}=\sum _{\nu }{\frac {\partial r^{\nu }}{\partial w^{i}}}{\frac {\partial r^{\nu }}{\partial w^{j}}}=\left[{\begin{array}{ll}E&F\\F&G\end{array}}\right],}$

${\displaystyle r=[r^{1},r^{2},r^{3}]^{T}=[x,y,z]^{T}}$, ,${\displaystyle w^{1}=\varphi }$${\displaystyle w^{2}=\lambda ,}$

во второй фундаментальной форме для поверхности (уравнение (123) в ^[10] ):

${\displaystyle 2D=\sum _{ij}b_{ij}dw^{i}dw^{j}=e\,d\varphi ^{2}+2f\,d\varphi \,d\lambda +g\,d\lambda ^{2},}$

e, f и g - элементы тензора формы:

${\displaystyle B=b_{ij}=\sum _{\nu }n^{\nu }{\frac {\partial ^{2}r^{\nu }}{\partial w^{i}\partial w^{j}}}=\left[{\begin{array}{ll}e&f\\f&g\end{array}}\right],}$

${\displaystyle n={\frac {N}{|N|}}}$- единица нормали к поверхности в точке , и поскольку и являются касательными к поверхности,${\displaystyle r}$${\displaystyle {\frac {\partial r}{\partial \varphi }}}$${\displaystyle {\frac {\partial r}{\partial \lambda }}}$

${\displaystyle N={\frac {\partial r}{\partial \varphi }}\times {\frac {\partial r}{\partial \lambda }}}$

перпендикулярно поверхности в точке .${\displaystyle r}$

Для сжатого сфероида кривизны равны${\displaystyle F=f=0}$

${\displaystyle \kappa _{1}={\frac {g}{G}}}$ и ${\displaystyle \kappa _{2}={\frac {e}{E}}\,,}$

а радиусы кривизны равны

${\displaystyle R_{1}={\frac {1}{\kappa _{1}}}}$ и ${\displaystyle R_{2}={\frac {1}{\kappa _{2}}}.}$

Геометрически вторая фундаментальная форма дает расстояние от до касательной к плоскости в .${\displaystyle r+dr}$${\displaystyle r}$

Меридиональный [ править ]

В частности, радиус кривизны Земли в меридиане (север-юг) на φ равен:

${\displaystyle M(\varphi )=R_{1}={\frac {(ab)^{2}}{{\big (}(a\cos \varphi )^{2}+(b\sin \varphi )^{2}{\big )}^{\frac {3}{2}}}}={\frac {a(1-e^{2})}{(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi )^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1-e^{2}}{a^{2}}}N(\varphi )^{3}\,.}$

где - эксцентриситет земли. Это радиус, который измерил Эратосфен .${\displaystyle e}$

Prime vertical [ править ]

Если одна точка появилась точно к востоку от другой, можно найти приблизительную кривизну в направлении восток-запад. ^[f]

Этот радиус кривизны в первичной вертикали, перпендикулярной (перпендикулярной или перпендикулярной ) M на геодезической широте φ, составляет: ^[g]

${\displaystyle N(\varphi )=R_{2}={\frac {a^{2}}{\sqrt {(a\cos \varphi )^{2}+(b\sin \varphi )^{2}}}}={\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}}\,.}$

Этот радиус также называют поперечным радиусом кривизны . На экваторе N = R . Б. Р. Боуринг ^[11] дает геометрическое доказательство того, что это перпендикулярное расстояние от поверхности до полярной оси.

Конкретные ценности [ править ]

Меридиональный радиус кривизны Земли на экваторе равен полу-латусной прямой кишке меридиана :

б ²/а =  6335,439 км

Полярный радиус кривизны Земли равен:

а ²/б =  6,399,594 км

Направленный [ править ]

Радиус кривизны Земли вдоль курса по азимуту (измеренному по часовой стрелке с севера) α на φ выводится из формулы кривизны Эйлера следующим образом: ^{[12] : 97}

${\displaystyle R_{\mathrm {c} }={\frac {1}{{\dfrac {\cos ^{2}\alpha }{M}}+{\dfrac {\sin ^{2}\alpha }{N}}}}\,.}$

Комбинации [ править ]

Можно комбинировать главные радиусы кривизны, указанные выше, ненаправленным образом.

Кривизна по Гауссу равна .${\displaystyle K=\kappa _{1}\,\kappa _{2}={\frac {\det \,B}{\det \,A}}}$Гауссов радиус кривизны Земли на широте φ равен: ^[12]

${\displaystyle R_{\mathrm {a} }(\varphi )={\frac {1}{\sqrt {K}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }R_{\mathrm {c} }(\alpha )\,d\alpha \,={\sqrt {MN}}={\frac {a^{2}b}{(a\cos \varphi )^{2}+(b\sin \varphi )^{2}}}={\frac {a{\sqrt {1-e^{2}}}}{1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}\,.}$

Средний радиус кривизны Земли на широте φ составляет: ^{[12] : 97}

${\displaystyle R_{\mathrm {m} }={\frac {2}{{\dfrac {1}{M}}+{\dfrac {1}{N}}}}\,\!}$

Глобальные средние радиусы[ редактировать ]

Землю можно смоделировать как сферу во многих отношениях. В этом разделе описаны общие способы. Для различных радиусов, полученных здесь, используются обозначения и размеры, указанные выше для Земли, полученные из эллипсоида WGS-84 ; ^[6] а именно,

a = Экваториальный радиус (6 +378 +0,1370 км )

b = Полярный радиус (6 356 .7523 км )

Сфера является грубым приближением сфероида, который, в свою очередь, является приближением геоида, единицы измерения здесь указаны в километрах, а не в миллиметрах, подходящих для геодезии.

Средний радиус [ править ]

В геофизике Международный союз геодезии и геофизики (IUGG) определяет средний радиус (обозначенный R ₁ ) как ^[2]

${\displaystyle R_{1}={\frac {2a+b}{3}}\,\!}$

Для Земли средний радиус составляет 6 371,0088 км (3958,7613 миль). ^[13]

В астрономии Международный астрономический союз обозначает номинальный экваториальный радиус Земли как 6 378,1 км (3 963,2 мили). ^{[1] : 3} номинальный полярный радиус Земли определяется как = 6,356.8 км (3,949.9 мили). Эти значения соответствуют радиусам нулевого прилива. Экваториальный радиус обычно используется в качестве номинального значения, если полярный радиус явно не требуется. ^{[1] : 4}${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\mathrm {eE} }^{\mathrm {N} }}$${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\mathrm {pE} }^{\mathrm {N} }}$

Ауталический радиус [ править ]

Ауталический («равный по площади») радиус Земли - это радиус гипотетической идеальной сферы, имеющей такую ​​же площадь поверхности, как и опорный эллипсоид . МГГС обозначает authalic радиус , как R ₂ . ^[2]

Для сфероида существует решение в замкнутой форме: ^[14]

${\displaystyle R_{2}={\sqrt {\frac {a^{2}+{\frac {b^{2}}{e}}\ln {\left({\frac {1+e}{b/a}}\right)}}{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}{\frac {\tanh ^{-1}e}{e}}}}={\sqrt {\frac {A}{4\pi }}}\,,}$

где e ² =а ² - б ²/а ²и представляет собой площадь поверхности сфероида.

Для Земли автоматический радиус составляет 6 371,0072 км (3 958,7603 миль). ^[13]

Объемный радиус [ править ]

Другая сферическая модель определяется объемным радиусом, который представляет собой радиус сферы объема, равного эллипсоиду. МГГС обозначает объемный радиус , как R ₃ . ^[2]

${\displaystyle R_{3}={\sqrt[{3}]{a^{2}b}}\,.}$

Для Земли объемный радиус равен 6,371,0008 км (3,958,7564 мили). ^[13]

Радиус выпрямления [ править ]

Другой средний радиус - это радиус выпрямления , который дает сферу с окружностью, равной периметру эллипса, описываемому любым полярным поперечным сечением эллипсоида. Для этого требуется эллиптический интеграл с учетом полярного и экваториального радиусов:

${\displaystyle M_{\mathrm {r} }={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {{a^{2}}\cos ^{2}\varphi +{b^{2}}\sin ^{2}\varphi }}\,d\varphi \,.}$

Радиус выпрямления эквивалентен среднему меридиональному значению, которое определяется как среднее значение M : ^[14]

${\displaystyle M_{\mathrm {r} }={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\!M(\varphi )\,d\varphi \,.}$

Для пределов интегрирования [0,π/2], интегралы для радиуса выпрямления и среднего радиуса дают один и тот же результат, который для Земли составляет 6 367,4491 км (3 956,5494 миль).

Среднее меридиональное значение хорошо аппроксимируется полукубическим средним двух осей, ^{[ цитата необходима ]}

${\displaystyle M_{\mathrm {r} }\approx \left({\frac {a^{\frac {3}{2}}+b^{\frac {3}{2}}}{2}}\right)^{\frac {2}{3}}\,,}$

который отличается от точного результата менее чем на 1 мкм (4 × 10 ^{-5 дюймов}  ); среднее значение двух осей,

${\displaystyle M_{\mathrm {r} }\approx {\frac {a+b}{2}}\,,}$

около 6367,445 км (3956,547 миль), также можно использовать.

Средняя кривизна [ править ]

Средняя кривизна во всех направлениях во всех точках поверхности определяется средневзвешенной гауссовой кривизной:

${\displaystyle R_{4}={\frac {1}{2}}\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}\!\cos \varphi \,R_{\mathrm {a} }(\varphi )\,d\varphi ={\frac {a}{2}}\,{\sqrt {{\frac {1}{e^{2}}}-1}}\,\ln {\frac {1+e}{1-e}}.}$

Для эллипсоида WGS 84 средняя кривизна равна 6370,994 км (3958,752 миль). ^{[ необходима цитата ]}

Среднее расстояние от центра до поверхности [ править ]

Большинство глобальных средних радиусов основаны на референц - эллипсоида , который аппроксимирует геоид. Однако геоид не имеет прямого отношения к топографии поверхности. Альтернативный расчет повсюду усредняет высоту, что дает средний радиусНа 230 м больше среднего радиуса IUGG , автономного радиуса или объемного радиуса . Это среднее составляет 6371,230 км (3958,899 миль) с погрешностью 10 м (33 фута). ^[15]

Оскулирующая сфера [ править ]

Лучшим локальным сферическим приближением эллипсоида в окрестности данной точки является соприкасающаяся сфера. Его радиус равен гауссову радиусу кривизны, как указано выше, а его радиальное направление совпадает с нормальным направлением эллипсоида . Центр соприкасающейся сферы смещен от центра эллипсоида, но находится в центре кривизны данной точки на поверхности эллипсоида. Эта концепция помогает интерпретировать измерения рефракции земных и планетных радиозатменных сигналов, а также в некоторых приложениях навигации и наблюдения. ^{[16] [17]}

Опубликованные значения [ править ]

В этой таблице приведены принятые значения радиуса Земли.

История [ править ]

Первое опубликованное упоминание о размерах Земли появилось около 350 г. до н.э., когда Аристотель сообщил в своей книге « На небесах» ^[19], что математики предположили, что окружность Земли составляет 400 000 стадий . Ученые интерпретировали число Аристотеля как от очень точного ^[20] до почти удвоенного истинного значения. ^[21] Первое известное научное измерение и расчет окружности Земли было выполнено Эратосфеном примерно в 240 г. до н.э. Оценки точности измерения Эратосфена колеблются от 0,5% до 17%. ^[22] И для Аристотеля, и для Эратосфена неопределенность в точности их оценок связана с современной неопределенностью относительно того, какую длину стадиона они имели в виду.

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Меррифилд, Майкл Р. (2010). « Радиус Земли (и экзопланеты)» R ⊕ {\displaystyle R_{\oplus }} . Шестьдесят символов . Brady Харан для Ноттингемского университета .