Эллипсоид

Примеры эллипсоидов с уравнением ${\ textstyle {x ^ {2} \ над a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} + {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 1: }$

• Сфера , a = b = c = 4 ; верх
• Сфероид , a = b = 5 , c = 3 ; внизу слева ,
• Трехосный эллипсоид, a = 4,5 , b = 6 ; c = 3 , внизу справа

Эллипсоида является поверхностью , которая может быть получена из сферы путем деформации его при помощи направленных скейлингов , или в более общем случае , из аффинного преобразования .

Эллипсоид - это квадратичная поверхность ; то есть поверхность , которая может быть определена как нулевое множество о наличии полинома степени два в трех переменная. Среди квадратичных поверхностей эллипсоид характеризуется одним из двух следующих свойств. Каждое плоское поперечное сечение либо эллипс , либо пусто, либо сводится к одной точке (это объясняет название, означающее «подобный эллипсу»). Он ограничен , а значит, может быть заключен в достаточно большую сферу.

Эллипсоид имеет три попарно перпендикулярные оси симметрии, которые пересекаются в центре симметрии , называемом центром эллипсоида. Эти отрезки , которые разделяются на оси симметрии по эллипсоида называются главными осями , или просто осей эллипсоида. Если три оси имеют разную длину, эллипсоид называется трехосным или редко разносторонним , и оси определены однозначно.

Если две оси имеют одинаковую длину, то эллипсоид представляет собой эллипсоид вращения , также называемый сфероидом . В этом случае эллипсоид инвариантен относительно вращения вокруг третьей оси, и поэтому существует бесконечное множество способов выбора двух перпендикулярных осей одинаковой длины. Если третья ось короче, эллипсоид представляет собой сплюснутый сфероид ; если длиннее, то это вытянутый сфероид . Если три оси имеют одинаковую длину, эллипсоид представляет собой сферу.

Стандартное уравнение [ править ]

Используя декартову систему координат, в которой начало координат является центром эллипсоида, а оси координат являются осями эллипсоида, неявное уравнение эллипсоида имеет стандартную форму

${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} + {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 1, }$

где a , b , c - положительные действительные числа .

Точки ( a , 0, 0) , (0, b , 0) и (0, 0, c ) лежат на поверхности. Отрезки от начала координат до этих точек называются главными полуосями эллипсоида, потому что a , b , c составляют половину длины главных осей. Они соответствуют большой полуоси и малой полуоси в качестве эллипса .

Если у кого-то есть сплюснутый сфероид ; если есть вытянутый сфероид ; если есть сфера .${\ displaystyle a = b> c,}$${\ Displaystyle а = Ь <с,}$${\ Displaystyle а = Ь = с,}$

Параметризация [ править ]

Эллипсоид можно параметризовать несколькими способами, которые проще выразить, если оси эллипсоида совпадают с осями координат. Обычный выбор

${\ Displaystyle {\ begin {выровнен} Икс & = а \ грех (\ тета) \ соз (\ varphi), \\ у & = Ь \ грех (\ тета) \ грех (\ varphi), \\ z & = с \ соз (\ тета), \ конец {выровнено}} \, \!}$

куда

${\ displaystyle 0 \ leq \ theta \ leq \ pi, \ qquad 0 \ leq \ varphi <2 \ pi.}$

Эти параметры можно интерпретировать как сферические координаты , где - полярный угол, а - азимутальный угол точки ( x , y , z ) эллипсоида. ^[1]${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ varphi}$

Измерение от центра, а не от полюса,

${\ Displaystyle {\ begin {выровнен} x & = a \ cos (\ theta) \ cos (\ lambda), \\ y & = b \ cos (\ theta) \ sin (\ lambda), \\ z & = c \ sin (\ тета), \ конец {выровнено}} \, \!}$

куда

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}},\qquad 0\leq \lambda <2\pi ,}$

${\displaystyle \theta }$- это уменьшенная широта , параметрическая широта или эксцентрическая аномалия, а также азимут или долгота.${\displaystyle \lambda }$

Измерение углов непосредственно к поверхности эллипсоида, а не к описанной сфере,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=R{\begin{bmatrix}\cos(\gamma )\cos(\lambda )\\\cos(\gamma )\sin(\lambda )\\\sin(\gamma )\end{bmatrix}}\,\!}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}R={}&{\frac {abc}{\sqrt {c^{2}(b^{2}\cos ^{2}\lambda +a^{2}\sin ^{2}\lambda )\cos ^{2}\gamma +a^{2}b^{2}\sin ^{2}\gamma }}},\\[3pt]&-{\frac {\pi }{2}}\leq \gamma \leq {\frac {\pi }{2}},\qquad 0\leq \lambda <2\pi .\end{aligned}}}$

${\displaystyle \gamma }$будет геоцентрической широтой на Земле и азимутом или долготой. Это истинные сферические координаты с началом в центре эллипсоида. ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle \lambda }$

Для геодезии чаще всего используется геодезическая широта , угол между вертикалью и экваториальной плоскостью. Геодезическая широта не определяется для обычного эллипсоида, потому что она зависит от долготы.

Объем и площадь [ править ]

Объем [ править ]

Объем , ограниченный эллипсоида

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi abc.}$

Альтернативно выраженный, где A, B и C - длины главных осей ( A = 2a , B = 2b и C = 2c ):

${\displaystyle V={\frac {\pi }{6}}ABC}$.

Обратите внимание, что это уравнение сводится к уравнению объема сферы, когда все три эллиптических радиуса равны, и к уравнению сплющенного или вытянутого сфероида, когда два из них равны.

Объем эллипсоида является объемом в ограниченном эллиптическом цилиндре , а объем вписанной коробки.${\textstyle {\frac {2}{3}}}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{6}}}$

В объемах этих вписанные и разграниченные коробки соответственно:

${\displaystyle V_{\text{inscribed}}={\frac {8}{3{\sqrt {3}}}}abc,\qquad V_{\text{circumscribed}}=8abc.}$

Площадь [ править ]

Площадь поверхности обычного (трехосного) эллипсоида равна ^{[2] [3]}

${\displaystyle S=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi ab}{\sin(\varphi )}}\left(E(\varphi ,k)\,\sin ^{2}(\varphi )+F(\varphi ,k)\,\cos ^{2}(\varphi )\right),}$

куда

${\displaystyle \cos(\varphi )={\frac {c}{a}},\qquad k^{2}={\frac {a^{2}\left(b^{2}-c^{2}\right)}{b^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right)}},\qquad a\geq b\geq c,}$

и где F ( φ , k ) и E ( φ , k ) - неполные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно. ^[4]

Площадь поверхности эллипсоида вращения (или сфероида) может быть выражена через элементарные функции :

${\displaystyle S_{\text{oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c^{2}}{ea^{2}}}\operatorname {artanh} e\right),\qquad {\text{where }}e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}{\text{ and }}(c<a),}$

или же

${\displaystyle S_{\text{oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\operatorname {artanh} e\right)}$

или же

${\displaystyle S_{\text{oblate}}=2\pi a^{2}\ +{\frac {\pi c^{2}}{e}}\ln {\frac {1+e}{1-e}}}$

и

${\displaystyle S_{\text{prolate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\arcsin e\right)\qquad {\text{where }}e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}{\text{ and }}(c>a),}$

которые, как следует из основных тригонометрических тождеств, являются эквивалентными выражениями (т. е. формулу для можно использовать для вычисления площади поверхности вытянутого эллипсоида и наоборот). В обоих случаях е можно снова определить как эксцентриситет эллипса, образованного поперечным сечением оси симметрии. (См. Эллипс ). Вывод этих результатов можно найти в стандартных источниках, например Mathworld . ^[5]${\displaystyle S_{\text{oblate}}}$

Примерная формула [ править ]

${\displaystyle S\approx 4\pi {\sqrt[{p}]{\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}}.\,\!}$

Здесь p ≈ 1,6075 дает относительную ошибку не более 1,061%; ^[6] значение p =8/5= 1,6 оптимально для эллипсоидов, близких к сферической, с относительной погрешностью не более 1,178%.

В «плоском» пределе c, намного меньшем, чем a , b , площадь составляет примерно 2π ab , что эквивалентно p ≈ 1,5850 .

Сечения самолета [ править ]

Свойства [ править ]

Пересечение плоскости и сферы представляет собой круг (или сводится к одной точке, или пусто). Любой эллипсоид - это изображение единичной сферы при некотором аффинном преобразовании, а любая плоскость - это изображение некоторой другой плоскости при таком же преобразовании. Итак, поскольку аффинные преобразования преобразуют круги в эллипсы, пересечение плоскости с эллипсоидом является эллипсом, единственной точкой или пусто. ^[7] Очевидно, что сфероиды содержат круги. Это также верно, но менее очевидно, для трехосных эллипсоидов (см. Круглый раздел ).

Определение эллипса плоского сечения [ править ]

Дано: эллипсоид и плоскость с уравнением, которые имеют общий эллипс.${\textstyle \ {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\ }$${\textstyle \ n_{x}x+n_{y}y+n_{z}z=d\,,}$

Требуется: три вектора (центр) и (сопряженные векторы), такие, что эллипс можно представить параметрическим уравнением ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$${\displaystyle {\vec {f}}_{1},\;{\vec {f}}_{2}}$

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}\cos t+{\vec {f}}_{2}\sin t\quad }$(см. эллипс ).

Решение: масштабирование преобразует эллипсоид на единичную сферу и данную плоскость на плоскость с уравнением . Позвольте быть нормальной формой Гессе новой плоскости и ее единичный нормальный вектор. Следовательно , это центр окружности пересечения и ее радиус (см) схема.${\textstyle \ u={\frac {x}{a}}\,,\ v={\frac {y}{b}}\,,\ w={\frac {z}{c}}\ }$${\displaystyle u^{2}+v^{2}+w^{2}=1\ }$${\displaystyle \ n_{x}au+n_{y}bv+n_{z}cw=d\ }$${\displaystyle \ m_{u}u+m_{v}v+m_{w}w=\delta \ }$${\displaystyle \;{\vec {m}}={\begin{bmatrix}m_{u}&m_{v}&m_{w}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}\;}$${\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\delta \;{\vec {m}}\;}$${\displaystyle \;\rho ={\sqrt {1-\delta ^{2}}}\;}$

Где , пусть (Плоскость горизонтальная!)${\displaystyle \ m_{w}=\pm 1\,}$${\displaystyle \ {\vec {e}}_{1}={\begin{bmatrix}\rho &0&0\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}},\ {\vec {e}}_{2}={\begin{bmatrix}0&\rho &0\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}.}$

Где пусть${\displaystyle \ m_{w}\neq \pm 1\,}$${\textstyle \ {\vec {e}}_{1}=\rho \,{\frac {{\begin{bmatrix}m_{v}&-m_{u}&0\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}{\sqrt {m_{u}^{2}+m_{v}^{2}}}}\,,\ {\vec {e}}_{2}={\vec {m}}\times {\vec {e}}_{1}\ .}$

В любом случае векторы ортогональны, параллельны плоскости пересечения и имеют длину (радиус окружности). Следовательно, окружность пересечения может быть описана параметрическим уравнением${\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \;{\vec {u}}={\vec {e}}_{0}+{\vec {e}}_{1}\cos t+{\vec {e}}_{2}\sin t\;.}$

Обратное масштабирование (см. Выше) преобразует единичную сферу обратно в эллипсоид, и векторы отображаются на векторы , которые требовались для параметрического представления эллипса пересечения. ${\displaystyle {\vec {e}}_{0},{\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2}}$${\displaystyle {\vec {f}}_{0},{\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$

Как найти вершины и полуоси эллипса, описано в эллипсе .

Пример: на диаграммах показан эллипсоид с полуосями, пересекаемый плоскостью.${\displaystyle \;a=4,\;b=5,\;c=3\;}$${\displaystyle \;x+y+z=5\;.}$

Конструкция булавок и ниток [ править ]

Построение эллипса булавками и цепочкой: длина строки (красный)
${\displaystyle \left|S_{1}S_{2}\right|,}$

Построение эллипсоида «булавки и струны» - это передача идеи построения эллипса с использованием двух булавок и веревки (см. Диаграмму).

Построение стержней и струн эллипсоида вращения дается конструкцией вращающегося эллипса стержнями и струнами.

Построение точек 3-осевого эллипсоида сложнее. Первые идеи принадлежат шотландскому физику Дж. К. Максвеллу (1868 г.). ^[8] Основные исследования и распространение на квадрики были выполнены немецким математиком О. Штауде в 1882, 1886 и 1898 годах. ^{[9] [10] [11]} Описание конструкции эллипсоидов и гиперболоидов в виде булавок и струн приведено ниже. содержится в книге « Геометрия и воображение», написанной Д. Гильбертом и С. Фоссеном ^[12] .

Этапы строительства [ править ]

Полуоси [ править ]

Уравнения для полуосей эллипсоида сгенерированного могут быть получены с помощью специального выбора для точки : .${\displaystyle P}$${\displaystyle Y=(0,r_{y},0),\ Z=(0,0,r_{z})}$

В нижней части диаграммы показаны: - фокусы эллипса в плоскости xy. Следовательно, она конфокальна данному эллипсу, а длина струны равна . Решение для выходов: . Дальше больше: .${\displaystyle F_{1},F_{2}}$${\displaystyle l=2r_{x}+(a-c)}$${\displaystyle r_{x}}$${\textstyle r_{x}={\frac {1}{2}}(l-a+c)}$${\displaystyle r_{y}^{2}=r_{x}^{2}-c^{2}}$

Из верхнего рисунка получаем: фокусы эллипса (эллипсоида) в плоскости xz и уравнение .${\displaystyle S_{1},S_{2}}$${\displaystyle r_{z}^{2}=r_{x}^{2}-a^{2}}$

Converse [ править ]

Если, наоборот, трехосный эллипсоид задается его уравнением, то из уравнений в шаге 3 можно получить параметры для конструкции из булавок и струн. ${\displaystyle a,b,l}$

Конфокальные эллипсоиды [ править ]

Если это эллипсоид конфокальной , чтобы с квадратов его полуосей ${\displaystyle {\mathcal {\overline {E}}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {r}}_{x}^{2}&=r_{x}^{2}-\lambda ,&{\overline {r}}_{y}^{2}&=r_{y}^{2}-\lambda ,&{\overline {r}}_{z}^{2}&=r_{z}^{2}-\lambda \;,\end{aligned}}}$

то из уравнений ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{x}^{2}-r_{y}^{2}&=c^{2},&r_{x}^{2}-r_{z}^{2}&=a^{2},&r_{y}^{2}-r_{z}^{2}&=a^{2}-c^{2}=b^{2},\end{aligned}}}$

обнаруживается, что соответствующие фокальные коники, используемые для конструкции из булавок и струн, имеют те же полуоси, что и эллипсоид . Поэтому (аналогично фокусам эллипса) фокальные коники 3-осевого эллипсоида рассматриваются как (бесконечное множество) фокусов и называются фокальными кривыми эллипсоида. ^[13]${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

Обратное утверждение также верно: если кто-то выбирает вторую строку длины и определяет, тогда уравнения действительны, что означает, что два эллипсоида конфокальны.${\displaystyle {\overline {l}}}$${\displaystyle \lambda =r_{x}^{2}-{\overline {r}}_{x}^{2}}$${\displaystyle {\overline {r}}_{y}^{2}=r_{y}^{2}-\lambda ,\ {\overline {r}}_{z}^{2}=r_{z}^{2}-\lambda }$

Предельный случай, эллипсоид вращения [ править ]

В случае одного получает , что означает: фокальные эллипс вырождается в отрезок прямой и фокальной гиперболы коллапсирует до двух бесконечных отрезков , на оси абсцисс. Эллипсоид вращательно-симметричен с осью x как осью вращения и .${\displaystyle a=c}$${\displaystyle S_{1}=F_{1},\;S_{2}=F_{2}}$${\textstyle r_{x}={\frac {l}{2}},\ r_{y}=r_{z}={\sqrt {r_{x}^{2}-c^{2}}}}$

Свойства фокальной гиперболы [ править ]

Истинная кривая

Если смотреть на эллипсоид с внешней точки его фокальной гиперболы, то он кажется сферой, т.е. видимая форма - круг. Или эквивалент: касательные к эллипсоиду, содержащему точку, являются линиями кругового конуса, ось вращения которого является касательной к гиперболе в точке . ^{[14] [15]} Если позволить центру исчезнуть в бесконечность, получится ортогональная параллельная проекция с соответствующей асимптотой фокальной гиперболы в качестве направления. Истинная кривые форм (точки касания) на эллипсоиде мкг не круга!${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

В нижней части диаграммы слева показана параллельная проекция эллипсоида (полуоси: 60, 40, 30) вдоль асимптоты, а справа центральная проекция с центром и главной точкой на касательной к гиперболе в точке . ( является основанием перпендикуляра от на плоскость изображения.) Для обеих проекций видимая форма представляет собой круг. В параллельном случае образ начала координат - это центр окружности, в центральном случае главная точка - это центр.${\displaystyle V}$${\displaystyle H}$${\displaystyle V}$${\displaystyle H}$${\displaystyle V}$${\displaystyle O}$${\displaystyle H}$

Пупочные точки

Фокальная гипербола пересекает эллипсоид в его 4 омбилических точках . ^[16]

Свойство фокального эллипса [ править ]

Фокусное эллипсом вместе с его внутренней частью можно рассматривать как предельную поверхность (бесконечно тонкий эллипсоид) пучок конфокальных эллипсоидов , определенный для . Для предельного случая получаем${\displaystyle a,b}$${\displaystyle r_{z}\to 0}$${\displaystyle r_{x}=a,\;r_{y}=b,\;l=3a-c.}$

В общем положении [ править ]

Как квадрик [ править ]

В более общем смысле, произвольно ориентированный эллипсоид с центром в точке v определяется решениями x уравнения

${\displaystyle (\mathbf {x-v} )^{\mathsf {T}}\!A\,(\mathbf {x-v} )=1,}$

где A - положительно определенная матрица, а x , v - векторы .

В собственных векторах из А определяют главные оси эллипсоида и собственные значения из A являются обратными квадратами полуосей: , и . ^[17] Обратимое линейное преобразование, примененное к сфере, дает эллипсоид, который может быть приведен к указанной выше стандартной форме подходящим вращением , что является следствием полярного разложения (также см. Спектральную теорему ). Если линейное преобразование представлено симметричной матрицей 3 на 3${\displaystyle a^{-2}}$${\displaystyle b^{-2}}$${\displaystyle c^{-2}}$, то собственные векторы матрицы ортогональны (в силу спектральной теоремы) и представляют направления осей эллипсоида; длины полуосей вычисляются из собственных значений. Сингулярное разложение и полярное разложение матричные разложения тесно связаны с этими геометрическими наблюдениями.

Параметрическое представление [ править ]

Ключом к параметрическому представлению эллипсоида в общем положении является альтернативное определение:

Эллипсоид - это аффинное изображение единичной сферы.

Аффинное преобразование может быть представлено в виде перевода с вектором и регулярной 3 × 3-матрицей :${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\vec {x}}\mapsto {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}={\vec {f}}_{0}+x{\vec {f}}_{1}+y{\vec {f}}_{2}+z{\vec {f}}_{3}}$,

где - векторы-столбцы матрицы .${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2},{\vec {f}}_{3}}$${\displaystyle A}$

Параметрическое представление эллипсоида общего положения можно получить с помощью параметрического представления единичной сферы (см. Выше) и аффинного преобразования:

${\displaystyle {\vec {x}}(\theta ,\varphi )={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}\cos \theta \cos \varphi +{\vec {f}}_{2}\cos \theta \sin \varphi +{\vec {f}}_{3}\sin \theta ,\quad -{\frac {\pi }{2}}<\theta <{\frac {\pi }{2}},\ 0\leq \varphi <2\pi }$.

Если векторы образуют ортогональную систему, точки с векторами являются вершинами эллипсоида и главными полуосями.${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2},{\vec {f}}_{3}}$${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{i},\ i=1,2,3,}$${\displaystyle \left|{\vec {f}}_{1}\right|,\left|{\vec {f}}_{2}\right|,\left|{\vec {f}}_{3}\right|}$

Вектор нормали к поверхности в точке равен${\displaystyle \;{\vec {x}}(\theta ,\varphi )}$

${\displaystyle {\vec {n}}(\theta ,\varphi )={\vec {f}}_{2}\times {\vec {f}}_{3}\cos \theta \cos \varphi +{\vec {f}}_{3}\times {\vec {f}}_{1}\cos \theta \sin \varphi +{\vec {f}}_{1}\times {\vec {f}}_{2}\sin \theta .}$

Для любого эллипсоида существует неявное представление . Если для простоты центр эллипсоида является началом координат, то есть следующее уравнение описывает эллипсоид выше: ^[18]${\displaystyle F(x,y,z)=0}$${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\begin{bmatrix}0&0&0\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$

${\displaystyle F(x,y,z)=\operatorname {det} \left({\vec {x}},{\vec {f}}_{2},{\vec {f}}_{3}\right)^{2}+\operatorname {det} \left({\vec {f}}_{1},{\vec {x}},{\vec {f}}_{3}\right)^{2}+\operatorname {det} \left({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2},{\vec {x}}\right)^{2}-\operatorname {det} \left({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2},{\vec {f}}_{3}\right)^{2}=0}$

Приложения [ править ]

Эллипсоидальная форма находит множество практических применений:

Геодезия

• Эллипсоид Земли , математическая фигура, приближающая форму Земли.
• Справочный эллипсоид , математическая фигура, аппроксимирующая форму планетных тел в целом.

Механика

• Эллипсоид Пуансо , геометрический метод для визуализации движения без крутящего момента вращающегося твердого тела .
• Эллипсоид напряжений Ламе , альтернатива кругу Мора для графического представления напряженного состояния в точке.
• Эллипсоид управляемости , используемый для описания свободы движения робота.
• Эллипсоид Якоби , трехосный эллипсоид, образованный вращающейся жидкостью

Кристаллография

• Индексный эллипсоид , диаграмма эллипсоида, изображающая ориентацию и относительную величину показателей преломления в кристалле.
• Тепловой эллипсоид , эллипсоиды, используемые в кристаллографии для обозначения величин и направлений тепловых колебаний атомов в кристаллических структурах.

Освещение

• Эллипсоидальный прожектор с отражателем
• Эллипсоидальный рефлекторный прожектор

Лекарство

• Измерения , полученные из МРТ визуализации простаты могут быть использованы для определения объема железы с помощью аппроксимации L × Ш × × 0,52 (где 0,52 приблизительныйπ/6) ^[19]

Динамические свойства [ править ]

Масса эллипсоида равномерной плотностью р:

${\displaystyle m=\rho V=\rho {\frac {4}{3}}\pi abc.\,\!}$

В моменты инерции эллипсоида однородной плотности являются:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\mathrm {xx} }&={\frac {1}{5}}m\left(b^{2}+c^{2}\right),&I_{\mathrm {yy} }&={\frac {1}{5}}m\left(c^{2}+a^{2}\right),&I_{\mathrm {zz} }&={\frac {1}{5}}m\left(a^{2}+b^{2}\right),\\[3pt]I_{\mathrm {xy} }&=I_{\mathrm {yz} }=I_{\mathrm {zx} }=0.\end{aligned}}\,\!}$

Поскольку эти моменты инерции уменьшаются до таковых для сферы однородной плотности.${\displaystyle a=b=c}$

Эллипсоиды и кубоиды стабильно вращаются вдоль своей большой или малой оси, но не вдоль средней оси. Это можно увидеть экспериментально, бросив ластик с некоторым вращением. Кроме того, соображения момента инерции означают, что вращение вдоль большой оси более легко нарушить, чем вращение вдоль малой оси. ^[20]

Одним из практических последствий этого является то, что разносторонние астрономические тела, такие как Хаумеа, обычно вращаются вдоль своих малых осей (как и Земля, которая просто сплюснута); кроме того, из-за приливной блокировки спутники находятся на синхронной орбите, такие как орбита Мимаса, их большая ось направлена ​​радиально к их планете.

Вращающееся тело из однородной самогравитирующей жидкости примет форму сфероида Маклорена (сплюснутый сфероид) или эллипсоида Якоби (разносторонний эллипсоид), когда оно находится в гидростатическом равновесии и при умеренных скоростях вращения. При более быстром вращении можно ожидать неэллипсоидальной грушевидной или яйцевидной формы, но они не стабильны.

Гидродинамика [ править ]

Эллипсоид - это наиболее общая форма, для которой можно было рассчитать ползущий поток жидкости вокруг твердого тела. В расчетах учитывается сила, необходимая для перемещения в жидкости и вращения в ней. Приложения включают определение размера и формы больших молекул, скорости погружения мелких частиц и способности микроорганизмов плавать . ^[21]

По вероятности и статистике [ править ]

В эллиптических распределениях , обобщающие многомерное нормальное распределение и используются в области финансов , могут быть определены в терминах их функций плотности . Когда они существуют, функции плотности f имеют структуру:

${\displaystyle f(x)=k\cdot g\left((x-\mu )\Sigma ^{-1}(x-\mu )^{\mathsf {T}}\right)}$

где - масштабный коэффициент, - -мерный случайный вектор-строка с медианным вектором (который также является средним вектором, если последний существует), - положительно определенная матрица, которая пропорциональна ковариационной матрице, если последняя существует, и является функцией отображение неотрицательных действительных чисел на неотрицательные действительные числа, дающее конечную площадь под кривой. ^[22] Многомерное нормальное распределение является частным случаем квадратичной формы .${\displaystyle k}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle g}$${\displaystyle g(z)=e^{-z/2}}$${\displaystyle z}$

Таким образом, функция плотности является скалярным преобразованием квадратичного выражения. Более того, уравнение для любой поверхности изоплотности утверждает, что выражение квадрики равно некоторой константе, специфичной для этого значения плотности, а поверхность изоплотности является эллипсоидом.

В высших измерениях [ править ]

Hyperellipsoid или эллипсоид размерности п в евклидове пространства размерности п + 1 , является квадратичной гиперповерхность определяется полиномом второй степени , который имеет однородную часть второй степени , которая является положительно определенной квадратичной формой .

Гиперэллипсоид можно также определить как изображение сферы при обратимом аффинном преобразовании . Спектральная теорема снова может быть использована для получения стандартного уравнения вида

${\displaystyle {\frac {x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {x_{n}^{2}}{a_{n}^{2}}}=1.}$

Объем hyperellipsoid может быть получен путем замены пути в формуле для объема гиперсферы .${\displaystyle R^{n}}$${\displaystyle a_{1}\cdots a_{n}}$

См. Также [ править ]

• Эллипсоидальный купол
• Эллипсоидный метод
• Эллипсоидальные координаты
• Эллиптическое распределение в статистике
• Уплощение , также называемое эллиптичностью и сплющенностью , - это мера сжатия круга или сферы по диаметру с образованием эллипса или эллипсоида вращения (сфероида) соответственно.
• Фокалоид , оболочка, ограниченная двумя концентрическими конфокальными эллипсоидами.
• Геодезические на эллипсоиде
• Геодезическая система координат , гравитационная Земля, смоделированная наилучшим образом подобранным эллипсоидом.
• Гомеоид , оболочка, ограниченная двумя концентрическими одинаковыми эллипсоидами.
• Список поверхностей

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Крейсциг, Эрвин (1972), Advanced Engineering Mathematics (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-50728-8

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме эллипсоидов .

• " Эллипсоид " Джеффа Брайанта, Демонстрационный проект Вольфрама , 2007.
• Эллипсоид и квадратичная поверхность , MathWorld .