В интегральном исчислении , эллиптический интеграл является одним из ряда родственных функций , определенных в качестве значения определенных интегралов. Первоначально они возникли в связи с проблемой нахождения длины дуги в качестве эллипса и впервые были изучены Джулио Fagnano и Леонарда Эйлера ( с. 1750 ). Современная математика определяет «эллиптический интеграл» как любую функцию f, которая может быть выражена в виде
где R - рациональная функция двух своих аргументов, P - многочлен степени 3 или 4 без повторяющихся корней, а c - константа.
В общем случае интегралы в таком виде не могут быть выражены через элементарные функции . Исключениями из этого общего правила являются случаи, когда P имеет повторяющиеся корни или когда R ( x , y ) не содержит нечетных степеней y . Однако с помощью соответствующей формулы редукции каждый эллиптический интеграл может быть приведен в форму, которая включает интегралы по рациональным функциям и три канонические формы Лежандра (т. Е. Эллиптические интегралы первого, второго и третьего рода).
Помимо формы Лежандра, приведенной ниже, эллиптические интегралы также могут быть выражены в симметричной форме Карлсона . Дополнительное понимание теории эллиптического интеграла может быть получено путем изучения отображения Шварца – Кристоффеля . Исторически эллиптические функции были открыты как функции, обратные эллиптическим интегралам.
Обозначение аргумента
Неполные эллиптические интегралы являются функциями двух аргументов; полные эллиптические интегралы являются функциями одного аргумента. Эти аргументы выражаются различными, но эквивалентными способами (они дают один и тот же эллиптический интеграл). Большинство текстов придерживаются канонической схемы именования, используя следующие соглашения об именах.
Каждая из трех вышеупомянутых величин полностью определяется любой из других (при условии, что они неотрицательны). Таким образом, они могут использоваться как взаимозаменяемые.
Другой аргумент также может быть выражен как φ , амплитуда , или как x или u , где x = sin φ = sn u, а sn - одна из эллиптических функций Якоби .
Указание значения одной из этих величин определяет другие. Обратите внимание, что u также зависит от m . Некоторые дополнительные отношения с участием u включают
Последнее иногда называют дельта-амплитудой и записывают как Δ ( φ ) = dn u . Иногда в литературе также упоминается дополнительный параметр , дополнительный модуль или дополнительный модульный угол . Более подробно они определены в статье о квартальных периодах .
Неполный эллиптический интеграл первого рода.
Неполный эллиптический интеграл первого рода F определяется как
Это тригонометрическая форма интеграла; подставляя t = sin θ и x = sin φ , получаем нормальную форму Лежандра:
Эквивалентно по амплитуде и модульному углу:
В этой записи использование вертикальной черты в качестве разделителя указывает, что следующий за ней аргумент является «параметром» (как определено выше), а обратная косая черта указывает, что это модульный угол. Использование точки с запятой подразумевает, что предшествующий ей аргумент является синусом амплитуды:
Это потенциально сбивающее с толку использование различных разделителей аргументов является традиционным для эллиптических интегралов, и большая часть обозначений совместима с теми, которые используются в справочнике Абрамовица и Стегуна и которые используются в таблицах интегралов Градштейном и Рыжиком .
Неполный эллиптический интеграл первого рода имеет следующую теорему сложения:
Эллиптический модуль можно преобразовать таким образом:
Варианты обозначений
В литературе существуют и другие соглашения об обозначении эллиптических интегралов. Нередко встречается запись с перестановкой аргументов F ( k , φ ) ; и аналогично E ( k , φ ) для интеграла второго рода. Абрамовиц и Стегун заменяют интеграл первого рода, F ( φ , k ) , аргументом φ в своем определении интегралов второго и третьего рода, если за этим аргументом не стоит вертикальная черта: т.е. E ( F ( φ , k ) | k 2 ) для E ( φ | k 2 ) . Более того, их полные интегралы используют параметр k 2 в качестве аргумента вместо модуля k , то есть K ( k 2 ), а не K ( k ) . А интеграл третьего рода, определенный Градштейном и Рыжиком , Π ( φ , n , k ) , ставит на первое место амплитуду φ, а не «характеристику» n .
Таким образом, нужно быть осторожным с обозначениями при использовании этих функций, потому что различные авторитетные ссылки и программные пакеты используют разные соглашения в определениях эллиптических функций. Например, некоторые ссылки, и Wolfram «s Mathematica программное обеспечение и Wolfram Alpha , определяют полный эллиптический интеграл первого рода в терминах параметра т , вместо эллиптического модуля к .
Неполный эллиптический интеграл второго рода.
Неполный эллиптический интеграл второго рода Е в тригонометрической форме
Подставляя t = sin θ и x = sin φ , получаем нормальную форму Лежандра:
Неполный эллиптический интеграл второго рода имеет следующую теорему сложения:
Эллиптический модуль можно преобразовать таким образом:
Неполный эллиптический интеграл третьего рода.
Неполный эллиптический интеграл третьего рода П является
или же
Число n называется характеристикой и может принимать любое значение независимо от других аргументов. Однако обратите внимание, что значение Π (1;π/2| m ) бесконечно для любого m .
Связь с эллиптическими функциями Якоби имеет вид
Меридиан длина дуги от экватора до широты ф также связана с особым случаем П :
Полный эллиптический интеграл первого рода.
График полного эллиптического интеграла первого рода K ( k )
Эллиптические интегралы называются полными, если амплитуда φ = π/2и поэтому x = 1 . Таким образом, полный эллиптический интеграл первого рода K можно определить как
или более компактно в терминах неполного интеграла первого рода как
Это приближение имеет относительную точность лучше, чем 3 × 10 −4 для k < 1/2. Сохранение только первых двух членов является правильным с точностью до 0,01 для k < 1/2. [ необходима цитата ]
Дифференциальное уравнение
Дифференциальное уравнение для эллиптического интеграла первого рода имеет вид
Второе решение этого уравнения: . Это решение удовлетворяет соотношению
График полного эллиптического интеграла второго рода
Полный эллиптический интеграл второго рода Е определяется как
или более компактно в терминах неполного интеграла второго рода E ( φ , k ) как
Для эллипса с большой полуосью с и малой полуосью Ь и эксцентриситет е = √ 1 - Ь 2 / 2 , полный эллиптический интеграл второго рода Е ( е ) равен одной четверти окружности с из эллипс, измеренный в единицах большой полуоси a . Другими словами:
Полный эллиптический интеграл второго рода может быть выражен в виде степенного ряда [ править ]
Как и интеграл первого рода, полный эллиптический интеграл второго рода может быть очень эффективно вычислен с использованием среднего арифметико-геометрического ( Carlson 2010 , 19.8).
Определить последовательности а также , где , и рекуррентные отношения , держать. Кроме того, определим. По определению,
.
Также, . потом
На практике среднее арифметико-геометрическое будет просто вычисляться до некоторого предела. Эта формула сходится квадратично для всех. Для дальнейшего ускорения вычислений соотношение может быть использован.
Производное и дифференциальное уравнение
Второе решение этого уравнения - E ( √ 1 - k 2 ) - K ( √ 1 - k 2 ) .
Полный эллиптический интеграл третьего рода
График полного эллиптического интеграла третьего рода с несколькими фиксированными значениями
Полный эллиптический интеграл третьего рода П может быть определен как
Отметим, что иногда эллиптический интеграл третьего рода определяется с обратным знаком для характеристики n :
Как и полные эллиптические интегралы первого и второго рода, полный эллиптический интеграл третьего рода может быть очень эффективно вычислен с использованием среднего арифметико-геометрического ( Carlson 2010 , 19.8).
Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 17» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 587. ISBN. 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Руководство по ремонту 0167642 . LCCN 65-12253 .
Берд, П.Ф .; Фридман, доктор медицины (1971). Справочник по эллиптическим интегралам для инженеров и ученых (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05318-2.
Карлсон, BC (2010), «Эллиптический интеграл» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
Эрдейи, Артур; Магнус, Вильгельм ; Оберхеттингер, Фриц; Трикоми, Франческо Г. (1953). Высшие трансцендентные функции. Том II (PDF) . McGraw-Hill Book Company, Inc., Нью-Йорк-Торонто-Лондон. Руководство по ремонту 0058756 .
Градштейн, Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Геронимус Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015 г.) [октябрь 2014 г.]. «8.1.». В Цвиллингере, Даниэль; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов . Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276 .
Гринхилл, Альфред Джордж (1892). Приложения эллиптических функций . Нью-Йорк: Макмиллан.
Хэнкок, Харрис (1910). Лекции по теории эллиптических функций . Нью-Йорк: J. Wiley & sons.
Король, Людовик V. (1924). О прямом численном вычислении эллиптических функций и интегралов . Издательство Кембриджского университета.
Нажмите, WH; Теукольский, С.А. Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 6.12. Эллиптические интегралы и эллиптические функции Якоби» , Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8