Пустой набор

Пустой набор - это набор, не содержащий элементов.

В математике , то пустое множество является уникальным множество не имеющие элементов ; его размер или количество элементов (количество элементов в наборе) является нулевым . ^{[1] [2]} Некоторые аксиоматические теории множеств гарантируют, что пустое множество существует, включая аксиому пустого множества , в то время как в других теориях его существование может быть выведено. Многие возможные свойства множеств пусто верны для пустого множества.

В некоторых учебниках и популяризаторах пустой набор называется «нулевым набором». ^[2] Однако нулевое множество - это отдельное понятие в контексте теории меры , в которой оно описывает набор нулевой меры (который не обязательно является пустым). Пустой набор можно также назвать пустым набором . Обычно обозначается символами , или .${\ displaystyle \ varnothing}$${\ displaystyle \ emptyset}$${\ Displaystyle \ {\}}$

Обозначение [ править ]

Символ пустого множества

Общие обозначения для пустого набора включают "{}", " " и "∅". ^[1] Последние два символа были введены группой Бурбаки (в частности, Андре Вейлем ) в 1939 году, вдохновившись буквой Ø в датском и норвежском алфавитах. ^[3] В прошлом «0» иногда использовался как символ для пустого набора, но теперь это считается неправильным использованием обозначений. ^[4]${\ displaystyle \ emptyset}$

Символ ∅ доступен в точке Unicode U + 2205. ^[5] Его можно закодировать в HTML как & empty; и как & # 8709; . Его можно закодировать в LaTeX как \ varnothing . Символ кодируется в LaTeX как \ emptyset .${\ displaystyle \ emptyset}$

При написании на таких языках, как датский и норвежский, где символ пустого набора можно спутать с буквенной буквой Ø (как при использовании символа в лингвистике), вместо него можно использовать символ Unicode U + 29B0 REVERSED EMPTY SET ⦰. ^[6]

Свойства [ править ]

В стандартной аксиоматической теории множеств по принципу протяженности два множества равны, если они имеют одинаковые элементы. В результате может быть только один набор без элементов, отсюда и использование «пустого набора», а не «пустого набора».

В следующем документе перечислены некоторые из наиболее заметных свойств, связанных с пустым набором. Подробнее об используемых здесь математических символах см. Список математических символов .

Для любого набора A :

• Пустое множество является подмножеством из A :

  ${\ displaystyle \ forall A: \ varnothing \ substeq A}$

• Союз из А с пустым множеством :

  ${\ displaystyle \ forall A: A \ cup \ varnothing = A}$

• Пересечение из А с пустым множеством является пустым множеством:

  ${\ displaystyle \ forall A: A \ cap \ varnothing = \ varnothing}$

• Декартово произведение из А и пустого множества является пустым множеством:

  ${\ displaystyle \ forall A: A \ times \ varnothing = \ varnothing}$

Пустой набор имеет следующие свойства:

• Его единственное подмножество - это само пустое множество:

  ${\ displaystyle \ forall A: A \ substeq \ varnothing \ Rightarrow A = \ varnothing}$

• Булеан пустого множества является множество , содержащее только пустое множество:

  ${\ displaystyle 2 ^ {\ varnothing} = \ {\ varnothing \}}$

• Количество элементов пустого множества (т. Е. Его мощность ) равно нулю:

  ${\ Displaystyle \ mathrm {|} \ varnothing \ mathrm {|} = 0}$

Однако связь между пустым множеством и нулем идет дальше: в стандартном теоретико-множественном определении натуральных чисел множества используются для моделирования натуральных чисел. В этом контексте ноль моделируется пустым множеством.

Для любого свойства P :

• Для каждого элемента из P выполняется свойство P ( пустая истина ).${\ displaystyle \ varnothing}$
• Там нет никакого элемента , для которых свойство P имеет.${\ displaystyle \ varnothing}$

И наоборот, если для некоторого свойства P и некоторого множества V выполняются следующие два утверждения:

• Для каждого элемента V свойство Р имеет место
• Там нет элемента V , для которых свойство Р имеет место

тогда V  = ∅.

По определению подмножества , пустое множество является подмножеством любого множества A . То есть, каждый элемент х из принадлежит A . Действительно, если бы это не было так , что каждый элемент в А , то не было бы , по крайней мере один элемент , который не присутствует в А . Так как нет ни одного элемента вообще, есть ни один элемент , который не является в A . Любое утверждение, которое начинается «для каждого элемента », не содержит существенных претензий; это пустая правда${\ displaystyle \ varnothing}$${\ displaystyle \ varnothing}$${\ displaystyle \ varnothing}$${\ displaystyle \ varnothing}$${\ displaystyle \ varnothing}$${\ displaystyle \ varnothing}$. Это часто перефразируют как «все верно для элементов пустого множества».

Операции над пустым множеством [ править ]

Когда говорят о сумме элементов конечного набора, неизбежно приводят к соглашению, что сумма элементов пустого набора равна нулю. Причина этого в том, что ноль является тождественным элементом для сложения. Точно так же произведение элементов пустого набора следует рассматривать как единицу (см. Пустой продукт ), поскольку единица является единичным элементом для умножения.

Психоз является перестановкой множества без неподвижных точек . Пустой набор можно рассматривать как нарушение самого себя, потому что он имеет только одну перестановку ( ), и совершенно верно, что не может быть найден ни один элемент (из пустого набора), который сохранил бы свое исходное положение.${\ displaystyle 0! = 1}$

В других областях математики [ править ]

Расширенные действительные числа [ править ]

Поскольку пустой набор не имеет члена, когда он рассматривается как подмножество любого упорядоченного набора , каждый член этого набора будет верхней границей и нижней границей для пустого набора. Например, если рассматривать как подмножество действительных чисел с его обычным порядком, представленным линией действительных чисел , каждое действительное число является как верхней, так и нижней границей пустого набора. ^[7] Если рассматривать как подмножество расширенных вещественных чисел, образованных добавлением двух «чисел» или «точек» к действительным числам (а именно отрицательной бесконечности , обозначаемой как меньшее, чем любое другое расширенное действительное число, и положительной бесконечности , обозначенный${\ displaystyle - \ infty \! \ ,,}$${\ Displaystyle + \ infty \! \ ,,}$ которое определяется как большее, чем любое другое расширенное действительное число), мы имеем следующее:

${\ displaystyle \ sup \ varnothing = \ min (\ {- \ infty, + \ infty \} \ cup \ mathbb {R}) = - \ infty,}$

и

${\displaystyle \inf \varnothing =\max(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=+\infty .}$

То есть наименьшая верхняя граница (sup или supremum ) пустого множества - отрицательная бесконечность, а наибольшая нижняя граница (inf или infimum ) - положительная бесконечность. По аналогии с вышеизложенным, в области расширенных вещественных чисел отрицательная бесконечность является единичным элементом для операторов максимума и супремума, а положительная бесконечность является единичным элементом для операторов минимума и инфимума.

Топология [ править ]

В любом топологическом пространстве X , пустое множество открыто по определению, как X . Поскольку дополнение к открытому множеству замкнуто, а пустое множество и X являются дополнениями друг друга, пустое множество также замкнуто, что делает его открытым множеством . Более того, пустое множество компактно в силу того, что каждое конечное множество компактно.

Замыкание пустого множества пусто. Это известно как «сохранение недействительных союзов ».

Теория категорий [ править ]

Если A - множество, то существует ровно одна функция f из в A , пустая функция . В результате, пустое множество является единственным исходным объектом в категории множеств и функций.

Пустое множество можно превратить в топологическое пространство , называемое пустым пространством, только одним способом: определив пустое множество как открытое . Это пустое топологическое пространство является единственным исходным объектом в категории топологических пространств с непрерывными отображениями . Фактически, это строгий исходный объект : только пустой набор имеет функцию для пустого набора.

Теория множеств [ править ]

В конструкции ординалов фон Неймана 0 определяется как пустое множество, а преемник ординала определяется как . Таким образом, мы имеем , , и так далее. Конструкция фон Неймана, наряду с аксиомой бесконечности , которая гарантирует существование по крайней мере одного бесконечного множества, может использоваться для построения множества натуральных чисел , таких, что выполняются аксиомы арифметики Пеано .${\displaystyle S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}}$${\displaystyle 0=\varnothing }$${\displaystyle 1=0\cup \{0\}=\{\varnothing \}}$${\displaystyle 2=1\cup \{1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}}$${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$

Под вопросом существование [ править ]

Аксиоматическая теория множеств [ править ]

В теории множеств Цермело существование пустого множества гарантируется аксиомой пустого множества , а его единственность следует из аксиомы экстенсиональности . Однако аксиому о пустом множестве можно показать избыточной как минимум двумя способами:

• Стандартная логика первого порядка подразумевает, просто из логических аксиом , что что- то существует, и, говоря языком теории множеств, эта вещь должна быть множеством. Теперь существование пустого множества легко следует из аксиомы разделенности .
• Даже при использовании свободной логики (которая логически не подразумевает, что что-то существует) уже существует аксиома, подразумевающая существование по крайней мере одного набора, а именно аксиома бесконечности .

Философские вопросы [ править ]

Хотя пустое множество является стандартной и широко принятой математической концепцией, оно остается онтологическим курьезом, значение и полезность которого обсуждают философы и логики.

Пустой набор - это не то же самое, что ничего ; скорее, это набор, внутри которого ничего нет, а набор всегда что-то . Эту проблему можно решить, рассматривая набор как мешок - пустой мешок, несомненно, все еще существует. Дарлинг (2004) объясняет, что пустой набор - это не ничто, а скорее «набор всех треугольников с четырьмя сторонами, набор всех чисел, которые больше девяти, но меньше восьми, и набор всех начальных ходов в шахматах, которые привлечь короля ". ^[8]

Популярный силлогизм

Нет ничего лучше вечного счастья; бутерброд с ветчиной лучше, чем ничего; поэтому бутерброд с ветчиной лучше вечного счастья

часто используется для демонстрации философского отношения между концепцией ничего и пустым множеством. Дарлинг пишет, что контраст можно увидеть, переписав утверждения «Нет ничего лучше вечного счастья» и «Сэндвич с ветчиной лучше, чем ничего» в математическом тоне. Согласно Дарлингу, первое эквивалентно «Набор всего, что лучше, чем вечное счастье », а второе - «Набор {бутерброд с ветчиной} лучше, чем набор ». Первый сравнивает элементы наборов, а второй сравнивает сами наборы. ^[8]${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle \varnothing }$

Джонатан Лоу утверждает, что пока пустой набор:

«... несомненно, была важной вехой в истории математики, ... мы не должны предполагать, что ее полезность в вычислениях зависит от того, действительно ли она обозначает какой-либо объект».

также бывает, что:

«Все, что нам когда-либо сообщали о пустом множестве, это то, что оно (1) является множеством, (2) не имеет членов и (3) уникально среди множеств тем, что не имеет членов. Однако есть очень много вещей, которые ' не имеют членов в теоретико-множественном смысле, а именно, все не-множества. Совершенно ясно, почему у этих вещей нет членов, поскольку они не являются множествами. Неясно, как может быть уникально среди множеств, набор, не имеющий членов. Мы не можем вызвать такую ​​сущность к существованию простым условием ". ^[9]

Джордж Булос утверждал, что многое из того, что до сих пор было получено теорией множеств, может быть так же легко получено путем множественной количественной оценки индивидов, без материализации множеств как единичных сущностей, имеющих в качестве членов другие сущности. ^[10]

См. Также [ править ]

• 0
• Жилой комплекс
• Ничего
• Набор мощности

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Халмос, Пол , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Company, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag). Перепечатано Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (издание в мягкой обложке).  
• Jech, Thomas (2002), Теория множеств , Монографии Springer по математике (изд. 3-го тысячелетия), Springer, ISBN 3-540-44085-2
• Грэм, Малкольм (1975), Современная элементарная математика (2-е изд.), Харкорт Брейс Йованович , ISBN 0155610392

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Пустой набор» . MathWorld .