Энстрофия

В динамике жидкости , то энстрофия Е можно интерпретировать как другой тип потенциальной плотности ; или, более конкретно, величина, непосредственно связанная с кинетической энергией в модели потока, которая соответствует эффектам диссипации в жидкости. Это особенно полезно при изучении турбулентных потоков и часто используется при изучении двигателей, а также в области теории горения .

Учитывая область и когда-то слабо дифференцируемое векторное поле, которое представляет поток жидкости, такое как решение уравнений Навье-Стокса , его энстрофия определяется следующим образом: ^[1]${\ Displaystyle \ Omega \ substeq \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle и \ в Н ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {п}) ^ {п}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {E}} (u): = \ int _ {\ Omega} | \ nabla \ mathbf {u} | ^ {2} \, dx}$

Где . Это та же величина, что и квадрат полунормы решения в пространстве Соболева . ${\ displaystyle | \ nabla \ mathbf {u} | ^ {2} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} \ left | \ partial _ {i} u ^ {j} \ right | ^ { 2}}$ ${\ displaystyle | \ mathbf {u} | _ {H ^ {1} (\ Omega) ^ {n}} ^ {2}}$ ${\displaystyle H^{1}(\Omega )^{n}}$

В случае несжимаемого потока или, что то же самое, энстрофия может быть описана как интеграл квадрата завихренности , ^[2]${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {\omega } }$

${\displaystyle {\mathcal {E}}({\boldsymbol {\omega }})\equiv \int _{\Omega }|{\boldsymbol {\omega }}|^{2}\,dx}$

или, исходя из скорости потока ,

${\displaystyle {\mathcal {E}}(\mathbf {u} )\equiv \int _{S}|\nabla \times \mathbf {u} |^{2}\,dS\,.}$

В контексте несжимаемых уравнений Навье-Стокса энстрофия появляется в следующем полезном результате ^[1]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\int _{\Omega }|\mathbf {u} |^{2}\right)=-\nu {\mathcal {E}}(\mathbf {u} )}$

Величина в скобках слева - это энергия в потоке, поэтому результат говорит о том, что энергия уменьшается пропорционально кинематической вязкости, умноженной на энстрофию.${\displaystyle \nu }$

Внешние ссылки [ править ]

• Умурхан, ОМ; Регев, О. (декабрь 2004 г.). «Гидродинамическая устойчивость вращательно поддерживаемых потоков: результаты линейных и нелинейных 2D сдвиговых коробок». Астрономия и астрофизика . 427 (3): 855–872. arXiv : astro-ph / 0404020 . Бибкод : 2004A & A ... 427..855U . DOI : 10.1051 / 0004-6361: 20040573 . S2CID  15418079 .
• Вайс, Джон (март 1991). «Динамика переноса энстрофии в двумерной гидродинамике». Physica D: нелинейные явления . 48 (2–3): 273–294. Bibcode : 1991PhyD ... 48..273W . DOI : 10.1016 / 0167-2789 (91) 90088-Q .

Ссылки [ править ]